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2024-2025学年广东省揭阳市普宁市国贤学校等多校高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.为了了解某县中小学生课外阅读时间情况，拟从该县的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该县小学、初中、高中三个学段学生的课外阅读时间存在较大差异，而男、女生的阅读时间差异不大，则最合理的抽样方法是( )
A. 按性别分层随机抽样 B. 按学段分层随机抽样
C. 抽签法 D. 随机数表法
3.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
4.某校高三年级共有人，其中男生人，女生人，某次考试结束后，学校采用按性别分层随机抽样的方法抽取容量为的样本，已知样本中男生比女生人数多人，则( )
A. B. C. D.
5.已知，，，是平面内不同的四点，设甲：；乙：四边形为平行四边形，则( )
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
6.已知复数，在复平面内所对应的点分别为，，且，则( )
A. B. C. D.
7.记的内角，，的对边分别为，，，已知，边上的高为，，则的周长为( )
A. B. C. D.
8.设复数，则的个位数字是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.从某市参加升学考试的学生中随机抽查名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是( )
A. 总体指的是该市参加升学考试的全体学生的数学成绩
B. 样本是指名学生的数学成绩
C. 样本量指的是名学生
D. 个体指的是该市参加升学考试的每一名学生的数学成绩
10.已知非零复数，，其中为纯虚数，则( )
A. 若，则为纯虚数
B. 若与互为共轭复数，则
C. 若，且为纯虚数，则
D. 若，则的虚部为
11.在中，，，，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 的面积为 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.欧拉公式其中为虚数单位是由瑞士数学家欧拉发现的若复数，则的实部为______．
13.要考察某公司生产的克袋装牛奶的质量是否达标，现从袋牛奶中抽取袋进行检验，将它们编号为，，，，，利用随机数表抽取样本，从第行第列的数开始，按位数依次向右读取，到行末后接着从下一行第一个数继续则抽取的第袋牛奶的标号是 ．
下面摘取了某随机数表的第行至第行
14.在中，，，，为的三等分点靠近点，则的值是______；设点是线段上的动点，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，且，求；
已知是关于的方程的一个根，求实数，的值．
16.本小题分
已知向量，，．
互为_____；直接填写所有符合题意的序号
相等向量；相反向量；共线向量；平行向量．
证明中你所选择的结论；
判断能否作为表示这一平面内所有向量的一组基底向量，并说明理由．
17.本小题分
如图所示，在平行四边形中，点是的中点，点，分别是，的三等分点，设，．
用，表示，；
如果且，求的余弦值．
18.本小题分
已知海面上，两点处置有距离为海里的两个灯塔，游船在点时，与，两点处灯塔的距离均为海里游船航行一段距离后，从两灯塔间穿过并抵达点，此时在点处灯塔测得．
若，两点的距离为海里，求的长度；
求，两点距离的取值范围．
19.本小题分
已知为方程的一个解，设，在复平面内对应的点分别为，，坐标原点为，为第一象限内一点．
求；
设与交于点，求的值；
中，为延长线上的一点，记，，所对应的复数分别为，，，且，求的值．
参考答案
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14.
15.解：：由且，得，所以．
由于是方程一根，则
即：，
所以，，
解得，，．
16.；
共线向量即平行向量，
对于，，有，
所以存在实数使得，即互为共线向量；
能，理由如下：
不共线的两个向量可以作为表示这一平面内所有向量的一组基底向量，
假设存在实数，，使得，
展开得，可得方程组，
解得，故当且仅当时，成立，因此向量不共线，
可以作为表示这一平面内所有向量的一组基底向量．
17.解：点是的中点，点，分别是，的三等分点，，，
；
，
且，
，
，
故的余弦值为．
18.解：由题意知，，，
故为以为直角顶点的等腰直角三角形，
故，
又因为，
且由题意得，分布于直线两侧，
所以，
有，
由余弦定理可得，
解得海里；
由题意知点始终位于以为起点的射线上，记该射线为，
由的条件下，
故此时，即，
所以此时的长度即为，两点距离的最小值；
由于游船从两灯塔间穿过，
即与存在异于端点的交点，设为点．
由正弦定理得，在中，，
即，
其中为定值，
故增大时，减小，
又因为，
因为，，
所以，
故，
因为，
所以，
故海里．
19.为方程的一个解，
设，在复平面内对应的点分别为，，
坐标原点为，为第一象限内一点，
由方程，解得，
在第一象限，，则点坐标为，
由复数几何意义可得，，
，，
．
与交于点，设，其中，
设点，则，
故，即，，
又，，
与共线，，
即，，
解得，．
中，为延长线上的一点，
记，，所对应的复数分别为，，，
由，可得，
又点对应的复数为，，所对应的复数分别为，，
是的外角平分线，
过作交的延长线于，可得平分，
又，，
，，，
，，
，．
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