资源简介 第三章 函数的概念与性质3.1 函数的概念及其表示3.1.1 函数的概念第1课时 函数的概念（一）1.下列图形中，不能作为函数图象的是（ ）2.函数f（x）＝＋的定义域为（ ）A. B.{x｜x≥－2}C. D.3.下列对应关系是从集合M到集合N的函数的是（ ）A.M＝R，N＝{x∈R｜x＞0}，f：x→｜x｜B.M＝N，N＝N*，f：x→｜x－1｜C.M＝{x∈R｜x＞0}，N＝R，f：x→x2D.M＝R，N＝{x∈R｜x≥0}， f：x→4.若函数f（x）＝ax2－1，a为一个正数，且f（f（－1））＝－1，那么a＝（ ）A.1 B.0C.－1 D.25.（多选）设f：x→x2是集合A到集合B的函数，如果集合B＝{1}，那么集合A可能是（ ）A.{1} B.{－1}C.{－1，1} D.{－1，0}6.（多选）下列说法中正确的有（ ）A.函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应B.函数的定义域和值域一定是无限集合C.定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D.若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素7.已知函数f（x）＝－1，且f（a）＝3，则a＝ .8.已知等腰三角形ABC的周长为10，底边长y关于腰长x的函数关系式为y＝10－2x，则此函数的定义域为 .9.已知函数f（x）＝，g（x）＝f（x－3），则g（x）＝ .函数g（x）的定义域是 .10.记函数f（x）＝的定义域为A，g（x）＝（a＜1）的定义域为B.（1）求A；（2）若B A，求实数a的取值范围.11.已知集合A＝{1，2，k}，B＝{4，7，10}，x∈A，y∈B，使B中元素y和A中元素x一一对应，对应关系为y＝3x＋1，则k＝（ ）A.5 B.4 C.3 D.212.（多选）下列函数中，满足f（2x）＝2f（x）的是（ ）A.f（x）＝｜x｜ B.f（x）＝x－｜x｜C.f（x）＝x＋1 D.f（x）＝－x13.已知函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是 .14.已知函数f（x）＝.（1）若f（a）＝2，求a的值；（2）求证：f＝－f（x）.15.若两个函数的对应关系相同，值域也相同，但定义域不同，则称这两个函数为同族函数，那么与函数y＝x2，x∈{－1，0，1，2}为同族函数的有（ ）A.5个 B.6个C.7个 D.8个16.构建一个问题情境，使其中变量关系能用解析式f（x）＝5x2来描述，其中x＞0.第1课时 函数的概念（一）1.C C选项中，当x取小于或等于0的一个值时，有两个y值与之对应，不符合函数的定义，故选C.2.C 依题意得解得即x≥－2，且x≠.故选C.3.C 对于A，当集合M中x＝0时，｜x｜＝0，但集合N中没有0；对于B，当集合M中x＝1时，｜x－1｜＝0，但集合N中没有0；对于D，当集合M中x为负数时，集合N中没有元素与之对应；分析知C中对应关系是集合M到集合N的函数.4.A ∵f（x）＝ax2－1，∴f（－1）＝a－1，f（f（－1））＝f（a－1）＝a·（a－1）2－1＝－1.∴a（a－1）2＝0.又∵a为正数，∴a＝1.5.ABC 由x2＝1得x＝±1，故集合A＝{1}或{－1}或{－1，1}.6.ACD 由函数定义知，A、C、D正确，B不正确.7.16 解析：因为f（x）＝－1，所以f（a）＝－1.又因为f（a）＝3，所以－1＝3，a＝16.8. 解析：∵△ABC的底边长显然大于0，即y＝10－2x＞0，∴x＜5.又两边之和大于第三边，∴2x＞10－2x，∴x＞，∴此函数的定义域为.9. {x｜x≥3，且x≠4}解析：g（x）＝f（x－3）＝，由得x≥3，且x≠4.10.解：（1）由2－≥0，得≥0，解得x＜－1或x≥1，即A＝{x｜x＜－1或x≥1}.（2）由（x－a－1）（2a－x）≥0，得（x－a－1）（x－2a）≤0，由a＜1，得a＋1＞2a，所以B＝{x｜2a≤x≤a＋1}.又B A，所以2a≥1或a＋1＜－1，即a≥或a＜－2.又a＜1，所以≤a＜1或a＜－2.故当B A时，实数a的取值范围是{aa＜－2或≤a＜1}.11.C 根据对应关系为y＝3x＋1，3×1＋1＝4，3×2＋1＝7，由题意可得3k＋1＝10，所以k＝3.12.ABD 在A中，f（2x）＝｜2x｜＝2｜x｜，2f（x）＝2｜x｜，满足f（2x）＝2f（x）；在B中，f（2x）＝2x－｜2x｜＝2（x－｜x｜）＝2f（x），满足f（2x）＝2f（x）；在C中，f（2x）＝2x＋1，2f（x）＝2（x＋1）＝2x＋2，不满足f（2x）＝2f（x）；在D中，f（2x）＝－2x＝2（－x）＝2f（x），满足f（2x）＝2f（x）.13. 解析：当a＝0时，ax2＋4ax＋3＝3≠0对任意x∈R恒成立.当a≠0时，要使ax2＋4ax＋3≠0恒成立，即方程ax2＋4ax＋3＝0无实根，只需判别式Δ＝（4a）2－12a＝4a（4a－3）＜0，则0＜a＜.综上，实数a的取值范围是.14.解：（1）因为f（x）＝，且f（a）＝2，所以f（a）＝＝2，即a2＝，解得a＝±.（2）证明：由已知得f＝＝，－f（x）＝－＝，所以f＝－f（x）.15.D 由题意知同族函数是只有定义域不同的函数，函数解析式为y＝x2，值域为{0，1，4}，定义域中0是肯定有的，1、－1至少含有一个，2、－2至少含有一个，它的定义域可以是{0，1，2}，{0，1，－2}，{0，－1，2}，{0，－1，－2}，{0，1，－2，2}，{0，－1，－2，2}，{0，1，－1，－2}，{0，1，－1，2，－2}，共有8种不同的情况.16.解：构建情境如下：长方形的长宽之比为5∶1，设宽为x，面积为f（x），那么f（x）＝5x·x＝5x2.其中x的取值范围是{x｜x＞0}，f（x）的取值范围是{f（x）｜f（x）＞0}，对应关系f为把每一个长方形的宽x，对应到唯一确定的面积5x2（答案不唯一）.2 / 2第三章 函数的概念与性质3.1 函数的概念及其表示3.1.1 函数的概念新课程标准解读 核心素养1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念 数学抽象2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用 数学抽象、数学建模3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域 数学抽象、数学运算第1课时 函数的概念（一）事物都是运动变化着的，我们可以感受到它们的变化.早晨，太阳从东方冉冉升起；气温随时间在悄悄地改变；小树随着时间的变化不断长高，……，在这些变化着的现象中，都存在着两个变量，当一个变量变化时，另一个变量随之发生变化.【问题】 （1）怎样用数学模型刻画两个变量之间的关系？（2）这样的模型具有怎样的特征？ 知识点 函数的有关概念函数的 概念 一般地，设A，B是 ，如果对于集合A中的 ，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 和它对应，那么就称 为从集合A到集合B的一个函数函数的 记法 y＝f（x），x∈A定义域 x叫做 ，x的 叫做函数的定义域值域 与x的值相对应的y值叫做 ，函数值的集合 叫做函数的值域提醒 （1）函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空实数集A中的任意一个（任意性）元素x，在非空实数集B中都有（存在性）唯一（唯一性）的元素y与之对应；（2）函数符号“y＝f（x）”是数学符号之一，不表示y等于f与x的乘积，f（x）也不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系；（3）除f（x）外，有时还用g（x），u（x），F（x），G（x）等符号表示函数.【想一想】1.在函数的概念中，如果函数y＝f（x）的定义域与对应关系确定，那么函数的值域确定吗？2.函数定义域内同一个自变量能否对应多个函数值？1.（多选）下列两个集合间的对应中，是A到B的函数的有（ ）A.A＝{－1，0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数的平方B.A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数的开方C.A＝Z，B＝Q，f：A中的数的倒数D.A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，f：A中的数的2倍2.若f（x）＝x2－，则f（3）＝ .3.函数f（x）＝的定义域是 .题型一 函数的概念【例1】 （1）设M＝{x｜0≤x≤2}，N＝{y｜0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是（ ）（2）（多选）下列对应关系或关系式中是A到B的函数的是（ ）A.A＝R，B＝R，x2＋y＝1B.A＝{1，2，3，4}，B＝{0，1}，对应关系如图：C.A＝R，B＝R，f：x→y＝D.A＝Z，B＝Z，f：x→y＝通性通法1.判断对应关系是否为函数的2个条件（1）A，B必须是非空实数集；（2）A中的任意一个元素在B中有且只有一个元素与之对应.2.根据图形判断是否为函数的方法（1）任取一条垂直于x轴的直线l；（2）在定义域内平行移动直线l；（3）若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.提醒 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系.【跟踪训练】 （多选）已知集合A＝{x｜0≤x≤8}，集合B＝{x｜0≤x≤4}，则下列对应关系中，能看作是从A到B的函数的是（ ）A.f：x→y＝x B.f：x→y＝xC.f：x→y＝x D.f：x→y＝x题型二 求函数值【例2】 已知f（x）＝（x∈R，且x≠－1），g（x）＝x2＋2（x∈R）.（1）求f（2），g（2）的值；（2）求f[g（3）]的值.通性通法求函数值的方法（1）已知f（x）的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f（a）的值；（2）求f[g（a）]的值应遵循由内向外的原则.【跟踪训练】1.设函数f（x）＝，则当f（x）＝2时，x＝（ ）A.－4 B.4C.－10 D.102.已知函数f（x）＝，则f[f（1）]＝ .题型三 求已知函数的定义域【例3】 求下列函数的定义域：（1）f（x）＝·＋2；（2）y＝（x－1）0＋.通性通法求函数定义域的依据（1）依据：分式的分母不为0，二次根式的被开方数不小于0，0次幂的底数不为0等；（2）写法：如果解析式中含有多个式子，则用大括号将x满足的条件列成不等式组，求交集.【跟踪训练】 求下列函数的定义域：（1）y＝；（2）y＝＋.题型四 创建函数关系的问题情境【例4】 已知矩形的面积为10，如图所示，试借助该图形构建问题情境描述下列变量关系.（1）f（x）＝；（2）f（x）＝2x＋；（3）f（x）＝.通性通法根据函数关系构建问题情境的策略（1）分析条件中的函数解析式，确定其函数类型、定义域、值域、对应关系；（2）从现实生活中寻找和构建合适的问题情境，必要时，可适当限制x的取值范围；（3）既要描述情境，又要描述情境中的定义域、值域和对应关系.【跟踪训练】 构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式y＝来描述.1.（多选）下列等式中的变量x，y具有函数关系的是（ ）A.y＝x－1 B.y＝C.y2＝4x D.y2＝x22.已知函数f（x）＝x＋，则f（－1）·f（2）＝ .3.函数f（x）＝的定义域为 .4.已知函数f（x）＝x2－mx＋n，且f（1）＝－1，f（n）＝m，求f（x）及f[f（－1）].第1课时 函数的概念（一）【基础知识·重落实】知识点非空的实数集 任意一个数x 唯一确定的数y f：A→B 自变量 取值范围A 函数值 {f（x）｜x∈A}想一想1.提示：确定.2.提示：不能.自我诊断1.AD A中，可构成函数关系；B中，对于集合A中元素1，在集合B中有两个元素与之对应，因此不是函数关系；C中，A中元素0的倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，因此不是函数关系；D中，可构成函数关系.2.7 解析：f（3）＝9－＝9－2＝7.3.{x｜x＜4} 解析：由4－x＞0，解得x＜4，所以原函数的定义域为{x｜x＜4}.【典型例题·精研析】【例1】 （1）B （2）AB 解析：（1）A中，因为在集合M中当1＜x≤2时，在N中无元素与之对应，所以A不是；B中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以B是；C中，x＝2对应元素y＝3 N，所以C不是；D中，当x＝1时，在N中有两个元素与之对应，所以D不是.故选B.（2）A正确，x2＋y＝1可化为y＝－x2＋1，显然对任意x∈A，y都有唯一确定的值与之相对应.B正确，符合函数的定义.C错误，2∈A，在B中找不到与之相对应的数.D错误，－1∈A，在B中找不到与之相对应的数.故选A、B.跟踪训练 ABC 根据函数的定义，对于D，在集合A中的部分元素，在集合B中没有元素与它对应，故不正确；A、B、C选项均正确.【例2】 解：（1）∵f（x）＝，∴f（2）＝＝.又∵g（x）＝x2＋2，∴g（2）＝22＋2＝6.（2）∵g（3）＝32＋2＝11，∴f[g（3）]＝f（11）＝＝.跟踪训练1.C 令＝2，则x＝－10，故选C.2. 解析：∵ f（1）＝＝，∴f[f（1）]＝f＝＝.【例3】 解：（1）要使此函数有意义，应满足解得1≤x≤4，所以f（x）的定义域是{x｜1≤x≤4}.（2）由题意得，解得x＞－1，且x≠1，所以函数的定义域为{x｜x＞－1，且x≠1}.跟踪训练 解：（1）由得∴其定义域为{x｜x≤1，且x≠0}.（2）由得∴其定义域为{x｜≤x≤或－≤x≤－}.【例4】 解：（1）设矩形的长为x，宽为f（x），那么f（x）＝.其中x的取值范围A＝{x｜x＞0}，f（x）的取值范围B＝{f（x）｜f（x）＞0}，对应关系f把每一个矩形的长x，对应到唯一确定的宽.（2）设矩形的长为x，周长为f（x），那么f（x）＝2x＋.其中x的取值范围A＝{x｜x＞0}，f（x）的取值范围B＝{f（x）｜f（x）＞0}，对应关系f把每一个矩形的长x，对应到唯一确定的周长2x＋.（3）设矩形的长为x，对角线长为f（x），那么f（x）＝.其中x的取值范围A＝{x｜x＞0}，f（x）的取值范围B＝{f（x）｜f（x）≥2}，对应关系f把每一个矩形的长x，对应到唯一确定的对角线长.跟踪训练 解：设面积为x的正方形的边长为y，则y＝，定义域为{x｜x＞0}，值域为{y｜y＞0}，对应关系f把每一个正方形的面积x，对应到唯一确定的边长.随堂检测1.AB 选项C中，当x＝1时，y＝±2，不符合函数的定义；选项D中，当x＝1时，y＝±1，不符合函数的定义.故选A、B.2.－5 解析：由函数f（x）＝x＋可知f（－1）＝－1＋＝－2，f（2）＝2＋＝.因此f（－1）·f（2）＝（－2）×＝－5.3.{x｜x≤－3或x≥4} 解析：由题意得，x2－x－12≥0，解得x≤－3或x≥4.4.解：由题意知解得所以f（x）＝x2－x－1，故f（－1）＝1.f[f（－1）]＝f（1）＝－1.4 / 4(共57张PPT)3.1.1 函数的概念新课程标准解读 核心素养1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念 数学抽象2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用 数学抽象、数学建模3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域 数学抽象、数学运算第1课时 函数的概念（一）目录基础知识·重落实01典型例题·精研析02知能演练·扣课标03基础知识·重落实01课前预习 必备知识梳理 事物都是运动变化着的，我们可以感受到它们的变化.早晨，太阳从东方冉冉升起；气温随时间在悄悄地改变；小树随着时间的变化不断长高，……，在这些变化着的现象中，都存在着两个变量，当一个变量变化时，另一个变量随之发生变化.【问题】 （1）怎样用数学模型刻画两个变量之间的关系？（2）这样的模型具有怎样的特征？ 知识点 函数的有关概念函数的 概念 一般地，设 A ， B 是 ，如果对于集合 A 中的 ，按照某种确定的对应关系 f ，在集合B 中都有 和它对应，那么就称 为从集合 A 到集合 B 的一个函数函数的 记法 y ＝ f （ x ）， x ∈ A非空的实数集 任意一个数 x 唯一确定的数 y f ： A→ B 定义域 x 叫做 ， x 的 叫做函数的定义域值域 与 x 的值相对应的 y 值叫做 ，函数值的集合 叫做函数的值域自变量 取值范围 A 函数值 { f（ x ）｜ x ∈ A } 提醒 （1）函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空实数集 A 中的任意一个（任意性）元素 x ，在非空实数集 B中都有（存在性）唯一（唯一性）的元素 y 与之对应；（2）函数符号“ y ＝ f （ x ）”是数学符号之一，不表示 y 等于 f 与 x 的乘积， f （ x ）也不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系；（3）除 f （ x ）外，有时还用 g （ x ）， u （ x ）， F （ x ）， G （ x ）等符号表示函数.【想一想】1. 在函数的概念中，如果函数 y ＝ f （ x ）的定义域与对应关系确定，那么函数的值域确定吗？提示：确定.2. 函数定义域内同一个自变量能否对应多个函数值？提示：不能.1. （多选）下列两个集合间的对应中，是 A 到 B 的函数的有（ ）A. A ＝{－1，0，1}， B ＝{－1，0，1}， f ： A 中的数的平方B. A ＝{0，1}， B ＝{－1，0，1}， f ： A 中的数的开方C. A ＝Z， B ＝Q， f ： A 中的数的倒数D. A ＝{1，2，3，4}， B ＝{2，4，6，8}， f ： A 中的数的2倍解析： A中，可构成函数关系；B中，对于集合 A 中元素1，在集合 B 中有两个元素与之对应，因此不是函数关系；C中， A 中元素0的倒数没有意义，在集合 B 中没有元素与之对应，因此不是函数关系；D中，可构成函数关系.2. 若 f （ x ）＝ x2－ ，则 f （3）＝ .解析： f （3）＝9－ ＝9－2＝7.3. 函数 f （ x ）＝ 的定义域是 .解析：由4－ x ＞0，解得 x ＜4，所以原函数的定义域为{ x ｜ x ＜4}.7 { x ｜ x ＜4} 典型例题·精研析02课堂互动 关键能力提升题型一 函数的概念【例1】 （1）设 M ＝{ x ｜0≤ x ≤2}， N ＝{ y ｜0≤ y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系的是（ ）解析： A中，因为在集合 M 中当1＜ x ≤2时，在 N 中无元素与之对应，所以A不是；B中，对于集合 M 中的任意一个数x ，在 N 中都有唯一的数与之对应，所以B是；C中， x ＝2对应元素 y ＝3 N ，所以C不是；D中，当 x ＝1时，在 N 中有两个元素与之对应，所以D不是.故选B.（2）（多选）下列对应关系或关系式中是 A 到 B 的函数的是（ ）A. A ＝R， B ＝R， x2＋ y ＝1B. A ＝{1，2，3，4}， B ＝{0，1}，对应关系如图：C. A ＝R， B ＝R， f ： x → y ＝D. A ＝Z， B ＝Z， f ： x → y ＝解析： A正确， x2＋ y ＝1可化为 y ＝－ x2＋1，显然对任意 x ∈A ， y 都有唯一确定的值与之相对应.B正确，符合函数的定义.C错误，2∈ A ，在 B 中找不到与之相对应的数.D错误，－1∈A ，在 B 中找不到与之相对应的数.故选A、B.通性通法1. 判断对应关系是否为函数的2个条件（1） A ， B 必须是非空实数集；（2） A 中的任意一个元素在 B 中有且只有一个元素与之对应.2. 根据图形判断是否为函数的方法（1）任取一条垂直于 x 轴的直线 l ；（2）在定义域内平行移动直线 l ；（3）若 l 与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.提醒 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系.【跟踪训练】 （多选）已知集合 A ＝{ x ｜0≤ x ≤8}，集合 B ＝{ x ｜0≤ x ≤4}，则下列对应关系中，能看作是从 A 到 B 的函数的是（ ）A. f ： x → y ＝ x B. f ： x → y ＝ xC. f ： x → y ＝ x D. f ： x → y ＝ x解析： 根据函数的定义，对于D，在集合 A 中的部分元素，在集合 B 中没有元素与它对应，故不正确；A、B、C选项均正确.题型二 求函数值【例2】 已知 f （ x ）＝ （ x ∈R，且 x ≠－1）， g （ x ）＝ x2＋2（ x ∈R）.（1）求 f （2）， g （2）的值；解： ∵ f （ x ）＝ ，∴ f （2）＝ ＝ .又∵ g （ x ）＝ x2＋2，∴ g （2）＝22＋2＝6.解： ∵ g （3）＝32＋2＝11，∴ f [ g （3）]＝ f （11）＝ ＝ .（2）求 f [ g （3）]的值.通性通法求函数值的方法（1）已知 f （ x ）的表达式时，只需用 a 替换表达式中的 x 即得 f（ a ）的值；（2）求 f [ g （ a ）]的值应遵循由内向外的原则.【跟踪训练】1. 设函数 f （ x ）＝ ，则当 f （ x ）＝2时， x ＝（ ）A. －4 B. 4 C. －10 D. 10解析：C 令 ＝2，则 x ＝－10，故选C.2. 已知函数 f （ x ）＝ ，则 f [ f （1）]＝ .解析：∵ f （1）＝ ＝ ，∴ f [ f （1）]＝ f ＝ ＝ . 题型三 求已知函数的定义域【例3】 求下列函数的定义域：（1） f （ x ）＝ · ＋2；解： 要使此函数有意义，应满足解得1≤ x ≤4，所以 f （ x ）的定义域是{ x ｜1≤ x ≤4}.（2） y ＝（ x －1）0＋ .解： 由题意得，解得 x ＞－1，且 x ≠1，所以函数的定义域为{ x ｜ x ＞－1，且 x ≠1}.通性通法求函数定义域的依据（1）依据：分式的分母不为0，二次根式的被开方数不小于0，0次幂的底数不为0等；（2）写法：如果解析式中含有多个式子，则用大括号将 x 满足的条件列成不等式组，求交集.【跟踪训练】 求下列函数的定义域：（1） y ＝ ；解： 由得∴其定义域为{ x ｜ x≤1，且 x ≠0}.（2） y ＝ ＋ .解： 由得∴其定义域为{ x ｜ ≤ x ≤ 或－ ≤ x ≤－ }.题型四 创建函数关系的问题情境【例4】 已知矩形的面积为10，如图所示，试借助该图形构建问题情境描述下列变量关系.（1） f （ x ）＝ ；解： 设矩形的长为 x ，宽为 f （ x ），那么 f （ x ）＝ .其中 x 的取值范围 A ＝{ x ｜ x ＞0}， f （ x ）的取值范围 B ＝{ f （ x ）｜ f （ x ）＞0}，对应关系 f 把每一个矩形的长 x ，对应到唯一确定的宽 .（2） f （ x ）＝2 x ＋ ；解： 设矩形的长为 x ，周长为 f （ x ），那么 f （ x ）＝2 x ＋ .其中 x 的取值范围 A ＝{ x ｜ x ＞0}， f （ x ）的取值范围 B ＝{ f （ x ）｜ f （ x ）＞0}，对应关系 f 把每一个矩形的长 x ，对应到唯一确定的周长2 x ＋ .（3） f （ x ）＝ .解： 设矩形的长为 x ，对角线长为 f （ x ），那么 f （ x ）＝ .其中 x 的取值范围 A ＝{ x ｜ x ＞0}， f （ x ）的取值范围 B ＝{ f （ x ）｜ f （ x ）≥2 }，对应关系 f 把每一个矩形的长 x ，对应到唯一确定的对角线长 .通性通法根据函数关系构建问题情境的策略（1）分析条件中的函数解析式，确定其函数类型、定义域、值域、对应关系；（2）从现实生活中寻找和构建合适的问题情境，必要时，可适当限制 x 的取值范围；（3）既要描述情境，又要描述情境中的定义域、值域和对应关系.【跟踪训练】 构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式 y ＝ 来描述.解：设面积为 x 的正方形的边长为 y ，则 y ＝ ，定义域为{ x ｜ x ＞0}，值域为{ y ｜ y ＞0}，对应关系 f 把每一个正方形的面积 x ，对应到唯一确定的边长 .1. （多选）下列等式中的变量 x ， y 具有函数关系的是（ ）A. y ＝ x －1 B. y ＝C. y2＝4 x D. y2＝ x2解析： 选项C中，当 x ＝1时， y ＝±2，不符合函数的定义；选项D中，当 x ＝1时， y ＝±1，不符合函数的定义.故选A、B.2. 已知函数 f （ x ）＝ x ＋ ，则 f （－1）· f （2）＝ .解析：由函数 f （ x ）＝ x ＋ 可知 f （－1）＝－1＋ ＝－2， f（2）＝2＋ ＝ .因此 f （－1）· f （2）＝（－2）× ＝－5.3. 函数 f （ x ）＝ 的定义域为 .解析：由题意得， x2－ x －12≥0，解得 x ≤－3或 x ≥4.－5 { x ｜ x ≤－3或 x ≥4} 4. 已知函数 f （ x ）＝ x2－ mx ＋ n ，且 f （1）＝－1， f （ n ）＝ m ，求 f （ x ）及 f [ f （－1）].解：由题意知解得所以 f （ x ）＝ x2－ x －1，故 f （－1）＝1.f [ f （－1）]＝ f （1）＝－1.知能演练·扣课标03课后巩固 核心素养落地1. 下列图形中，不能作为函数图象的是（ ）解析： C选项中，当 x 取小于或等于0的一个值时，有两个 y 值与之对应，不符合函数的定义，故选C.123456789101112131415162. 函数 f （ x ）＝ ＋ 的定义域为（ ）A. B. { x ｜ x ≥－2}C. D.解析： 依题意得解得即 x ≥－2，且 x ≠.故选C.123456789101112131415163. 下列对应关系是从集合 M 到集合 N 的函数的是（ ）A. M ＝R， N ＝{ x ∈R｜ x ＞0}， f ： x →｜ x ｜B. M ＝N， N ＝N*， f ： x →｜ x －1｜C. M ＝{ x ∈R｜ x ＞0}， N ＝R， f ： x → x2D. M ＝R， N ＝{ x ∈R｜ x ≥0}， f ： x →解析： 对于A，当集合 M 中 x ＝0时，｜ x ｜＝0，但集合 N 中没有0；对于B，当集合 M 中 x ＝1时，｜ x －1｜＝0，但集合 N 中没有0；对于D，当集合 M 中 x 为负数时，集合 N 中没有元素与之对应；分析知C中对应关系是集合 M 到集合 N 的函数.123456789101112131415164. 若函数 f （ x ）＝ ax2－1， a 为一个正数，且 f （ f （－1））＝－1，那么 a ＝（ ）A. 1 B. 0C. －1 D. 2解析： ∵ f （ x ）＝ ax2－1，∴ f （－1）＝ a －1， f （ f （－1））＝ f （ a －1）＝ a ·（ a －1）2－1＝－1.∴ a （ a －1）2＝0.又∵ a 为正数，∴ a ＝1.123456789101112131415165. （多选）设 f ： x → x2是集合 A 到集合 B 的函数，如果集合 B ＝{1}，那么集合 A 可能是（ ）A. {1} B. {－1}C. {－1，1} D. {－1，0}解析：由 x2＝1得 x ＝±1，故集合 A ＝{1}或{－1}或{－1，1}.123456789101112131415166. （多选）下列说法中正确的有（ ）A. 函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应B. 函数的定义域和值域一定是无限集合C. 定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D. 若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素解析： 由函数定义知，A、C、D正确，B不正确.123456789101112131415167. 已知函数 f （ x ）＝ －1，且 f （ a ）＝3，则 a ＝ .解析：因为 f （ x ）＝ －1，所以 f （ a ）＝ －1.又因为 f（ a ）＝3，所以 －1＝3， a ＝16.8. 已知等腰三角形 ABC 的周长为10，底边长 y 关于腰长 x 的函数关系式为 y ＝10－2 x ，则此函数的定义域为 .解析：∵△ ABC 的底边长显然大于0，即 y ＝10－2 x ＞0，∴ x ＜5.又两边之和大于第三边，∴2 x ＞10－2 x ，∴ x ＞ ，∴此函数的定义域为 .16 123456789101112131415169. 已知函数 f （ x ）＝ ， g （ x ）＝ f （ x －3），则 g （ x ）＝ .函数 g （ x ）的定义域是 .解析： g （ x ）＝ f （ x －3）＝ ，由得 x ≥3，且 x≠4. { x ｜ x ≥3，且 x ≠4} 1234567891011121314151610. 记函数 f （ x ）＝ 的定义域为 A ， g （ x ）＝（ a ＜1）的定义域为 B .（1）求 A ；解： 由2－ ≥0，得 ≥0，解得 x ＜－1或 x ≥1，即 A ＝{ x ｜ x ＜－1或 x ≥1}.12345678910111213141516（2）若 B A ，求实数 a 的取值范围.解： 由（ x － a －1）（2 a － x ）≥0，得（ x － a －1）（ x －2 a ）≤0，由 a ＜1，得 a ＋1＞2 a ，所以 B ＝{ x ｜2 a ≤ x ≤ a ＋1}.又 B A ，所以2 a ≥1或 a ＋1＜－1，即 a ≥ 或 a ＜－2.又 a ＜1，所以 ≤ a ＜1或 a ＜－2.故当 B A 时，实数 a 的取值范围是{ a a ＜－2或 ≤ a ＜1}.1234567891011121314151611. 已知集合 A ＝{1，2， k }， B ＝{4，7，10}， x ∈ A ， y ∈ B ，使 B中元素 y 和 A 中元素 x 一一对应，对应关系为 y ＝3 x ＋1，则 k ＝（ ）A. 5 B. 4 C. 3 D. 2解析： 根据对应关系为 y ＝3 x ＋1，3×1＋1＝4，3×2＋1＝7，由题意可得3 k ＋1＝10，所以 k ＝3.1234567891011121314151612. （多选）下列函数中，满足 f （2 x ）＝2 f （ x ）的是（ ）A. f （ x ）＝｜ x ｜ B. f （ x ）＝ x －｜ x ｜C. f （ x ）＝ x ＋1 D. f （ x ）＝－ x解析：ABD 在A中， f （2 x ）＝｜2 x ｜＝2｜ x ｜，2 f （ x ）＝2｜ x ｜，满足 f （2 x ）＝2 f （ x ）；在B中， f （2 x ）＝2 x －｜2x ｜＝2（ x －｜ x ｜）＝2 f （ x ），满足 f （2 x ）＝2 f （ x ）；在C中， f （2 x ）＝2 x ＋1，2 f （ x ）＝2（ x ＋1）＝2 x ＋2，不满足 f（2 x ）＝2 f （ x ）；在D中， f （2 x ）＝－2 x ＝2（－ x ）＝2 f（ x ），满足 f （2 x ）＝2 f （ x ）.1234567891011121314151613. 已知函数 y ＝ 的定义域为R，则实数 a 的取值范围是 .解析：当 a ＝0时， ax2＋4 ax ＋3＝3≠0对任意 x ∈R恒成立.当 a≠0时，要使 ax2＋4 ax ＋3≠0恒成立，即方程 ax2＋4 ax ＋3＝0无实根，只需判别式Δ＝（4 a ）2－12 a ＝4 a （4 a －3）＜0，则0＜ a＜ .综上，实数 a 的取值范围是 . 1234567891011121314151614. 已知函数 f （ x ）＝ .（1）若 f （ a ）＝2，求 a 的值；解： 因为 f （ x ）＝ ，且 f （ a ）＝2，所以 f （ a ）＝ ＝2，即 a2＝ ，解得 a ＝± .12345678910111213141516（2）求证： f ＝－ f （ x ）.解： 证明：由已知得 f ＝ ＝ ，－ f （ x ）＝－ ＝ ，所以 f ＝－ f （ x ）.1234567891011121314151615. 若两个函数的对应关系相同，值域也相同，但定义域不同，则称这两个函数为同族函数，那么与函数 y ＝ x2， x ∈{－1，0，1，2}为同族函数的有（ ）A. 5个 B. 6个C. 7个 D. 8个12345678910111213141516解析： 由题意知同族函数是只有定义域不同的函数，函数解析式为 y ＝ x2，值域为{0，1，4}，定义域中0是肯定有的，1、－1至少含有一个，2、－2至少含有一个，它的定义域可以是{0，1，2}，{0，1，－2}，{0，－1，2}，{0，－1，－2}，{0，1，－2，2}，{0，－1，－2，2}，{0，1，－1，－2}，{0，1，－1，2，－2}，共有8种不同的情况.1234567891011121314151616. 构建一个问题情境，使其中变量关系能用解析式 f （ x ）＝5 x2来描述，其中 x ＞0.解：构建情境如下：长方形的长宽之比为5∶1，设宽为 x ，面积为 f （ x ），那么 f （ x ）＝5 x · x ＝5 x2.其中 x 的取值范围是{ x ｜ x ＞0}， f （ x ）的取值范围是{ f （ x ）｜f （ x ）＞0}，对应关系 f 为把每一个长方形的宽 x ，对应到唯一确定的面积5 x2（答案不唯一）.12345678910111213141516谢 谢 观 看！第2课时 函数的概念（二）1.区间（－3，2]用集合可表示为（ ）A.{－2，－1，0，1，2}B.{x｜－3＜x＜2}C.{x｜－3＜x≤2}D.{x｜－3≤x≤2}2.已知函数f（x）＝，则f（x）的值域是（ ）A. B.C. D.（0，＋∞）3.与函数y＝x是同一个函数的是（ ）A.y＝｜x｜ B.y＝C.y＝ D.y＝4.已知函数f（x）＝－2x＋3的值域为[－5，5]，则它的定义域为（ ）A.[－5，5] B.[－7，13]C.[－4，1] D.[－1，4]5.（多选）已知函数y＝x2－2x＋2的值域是[1，2]，则其定义域可能是（ ）A.[0，1] B.[1，2]C. D.[－1，1]6.（多选）下列函数中，值域为[0，4]的是（ ）A.f（x）＝x－1，x∈[1，5]B.f（x）＝－x2＋4C.f（x）＝D.f（x）＝x＋－2（x＞0）7.下表表示y是x的函数，则函数的值域是 .x x＜2 2≤x≤3 x＞3y －1 0 18.已知区间（4p－1，2p＋1），则p的取值范围为 .9.函数y＝x2＋x（－1≤x≤3）的值域为 .10.求下列函数的值域：（1）y＝；（2）y＝2x－.11.若函数f（x）＝（x≠2）的值域为集合P，则下列元素中不属于P的是（ ）A.2 B.－2C.－1 D.－312.（多选）若函数y＝在区间[－2，－1]上有意义，则实数a的可能取值是（ ）A.－1 B.1C.3 D.513.函数y＝（x＞1）的值域是 .14.已知函数f（x）＝x2－x＋，是否存在实数m，使得函数的定义域和值域都是[1，m]（m＞1）？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.15.（多选）若函数f（x）＝的值域是[0，＋∞），则实数a的可能取值是（ ）A.6 B.7C.8 D.916.规定符号*表示一种运算，即a*b＝＋a＋b（a，b为正实数）且1*k＝3.（1）求正整数k；（2）求函数y＝k*x的值域.第2课时 函数的概念（二）1.C 由区间和集合的关系，可得区间（－3，2]可表示为{x｜－3＜x≤2}，故选C.2.C ∵x2＋2≥2，∴0＜≤，∴f（x）的值域为.故选C.3.B 选项A和选项C中，函数的值域都是[0，＋∞）；选项D中，函数的定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞）；选项B中函数的定义域和值域都和函数y＝x相同，对应关系也等价，因此选B.4.D 由函数f（x）＝－2x＋3的值域为[－5，5]可知－5≤3－2x≤5，解得－1≤x≤4，故选D.5.ABC 由x2－2x＋2＝1，得x2－2x＋1＝0，即（x－1）2＝0，得x＝1.由x2－2x＋2＝2，得x2－2x＝0，即x＝0或x＝2.设定义域为[a，b]，若a＝0，则1≤b≤2，则A正确；若b＝2，则0≤a≤1，则B、C正确.故选A、B、C.6.AC x∈[1，5]时，x－1∈[0，4]，所以函数f（x）＝x－1，x∈[1，5]的值域是[0，4]，故A正确；因为－x2≤0，所以－x2＋4≤4，所以函数值域是（－∞，4]，故B错误；因为－x2≤0，所以16－x2≤16，又16－x2≥0，所以0≤≤4，即函数值域为[0，4]，故C正确；因为x＞0，所以x＋≥2（当且仅当x＝1时取等号），所以x＋－2≥0，故函数值域为[0，＋∞），故D错误.故选A、C.7.{－1，0，1} 解析：函数值只有－1，0，1三个数值，故值域为{－1，0，1}.8.（－∞，1） 解析：由题意，得4p－1＜2p＋1，所以p＜1.9. 解析：二次函数y＝x2＋x的图象开口向上，对称轴为x＝－，当x＝－时，函数取得最小值－.当x＝3时，函数取得最大值12，因此函数的值域为.10.解：（1）（分离常数法）因为y＝＝1－，且定义域为{x｜x≠－1}，所以≠0，即y≠1.所以函数y＝的值域为{y｜y∈R，且y≠1}.（2）（换元法）设t＝，则t≥0且x＝t2＋1，所以y＝2（t2＋1）－t＝2（t－）2＋，由t≥0，再结合函数的图象（如图），可得函数的值域为.11.D f（x）＝＝＝－3－，值域为{y｜y≠－3}，即P＝{y｜y≠－3}，故选D.12.AB 函数y＝在区间[－2，－1]上有意义，等价于＋1≥0在区间[－2，－1]上恒成立，由x＜0，得a≤－x在区间[－2，－1]上恒成立，∴a≤1，故选A、B.13.[0，＋∞） 解析：∵当x＞1时，函数y＝＝＝（x－1）－2＋≥2－2＝0，当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立，∴y≥0，即函数的值域为[0，＋∞）.14.解：存在.理由如下：f（x）＝x2－x＋＝（x－1）2＋1的对称轴为x＝1，顶点（1，1）且开口向上.∵m＞1，∴当x∈[1，m]时，y随x的增大而增大，∴要使f（x）的定义域和值域都是[1，m]，则有∴m2－m＋＝m，即m2－4m＋3＝0，∴m＝3或m＝1（舍）∴存在实数m＝3满足条件.15.CD 法一 令g（x）＝ax2＋ax＋2，要使f（x）＝的值域是[0，＋∞），只需a＞0且Δ＝a2－8a≥0，解得a≥8，故选C、D.法二 令g（x）＝ax2＋ax＋2，要使f（x）的值域包括0，则g（x）的最小值小于等于0.故解得a≥8.故选C、D.16.解：（1）由已知得，1*k＝＋1＋k＝3，解得＝1或＝－2（舍去），所以k＝1.（2）y＝k*x＝＋1＋x＝＋（x＞0），令t＝，则y＝＋（t＞0），结合函数的图象（图略），可得y＞＋＝1，所以函数的值域为（1，＋∞）.2 / 2第2课时 函数的概念（二）设计运行时速达350公里的京津城际列车呈现出超越世界的“中国速度”，使得新时速旅客列车的运行速度值界定在200公里/时与350公里/时之间.【问题】 （1）如何表示列车的运行速度的范围？（2）还可以用其他形式表示列车的运行速度的范围吗？ 知识点一 区间的概念1.区间的概念设a，b是两个实数，而且a＜b.我们规定：（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为 ；（2）满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫做开区间，表示为 ；（3）满足不等式a≤x＜b或0＜x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为 .这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.2.一般区间的表示设a，b∈R，且a＜b，规定如下：区间 数轴表示[a，b]（a，b）[a，b）（a，b]3.特殊区间的表示区间 数轴表示[a，＋∞）（a，＋∞）（－∞，b]（－∞，b）提醒 （1）区间只能表示连续的实数集或其子集，开闭不能混淆；（2）用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别；（3）区间是实数集的一种表示形式，集合的运算仍然成立；（4）∞是一个符号，而不是一个数.知识点二 同一个函数前提条件 相同 完全一致结论 这两个函数是同一个函数【想一想】 定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？1.下列选项中能表示同一个函数的是（ ）A.y＝x＋1与y＝B.y＝x2＋1与s＝t2＋1C.y＝2x与y＝2x（x≥0）D.y＝（x＋1）2与y＝x22.用区间表示下列数集：（1）{x｜x≥1}＝ ；（2）{x｜x∈R}＝ ；（3）{x｜x＞－1且x≠2}＝ .3.函数f（x）＝（x－1）2＋1，x∈[1，2]的值域是 .题型一 区间的应用【例1】 将下列集合用区间以及数轴表示出来：（1）{x｜x＜2}；（2）{x｜－1＜x＜0或1≤x≤5}；（3）{x｜2≤x≤8且x≠5}.通性通法用区间表示数集的方法（1）区间左端点值小于右端点值；（2）区间两端点之间用“，”隔开；（3）含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号；（4）以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号.【跟踪训练】1.集合{x｜0＜x＜1或2≤x≤4}用区间表示为 .2.若区间[a－1，a]关于原点对称，则a＝ ，此时区间为 .题型二 同一个函数的判定【例2】 （多选）下列式子表示同一个函数的是（ ）A.f（x）＝｜x｜，φ（t）＝B.y＝，y＝（）2C.y＝·，y＝D.y＝，y＝x－3通性通法判断两个函数是否为同一个函数的步骤提醒 （1）在化简解析式时，必须是等价变形；（2）与用哪个字母表示无关.【跟踪训练】 下列各组函数：①f（x）＝，g（x）＝x－1；②f（x）＝x＋1，g（x）＝x＋x0；③f（x）＝（x－1）2，g（t）＝t2－2t＋1；④汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f（t）＝80t（0≤t≤5）与一次函数g（x）＝80x（0≤x≤5）.其中表示同一个函数的是 .（填上所有正确的序号）题型三 求函数的值域【例3】 求下列函数的值域：（1）y＝－1；（2）y＝x2－4x＋6，x∈[1，5）；（3）y＝2x＋4；（4）y＝.通性通法求函数值域常用的5种方法（1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；（2）配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；（3）图象法：通过画出函数的图象，由图形的直观性获得函数的值域；（4）换元法：通过对函数的表达式进行适当换元，可将复杂的函数化归为简单的函数，从而利用简单函数自变量的取值范围求函数的值域；（5）分离常数法：此方法主要是针对分式函数，即将分式函数转化为“反比例函数”的形式，便于求值域.【跟踪训练】 求下列函数的值域：（1）y＝，x∈[1，2）；（2）y＝x＋（x＞0）；（3）y＝.1.不等式x－2≥0的所有解组成的集合表示成区间是（ ）A.（2，＋∞） B.[2，＋∞）C.（－∞，2） D.（－∞，2]2.（多选）下列各组函数是同一个函数的是（ ）A.f（x）＝与g（x）＝xB.f（x）＝x与g（x）＝C.f（x）＝x0与g（x）＝D.f（x）＝x2－2x－1与g（t）＝t2－2t－13.求下列函数的值域：（1）y＝；（2）y＝x－.抽象函数、复合函数的定义域 1.抽象函数的概念没有给出具体数学表达式的函数，称为抽象函数.2.复合函数的概念若函数y＝f（t）的定义域为A，函数t＝g（x）的定义域为D，值域为C，则当C A时，称函数y＝f（g（x））为f（t）与g（x）在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t＝g（x）叫做内层函数，y＝f（t）叫做外层函数.提醒 由复合函数的定义可知，内层函数的值域是外层函数的定义域或定义域的子集，外层函数的定义域和内层函数的值域共同确定了复合函数的定义域.3.抽象函数或复合函数的定义域理解抽象函数或复合函数的定义域，要明确以下几点：（1）函数的定义域是自变量x的取值范围，比如：函数f（x）的定义域是指x的取值范围，函数f（g（x））的定义域也是指x的取值范围，而不是g（x）的取值范围；（2）f（t），f（x），f（φ（x）），f（h（x））四个函数中的t，x，φ（x），h（x）在对应关系f下的范围相同；（3）已知f（x）的定义域为A，求f（φ（x））的定义域，其实质是已知φ（x）的取值范围（值域）为A，求x的取值范围.一、已知f（x）的定义域，求f（g（x））的定义域【例1】 若函数f（x）的定义域为（－1，2），则函数f（2x＋1）的定义域为 .方法总结 若f（x）的定义域为[a，b]，则f（g（x））中g（x）∈[a，b]，从中解得x的解集即f（g（x））的定义域.二、已知f（g（x））的定义域，求f（x）的定义域【例2】 若函数f（2x＋1）的定义域为（－1，2），则函数f（x）的定义域为 .方法总结 若f（g（x））的定义域为[m，n]，则由x∈[m，n]可确定g（x）的范围，设u＝g（x），则f（g（x））＝f（u），又f（u）与f（x）是同一函数，所以g（x）的范围即f（x）的定义域.三、已知f（g（x））的定义域，求f（h（x））的定义域【例3】 若函数f（2x＋1）的定义域为 （－1，2），则函数f（x－1）的定义域为 .方法总结 已知f（φ（x））的定义域，求f（h（x））的定义域，先由x的取值范围，求出φ（x）的取值范围，即f（x）中的x的取值范围，即h（x）的取值范围，再根据h（x）的取值范围求出x的取值范围，即f（h（x））的定义域.【迁移应用】1.若函数y＝f（x）的定义域是[－1，3]，则函数g（x）＝的定义域是（ ）A.[0，2] B.[－3，5]C.[－3，－2]∪（2，5] D.（－2，2]2.设函数f（x）＝，则f（）＋f（）的定义域为（ ）A.［，4］ B.[2，4]C.[1，＋∞） D.［，2］3.若函数f（2x）的定义域是[－1，1]，则函数f（2x－1）＋f（2x＋1）的定义域是 .第2课时 函数的概念（二）【基础知识·重落实】知识点一1.（1）[a，b] （2）（a，b） （3）[a，b），（a，b]知识点二定义域 对应关系想一想 提示：不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数.自我诊断1.B 对于选项A，前者定义域为R，后者定义域为{x｜x≠1}，不是同一个函数；对于选项B，虽然变量不同，但定义域和对应关系均相同，是同一个函数；对于选项C，虽然对应关系相同，但定义域不同，不是同一个函数；对于选项D，虽然定义域相同，但对应关系不同，不是同一个函数.2.（1）[1，＋∞） （2）（－∞，＋∞）（3）（－1，2）∪（2，＋∞）3.[1，2] 解析：由y＝（x－1）2＋1的图象（图略）知y∈[1，2].【典型例题·精研析】【例1】 解：（1）{x｜x＜2}可以用区间表示为（－∞，2），用数轴表示如图①.（2）{x｜－1＜x＜0或1≤x≤5}可以用区间表示为（－1，0）∪[1，5]，用数轴表示如图②.（3）{x｜2≤x≤8且x≠5}用区间表示为[2，5）∪（5，8]，用数轴表示如图③.跟踪训练1.（0，1）∪[2，4]2. 解析：由已知得a－1＝－a，解得a＝.此时区间为［－，］.【例2】 AC A：f（x）与φ（t）的定义域相同，又φ（t）＝＝｜t｜，即f（x）与φ（t）的对应关系也相同，∴f（x）与φ（t）是同一个函数；B：y＝的定义域为R，y＝（）2的定义域为{x｜x≥0}，两者定义域不同，故y＝与y＝（）2不是同一个函数；C：y＝·的定义域为{x｜－1≤x≤1}，y＝的定义域为{x｜－1≤x≤1}，即两者定义域相同.又∵y＝·＝，∴两函数的对应关系也相同.故y＝·与y＝是同一个函数；D：∵y＝＝｜x－3｜与y＝x－3的定义域相同，但对应关系不同，∴y＝与y＝x－3不是同一个函数.跟踪训练 ③④ 解析：①f（x）的定义域为{x｜x∈R，且x≠0}，g（x）的定义域为R，f（x）与g（x）的定义域不同，不是同一个函数；②f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为{x｜x∈R，且x≠0}，f（x）与g（x）的定义域不同，不是同一个函数；③虽然表示自变量的字母不同，但f（x）与g（t）的定义域相同，对应关系相同，故是同一个函数.④是同一个函数，定义域、对应关系都相同.【例3】 解：（1）（直接法）∵≥0，∴－1≥－1，∴y＝－1的值域为[－1，＋∞）.（2）（配方法、图象法）y＝x2－4x＋6＝（x－2）2＋2，如图所示，∵x∈[1，5），∴函数y的值域为[2，11）.（3）（换元法）令t＝（t≥0），则x＝1－t2，则y＝－2t2＋4t＋2＝－2（t－1）2＋4（t≥0），结合图象（图略）可得函数的值域为（－∞，4].（4）（分离常数法）y＝＝＝3－.∵≠0，∴y≠3，∴y＝的值域为{y｜y∈R，且y≠3}.跟踪训练 解：（1）因为1≤x＜2，所以1≤x2＜4，所以＜≤1.所以2＜≤8.所以函数的值域是（2，8].（2）因为x＞0，所以x＋≥2＝4（当且仅当x＝2时取等号），可知y＝x＋（x＞0）的值域为[4，＋∞）.（3）因为y＝＝，所以0≤y≤，所以原函数的值域为.随堂检测1.B 不等式x－2≥0的所有解组成的集合为{x｜x≥2}，表示成区间为[2，＋∞）.2.CD 对于A，f（x）＝＝－x与g（x）＝x的对应关系和值域不同，故不是同一个函数.对于B，g（x）＝＝｜x｜与f（x）＝x的对应关系和值域不同，故不是同一个函数.对于C，f（x）＝x0与g（x）＝都可化为y＝1且定义域是{x｜x≠0}，故是同一个函数.对于D，f（x）＝x2－2x－1与g（t）＝t2－2t－1的定义域都是R，对应关系也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一个函数.故选C、D.3.解：（1）∵y＝＝＝5＋，又≠0，知y≠5.∴函数的值域是{y｜y∈R且y≠5}.（2）令t＝（t≥0），∴x＝－t2＋，∴y＝－t2－t＋＝－（t＋1）2＋1，当t≥0时，y≤，∴函数的值域为（－∞，］.拓视野 抽象函数、复合函数的定义域【例1】 解析：由－1＜2x＋1＜2，得－1＜x＜，∴f（2x＋1）的定义域为.【例2】 （－1，5） 解析：∵－1＜x＜2，∴－1＜2x＋1＜5，∴f（x）的定义域为（－1，5）.【例3】 （0，6） 解析：由f（2x＋1）的定义域为（－1，2），得－1＜x＜2，∴－1＜2x＋1＜5，即f（x）的定义域为（－1，5）.由－1＜x－1＜5，得0＜x＜6，∴f（x－1）的定义域为（0，6）.迁移应用1.A 已知函数y＝f（x）的定义域是[－1，3]，要使函数g（x）有意义，则解得0≤x≤2.2.B ∵函数f（x）＝的定义域为[1，＋∞），∴解得2≤x≤4，∴f（）＋f（）的定义域为[2，4].3.［－，］ 解析：因为函数f（2x）的定义域是[－1，1]，所以－2≤2x≤2，所以函数f（x）的定义域为[－2，2]，所以f（2x－1）＋f（2x＋1）的定义域满足条件即所以－≤x≤，所以函数f（2x－1）＋f（2x＋1）的定义域是［－，］.4 / 5(共67张PPT)第2课时 函数的概念（二）目录基础知识·重落实01典型例题·精研析02知能演练·扣课标03基础知识·重落实01课前预习 必备知识梳理设计运行时速达350公里的京津城际列车呈现出超越世界的“中国速度”，使得新时速旅客列车的运行速度值界定在200公里/时与350公里/时之间.（2）还可以用其他形式表示列车的运行速度的范围吗？ 【问题】 （1）如何表示列车的运行速度的范围？知识点一 区间的概念1. 区间的概念设 a ， b 是两个实数，而且 a ＜ b .我们规定：（1）满足不等式 a ≤ x ≤ b 的实数 x 的集合叫做闭区间，表示为 ；（2）满足不等式 a ＜ x ＜ b 的实数 x 的集合叫做开区间，表示为 ；[ a ， b ] （ a ， b ） （3）满足不等式 a ≤ x ＜ b 或0＜ x ≤ b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为 .这里的实数 a 与 b 都叫做相应区间的端点.[ a ， b ），（ a ， b ] 2. 一般区间的表示设 a ， b ∈R，且 a ＜ b ，规定如下：区间 数轴表示[ a ， b ]（ a ， b ）[ a ， b ）（ a ， b ]3. 特殊区间的表示区间 数轴表示[ a ，＋∞）（ a ，＋∞）（－∞， b ]（－∞， b ）提醒 （1）区间只能表示连续的实数集或其子集，开闭不能混淆；（2）用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别；（3）区间是实数集的一种表示形式，集合的运算仍然成立；（4）∞是一个符号，而不是一个数.知识点二 同一个函数前提条件 相同 完全一致结论 这两个函数是同一个函数定义域 对应关系 【想一想】 定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？提示：不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数.1. 下列选项中能表示同一个函数的是（ ）A. y ＝ x ＋1与 y ＝B. y ＝ x2＋1与 s ＝ t2＋1C. y ＝2 x 与 y ＝2 x （ x ≥0）D. y ＝（ x ＋1）2与 y ＝ x2解析： 对于选项A，前者定义域为R，后者定义域为{ x ｜ x≠1}，不是同一个函数；对于选项B，虽然变量不同，但定义域和对应关系均相同，是同一个函数；对于选项C，虽然对应关系相同，但定义域不同，不是同一个函数；对于选项D，虽然定义域相同，但对应关系不同，不是同一个函数.2. 用区间表示下列数集：（1）{ x ｜ x ≥1}＝ ；（2）{ x ｜ x ∈R}＝ ；（3）{ x ｜ x ＞－1且 x ≠2}＝ .3. 函数 f （ x ）＝（ x －1）2＋1， x ∈[1，2]的值域是 .解析：由 y ＝（ x －1）2＋1的图象（图略）知 y ∈[1，2].[1，＋∞） （－∞，＋∞） （－1，2）∪（2，＋∞） [1，2] 典型例题·精研析02课堂互动 关键能力提升题型一 区间的应用【例1】 将下列集合用区间以及数轴表示出来：（1）{ x ｜ x ＜2}；解： { x ｜ x ＜2}可以用区间表示为（－∞，2），用数轴表示如图①.（2）{ x ｜－1＜ x ＜0或1≤ x ≤5}；解： { x ｜－1＜ x ＜0或1≤ x ≤5}可以用区间表示为（－1，0）∪[1，5]，用数轴表示如图②.（3）{ x ｜2≤ x ≤8且 x ≠5}.解： { x ｜2≤ x ≤8且 x ≠5}用区间表示为[2，5）∪（5，8]，用数轴表示如图③.通性通法用区间表示数集的方法（1）区间左端点值小于右端点值；（2）区间两端点之间用“，”隔开；（3）含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号；（4）以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号.【跟踪训练】1. 集合{ x ｜0＜ x ＜1或2≤ x ≤4}用区间表示为 .2. 若区间[ a －1， a ]关于原点对称，则 a ＝ ，此时区间为 .解析：由已知得 a －1＝－ a ，解得 a ＝ .此时区间为 .（0，1）∪[2，4] 题型二 同一个函数的判定【例2】 （多选）下列式子表示同一个函数的是（ ）A. f （ x ）＝｜ x ｜，φ（ t ）＝B. y ＝ ， y ＝（ ）2C. y ＝ · ， y ＝D. y ＝ ， y ＝ x －3解析： A： f （ x ）与φ（ t ）的定义域相同，又φ（ t ）＝＝｜ t ｜，即 f （ x ）与φ（ t ）的对应关系也相同，∴ f （ x ）与φ（ t ）是同一个函数；B： y ＝ 的定义域为R， y ＝（ ）2的定义域为{ x ｜ x ≥0}，两者定义域不同，故 y ＝ 与 y ＝（ ）2不是同一个函数；C： y ＝ · 的定义域为{ x ｜－1≤ x ≤1}， y ＝的定义域为{ x ｜－1≤ x ≤1}，即两者定义域相同.又∵ y ＝· ＝ ，∴两函数的对应关系也相同.故 y ＝· 与 y ＝ 是同一个函数；D：∵ y ＝ ＝｜ x －3｜与 y ＝ x －3的定义域相同，但对应关系不同，∴ y ＝ 与 y ＝ x －3不是同一个函数.通性通法判断两个函数是否为同一个函数的步骤提醒 （1）在化简解析式时，必须是等价变形；（2）与用哪个字母表示无关.【跟踪训练】 下列各组函数：① f （ x ）＝ ， g （ x ）＝ x －1；② f （ x ）＝ x ＋1， g （ x ）＝ x ＋ x0；③ f （ x ）＝（ x －1）2， g （ t ）＝ t2－2 t ＋1；④汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系 f （ t ）＝80 t （0≤ t ≤5）与一次函数 g （ x ）＝80 x （0≤ x ≤5）.其中表示同一个函数的是 .（填上所有正确的序号）③④ 解析：① f （ x ）的定义域为{ x ｜ x ∈R，且 x ≠0}， g （ x ）的定义域为R， f （ x ）与 g （ x ）的定义域不同，不是同一个函数；② f （ x ）的定义域为R， g （ x ）的定义域为{ x ｜ x ∈R，且 x ≠0}， f （ x ）与g （ x ）的定义域不同，不是同一个函数；③虽然表示自变量的字母不同，但 f （ x ）与 g （ t ）的定义域相同，对应关系相同，故是同一个函数.④是同一个函数，定义域、对应关系都相同.题型三 求函数的值域【例3】 求下列函数的值域：（1） y ＝ －1；解： （直接法）∵ ≥0，∴ －1≥－1，∴ y ＝ －1的值域为[－1，＋∞）.（2） y ＝ x2－4 x ＋6， x ∈[1，5）；解： （配方法、图象法） y ＝ x2－4 x ＋6＝（ x －2）2＋2，如图所示，∵ x ∈[1，5），∴函数 y 的值域为[2，11）.（3） y ＝2 x ＋4 ；解： （换元法）令 t ＝ （ t ≥0），则 x ＝1－ t2，则 y ＝－2 t2＋4 t ＋2＝－2（ t －1）2＋4（ t ≥0），结合图象（图略）可得函数的值域为（－∞，4].（4） y ＝ .解： （分离常数法） y ＝ ＝ ＝3－ .∵ ≠0，∴ y ≠3，∴ y ＝ 的值域为{ y ｜ y ∈R，且 y ≠3}.通性通法求函数值域常用的5种方法（1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；（2）配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；（3）图象法：通过画出函数的图象，由图形的直观性获得函数的值域；（4）换元法：通过对函数的表达式进行适当换元，可将复杂的函数化归为简单的函数，从而利用简单函数自变量的取值范围求函数的值域；（5）分离常数法：此方法主要是针对分式函数，即将分式函数转化为“反比例函数”的形式，便于求值域.【跟踪训练】 求下列函数的值域：（1） y ＝ ， x ∈[1，2）；解： 因为1≤ x ＜2，所以1≤ x2＜4，所以 ＜ ≤1.所以2＜ ≤8.所以函数的值域是（2，8].（2） y ＝ x ＋ （ x ＞0）；解： 因为 x ＞0，所以 x ＋ ≥2 ＝4（当且仅当 x ＝2时取等号），可知 y ＝ x ＋ （ x ＞0）的值域为[4，＋∞）.（3） y ＝ .解： 因为 y ＝ ＝ ，所以0≤ y ≤ ，所以原函数的值域为 .1. 不等式 x －2≥0的所有解组成的集合表示成区间是（ ）A. （2，＋∞） B. [2，＋∞）C. （－∞，2） D. （－∞，2]解析： 不等式 x －2≥0的所有解组成的集合为{ x ｜ x ≥2}，表示成区间为[2，＋∞）.2. （多选）下列各组函数是同一个函数的是（ ）A. f （ x ）＝ 与 g （ x ）＝ xB. f （ x ）＝ x 与 g （ x ）＝C. f （ x ）＝ x0与 g （ x ）＝D. f （ x ）＝ x2－2 x －1与 g （ t ）＝ t2－2 t －1解析： 对于A， f （ x ）＝ ＝－ x 与 g （ x ）＝ x的对应关系和值域不同，故不是同一个函数.对于B， g（ x ）＝ ＝｜ x ｜与 f （ x ）＝ x 的对应关系和值域不同，故不是同一个函数.对于C， f （ x ）＝ x0与 g （ x ）＝ 都可化为 y ＝1且定义域是{ x ｜ x ≠0}，故是同一个函数.对于D， f （ x ）＝ x2－2 x－1与 g （ t ）＝ t2－2 t －1的定义域都是R，对应关系也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一个函数.故选C、D.3. 求下列函数的值域：（1） y ＝ ；解： ∵ y ＝ ＝ ＝5＋ ，又 ≠0，知 y ≠5.∴函数的值域是{ y ｜ y ∈R且 y ≠5}.（2） y ＝ x － .解： 令 t ＝ （ t ≥0），∴ x ＝－ t2＋ ，∴ y ＝－ t2－ t ＋ ＝－ （ t ＋1）2＋1，当 t ≥0时， y ≤ ，∴函数的值域为（－∞， ］. 抽象函数、复合函数的定义域1. 抽象函数的概念没有给出具体数学表达式的函数，称为抽象函数.2. 复合函数的概念若函数 y ＝ f （ t ）的定义域为 A ，函数 t ＝ g （ x ）的定义域为 D ，值域为 C ，则当 C A 时，称函数 y ＝ f （ g （ x ））为 f （ t ）与 g（ x ）在 D 上的复合函数，其中 t 叫做中间变量， t ＝ g （ x ）叫做内层函数， y ＝ f （ t ）叫做外层函数.提醒 由复合函数的定义可知，内层函数的值域是外层函数的定义域或定义域的子集，外层函数的定义域和内层函数的值域共同确定了复合函数的定义域.3. 抽象函数或复合函数的定义域理解抽象函数或复合函数的定义域，要明确以下几点：（1）函数的定义域是自变量 x 的取值范围，比如：函数 f （ x ）的定义域是指 x 的取值范围，函数 f （ g （ x ））的定义域也是指 x 的取值范围，而不是 g （ x ）的取值范围；（2） f （ t ）， f （ x ）， f （φ（ x ））， f （ h （ x ））四个函数中的 t ， x ，φ（ x ）， h （ x ）在对应关系 f 下的范围相同；（3）已知 f （ x ）的定义域为 A ，求 f （φ（ x ））的定义域，其实质是已知φ（ x ）的取值范围（值域）为 A ，求 x 的取值范围.一、已知 f （ x ）的定义域，求 f （ g （ x ））的定义域【例1】 若函数 f （ x ）的定义域为（－1，2），则函数 f （2 x ＋1）的定义域为 .解析：由－1＜2 x ＋1＜2，得－1＜ x ＜ ，∴ f （2 x ＋1）的定义域为.方法总结 若 f （ x ）的定义域为[ a ， b ]，则 f （ g （ x ））中 g （ x ）∈[ a ， b ]，从中解得 x 的解集即 f （ g （ x ））的定义域. 二、已知 f （ g （ x ））的定义域，求 f （ x ）的定义域【例2】 若函数 f （2 x ＋1）的定义域为（－1，2），则函数 f （ x ）的定义域为 .解析：∵－1＜ x ＜2，∴－1＜2 x ＋1＜5，∴ f （ x ）的定义域为（－1，5）.方法总结 若 f （ g （ x ））的定义域为[ m ， n ]，则由 x ∈[ m ， n ]可确定 g（ x ）的范围，设 u ＝ g （ x ），则 f （ g （ x ））＝ f （ u ），又 f（ u ）与 f （ x ）是同一函数，所以 g （ x ）的范围即 f （ x ）的定义域.（－1，5） 三、已知 f （ g （ x ））的定义域，求 f （ h （ x ））的定义域【例3】 若函数 f （2 x ＋1）的定义域为 （－1，2），则函数 f （ x －1）的定义域为 .（0，6） 解析：由 f （2 x ＋1）的定义域为（－1，2），得－1＜ x ＜2，∴－1＜2 x ＋1＜5，即 f （ x ）的定义域为（－1，5）.由－1＜ x －1＜5，得0＜ x ＜6，∴ f （ x －1）的定义域为（0，6）.方法总结 已知 f （φ（ x ））的定义域，求 f （ h （ x ））的定义域，先由 x的取值范围，求出φ（ x ）的取值范围，即 f （ x ）中的 x 的取值范围，即 h （ x ）的取值范围，再根据 h （ x ）的取值范围求出 x 的取值范围，即 f （ h （ x ））的定义域.【迁移应用】1. 若函数 y ＝ f （ x ）的定义域是[－1，3]，则函数 g （ x ）＝的定义域是（ ）A. [0，2] B. [－3，5]C. [－3，－2]∪（2，5] D. （－2，2]解析： 已知函数 y ＝ f （ x ）的定义域是[－1，3]，要使函数 g（ x ）有意义，则解得0≤ x ≤2.2. 设函数 f （ x ）＝ ，则 f （ ）＋ f （ ）的定义域为（ ）A. ［ ，4］ B. [2，4]C. [1，＋∞） D. ［ ，2］解析： ∵函数 f （ x ）＝ 的定义域为[1，＋∞），∴解得2≤ x ≤4，∴ f （ ）＋ f （ ）的定义域为[2，4].3. 若函数 f （2 x ）的定义域是[－1，1]，则函数 f （2 x －1）＋ f （2 x＋1）的定义域是 .解析：因为函数 f （2 x ）的定义域是[－1，1]，所以－2≤2 x ≤2，所以函数 f （ x ）的定义域为[－2，2]，所以 f （2 x －1）＋ f （2 x＋1）的定义域满足条件即所以－ ≤ x ≤ ，所以函数 f （2 x －1）＋ f （2 x ＋1）的定义域是［－ ， ］.［－ ， ］ 知能演练·扣课标03课后巩固 核心素养落地1. 区间（－3，2]用集合可表示为（ ）A. {－2，－1，0，1，2} B. { x ｜－3＜ x ＜2}C. { x ｜－3＜ x ≤2} D. { x ｜－3≤ x ≤2}解析： 由区间和集合的关系，可得区间（－3，2]可表示为{ x ｜－3＜ x ≤2}，故选C.123456789101112131415162. 已知函数 f （ x ）＝ ，则 f （ x ）的值域是（ ）A. B.C. D. （0，＋∞）解析： ∵ x2＋2≥2，∴0＜ ≤ ，∴ f （ x ）的值域为.故选C.123456789101112131415163. 与函数 y ＝ x 是同一个函数的是（ ）A. y ＝｜ x ｜ B. y ＝C. y ＝ D. y ＝解析： 选项A和选项C中，函数的值域都是[0，＋∞）；选项D中，函数的定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞）；选项B中函数的定义域和值域都和函数 y ＝ x 相同，对应关系也等价，因此选B.123456789101112131415164. 已知函数 f （ x ）＝－2 x ＋3的值域为[－5，5]，则它的定义域为（ ）A. [－5，5] B. [－7，13]C. [－4，1] D. [－1，4]解析： 由函数 f （ x ）＝－2 x ＋3的值域为[－5，5]可知－5≤3－2 x ≤5，解得－1≤ x ≤4，故选D.123456789101112131415165. （多选）已知函数 y ＝ x2－2 x ＋2的值域是[1，2]，则其定义域可能是（ ）A. [0，1] B. [1，2]C. D. [－1，1]解析： 由 x2－2 x ＋2＝1，得 x2－2 x ＋1＝0，即（ x －1）2＝0，得 x ＝1.由 x2－2 x ＋2＝2，得 x2－2 x ＝0，即 x ＝0或 x ＝2.设定义域为[ a ， b ]，若 a ＝0，则1≤ b ≤2，则A正确；若 b ＝2，则0≤a ≤1，则B、C正确.故选A、B、C.123456789101112131415166. （多选）下列函数中，值域为[0，4]的是（ ）A. f （ x ）＝ x －1， x ∈[1，5]B. f （ x ）＝－ x2＋4C. f （ x ）＝D. f （ x ）＝ x ＋ －2（ x ＞0）12345678910111213141516解析： x ∈[1，5]时， x －1∈[0，4]，所以函数 f （ x ）＝ x－1， x ∈[1，5]的值域是[0，4]，故A正确；因为－ x2≤0，所以－ x2＋4≤4，所以函数值域是（－∞，4]，故B错误；因为－x2≤0，所以16－ x2≤16，又16－ x2≥0，所以0≤ ≤4，即函数值域为[0，4]，故C正确；因为 x ＞0，所以 x ＋ ≥2（当且仅当 x ＝1时取等号），所以 x ＋ －2≥0，故函数值域为[0，＋∞），故D错误.故选A、C.123456789101112131415167. 下表表示 y 是 x 的函数，则函数的值域是 .x x ＜2 2≤ x ≤3 x ＞3y －1 0 1解析：函数值只有－1，0，1三个数值，故值域为{－1，0，1}.{－1，0，1} 123456789101112131415168. 已知区间（4 p －1，2 p ＋1），则 p 的取值范围为 .解析：由题意，得4 p －1＜2 p ＋1，所以 p ＜1.（－∞，1） 123456789101112131415169. 函数 y ＝ x2＋ x （－1≤ x ≤3）的值域为 .解析：二次函数 y ＝ x2＋ x 的图象开口向上，对称轴为 x ＝－ ，当x ＝－ 时，函数取得最小值－ .当 x ＝3时，函数取得最大值12，因此函数的值域为 . 1234567891011121314151610. 求下列函数的值域：（1） y ＝ ；解： （分离常数法）因为 y ＝ ＝1－ ，且定义域为{ x ｜ x ≠－1}，所以 ≠0，即 y ≠1.所以函数y ＝ 的值域为{ y ｜ y ∈R，且 y ≠1}.12345678910111213141516（2） y ＝2 x － .解： （换元法）设 t ＝ ，则 t ≥0且 x ＝ t2＋1，所以 y ＝2（ t2＋1）－ t ＝2 ＋ ，由 t ≥0，再结合函数的图象（如图），可得函数的值域为 .1234567891011121314151611. 若函数 f （ x ）＝ （ x ≠2）的值域为集合 P ，则下列元素中不属于 P 的是（ ）A. 2 B. －2 C. －1 D. －3解析： f （ x ）＝ ＝ ＝－3－ ，值域为{ y ｜ y ≠－3}，即 P ＝{ y ｜ y ≠－3}，故选D.1234567891011121314151612. （多选）若函数 y ＝ 在区间[－2，－1]上有意义，则实数 a的可能取值是（ ）A. －1 B. 1C. 3 D. 5解析： 函数 y ＝ 在区间[－2，－1]上有意义，等价于＋1≥0在区间[－2，－1]上恒成立，由 x ＜0，得 a ≤－ x 在区间[－2，－1]上恒成立，∴ a ≤1，故选A、B.1234567891011121314151613. 函数 y ＝ （ x ＞1）的值域是 .解析：∵当 x ＞1时，函数 y ＝ ＝ ＝（ x －1）－2＋ ≥2 －2＝0，当且仅当 x －1＝，即 x ＝2时，等号成立，∴ y ≥0，即函数的值域为[0，＋∞）.[0，＋∞） 12345678910111213141516解：存在.理由如下：f （ x ）＝ x2－ x ＋ ＝ （ x －1）2＋1的对称轴为 x ＝1，顶点（1，1）且开口向上.∵ m ＞1，∴当 x ∈[1， m ]时， y 随 x 的增大而增大，∴要使 f （ x ）的定义域和值域都是[1， m ]，则有∴ m2－ m ＋ ＝ m ，即 m2－4 m ＋3＝0，∴ m ＝3或 m ＝1（舍）∴存在实数 m ＝3满足条件.14. 已知函数 f （ x ）＝ x2－ x ＋ ，是否存在实数 m ，使得函数的定义域和值域都是[1， m ]（ m ＞1）？若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由.1234567891011121314151615. （多选）若函数 f （ x ）＝ 的值域是[0，＋∞），则实数 a 的可能取值是（ ）A. 6 B. 7 C. 8 D. 9解析： 法一 令 g （ x ）＝ ax2＋ ax ＋2，要使 f （ x ）＝的值域是[0，＋∞），只需 a ＞0且Δ＝ a2－8 a ≥0，解得 a ≥8，故选C、D.法二 令 g （ x ）＝ ax2＋ ax ＋2，要使 f （ x ）的值域包括0，则 g（ x ）的最小值小于等于0.故解得 a ≥8.故选C、D.1234567891011121314151616. 规定符号*表示一种运算，即a*b＝ ＋ a ＋ b （ a ， b 为正实数）且1*k＝3.（1）求正整数 k ；解： 由已知得，1*k＝ ＋1＋ k ＝3，解得 ＝1或 ＝－2（舍去），所以 k ＝1.12345678910111213141516（2）求函数 y ＝k*x的值域.解： y ＝k*x＝ ＋1＋ x ＝ ＋ （ x ＞0），令 t ＝ ，则 y ＝ ＋ （ t ＞0），结合函数的图象（图略），可得 y ＞ ＋ ＝1，所以函数的值域为（1，＋∞）.12345678910111213141516谢 谢 观 看！ 展开更多...... 收起↑ 资源列表 3.1.1 第1课时 函数的概念（一）.docx 3.1.1 第1课时 函数的概念（一）.pptx 3.1.1 第1课时 函数的概念（一）（练习，含解析）.docx 3.1.1 第2课时 函数的概念（二）.docx 3.1.1 第2课时 函数的概念（二）.pptx 3.1.1 第2课时 函数的概念（二）（练习，含解析）.docx
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