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章末检测（二）　一元二次函数、方程和不等式
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.不等式4＋3x－x2＜0的解集为（　　）
A.{x｜－1＜x＜4} B.{x｜x＜－1或x＞4} C.{x｜x＜－4或x＞1} D.{x｜－4＜x＜1}
2.若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是（　　）
A.A≤B B.A≥B C.A＜B或A＞B D.A＞B
3.已知－1≤a≤3，2≤b≤4，则2a－b的取值范围是（　　）
A.－6≤2a－b≤4 B.0≤2a－b≤10 C.－4≤2a－b≤2 D.－5≤2a－b≤1
4.“a＞0，b＞0”是“ab＜”的（　　）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.设a，b是两个实数，且a≠b，有如下三个式子：①a5＋b5＞a3b2＋a2b3，②a2＋b2≥2（a－b－1），③＋＞2.其中恒成立的有（　　）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
6.若x＞y＞1，则下列四个数中最小的数是（　　）
A. B. C. D.（＋）
7.已知a＞0，b＞0，则＋＋2的最小值是（　　）
A.2 B.2 C.4 D.5
8.某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－300x＋80 000，为使平均处理成本最低，该厂每月处理量应为（　　）
A.300吨 B.400吨 C.500吨 D.600吨
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.若正实数x，y满足x＞y，则下列结论中正确的有（　　）
A.xy＜y2 B.x2＞y2 C.＞1 D.＞
10.已知实数x，y满足x2＋y2＝1，则（1－xy）（1＋xy）有（　　）
A.最小值 B.最小值 C.最小值1 D.最大值1
11.已知关于x的不等式x2＋bx＋c＞0的解集为{x｜x＜－2或x＞3}，则下列说法正确的是（　　）
A.b＝－1
B.不等式bx＋c＞0的解集是{x｜x＜－6}
C.b＋c＝5
D.不等式cx2－bx＋1＜0的解集是{x｜x＜－或x＞}
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.若＜＜0，有下列结论：①＜；②｜a｜＋b＞3；③a－＞b－.其中正确的是　　　　.（填序号）
13.已知关于x的不等式（x－1）（x－2a）＞0（a∈R）的解集为集合A，集合B＝{x｜2＜x＜3}.若B A，则实数a的取值范围为　　　　.
14.若正数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值为　　　　.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：
（1）xy的最小值；
（2）x＋y的最小值.
16.（本小题满分15分）设命题p：方程x2＋（2m－4）x＋m＝0有两个不相等的实数根；命题q：对所有的2≤x≤3，不等式x2－4x＋13≥m2恒成立.
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题p，q一真一假，求实数m的取值范围.
17.（本小题满分15分）已知二次函数y＝x2－2tx＋t2－1（t∈R）.
（1）若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式x2－2tx＋t2－1≥0；
（2）若关于x的方程x2－2tx＋t2－1＝0的两个实数根均大于－2且小于4，求实数t的取值范围.
18.（本小题满分17分）某水产养殖户投资243万元建一个龙虾养殖基地，已知x年内付出的各种维护费用之和y满足二次函数y＝ax2＋c，且第一年付出的各种维护费用为3万元，第二年付出的各种维护费用为9万元，龙虾养殖基地每年收入90万元.
（1）扣除投资和各种维护费用，求该龙虾养殖基地从第几年开始获取纯利润；
（2）若干年后该水产养殖户为了投资其他项目，对该龙虾养殖基地有两种处理方案：
①年平均利润最大时，以138万元出售该龙虾养殖基地；
②纯利润总和最大时，以30万元出售该龙虾养殖基地.
问该水产养殖户会选择哪种方案？
19.（本小题满分17分）如图，ABDC为梯形，其中AB＝a，CD＝b，设O为对角线的交点.GH表示平行于两底且与它们等距离的线段（即梯形的中位线），KL表示平行于两底且使梯形ABLK与梯形KLDC相似的线段，EF表示平行于两底且过点O的线段，MN表示平行于两底且将梯形ABDC分为面积相等的两个梯形的线段.
（1）试研究线段GH，KL，EF，MN与代数式，，，之间的关系；
（2）推测（1）中代数式之间的一个大小关系；
（3）用基本不等式证明（2）中所得到的猜测.
章末检测（二）　一元二次函数、方程和不等式
1.B　不等式4＋3x－x2＜0可化为x2－3x－4＞0，即（x＋1）（x－4）＞0，解得x＜－1或x＞4.故所求不等式的解集为{x｜x＜－1或x＞4}.故选B.
2.B　∵A－B＝a2＋3ab－（4ab－b2）＝＋b2≥0，∴A≥B.
3.A　因为－1≤a≤3，2≤b≤4，可得－2≤2a≤6，－4≤－b≤－2，所以－2－4≤2a－b≤6－2，即－6≤2a－b≤4.
4.D　当a＞0，b＞0时，≥，即ab≤，当a＝b时，ab＜不成立，故充分性不成立；当ab＜时，a，b可以异号，故a＞0，b＞0不一定成立，故必要性不成立.综上，知“a＞0，b＞0”是“ab＜”的既不充分也不必要条件，故选D.
5.B　①a5＋b5－（a3b2＋a2b3）＝a3（a2－b2）＋b3（b2－a2）＝（a2－b2）（a3－b3）＝（a－b）2（a＋b）（a2＋ab＋b2）＞0不恒成立；②（a2＋b2）－2（a－b－1）＝a2－2a＋b2＋2b＋2＝（a－1）2＋（b＋1）2≥0恒成立；③＋＞2不恒成立.故选B.
6.D　因为x＞y＞1，所以＞＝1，＝＞＝1，＞1，（＋）＜（1＋1）＝1，所以四个数中最小的数是（＋）.
7.C　因为a＞0，b＞0，所以＋＋2≥2＋2≥4＝4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立.
8.B　由题意，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）的函数关系为y＝x2－300x＋80 000，所以平均处理成本为s＝＝＝＋－300，其中300≤x≤600，又＋－300≥2－300＝400－300＝100，当且仅当＝时等号成立，所以x＝400时，平均处理成本最低.故选B.
9.BC　∵x，y为正实数且x＞y，∴xy＞y2，故A错；∵x，y为正实数且x＞y，∴x－y＞0，x＋y＞0，∴（x－y）（x＋y）＝x2－y2＞0，即x2＞y2，故B正确；∵x，y为正实数且x＞y，∴·x＞·y，即＞1，故C正确；∵x，y为正实数且x＞y，∴x＞x－y＞0，∴＞，即＜，故D错误.
10.BD　∵x2y2≤（）2＝，当且仅当x2＝y2＝时，等号成立，∴0≤x2y2≤，∴≤1－x2y2≤1，即≤（1－xy）·（1＋xy）≤1.
11.ABD　∵关于x的不等式x2＋bx＋c＞0的解集为{x｜x＜－2或x＞3}，∴－2和3是方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根，∴根据根与系数的关系得，－b＝－2＋3，即b＝－1，故A中说法正确；又－2×3＝－6＝c，∴不等式bx＋c＞0可化为－x－6＞0，∴x＜－6，故B中说法正确；∴b＋c＝－7，故C中说法不正确；不等式cx2－bx＋1＜0为－6x2＋x＋1＜0，即6x2－x－1＞0，即（3x＋1）·（2x－1）＞0，解得x＞或x＜－，故D中说法正确.故选A、B、D.
12.①③　解析：因为＜＜0，所以a＜0，b＜0，所以＜0＜，所以①正确；当a＝－1，b＝－2时，满足＜＜0，但｜a｜＋b＝－1＜3，所以②错误；因为＜＜0，所以a＞b，－＞－，所以a－＞b－，所以③正确.
13.{a｜a≤1}　解析：关于x的不等式（x－1）（x－2a）＞0（a∈R）的解集为A.
①当2a＞1时，A＝{x｜x＜1或x＞2a}，∵B A，∴解得＜a≤1；
②当2a＝1，即a＝时，A＝{x｜x≠1}，此时B A，满足题意；
③当2a＜1时，A＝{x｜x＜2a或x＞1}，满足B A，由2a＜1，解得a＜.
综上可得实数a的取值范围为{a｜a≤1}.
14.　解析：已知正数a，b满足a＋b＝1，则（3a＋2）＋（3b＋2）＝7，所以＋＝·（＋）＝（＋＋2）≥（2＋2）＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立.因此，＋的最小值为.
15.解：（1）由2x＋8y－xy＝0，x＞0，y＞0，
得＋＝1.
∴1＝＋≥2＝，则xy≥64，
当且仅当即时，等号成立，此时（xy）min＝64.
（2）由2x＋8y－xy＝0，x＞0，y＞0，得＋＝1.
则x＋y＝（x＋y）＝10＋＋≥10＋2＝18，
当且仅当即时，等号成立，
此时（x＋y）min＝18.
16.解：（1）若命题p为真命题，即方程x2＋（2m－4）x＋m＝0有两个不相等的实数根，
则有Δ＝（2m－4）2－4m＝4m2－20m＋16＞0，
解得m＜1或m＞4.
∴实数m的取值范围为{m｜m＜1或m＞4}.
（2）若命题q为真命题，则对所有的2≤x≤3，不等式x2－4x＋13≥m2恒成立.
设y＝x2－4x＋13，则只需2≤x≤3时，m2≤ymin即可.
∵y＝x2－4x＋13＝（x－2）2＋9，2≤x≤3，
∴ymin＝9，∴m2≤9，解得－3≤m≤3.
∴当命题q为真命题时，实数m的取值范围为{m｜－3≤m≤3}.
∵命题p，q一真一假，
∴若命题p为真命题，命题q为假命题，
则有解得m＜－3或m＞4；
若命题p为假命题，命题q为真命题，则有
解得1≤m≤3.
综上所述，当命题p，q一真一假时，实数m的取值范围为{m｜m＜－3或1≤m≤3或m＞4}.
17.解：（1）∵二次函数y＝x2－2tx＋t2－1有两个互为相反数的零点，
∴方程x2－2tx＋t2－1＝0有两个互为相反数的实数根，设为x1，x2，∴x1＋x2＝0.
由根与系数的关系可得，x1＋x2＝2t＝0， 解得t＝0.
∵x2－2tx＋t2－1≥0，
∴x2－1≥0，解得x≥1或x≤－1.
∴该不等式的解集为{x｜x≥1或x≤－1}.
（2）∵Δ＝（－2t）2－4（t2－1）＝4t2－4t2＋4＝4＞0，
∴ t∈R，该方程总有两个不相等的实数根.
∵方程的两个实数根均大于－2且小于4，
∴解得－1＜t＜3.
∴实数t的取值范围是{t｜－1＜t＜3}.
18.解：（1）由已知得，当x＝1时，y＝3；当x＝2时，y＝12，即解得所以y＝3x2.
又投资243万元，x年共收入90x万元，
设x年共获得的纯利润为P万元，则P＝90x－3x2－243（x∈N*）.
令P＞0，即90x－3x2－243＞0，即x2－30x＋81＜0，解得3＜x＜27（x∈N*），
所以从第4年开始获取纯利润.
（2）方案①：年平均利润t＝＝90－3≤90－3×2＝36，当且仅当x＝9时，取等号，
所以当x＝9时，t取最大值36，此时以138万元出售该基地共获得利润36×9＋138＝462（万元）.
方案②：纯利润总和P＝90x－3x2－243＝－3（x－15）2＋432（x∈N*），
当x＝15时，纯利润总和最大，为432万元，
此时以30万元出售该基地共获得利润432＋30＝462（万元）.
两种方案盈利相同，但方案①时间较短，所以选择方案①.
19.解：（1）因为GH是梯形ABDC的中位线，
所以GH＝＝；
因为梯形ABLK与梯形KLDC相似，所以＝，
所以KL＝＝；
因为△AEO∽△ACD，△DOF∽△DAB，
所以＝，＝，
所以＋＝1，同理可得＋＝1，
所以OE＝OF＝.
所以EF＝，
设梯形MNDC，ABNM，ABDC的面积分别为S1，S2，S，高分别为h1，h2，h，
则S1＝S2＝S，（a＋b）h＝（b＋MN）h1＝（a＋MN）h2，
所以＋＝h，
所以（a＋b）（＋）＝1，
所以MN＝.
（2）由题图可知，EF＜KL＜GH＜MN，
即＜＜＜.
（3）证明：由题意，得a＞0，b＞0，a≠b，
显然＞，
＜＝，
因为a2＋b2＞2ab，
所以2（a2＋b2）＞（a＋b）2，
所以＜，
所以＜＜＜.
1 / 3(共40张PPT)
章末检测（二）　
一元二次函数、方程和不等式
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 不等式4＋3 x － x2＜0的解集为（　　）
A. { x ｜－1＜ x ＜4} B. { x ｜ x ＜－1或 x ＞4}
C. { x ｜ x ＜－4或 x ＞1} D. { x ｜－4＜ x ＜1}
解析： 　不等式4＋3 x － x2＜0可化为 x2－3 x －4＞0，即（ x ＋
1）（ x －4）＞0，解得 x ＜－1或 x ＞4.故所求不等式的解集为
{ x ｜ x ＜－1或 x ＞4}.故选B.
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2. 若 A ＝ a2＋3 ab ， B ＝4 ab － b2，则 A ， B 的大小关系是（　　）
A. A ≤ B B. A ≥ B
C. A ＜ B 或 A ＞ B D. A ＞ B
解析： 　∵ A － B ＝ a2＋3 ab －（4 ab － b2）＝ ＋
b2≥0，∴ A ≥ B .
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3. 已知－1≤ a ≤3，2≤ b ≤4，则2 a － b 的取值范围是（　　）
A. －6≤2 a － b ≤4 B. 0≤2 a － b ≤10
C. －4≤2 a － b ≤2 D. －5≤2 a － b ≤1
解析： 　因为－1≤ a ≤3，2≤ b ≤4，可得－2≤2 a ≤6，－4≤－
b ≤－2，所以－2－4≤2 a － b ≤6－2，即－6≤2 a － b ≤4.
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4. “ a ＞0， b ＞0”是“ ab ＜ ”的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
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解析： 　当 a ＞0， b ＞0时， ≥ ，即 ab ≤ ，当 a
＝ b 时， ab ＜ 不成立，故充分性不成立；当 ab ＜
时， a ， b 可以异号，故 a ＞0， b ＞0不一定成立，故必要性不成
立.综上，知“ a ＞0， b ＞0”是“ ab ＜ ”的既不充分也不
必要条件，故选D.
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5. 设 a ， b 是两个实数，且 a ≠ b ，有如下三个式子：① a5＋ b5＞ a3 b2
＋ a2 b3，② a2＋ b2≥2（ a － b －1），③ ＋ ＞2.其中恒成立的有
（　　）
A. 0个 B. 1个
C. 2个 D. 3个
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解析： 　① a5＋ b5－（ a3 b2＋ a2 b3）＝ a3（ a2－ b2）＋ b3（ b2－
a2）＝（ a2－ b2）（ a3－ b3）＝（ a － b ）2（ a ＋ b ）（ a2＋ ab ＋
b2）＞0不恒成立；②（ a2＋ b2）－2（ a － b －1）＝ a2－2 a ＋ b2＋
2 b ＋2＝（ a －1）2＋（ b ＋1）2≥0恒成立；③ ＋ ＞2不恒成立.
故选B.
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6. 若 x ＞ y ＞1，则下列四个数中最小的数是（　　）
A. B.
C. D. （ ＋ ）
解析： 　因为 x ＞ y ＞1，所以 ＞ ＝1， ＝ ＞
＝1， ＞1， （ ＋ ）＜ （1＋1）＝1，所以四个数中最小的
数是 （ ＋ ）.
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7. 已知 a ＞0， b ＞0，则 ＋ ＋2 的最小值是（　　）
A. 2 B. 2
C. 4 D. 5
解析： 　因为 a ＞0， b ＞0，所以 ＋ ＋2 ≥2 ＋2
≥4 ＝4，当且仅当 a ＝ b ＝1时，等号成立.
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8. 某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最
少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本 y （元）
与月处理量 x （吨）之间的函数关系可近似地表示为 y ＝ x2－300 x
＋80 000，为使平均处理成本最低，该厂每月处理量应为（　　）
A. 300吨 B. 400吨
C. 500吨 D. 600吨
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解析： 　由题意，月处理成本 y （元）与月处理量 x （吨）的函
数关系为 y ＝ x2－300 x ＋80 000，所以平均处理成本为 s ＝ ＝
＝ ＋ －300，其中300≤ x ≤600，又 ＋
－300≥2 －300＝400－300＝100，当且仅当 ＝
时等号成立，所以 x ＝400时，平均处理成本最低.故选B.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给
出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选
对的得部分分，有选错的得0分）
9. 若正实数 x ， y 满足 x ＞ y ，则下列结论中正确的有（　　）
A. xy ＜ y2 B. x2＞ y2
C. ＞1 D. ＞
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解析： 　∵ x ， y 为正实数且 x ＞ y ，∴ xy ＞ y2，故A错；∵ x ，
y 为正实数且 x ＞ y ，∴ x － y ＞0， x ＋ y ＞0，∴（ x － y ）（ x ＋
y ）＝ x2－ y2＞0，即 x2＞ y2，故B正确；∵ x ， y 为正实数且 x ＞
y ，∴ · x ＞ · y ，即 ＞1，故C正确；∵ x ， y 为正实数且 x ＞ y ，
∴ x ＞ x － y ＞0，∴ ＞ ，即 ＜ ，故D错误.
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10. 已知实数 x ， y 满足 x2＋ y2＝1，则（1－ xy ）（1＋ xy ）有（　　）
A. 最小值 B. 最小值
C. 最小值1 D. 最大值1
解析： 　∵ x2 y2≤（ ）2＝ ，当且仅当 x2＝ y2＝ 时，
等号成立，∴0≤ x2 y2≤ ，∴ ≤1－ x2 y2≤1，即 ≤（1－ xy ）
（1＋ xy ）≤1.
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11. 已知关于 x 的不等式 x2＋ bx ＋ c ＞0的解集为{ x ｜ x ＜－2或 x ＞
3}，则下列说法正确的是（　　）
A. b ＝－1
B. 不等式 bx ＋ c ＞0的解集是{ x ｜ x ＜－6}
C. b ＋ c ＝5
D. 不等式 cx2－ bx ＋1＜0的解集是{ x ｜ x ＜－ 或 x ＞ }
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解析： 　∵关于 x 的不等式 x2＋ bx ＋ c ＞0的解集为{ x ｜ x ＜
－2或 x ＞3}，∴－2和3是方程 x2＋ bx ＋ c ＝0的两个实数根，∴根
据根与系数的关系得，－ b ＝－2＋3，即 b ＝－1，故A中说法正
确；又－2×3＝－6＝ c ，∴不等式 bx ＋ c ＞0可化为－ x －6＞0，
∴ x ＜－6，故B中说法正确；∴ b ＋ c ＝－7，故C中说法不正确；
不等式 cx2－ bx ＋1＜0为－6 x2＋ x ＋1＜0，即6 x2－ x －1＞0，即
（3 x ＋1）·（2 x －1）＞0，解得 x ＞ 或 x ＜－ ，故D中说法正
确.故选A、B、D.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中
横线上）
12. 若 ＜ ＜0，有下列结论：① ＜ ；②｜ a ｜＋ b ＞3；③ a
－ ＞ b － .其中正确的是 .（填序号）
①③　
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解析：因为 ＜ ＜0，所以 a ＜0， b ＜0，所以 ＜0＜ ，所
以①正确；当 a ＝－1， b ＝－2时，满足 ＜ ＜0，但｜ a ｜＋ b
＝－1＜3，所以②错误；因为 ＜ ＜0，所以 a ＞ b ，－ ＞－
，所以 a － ＞ b － ，所以③正确.
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13. 已知关于 x 的不等式（ x －1）（ x －2 a ）＞0（ a ∈R）的解集为
集合 A ，集合 B ＝{ x ｜2＜ x ＜3}.若 B A ，则实数 a 的取值范围
为 .
解析：关于 x 的不等式（ x －1）（ x －2 a ）＞0（ a ∈R）的解集
为 A .
①当2 a ＞1时， A ＝{ x ｜ x ＜1或 x ＞2 a }，∵ B A ，∴
解得 ＜ a ≤1；
{ a ｜ a ≤1}　
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②当2 a ＝1，即 a ＝ 时， A ＝{ x ｜ x ≠1}，此时 B A ，满
足题意；
③当2 a ＜1时， A ＝{ x ｜ x ＜2 a 或 x ＞1}，满足 B A ，由2 a ＜
1，解得 a ＜ .
综上可得实数 a 的取值范围为{ a ｜ a ≤1}.
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14. 若正数 a ， b 满足 a ＋ b ＝1，则 ＋ 的最小值为 　 　.
解析：已知正数 a ， b 满足 a ＋ b ＝1，则（3 a ＋2）＋（3 b ＋2）
＝7，所以 ＋ ＝ ·（ ＋ ）＝
（ ＋ ＋2）≥ （2 ＋2）＝ ，当且仅当 a
＝ b ＝ 时，等号成立.因此， ＋ 的最小值为 .
　
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）已知 x ＞0， y ＞0，且2 x ＋8 y － xy ＝0，求：
（1） xy 的最小值；
解： 由2 x ＋8 y － xy ＝0， x ＞0， y ＞0，得 ＋ ＝1.
∴1＝ ＋ ≥2 ＝ ，则 xy ≥64，
当且仅当即时，等号成立，
此时（ xy ）min＝64.
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（2） x ＋ y 的最小值.
解： 由2 x ＋8 y － xy ＝0， x ＞0， y ＞0，得 ＋ ＝1.
则 x ＋ y ＝ （ x ＋ y ）＝10＋ ＋ ≥10＋2
＝18，
当且仅当即时，等号成立，
此时（ x ＋ y ）min＝18.
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16. （本小题满分15分）设命题 p ：方程 x2＋（2 m －4） x ＋ m ＝0有
两个不相等的实数根；命题 q ：对所有的2≤ x ≤3，不等式 x2－4 x
＋13≥ m2恒成立.
（1）若命题 p 为真命题，求实数 m 的取值范围；
解： 若命题 p 为真命题，即方程 x2＋（2 m －4） x ＋ m
＝0有两个不相等的实数根，
则有Δ＝（2 m －4）2－4 m ＝4 m2－20 m ＋16＞0，
解得 m ＜1或 m ＞4.
∴实数 m 的取值范围为{ m ｜ m ＜1或 m ＞4}.
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（2）若命题 p ， q 一真一假，求实数 m 的取值范围.
解： 若命题 q 为真命题，则对所有的2≤ x ≤3，不等式
x2－4 x ＋13≥ m2恒成立.
设 y ＝ x2－4 x ＋13，则只需2≤ x ≤3时， m2≤ ymin即可.
∵ y ＝ x2－4 x ＋13＝（ x －2）2＋9，2≤ x ≤3，
∴ ymin＝9，∴ m2≤9，解得－3≤ m ≤3.
∴当命题 q 为真命题时，实数 m 的取值范围为{ m ｜－3≤ m
≤3}.
∵命题 p ， q 一真一假，
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∴若命题 p 为真命题，命题 q 为假命题，则有
解得 m ＜－3或 m ＞4；
若命题 p 为假命题，命题 q 为真命题，则有
解得1≤ m ≤3.
综上所述，当命题 p ， q 一真一假时，实数 m 的取值范围为
{ m ｜ m ＜－3或1≤ m ≤3或 m ＞4}.
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17. （本小题满分15分）已知二次函数 y ＝ x2－2 tx ＋ t2－1（ t ∈R）.
（1）若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式 x2－2 tx
＋ t2－1≥0；
解： ∵二次函数 y ＝ x2－2 tx ＋ t2－1有两个互为相反数
的零点，
∴方程 x2－2 tx ＋ t2－1＝0有两个互为相反数的实数根，设
为 x1， x2，∴ x1＋ x2＝0.
由根与系数的关系可得， x1＋ x2＝2 t ＝0， 解得 t ＝0.
∵ x2－2 tx ＋ t2－1≥0，
∴ x2－1≥0，解得 x ≥1或 x ≤－1.
∴该不等式的解集为{ x ｜ x ≥1或 x ≤－1}.
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（2）若关于 x 的方程 x2－2 tx ＋ t2－1＝0的两个实数根均大于－2
且小于4，求实数 t 的取值范围.
解： ∵Δ＝（－2 t ）2－4（ t2－1）＝4 t2－4 t2＋4＝
4＞0，
∴ t ∈R，该方程总有两个不相等的实数根.
∵方程的两个实数根均大于－2且小于4，
∴解得－1＜ t ＜3.
∴实数 t 的取值范围是{ t ｜－1＜ t ＜3}.
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18. （本小题满分17分）某水产养殖户投资243万元建一个龙虾养殖基
地，已知 x 年内付出的各种维护费用之和 y 满足二次函数 y ＝ ax2＋
c ，且第一年付出的各种维护费用为3万元，第二年付出的各种维
护费用为9万元，龙虾养殖基地每年收入90万元.
（1）扣除投资和各种维护费用，求该龙虾养殖基地从第几年开始
获取纯利润；
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解： 由已知得，当 x ＝1时， y ＝3；当 x ＝2时， y ＝
12，即解得所以 y ＝3 x2.
又投资243万元， x 年共收入90 x 万元，
设 x 年共获得的纯利润为 P 万元，则 P ＝90 x －3 x2－243（ x
∈N*）.
令 P ＞0，即90 x －3 x2－243＞0，即 x2－30 x ＋81＜0，解得
3＜ x ＜27（ x ∈N*），
所以从第4年开始获取纯利润.
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（2）若干年后该水产养殖户为了投资其他项目，对该龙虾养殖基
地有两种处理方案：
①年平均利润最大时，以138万元出售该龙虾养殖基地；
②纯利润总和最大时，以30万元出售该龙虾养殖基地.
问该水产养殖户会选择哪种方案？
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解： 方案①：年平均利润 t ＝ ＝90－3
≤90－3×2 ＝36，当且仅当 x ＝9时，取等号，
所以当 x ＝9时， t 取最大值36，此时以138万元出售该基地
共获得利润36×9＋138＝462（万元）.
方案②：纯利润总和 P ＝90 x －3 x2－243＝－3（ x －15）2＋
432（ x ∈N*），
当 x ＝15时，纯利润总和最大，为432万元，
此时以30万元出售该基地共获得利润432＋30＝462（万元）.
两种方案盈利相同，但方案①时间较短，所以选择方案①.
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19. （本小题满分17分）如图， ABDC 为梯
形，其中 AB ＝ a ，CD ＝ b ，设 O 为对
角线的交点. GH 表示平行于两底且与它
们等距离的线段（即梯形的中位线），
KL 表示平行于两底且使梯形 ABLK 与梯形 KLDC 相似的线段， EF 表示平行于两底且过点 O 的线段， MN 表示平行于两底且将梯形 ABDC 分为面积相等的两个梯形的线段.
（1）试研究线段 GH ， KL ， EF ， MN 与代数式 ， ，
， 之间的关系；
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解： 因为 GH 是梯形 ABDC 的中位线，
所以 GH ＝ ＝ ；
因为梯形 ABLK 与梯形 KLDC 相似，
所以 ＝ ，
所以 KL ＝ ＝ ；
因为△ AEO ∽△ ACD ，△ DOF ∽△ DAB ，
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所以 ＝ ， ＝ ，
所以 ＋ ＝1，同理可得 ＋ ＝1，
所以 OE ＝ OF ＝ .
所以 EF ＝ ，
设梯形 MNDC ， ABNM ， ABDC 的面积分别为 S1， S2， S ，
高分别为 h1， h2， h ，
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则 S1＝ S2＝ S ， （ a ＋ b ） h ＝（ b ＋ MN ） h1＝（ a ＋
MN ） h2，
所以 ＋ ＝ h ，
所以 （ a ＋ b ）（ ＋ ）＝1，
所以 MN ＝ .
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（2）推测（1）中代数式之间的一个大小关系；
解： 由题图可知， EF ＜ KL ＜ GH ＜ MN ，
即 ＜ ＜ ＜ .
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（3）用基本不等式证明（2）中所得到的猜测.
解： 证明：由题意，得 a ＞0， b＞0， a ≠ b ，
显然 ＞ ， ＜ ＝ ，
因为 a2＋ b2＞2 ab ，
所以2（ a2＋ b2）＞（ a ＋ b ）2，
所以 ＜ ，所以 ＜ ＜ ＜ .
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谢 谢 观 看！

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