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2024-2025学年陕西省渭南中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设命题：，则为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.设是函数的导函数，则( )
A. B. C. D.
3.已知命题：，，命题：，，则( )
A. 是假命题，是真命题 B. 是真命题，是假命题
C. 和都是真命题 D. 和都是假命题
4.曲线在处的切线的斜率为( )
A. B. C. D.
5.已知函数的图象如图，则的解析式可能为( )
A.
B.
C.
D.
6.已知等比数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数的定义域为，则“对任意，存在，使得”是“函数的值域为”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需要时间单位：小时，其中为常数，在此条件下，已知训练数据量从个单位增加到个单位时，训练时间增加小时；当训练数据量从个单位增加到个单位时，训练时间增加单位：小时( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知实数，满足，，则( )
A. B. C. D.
10.设，下列各项中，不能推出的项有( )
A. ，且 B. ，且
C. ，且 D. ，且
11.已知是定义在上的奇函数，且当时，，则( )
A. 当时，
B. 函数有个零点
C. 是的极小值点
D. 存在实数，使得方程有且仅有个实数根
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，则 ______．
13.设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列记集合，若为递增数列，为递减数列，则中最多有______个元素．
14.一个圆环直径为，通过金属链条、、、、、是圆上三等分点悬挂在处，圆环呈水平状态，并距天花板如图所示，为使金属链条总长最小，的长应为______
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求的单调区间；
若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值．
16.本小题分
设且，已知函数，，．
判断函数的奇偶性，并说明理由；
解关于的不等式．
17.本小题分
已知正实数，满足．
求的最大值；
若不等式有解，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知等差数列的前项和为，且，．
求数列的通项公式；
已知数列满足，
求数列的前项和；
若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
若，，求实数的取值范围；
证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.．
13.
14.
15.的定义域为，
又因为导函数
令，则或，令，解得，
因此函数的单调递增区间，，单调递减区间为，
根据第一问可知函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又因为，，
那么，解得，
因此函数，又因为，，
所以在区间上的最小值为．
16.函数是偶函数，
理由如下：，则有
解得，即函数的定义域为，
又，
则函数是偶函数．
由的结论，为偶函数，
令，，
由于，则，
而在上单调递增，在上单调递减，
对于，分种情况讨论：
当时，在上单调递增，在区间上单调递减，
若，则有且
解得，
此时不等式的解集为；
当时，在上单调递减，在区间上单调递增，
若，则有且解得，
此时不等式的解集为；
综上，当时，所求不等式的解集为；
当时，所求不等式的解集为．
17.解：，，，
，解得，
当且仅当即，时等号成立，
的最大值为．
，
当且仅当即，时，等号成立，
由题意得，
，解得，
的取值范围是．
18.等差数列的前项和为，设公差为，
由，，可得，，即，
解得，
；
由知，
，
，
，
；
由得，
设，则，
，数列是递增数列，
当为奇数时，恒成立，，，
当为偶数时，恒成立，，
实数的取值范围为．
19.因为函数的定义域为，
所以，若，，即，恒成立，
令，
则，，
因为，
所以当时，当时，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
即实数的取值范围为：；
证明：由可得对恒成立，且当且仅当时，
所以，即，
所以
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