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一、不等式及其性质
　　理解不等式的概念，掌握不等式的性质.不等式及其性质贯穿整个高中数学，只要是涉及到范围的问题，都和不等式有关.
【例1】　（1）（多选）下列命题正确的有（　　）
A.若a＞1，则＜1
B.对任意实数a，都有a2≥a
C.若ac2＞bc2，则a＞b
D.若a＞b＞0，c＜d＜0，则＞
（2）已知－1＜x＜4，2＜y＜3.试求x－y与3x＋2y的取值范围.
反思感悟
不等式及其性质的2个关注点
（1）作差法是比较两个实数大小的基本方法；
（2）应用不等式的基本性质可以证明不等式，但一定要注意应用条件；当判断不等式是否成立时，常选择特殊值法.
二、基本不等式
　　能利用基本不等式求函数的最值并能证明简单的不等式，掌握基本不等式的一些常见变形.
【例2】　（1）已知－1＜x＜3，则y＝（1＋x）（3－x）的最大值是　　　　；
（2）已知x＞1，且x－y＝1，则x＋的最小值是　　　　.
反思感悟
利用基本不等式解题的关注点
（1）前提：“一正”“二定”“三相等”；
（2）配凑：要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式；
（3）方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是配凑法.
三、一元二次不等式的解法
　　通过函数图象了解一元二次不等式与相应方程、函数的联系，掌握一元二次不等式及分式不等式的解法.
【例3】　（1）（多选）若关于x的不等式ax2－bx＋c＜0的解集为（－3，4），则（　　）
A.a＞0 B.a＋b＝0
C.12a＋c＝0 D.b2－4ac＝49a2
（2）解下列关于x的不等式：
①－x2＋5x－4＞0；
②≥－2；
③m2x2＋2mx－3＜0.
反思感悟
一元二次不等式的解集问题
（1）不含参数的一元二次不等式的解集受a的符号、b2－4ac的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系；
（2）含有参数的一元二次不等式的求解，常就“二次项系数”“判别式Δ”“两个根的大小”对参数进行讨论.
四、构建数学模型解决实际问题
　　不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，根据题设条件构建数学模型是解题关键.
【例4】　（1）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时）与车流速度v（假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒）、平均车长l（单位：米）的值有关，其公式为F＝.若平均车长l＝6.05，则最大车流量为　　　　辆/时；
（2）国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨.按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元（称作税率为8个百分点，即8%）.为了减轻农民负担，制定积极的收购政策.根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点.试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
反思感悟
解决实际问题的关注点
（1）审题要准，初步建模；
（2）设出变量，列出函数关系式；
（3）根据题设构造二次函数或基本不等式的形式解决问题.
章末复习与总结
【例1】　（1）AC　对于A，因为a＞1，所以＜1，故A正确；对于B，可取a＝，则a2＜a，故B错误；对于C，因为ac2＞bc2，所以c2＞0，所以a＞b，故C正确；对于D，若a＞b＞0，c＜d＜0，则有a－c＞b－d＞0，所以＜，若e＜0，不等式成立，若e≥0则不等式不成立，故D错误.
（2）解：因为－1＜x＜4，2＜y＜3，
所以－3＜－y ＜－2，所以－4＜x－y＜2.
由－1＜x＜4，2＜y＜3，可得－3＜3x＜12，4＜2y＜6，所以1＜3x＋2y＜18.
【例2】　（1）4　（2）3　解析：（1）法一　∵－1＜x＜3，∴1＋x＞0，3－x＞0，∴≤＝2.∴（1＋x）（3－x）≤4，当且仅当1＋x＝3－x，即x＝1时取等号.
法二　∵y＝（1＋x）（3－x）＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4，又∵－1＜x＜3，∴y≤4.
（2）∵x＞1，∴x－1＞0.又y＝x－1，∴x＋＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时，等号成立，则x＋的最小值是3.
【例3】　（1）ACD　由不等式ax2－bx＋c＜0的解集为（－3，4），可得a＞0，且x1＝－3，x2＝4是一元二次方程ax2－bx＋c＝0的两个根，由根与系数的关系可得即b＝a，c＝－12a，即12a＋c＝0，a＋b＝2a＞0，b2－4ac＝a2＋48a2＝49a2.故选A、C、D.
（2）解：①原不等式等价于x2－5x＋4＜0，
∵方程x2－5x＋4＝0的两根分别为x1＝1，x2＝4，
∴原不等式的解集为{x｜1＜x＜4}.
②不等式≥－2可化为＋2≥0，即≥0，
则原不等式等价于（x－11）（x－5）≥0且x－5≠0，解得x＜5或x≥11，
故≥－2的解集为{x｜x＜5或x≥11}.
③当m＝0时，－3＜0恒成立，解集为R.
当m≠0时，二次项系数m2＞0，Δ＝16m2＞0，不等式可化为（mx＋3）（mx－1）＜0.
当m＞0时，解不等式得－＜x＜，
当m＜0时，解不等式得＜x＜－.
∴当m＝0时不等式的解集为R；
当m＞0时，不等式的解集为{x｜－＜x＜}；
当m＜0时，不等式的解集为{x｜＜x＜－}.
【例4】　（1）1 900　解析：F＝≤＝1 900，当且仅当v＝11时等号成立.
（2）解：设税率调低后，国家此项税收总收入为y元，
则y＝2 400m（1＋2x%）（8－x）%＝－m（x2＋42x－400）（0＜x≤8）.
依题意得y≥2 400m×8%×78%，
即－m（x2＋42x－400）≥2 400m×8%×78%，整理得x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2.
根据x的实际意义，所以0＜x≤2.
故x的取值范围是{x｜0＜x≤2}.
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章末复习与总结
一、不等式及其性质
　　理解不等式的概念，掌握不等式的性质.不等式及其性质贯穿整
个高中数学，只要是涉及到范围的问题，都和不等式有关.
【例1】　（1）（多选）下列命题正确的有（　　）
B. 对任意实数 a ，都有 a2≥ a
C. 若 ac2＞ bc2，则 a ＞ b
解析：AC　对于A，因为 a ＞1，所以 ＜1，故A正确；对于
B，可取 a ＝ ，则 a2＜ a ，故B错误；对于C，因为 ac2＞ bc2，
所以 c2＞0，所以 a ＞ b ，故C正确；对于D，若 a ＞ b ＞0， c ＜ d
＜0，则有 a － c ＞ b － d ＞0，所以 ＜ ，若 e ＜0，不等式
成立，若 e ≥0则不等式不成立，故D错误.
解析： 　对于A，因为 a ＞1，所以 ＜1，故A正确；对于
B，可取 a ＝ ，则 a2＜ a ，故B错误；对于C，因为 ac2＞ bc2，
所以 c2＞0，所以 a ＞ b ，故C正确；对于D，若 a ＞ b ＞0， c ＜ d
＜0，则有 a － c ＞ b － d ＞0，所以 ＜ ，若 e ＜0，不等式
成立，若 e ≥0则不等式不成立，故D错误.
（2）已知－1＜ x ＜4，2＜ y ＜3.试求 x － y 与3 x ＋2 y 的取值范围.
解：因为－1＜ x ＜4，2＜ y ＜3，
所以－3＜－ y ＜－2，所以－4＜ x － y ＜2.
由－1＜ x ＜4，2＜ y ＜3，可得－3＜3 x ＜12，4＜2 y ＜6，所以1
＜3 x ＋2 y ＜18.
反思感悟
不等式及其性质的2个关注点
（1）作差法是比较两个实数大小的基本方法；
（2）应用不等式的基本性质可以证明不等式，但一定要注意应用条
件；当判断不等式是否成立时，常选择特殊值法.
二、基本不等式
　　能利用基本不等式求函数的最值并能证明简单的不等式，掌握基
本不等式的一些常见变形.
【例2】　（1）已知－1＜ x ＜3，则 y ＝（1＋ x ）（3－ x ）的最大值
是 ；
4　
解析： 法一　∵－1＜ x ＜3，∴1＋ x ＞0，3－ x ＞0，
∴ ≤ ＝2.∴（1＋ x ）（3
－ x ）≤4，当且仅当1＋ x ＝3－ x ，即 x ＝1时取等号.
法二　∵ y ＝（1＋ x ）（3－ x ）＝－ x2＋2 x ＋3＝－（ x －1）2＋4，
又∵－1＜ x ＜3，∴ y ≤4.
（2）已知 x ＞1，且 x － y ＝1，则 x ＋ 的最小值是 .
3　
解析： ∵ x ＞1，∴ x －1＞0.又 y ＝ x －1，∴ x ＋ ＝ x ＋ ＝ x －1＋
＋1≥2 ＋1＝3，当且仅当 x ＝2时，等号成立，则
x ＋ 的最小值是3.
反思感悟
利用基本不等式解题的关注点
（1）前提：“一正”“二定”“三相等”；
（2）配凑：要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形
式，然后再利用基本不等式；
（3）方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换
的方法；三是配凑法.
三、一元二次不等式的解法
　　通过函数图象了解一元二次不等式与相应方程、函数的联系，掌
握一元二次不等式及分式不等式的解法.
【例3】　（1）（多选）若关于 x 的不等式 ax2－ bx ＋ c ＜0的解集为
（－3，4），则（　　）
A. a ＞0 B. a ＋ b ＝0
C. 12 a ＋ c ＝0 D. b2－4 ac ＝49 a2
解析：ACD　由不等式 ax2－ bx ＋ c ＜0的解集为（－3，4），
可得 a ＞0，且 x1＝－3， x2＝4是一元二次方程 ax2－ bx ＋ c ＝0
的两个根，由根与系数的关系可得即 b ＝ a ， c ＝
－12 a ，即12 a ＋ c ＝0， a ＋ b ＝2 a ＞0， b2－4 ac ＝ a2＋48 a2＝
49 a2.故选A、C、D.
解析： 　由不等式 ax2－ bx ＋ c ＜0的解集为（－3，4），
可得 a ＞0，且 x1＝－3， x2＝4是一元二次方程 ax2－ bx ＋ c ＝0
的两个根，由根与系数的关系可得即 b ＝ a ， c ＝
－12 a ，即12 a ＋ c ＝0， a ＋ b ＝2 a ＞0， b2－4 ac ＝ a2＋48 a2＝
49 a2.故选A、C、D.
（2）解下列关于 x 的不等式：
①－ x2＋5 x －4＞0；
② ≥－2；
③ m2 x2＋2 mx －3＜0.
解：①原不等式等价于 x2－5 x ＋4＜0，
∵方程 x2－5 x ＋4＝0的两根分别为 x1＝1， x2＝4，
∴原不等式的解集为{ x ｜1＜ x ＜4}.
②不等式 ≥－2可化为 ＋2≥0，即 ≥0，
则原不等式等价于（ x －11）（ x －5）≥0且 x －5≠0，解得 x ＜
5或 x ≥11，
故 ≥－2的解集为{ x ｜ x ＜5或 x ≥11}.
③当 m ＝0时，－3＜0恒成立，解集为R.
当 m ≠0时，二次项系数 m2＞0，Δ＝16 m2＞0，不等式可化为
（ mx ＋3）（ mx －1）＜0.
当 m ＞0时，解不等式得－ ＜ x ＜ ，
当 m ＜0时，解不等式得 ＜ x ＜－ .
∴当 m ＝0时不等式的解集为R；
当 m ＞0时，不等式的解集为{ x ｜－ ＜ x ＜ }；
当 m ＜0时，不等式的解集为{ x ｜ ＜ x ＜－ }.
反思感悟
一元二次不等式的解集问题
（1）不含参数的一元二次不等式的解集受 a 的符号、 b2－4 ac 的符号
的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系；
（2）含有参数的一元二次不等式的求解，常就“二次项系数”“判
别式Δ”“两个根的大小”对参数进行讨论.
四、构建数学模型解决实际问题
　　不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的
优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，根
据题设条件构建数学模型是解题关键.
【例4】　（1）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车
流量 F （单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时）与车流速度
v （假设车辆以相同速度 v 行驶，单位：米/秒）、平均车长 l （单位：
米）的值有关，其公式为 F ＝ .若平均车长 l ＝6.05，则最
大车流量为 辆/时；
1 900　
解析： F ＝ ≤ ＝1 900，当且仅当 v ＝11时
等号成立.
（2）国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品 m 吨.按规定，
农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元（称作税率为8个百分
点，即8%）.为了减轻农民负担，制定积极的收购政策.根据市
场规律，税率降低 x 个百分点，收购量能增加2 x 个百分点.试确
定 x 的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划
的78%.
解：设税率调低后，国家此项税收总收入为 y 元，
则 y ＝2 400 m （1＋2 x %）（8－ x ）%＝－ m （ x2＋42 x －
400）（0＜ x ≤8）.
依题意得 y ≥2 400 m ×8%×78%，
即－ m （ x2＋42 x －400）≥2 400 m ×8%×78%，
整理得 x2＋42 x －88≤0，解得－44≤ x ≤2.
根据 x 的实际意义，所以0＜ x ≤2.
故 x 的取值范围是{ x ｜0＜ x ≤2}.
反思感悟
解决实际问题的关注点
（1）审题要准，初步建模；
（2）设出变量，列出函数关系式；
（3）根据题设构造二次函数或基本不等式的形式解决问题.
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