资源简介

2024-2025学年四川省泸州市江阳区高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数，则函数的图象在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列的前项和为，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是( )
A. B.
C. D.
5.已知函数在处有极小值，则实数的值为( )
A. B. 或 C. D. 或
6.现将论语、孟子、大学、中庸、诗经本不同的书籍分发给甲、乙、丙人组，每人至少分得本，则不同的分发方式种数是( )
A. B. C. D.
7.月相是指天文学中对于地球上看到的月球被太阳照亮部分的称呼年，爱尔兰学者在大英博物馆所藏的一块巴比伦泥板上发现了一个记录连续天月相变化的数列，记为，其将满月等分成份，且表示第天月球被太阳照亮部分所占满月的份数例如，第天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第天为满月，即已知的第项到第项是公比为的等比数列，第项到第项是公差为的等差数列，且，均为正整数，则( )
A. B. C. D.
8.我国南宋数学家杨辉年所著的详解九章算法一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就在杨辉三角中，若去除所有为的项，依次构成数列，，，，，，，，，，则此数列的前项和为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.甲、乙、丙等人排成一列，下列说法正确的有( )
A. 若甲和乙相邻，共有种排法 B. 若甲不排第一个，共有种排法
C. 若甲与丙不相邻，共有种排法 D. 若甲在乙的前面，共有种排法
10.下列说法正确的是( )
A. 若，，则，的等比中项为
B. 若数列是等比数列，公比为，为其前项的和，则“”是“，”的充要条件
C. 若等比数列的前项和为，则，，也成等比数列
D. 在等差数列中，若，则成立
11.定义：在区间上，若函数是减函数，且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”根据定义可得( )
A. 在上是“弱减函数”
B. 在上是“弱减函数”
C. 若在上是“弱减函数”，则
D. 若在上是“弱减函数”，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某校安排甲、乙、丙三个班级同时到学校礼堂参加联欢晚会，已知甲班艺术生占比，乙班艺术生占比，丙班艺术生占比，学生自由选择座位，先到者先选，甲、乙、丙三个班人数分别占总人数的，若主持人随机从场下学生中选一人参与互动，选到的是艺术生且是甲班艺术生的概率为______．
13.某容积为的一个圆柱形封闭铁皮容器，为使制作一个此容器时消耗材料最少材料厚度不计该容器底面半径应设计为______．
14.关于的不等式恒成立，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知展开式中，第三项的二项式系数与第四项的二项式系数比为．
求的值；
求展开式中有理项的系数之和用数字作答
16.本小题分
已知等差数列的前项和为，且，．
求数列的通项公式；
若数列满足：，求数列前项的和．
17.本小题分
设实系数一元二次方程，有两根，，则方程可变形为，展开得，比较可以得到，这表明，任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比这就是我们熟知的一元二次方程的韦达定理．
设方程有三个根，，，则有
证明公式，即一元三次方程的韦达定理；
已知函数．
若且有个零点，求的取值范围；
若有两个零点，其中一个零点大于，另一个零点大于且小于，求的取值范围．
18.本小题分
已知数列的首项，且满足．
求证：数列为等比数列；
求数列前项和为；
设，在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和，证明：．
19.本小题分
已知函数，．
判断是否成立，并给出理由；
证明：当时，；
证明：当时，．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.依题意，展开式的通项公式，显然第三项的二项式系数为，第四项的二项式系数系数为，
因此，解得，
所以的值为．
由知，当，，时，对应的项是有理项，
当时，展开式中对应的有理项为，
当时，展开式中对应的有理项为，
当时，展开式中对应的有理项为；
所以展开式中有理项的系数之和为．
16.设等差数列的公差为，由，，
可得，即，又，
解得，
则；
，
则．
17.证明：方程有三个根，，，
方程，即为，
即，
，；
证明：有两个零点，
有一个二重根，一个一重根，且，
由可得，
由，可得．
由，可得，，
联立上两式可得，解得，
又，，，
综上，．
解：由可得，
，
令，，，则，
，当时，，
在上单调递增，，
．
18.证明：由，且满足，
可得，
即有，
可得数列是首项为，公比为的等比数列；
由可得，即，
则；
证明：，
在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，
记这个等差数列的公差为，可得，
，
，
，
两式相减可得，
化为，
由递增，可得，且，可得，
则．
19.解：成立，理由如下：
令，，
令，则，
所以在上单调递增，
所以，即，所以在上单调递增，
所以，所以成立．
证明：当时，要证，
即证，
令，其中，
则需要证明，
，
令，则函数在上单调递增，
所以当时，，
所以，所以在上单调递减，
所以，故，
所以当时，．
由知：，，
所以，
所以
．
第1页，共1页

展开更多......

收起↑