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2024-2025学年黑龙江省牡丹江第二高级中学高二（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知变量与负相关，且由观测数据算得样本平均数，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( )
A. B. C. D.
3.已知，则的最小值为( )
A. B. C. D.
4.若的展开式中常数项等于，则其展开式各项系数之和为( )
A. B. C. D.
5.已知函数，则单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
6.“”是“二次函数在区间上单调递增”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知，若，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
8.是定义在上的奇函数，当时，有恒成立，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的命题是( )
A. 已知随机变量服从正态分布，，则
B. 线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，，则
D. 若样本数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为
10.下列命题中，正确的命题是( )
A. 长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为现从每天玩手机不超过的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为
B. 在三位数中，形如“”的数叫做“对称凹数”，如：，，，则在所有三位数中共有个对称凹数
C. 北京年冬奥会即将开幕，北京某大学名同学报名到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去个场馆，每个场馆至少安排名志愿者，则不同的安排方法共有种
D. 用数字，，，，组成没有重复数字且比大的四位奇数共有个
11.已知函数是上的奇函数，，且当时，函数是上的偶函数，，且，则下列结论正确的是( )
A. 函数的图象关于直线对称
B. 是周期为的周期函数
C. 在上单调递增
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的定义域是______．
13.某种疾病的患病率为，患该种疾病且血检呈阳性的概率为，则已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为 ．
14.已知函数若存在，满足，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在处取得极值．
求函数的单调区间；
求函数在区间的最大值与最小值．
16.本小题分
已知函数．
当时，求不等式的解集；
若关于的不等式的解集为，求实数的值．
17.本小题分
近几年，技术加持的智能手机以下简称为手机逐渐成为市场新宠为了解顾客的购买意愿，某手机商城随机调查了位顾客购买手机的情况，得到数据如表：
购买手机 购买不带的手机 总计
男性顾客
女性顾客
总计
依据小概率值的独立性检验，能否认为购买手机与顾客的性别有关？
为提升手机的销量，该手机商城针对购买手机的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：共设一、二等奖两种奖项，分别奖励元、元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为，，其余情况不获奖金；每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立，记某购买手机的顾客两次所获得奖金之和为元，求的分布列和数学期望．
参考公式：，．
18.本小题分
年月日中华人民共和国教育部正式发布关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见，简称“双减”政策．某校为了解该校小学生在“双减”政策下课外活动的时间，随机抽查了名小学生，统计了他们参加课外活动的时间，并绘制了如下的频率分布直方图．如图所示．
由频率分布直方图估计该组数据的中位数和平均数同一组中的数据用该组区间的中点值代替；
由频率分布直方图可认为：课外活动时间分钟服从正态分布，其中为课外活动时间的平均数．用频率估计概率，在该校随机抽取名学生，记课外活动时间在内的人数为，求的数学期望精确到．
参考数据：当服从正态分布时，，，．
19.本小题分
已知函数．
当时，求在处的切线的倾斜角；
若是函数的极值点，
求实数的值；
设函数证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意得，
则，解得，
故，定义域为，
，令得，令得或，故在，上单调递增，在上单调递减，此时为极小值点，符合题意，
所以单调递增区间为，，单调递减区间为．
由知，在，上单调递增，在上单调递减，
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以，．
又，，
故的最大值为，最小值为．
16.时，由，得，
所以，解得或．
所以不等式的解集为或；
由，得，
因为不等式的解集为，
且方程的两个根为和，
所以，或，解得，
所以实数的值为．
17.解：零假设：购买手机与顾客的性别无关，
则，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即能认为购买手机与顾客的性别有关；
因为抽中一、二等奖的概率分别为，，
所以抽不到奖的概率为，
由题意可知，的所有可能取值为，，，，，
则，
，
，
，
，
所以的分布列为：


所以．
18.解：由图可知，该组数据中位数位于第四组，
设中位数为，
则，解得，
平均数为：．
，，
，，
所以，
由题意可知，，
故E．
19.由题设函数，那么导函数，因此切线斜率，
因此结合直线倾斜角的范围，易知函数在处的切线的倾斜角为．
根据题设函数，那么导函数，
根据，那么，因此函数且，
令函数，
那么导函数，
因此函数在上单调递减，且，
因此时，导函数，函数在上单调递增，
时，导函数，函数在上单调递减，
因此是函数的极值点，因此；
证明：函数，那么且，
当时，，此时，即证，
当时，，此时，即证，
综上，只需证明在且上恒成立，
令，，则，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
所以，故F得证．
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