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2024-2025学年云南省玉溪市民族中学高二（下）期末数学试卷（A卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知为等比数列的前项和，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知抛物线：的焦点为，其准线与双曲线的两条渐近线分别交于点、，若为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
4.设，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知角，则“为第二象限角”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.我国古代劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，例如“日落云里走，雨在半夜后”某同学为了验证该谚语的准确性，随机观察了他所在地区的天日落情况和后半夜天气，得到如下列联表：
日落云里走 后半夜天气 总计
下雨 未下雨
出现
未出现
总计
经计算，则下列对该地区天气的判断不正确的是( )
A. 在样本数据中，后半夜下雨的概率约为
B. 若出现“日落云里走”，则后半夜未下雨的概率约为
C. 有的把握认为“日落云里走”是否出现与当晚后半夜是否下雨有关
D. 根据独立性检验计算可知，若出现“日落云里走”，则有的把握认为后半夜会下雨
7.定义数列的“匀称值”为，若的匀称值，则( )
A. B. C. D.
8.定义在上的函数满足，是偶函数，且，则使成立的最小正整数等于( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于的展开式，下列结论正确的是( )
A. 第项为 B. 的系数为
C. 各项系数和为 D. 二项式系数的和为
10.已知函数，，则( )
A. 若存在两个零点，，则
B. 若仅有一解，则
C. 用表示不大于的最大整数，若，则
D. 若方程无解，则的取值范围是
11.已知过原点的直线交圆：于，两点，则下列说法正确的是( )
A. 若直线的方程为，且，则
B. 若，为圆上的任意两点，当时，的最大值为
C. 若原点在圆外，则
D. 当时，中点的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设随机变量服从两点分布，若，则______，______．
13.在中，，则 ______；若，点在线段上，则的最大值为______．
14.已知函数，为的导函数，给出下列三个结论：
在区间上单调递增；
在区间上有极小值；
在区间上有两个零点．
其中所有正确结论的序号是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数满足，函数．
求函数的解析式；
若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．
16.本小题分
近年中国新能源汽车进入高速发展时期，年中国新能源汽车销售量已超过万辆，继续领跑全球某市场部为了解广大消费者购买新能源汽车和燃油汽车的情况，从某市众多店中任意抽取个作为样本，对其在月份的新能源汽车、燃油汽车销售量单位：辆进行调查统计结果如下：
店 店 店 店 店 店 店 店
新能源汽车销售量
燃油汽车销售量
Ⅰ若从该市众多门店中随机抽取个，估计该门店月份新能源汽车销售量超过燃油汽车销售量的概率；
Ⅱ若从样本门店中随机抽取个，其中月份新能源汽车销售量不低于辆的门店个数记为，求的分布列和数学期望；
Ⅲ新能源汽车销售量和燃油汽车销售量的样本方差分别记为和试比较和的大小结论不要求证明
17.本小题分
如图，四棱锥的侧面是正三角形，底面是正方形，且侧面底面，，为侧棱的中点．
求证：平面；
求三棱锥的体积．
18.本小题分
已知在等差数列和等比数列中，，，等差数列的前项和为，从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使满足条件的数列和存在，并解答下列问题．
条件：；
条件：，，成等差数列；
条件：，，成等比数列．
Ⅰ求数列，的通项公式；
Ⅱ若数列的通项公式为，求数列的前项和的最小值，以及此时数列的前项和的值．
19.本小题分
已知直线：与圆：相切．
求的值；
已知椭圆：在点处的切线方程为，若直线与椭圆相交于，两点，分别过，作椭圆的切线，两条切线相交于点，求点的轨迹方程；
是否存在这样的二次曲线：，当直线与曲线有两个交点，时，总有？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.根据题意，函数满足，，
用换，可得，
得，
所以．
根据题意，若存在，使得不等式成立，
设，
若，则，
则存在，使，即，变形可得，
因为，所以，
当时，取得最大值，
所以，即的取值范围是．
16.Ⅰ由题可知：家门店中新能源汽车销售量超过燃油汽车销售量的有家，分别是：门店，门店，
所以若从该市众多门店中随机抽取个，估计该门店月份新能源汽车销售量超过燃油汽车销售量的概率；
Ⅱ月份新能源汽车销售量不低于辆的门店个数为，分别是：门店，门店，门店，
从样本门店中随机抽取个，月份新能源汽车销售量不低于辆的门店个数记为，
则的所有可能取值为：，，，，
所以，，，，
所以的分布列为：
所以；
Ⅲ新能源汽车销售量的样本平均数为，
新能源汽车销售量的样本方差，
燃油汽车销售量的样本平均数为，
燃油汽车销售量的样本方差，
所以．
17.证明：如图，连接交于，连接，
因为底面是正方形，所以为中点，又为侧棱的中点，
所以，又平面，平面，
所以平面；
取的中点为，连接，
易知，且，
又平面底面，平面底面，
所以平面，
所以三棱锥的体积为：
．
18.Ⅰ选择条件：
设的公差为，的公比为，
，，
，即，
解得或舍去，
，．
选择条件：设的公差为，的公比为，
由题可得：，
，
即，
即，
解得或舍去，
，．
选择条件：
设的公差为，的公比为，
由题可得：，
，
即，
解得，舍去或舍去，
故选择条件时，不存在满足条件的数列和；
Ⅱ由Ⅰ知．
设的前项和为，的前项和为，
则，
，
由二次函数的性质可知：当时，的最小值为，
数列的前项和为．
19.解：因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离，
则；
设，，，
可得椭圆在点处的切线方程为，
因为点在切线上，
所以，
同理得，
由得，都在直线上，
所以直线方程为，
因为圆与直线相切，
所以点到直线的距离，
所以，
因为点具有任意性，
则点的轨迹方程为；
假设存在曲线满足条件，设，，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得．
因为，
所以
恒成立．
故所以存在曲线，且．
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