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2024-2025学年重庆市沙坪坝区西藏中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知曲线在处的切线方程是，则与分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
2.一个袋子中装有个红球和个黑球，除颜色外没有其他差异现采用有放回的方式从袋中任意摸出两球，设“第一次摸到黑球”，“第二次摸到红球”，则与的关系为( )
A. 互斥 B. 互为对立 C. 相互独立 D. 相等
3.在二项式的展开式中，含项的二项式系数为( )
A. B. C. D.
4.国庆长假过后学生返校，某学校为了做好防疫工作组织了个志愿服务小组，分配到个大门进行行李搬运志愿服务，若每个大门至少分配个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在个大门进行服务，则不同的分配方法种数为( )
A. B. C. D.
5.设，随机变量的分布列为
当随机变量的方差取得最小值时，( )
A. B. C. D.
6.，则的值为( )
A. B. C. D.
7.排球比赛实行“五局三胜制”，根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲、乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，则在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为( )
A. B. C. D.
8.对于函数，下列说法错误的是( )
A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点
C. D. 若在上恒成立，则
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面几种概率是条件概率的是( )
A. 甲、乙两人投篮命中率分别为，，各投篮一次都投中的概率
B. 猎人打猎时，有一猎物在米处，第一次击中的概率是，在第一次没有击中的情况下，猎物逃跑到米处，第二次击中的概率
C. 一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，则这个家庭在有一个小孩是女孩的条件下，另一个是男孩的概率
D. 小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，小明在一次上学路上遇到红灯的概率
10.下列说法正确的是( )
A. 设随机变量等可能取，，，，，如果，则
B. 若随机变量的概率分布为，且是常数，则
C. 已知，则
D. 已知随机变量，则
11.对于函数，下列说法正确的有( )
A. 在处取得极大值
B. 只有一个零点
C.
D. 若在上恒成立，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，那么在点处的切线方程为 ．
13.在的二项式中，所有的二项式系数之和为，则常数项等于______．
14.已知随机变量的分布列为：
其中，，若，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
有 名男生和名女生排成一排，下列各种情况分别有多少种排法？
Ⅰ 男生甲不站排头和排尾．
Ⅱ 两名女生必须相邻．
Ⅲ 甲、乙、丙三名同学两两不相邻．
Ⅳ 甲不站排头，乙不站排尾．
16.本小题分
已知函数．
当时，求函数在上的极值；
当时，求函数的单调区间．
17.本小题分
在一个盒子中有大小与质地相同的个球，其中个红球，个白球，两人依次不放回地各摸个球，求：
在第一个人摸出个红球的条件下，第二个人摸出个白球的概率；
第一个人摸出个红球，且第二个人摸出个白球的概率．
18.本小题分
某学校对参加“社会实践活动”的全体志愿者进行学分考核，因该批志愿者表现良好，学校决定考核只有合格和优秀两个等次，若某志愿者考核我合格，授予个学分；考核为优秀，授予个学分，假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为，他们考核所得的等次相互独立．
求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率；
记在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望．
19.本小题分
已知函数．
若，求在上的最大值和最小值；
若，当时，证明：恒成立；
若函数在处的切线与直线：垂直，且对任意的恒成立，求的最大整数值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：Ⅰ甲不站排头也不站排尾，
甲要站在除去排头和排尾的四个位置，
余下的五个位置使五个元素全排列，
根据分步计数原理知共有种；
Ⅱ 两名女生必须相邻，利用捆绑法，有种；
Ⅲ甲、乙、丙不相邻，
可以采用甲，乙和丙插空法，
首先排列除去甲，乙和丙之外的三个人，有种结果，
再在三个元素形成的四个空中排列个元素，共有，
根据分步计数原理知共有种．
Ⅳ 甲不站排头，乙不站排尾．利用间接法，可得有种．
16.因为函数，
所以，当时，函数，其定义域为，则，
令，解得，
当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
所以在上的极小值为，无极大值；
当时，函数，其定义域为，
则，
令，解得或，
当，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
综上：的单调递增区间为，，单调递减区间为．
17.解：设事件表示：第一个人摸出红球，表示：第二个人摸出白球，
第一个人摸出个红球后，盒子中还有个球，其中个红球，个白球，
故在第一个人摸出个红球的条件下，第二个人摸出个白球的概率；
设事件表示：第一个人摸出红球，表示：第二个人摸出白球，
事件：第一个人摸出个红球，且第二个人摸出个白球即事件，
所以．
18.解：记“甲考核为优秀”为事件，“乙考核为优秀”为事件，
“丙考核为优秀”为事件，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件．
则
．
由题意，得的可能取值是，，，．
因为，
，
，
，
所以的分布列为：
．
19.解：当时，，，
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
故在上的递减区间为，递增区间为，
函数的极小值是唯一的极小值，无极大值．
又，
在上的最大值是，最小值是；
证明：当时，令，
．
当时，，则在上单调递增，
当时，，恒成立．
解：函数的图象在处的切线与直线：垂直，
，即，解得，
．
对，恒成立，
对，恒成立．
设，则，
令，得．
当，即时，，，在上单调递增，
，符合题意．
当，即时，
由，得；由，得，
函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
，需，得．
当时，，成立；当时，，不成立；当时，都不成立，
实数的最大整数值为．
综上，实数的最大整数值为．
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