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第2课时　求函数的解析式
1.若一次函数的图象经过点A（1，6）和B（2，8），则该函数的图象还经过的点的坐标为（　　）
A.（，5） B.（，4）
C.（－1，2） D.（－2，1）
2.已知f（）＝x－1，则f（x）＝（　　）
A.x2－1 B.x2＋1
C.x2＋1（x≥0） D.x2－1（x≥0）
3.若对于任意实数x，恒有2f（x）－f（－x）＝3x＋1，则f（1）＝（　　）
A.1 B.2
C.3 D.4
4.已知2f（x）＋f（）＝3x（x≠0），则f（x）＝（　　）
A.2x（x≠0） B.（x≠0）
C.2x＋（x≠0） D.2x－（x≠0）
5.已知二次函数f（x）满足f（2x）＋f（x－1）＝10x2－7x＋5，则f（f（1））＝（　　）
A.1 B.7
C.8 D.15
6.（多选）已知f（2x＋1）＝x2，则下列结论正确的是（　　）
A.f（－3）＝4 B.f（x）＝
C.f（x）＝x2 D.f（3）＝9
7.已知二次函数f（x）满足f（0）＝1，f（1）＝2，f（2）＝5，则f（x）的解析式为　　　　.
8.已知函数F（x）＝f（x）＋g（x），其中f（x）是x的正比例函数，g（x）是x的反比例函数，且F＝16，F（1）＝8，则F（x）的解析式为　　　　.
9.已知f（）＝，那么f（x）的解析式为　　　　.
10.已知函数f（x）＝（a，b为常数，且a≠0）满足f（2）＝1，方程f（x）＝x有唯一解，求函数f（x）的解析式，并求f[f（－3）]的值.
11.已知f（x）＝，则f（2x）＋f（）＝（　　）
A.1 B.2
C.3 D.4
12.（多选）设f（x）＝，则下列结论正确的有（　　）
A.f（－x）＝－f（x） B.f（）＝－f（x）
C.f（－）＝f（x） D.f（－x）＝f（x）
13.已知函数f（x）＝x＋1，则f（f（f（x）））的表达式为　　　　　；
　　　　n个f（n∈N*）的表达式为　　　　.
14.在①f（x＋1）＝f（x）＋2x－1；②f（x＋1）＝f（1－x），且f（0）＝3；③f（x）≥2恒成立，且f（0）＝3，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.
问题：已知二次函数f（x）的图象经过点（1，2），　　　　.
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[－1，4]上的值域.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
15.已知函数f（x）是一次函数，且f[f（x）－4x]＝5恒成立，则f（2）＝　　　　.
16.若函数f（x）满足2f（x）－f（－x）＝x2－3x＋1.
（1）求f（x）的解析式；
（2）若在区间[－1，1]上不等式f（x）＞2x＋m有解，求实数m的取值范围.
第2课时　求函数的解析式
1.C　设一次函数的解析式为y＝kx＋b（k≠0），则由该函数的图象经过点A（1，6）和B（2，8），得解得所以此函数的解析式为y＝2x＋4，则C选项中的坐标符合此函数的解析式.故选C.
2.D　令t＝，则t≥0，x＝t2，所以f（t）＝t2－1（t≥0），即f（x）＝x2－1（x≥0）.
3.B　令x＝1，得2f（1）－f（－1）＝4①，令x＝－1，得2f（－1）－f（1）＝－2②，联立①②得，f（1）＝2.
4.D　已知2f（x）＋f（）＝3x①，用代换①中的x，得2f（）＋f（x）＝②，由①×2－②并整理，得f（x）＝2x－（x≠0）.
5.B　设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）.因为f（2x）＋f（x－1）＝10x2－7x＋5，所以4ax2＋2bx＋c＋a（x－1）2＋b（x－1）＋c＝10x2－7x＋5，即5ax2＋（3b－2a）x＋a－b＋2c＝10x2－7x＋5，所以解得所以f（x）＝2x2－x＋1.所以f（1）＝2－1＋1＝2，所以f（f（1））＝f（2）＝2×4－2＋1＝7.
6.AB　f（2x＋1）＝x2，当x＝－2时f（－3）＝4，故A正确；令t＝2x＋1，则x＝，所以f（t）＝＝，则f（x）＝，故B正确，C错误；f（3）＝＝1，故D错误.故选A、B.
7.f（x）＝x2＋1　解析：设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），
所以解得所以f（x）＝x2＋1.
8.F（x）＝3x＋　解析：设f（x）＝kx（k≠0），g（x）＝（m≠0），则F（x）＝kx＋.由F＝16，F（1）＝8，得解得所以F（x）＝3x＋.
9.f（x）＝（x≠－1且x≠0）
解析：由f（）＝可知，函数f（x）的定义域为{x｜x≠0且x≠－1}.令t＝，则f（t）＝＝，故f（x）＝（x≠－1且x≠0）.
10.解：由f（x）＝x，得＝x，
即ax2＋（b－1）x＝0.
因为方程f（x）＝x有唯一解，
所以Δ＝（b－1）2＝0，即b＝1.
又因为f（2）＝1，所以＝1.
所以a＝.
所以f（x）＝＝.
所以f[f（－3）]＝f（6）＝.
11.A　∵f（x）＝，∴f（2x）＋f（）＝＋＝＋＝＝1，x∈（－∞，－1）∪（－1，－）∪（－，0）∪（0，＋∞）.
12.BD　因为f（x）＝，所以f（－x）＝＝f（x），故A错误，D正确；f（）＝＝＝－f（x），f（－）＝＝＝－f（x），故B正确，C错误.
13.f（f（f（x）））＝x＋3
　　　　n个f（n∈N*）＝x＋n　解析：当n＝1，f（x）＝x＋1，当n＝2，f（f（x））＝（x＋1）＋1＝x＋2，当n＝3，f（f（f（x）））＝（x＋2）＋1＝x＋3，当n＝4，f（f（f（f（x））））＝（x＋3）＋1＝x＋4，归纳推理可知，
　　　　n个f（n∈N*）＝x＋n.
14.解：选条件①.
（1）设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），
则f（x＋1）＝a（x＋1）2＋b（x＋1）＋c＝ax2＋（2a＋b）x＋a＋b＋c.
因为f（x＋1）＝f（x）＋2x－1，
所以ax2＋（2a＋b）x＋a＋b＋c＝ax2＋bx＋c＋2x－1，
所以解得
因为函数f（x）的图象经过点（1，2），
所以f（1）＝a＋b＋c＝1－2＋c＝2，得c＝3.
故f（x）＝x2－2x＋3.
（2）由（1）可知f（x）＝x2－2x＋3＝（x－1）2＋2.
因为－1≤x≤4，所以－2≤x－1≤3，
所以0≤（x－1）2≤9，所以2≤（x－1）2＋2≤11.
所以f（x）在[－1，4]上的值域为[2，11].
选条件②.
（1）设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），
则f（x＋1）＝a（x＋1）2＋b（x＋1）＋c＝ax2＋（2a＋b）x＋a＋b＋c，
f（1－x）＝a（1－x）2＋b（1－x）＋c＝ax2－（2a＋b）x＋a＋b＋c，因为f（x＋1）＝f（1－x），所以（2a＋b）x＝－（2a＋b）x，所以2a＋b＝0，
由题意可得
解得
故f（x）＝x2－2x＋3.
（2）同选条件①.
选条件③.
（1）设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）.
因为f（0）＝3，所以c＝3.
因为f（x）≥2＝f（1）恒成立，所以解得
故f（x）＝x2－2x＋3.
（2）同选条件①.
15.9　解析：法一　因为f（x）为一次函数，可设f（x）＝kx＋b（k≠0），又f[f（x）－4x]＝5恒成立，所以f[（kx＋b）－4x]＝k[（kx＋b）－4x]＋b＝（k2－4k）x＋kb＋b＝5恒成立，所以k2－4k＝0（k≠0）且kb＋b＝5，解得k＝4，b＝1，所以f（x）＝4x＋1，f（2）＝4×2＋1＝9.
法二　因为函数f（x）是一次函数，且f[f（x）－4x]＝5恒成立，令f（x）－4x＝t，则f（x）＝4x＋t，所以f（t）＝4t＋t＝5，解得t＝1，所以f（x）＝4x＋1，f（2）＝2×4＋1＝9.
16.解：（1）函数f（x）满足2f（x）－f（－x）＝x2－3x＋1， ①
则有2f（－x）－f（x）＝x2＋3x＋1， ②
由①②可得，f（x）＝x2－x＋1.
（2）由题意可得，x2－x＋1＞2x＋m在[－1，1]有解，
即x2－3x＋1－m＞0在[－1，1]上有解，
令g（x）＝x2－3x＋1－m＝（x－）2－－m，其对称轴为直线x＝，
则g（x）在区间[－1，1]上的最大值为g（－1），
故g（－1）＝1＋3＋1－m＞0，解得m＜5，
所以实数m的取值范围为（－∞，5）.
2 / 2第2课时　求函数的解析式
　　在上一节我们已经知道函数的表示法有列表法、图象法和解析法三种.
【问题】　那么你知道求函数解析式的方法有哪几种吗？
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
知识点　求函数解析式的常用方法
1.待定系数法：已知f（x）的函数类型，要求f（x）的解析式时，可根据类型设其解析式，确定其系数即可.
2.换元法：令t＝g（x），再求出f（t）的解析式，然后用x代替f[g（x）]解析式中所有的t即可.
3.配凑法：已知f[g（x）]的解析式，要求f（x）时，可从f[g（x）]的解析式中配凑出“g（x）”，即用g（x）来表示，再将解析式两边的g（x）用x代替即可.
4.赋值法：当所给函数含有两个不同的变量时，常用特殊值代入法求f（x）的解析式，其解题基本思路是，令变量取某些特殊值，从而减少未知元，求出f（x）的解析式.
5.方程组法：通过赋予不同变量构造一组方程，通过解新旧方程的方法求出f（x）的解析式.
1.已知y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为（　　）
A.y＝ B.y＝－x
C.y＝ D.y＝
2.函数y＝f（x）的图象如图，则f（x）的解析式为　　　　.
3.已知函数f（2x－1）＝4x＋6，则f（x）的解析式为　　　　.
题型一 待定系数法求函数解析式
【例1】　已知函数f（x）是二次函数，且满足f（0）＝1，f（x＋1）－f（x）＝2x，求f（x）的解析式.
通性通法
用待定系数法求函数解析式的步骤
（1）设出所求函数含有待定系数的解析式；
（2）把已知条件代入解析式，列出关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，得到待定系数的值；
（4）将所求待定系数的值带回所设的解析式.
【跟踪训练】
　已知f（x）是一次函数，且f（f（x））＝9x＋4，求f（x）的解析式.
题型二 换元法（配凑法）求函数解析式
【例2】　（1）已知f（x）＝2x－1，g（x）＝（x≠－1），求f（x＋3），f（2x－1），f[g（x）]的解析式；
（2）已知f（ ）＝＋，求f（x）的解析式.
通性通法
换元法、配凑法求函数解析式
　　已知f（g（x））＝h（x）求f（x），有两种方法：
（1）换元法：即令t＝g（x），解出x，代入h（x）中，得到一个含t的解析式，再用x替换t，便得到f（x）的解析式.利用换元法解题时，换元后要确定新元t的取值范围，即函数f（x）的定义域；
（2）配凑法：即从f（g（x））的解析式中配凑出g（x），用g（x）来表示h（x），然后将解析式中的g（x）用x代替即可.
【跟踪训练】
　已知函数f（＋1）＝x＋2，求函数f（x）的解析式.
题型三 方程组法求函数解析式
【例3】　已知函数f（x）对于任意的x都有f（x）－2f（－x）＝1＋2x，求f（x）的解析式.
通性通法
方程组法求函数解析式
　　方程组法（消去法），适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如互为相反数的f（－x），f（x）的函数方程，通过对称规律再构造一个关于f（－x），f（x）的方程，联立解出f（x）.
【跟踪训练】
　已知函数f（x）满足f（x）＋2f＝x，求函数f（x）的解析式.
题型四 赋值法求函数解析式
【例4】　已知函数f（x）对于一切实数x，y都有f（x＋y）－f（y）＝（x＋2y＋1）x成立，且f（1）＝0.
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的解析式.
通性通法
赋值法求函数解析式
　　赋值法求函数解析式的关键是赋值，至于如何赋值，要根据题目来确定，通常可通过赋予不同的值达到解题的目的.常见的有令x＝0，1，－1或令x＝－t，等.
【跟踪训练】
　设f（x）是R上的函数，满足f（0）＝1，并且对任意的实数x，y，都有f（x－y）＝f（x）－y（2x－y＋1），求f（x）的解析式.
　　
1.已知函数f（x＋1）＝3x＋2，则f（x）的解析式是（　　）
A.f（x）＝3x－1 B.f（x）＝3x＋1
C.f（x）＝3x＋2 D.f（x）＝3x＋4
2.已知一次函数f（x）满足2f（x）＋f（x＋1）＝9x＋6，则f（4）＝（　　）
A.12 B.13
C.14 D.15
3.已知f（x2＋2）＝x4＋4x2，则f（x）的解析式为　　　　.
第2课时　求函数的解析式
【基础知识·重落实】
自我诊断
1.C　设y＝，由题意得1＝，解得k＝2，所以y＝.
2.f（x）＝x＋1（x≠0）
3.f（x）＝2x＋8　解析：令t＝2x－1，则x＝，所以f（t）＝4×＋6＝2t＋8，则f（x）＝2x＋8.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）.
∵f（0）＝1，∴c＝1.
又∵f（x＋1）－f（x）＝2x，
∴a（x＋1）2＋b（x＋1）＋1－（ax2＋bx＋1）＝2x，
整理得，2ax＋（a＋b）＝2x.
由恒等式的性质知，上式中对应项的系数相等，
∴解得∴f（x）＝x2－x＋1.
跟踪训练
　解：设f（x）＝kx＋b（k≠0）.
则f（f（x））＝k（kx＋b）＋b＝k2x＋kb＋b＝9x＋4.
所以解得或
所以f（x）＝3x＋1或f（x）＝－3x－2.
【例2】　解：（1）∵f（x）＝2x－1，g（x）＝（x≠－1），
∴f（x＋3）＝2（x＋3）－1＝2x＋5，
f（2x－1）＝2（2x－1）－1＝4x－3，
f[g（x）]＝f（ ）＝2（ ）－1＝（x≠－1）.
（2）法一（换元法）　令t＝＝＋1，则t≠1，x＝.
由f（ ）＝＋得f（t）＝＋＝（t－1）2＋1＋（t－1）＝t2－t＋1.
∴所求函数的解析式为f（x）＝x2－x＋1（x≠1）.
法二（配凑法）　∵f（）＝＋＝（ ）2－＝（ ）2－＋1，
∴f（x）＝x2－x＋1.
又∵＝＋1≠1，
∴所求函数的解析式为f（x）＝x2－x＋1（x≠1）.
跟踪训练
　解：法一（配凑法）　x＋2＝（）2＋2＋1－1＝（＋1）2－1，
∴f（＋1）＝（＋1）2－1，
∵＋1≥1，
∴f（x）＝x2－1（x≥1）.
法二（换元法）　令t＝＋1，则x＝（t－1）2，t≥1.
代入原式，得f（t）＝（t－1）2＋2（t－1）＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.
∴f（x）＝x2－1（x≥1）.
【例3】　解：在f（x）－2f（－x）＝1＋2x中，以－x代换x，可得f（－x）－2f（x）＝1－2x，
则
消去f（－x），可得f（x）＝x－1.
跟踪训练
　解：在已知等式中，将x换成，得f＋2f（x）＝，
与已知方程联立，
得
消去f，得f（x）＝－＋（x≠0）.
【例4】　解：（1）取x＝1，y＝0，则有f（1＋0）－f（0）＝（1＋0＋1）×1 f（0）＝f（1）－2＝0－2＝－2.
（2）取y＝0，则有f（x＋0）－f（0）＝（x＋0＋1）x，整理得f（x）＝x2＋x－2.
跟踪训练
　解：法一　∵f（0）＝1，f（x－y）＝f（x）－y（2x－y＋1），∴可令y＝x，则f（x－y）＝f（0）＝f（x）－x（2x－x＋1）＝1，∴f（x）＝x2＋x＋1.
法二　令x＝0，得f（0－y）＝f（0）－y（－y＋1），即f（－y）＝1－y（－y＋1），用x代替－y，得f（x）＝x2＋x＋1.
随堂检测
1.A　令x＋1＝t，则x＝t－1，∴f（t）＝3（t－1）＋2＝3t－1.∴f（x）＝3x－1.
2.B　设f（x）＝ax＋b（a≠0），则2f（x）＋f（x＋1）＝2ax＋2b＋a（x＋1）＋b＝3ax＋a＋3b＝9x＋6，所以解得所以f（x）＝3x＋1，f（4）＝13.故选B.
3.f（x）＝x2－4（x≥2）　解析：因为f（x2＋2）＝x4＋4x2＝（x2＋2）2－4，令t＝x2＋2（t≥2），则f（t）＝t2－4（t≥2），所以f（x）＝x2－4（x≥2）.
3 / 3(共57张PPT)
第2课时　
求函数的解析式
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　在上一节我们已经知道函数的表示法有列表法、图象法和解析法
三种.
【问题】　那么你知道求函数解析式的方法有哪几种吗？

知识点　求函数解析式的常用方法
1. 待定系数法：已知 f （ x ）的函数类型，要求 f （ x ）的解析式时，
可根据类型设其解析式，确定其系数即可.
2. 换元法：令 t ＝ g （ x ），再求出 f （ t ）的解析式，然后用 x 代替 f
[ g （ x ）]解析式中所有的 t 即可.
3. 配凑法：已知 f [ g （ x ）]的解析式，要求 f （ x ）时，可从 f [ g
（ x ）]的解析式中配凑出“ g （ x ）”，即用 g （ x ）来表示，再
将解析式两边的 g （ x ）用 x 代替即可.
4. 赋值法：当所给函数含有两个不同的变量时，常用特殊值代入法求
f （ x ）的解析式，其解题基本思路是，令变量取某些特殊值，从
而减少未知元，求出 f （ x ）的解析式.
5. 方程组法：通过赋予不同变量构造一组方程，通过解新旧方程的方
法求出 f （ x ）的解析式.
1. 已知 y 与 x 成反比，且当 x ＝2时， y ＝1，则 y 关于 x 的函数关系式
为（　　）
A. y ＝ B. y ＝－ x
C. y ＝ D. y ＝
解析： 　设 y ＝ ，由题意得1＝ ，解得 k ＝2，所以 y ＝ .
2. 函数 y ＝ f （ x ）的图象如图，则 f （ x ）的解析式为
.
f （ x ）＝ x
＋1（ x ≠0）　
3. 已知函数 f （2 x －1）＝4 x ＋6，则 f （ x ）的解析式为
.
解析：令 t ＝2 x －1，则 x ＝ ，所以 f （ t ）＝4× ＋6＝2 t ＋
8，则 f （ x ）＝2 x ＋8.
f （ x ）＝2
x ＋8　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 待定系数法求函数解析式
【例1】　已知函数 f （ x ）是二次函数，且满足 f （0）＝1， f （ x ＋
1）－ f （ x ）＝2 x ，求 f （ x ）的解析式.
解：设 f （ x ）＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0）.
∵ f （0）＝1，∴ c ＝1.
又∵ f （ x ＋1）－ f （ x ）＝2 x ，
∴ a （ x ＋1）2＋ b （ x ＋1）＋1－（ ax2＋ bx ＋1）＝2 x ，
整理得，2 ax ＋（ a ＋ b ）＝2 x .
由恒等式的性质知，上式中对应项的系数相等，
∴解得∴ f （ x ）＝ x2－ x ＋1.
通性通法
用待定系数法求函数解析式的步骤
（1）设出所求函数含有待定系数的解析式；
（2）把已知条件代入解析式，列出关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，得到待定系数的值；
（4）将所求待定系数的值带回所设的解析式.
【跟踪训练】
　已知 f （ x ）是一次函数，且 f （ f （ x ））＝9 x ＋4，求 f （ x ）的解
析式.
解：设 f （ x ）＝ kx ＋ b （ k ≠0）.
则 f （ f （ x ））＝ k （ kx ＋ b ）＋ b ＝ k2 x ＋ kb ＋ b ＝9 x ＋4.
所以解得或
所以 f （ x ）＝3 x ＋1或 f （ x ）＝－3 x －2.
题型二 换元法（配凑法）求函数解析式
【例2】　（1）已知 f （ x ）＝2 x －1， g （ x ）＝ （ x ≠－1），求
f （ x ＋3）， f （2 x －1）， f [ g （ x ）]的解析式；
解： ∵ f （ x ）＝2 x －1， g （ x ）＝ （ x ≠－1），
∴ f （ x ＋3）＝2（ x ＋3）－1＝2 x ＋5，
f （2 x －1）＝2（2 x －1）－1＝4 x －3，
f [ g （ x ）]＝ f （ ）＝2（ ）－1＝ （ x ≠－1）.
（2）已知 f （ ）＝ ＋ ，求 f （ x ）的解析式.
解： 法一（换元法）　令 t ＝ ＝ ＋1，则 t ≠1， x ＝ .
由 f （ ）＝ ＋ 得 f （ t ）＝ ＋ ＝（ t －1）2
＋1＋（ t －1）＝ t2－ t ＋1.
∴所求函数的解析式为 f （ x ）＝ x2－ x ＋1（ x ≠1）.
法二（配凑法）　∵ f （ ）＝ ＋ ＝（ ）2－ ＝
（ ）2－ ＋1，
∴ f （ x ）＝ x2－ x ＋1.
又∵ ＝ ＋1≠1，
∴所求函数的解析式为 f （ x ）＝ x2－ x ＋1（ x ≠1）.
通性通法
换元法、配凑法求函数解析式
　　已知 f （ g （ x ））＝ h （ x ）求 f （ x ），有两种方法：
（1）换元法：即令 t ＝ g （ x ），解出 x ，代入 h （ x ）中，得到一个
含 t 的解析式，再用 x 替换 t ，便得到 f （ x ）的解析式.利用换元
法解题时，换元后要确定新元 t 的取值范围，即函数 f （ x ）的定
义域；
（2）配凑法：即从 f （ g （ x ））的解析式中配凑出 g （ x ），用 g
（ x ）来表示 h （ x ），然后将解析式中的 g （ x ）用 x 代替即可.
【跟踪训练】
　已知函数 f （ ＋1）＝ x ＋2 ，求函数 f （ x ）的解析式.
解：法一（配凑法）　 x ＋2 ＝（ ）2＋2 ＋1－1＝（ ＋
1）2－1，
∴ f （ ＋1）＝（ ＋1）2－1，
∵ ＋1≥1，
∴ f （ x ）＝ x2－1（ x ≥1）.
法二（换元法）　令 t ＝ ＋1，则 x ＝（ t －1）2， t ≥1.
代入原式，得 f （ t ）＝（ t －1）2＋2（ t －1）＝ t2－2 t ＋1＋2 t －2＝
t2－1.
∴ f （ x ）＝ x2－1（ x ≥1）.
题型三 方程组法求函数解析式
【例3】　已知函数 f （ x ）对于任意的 x 都有 f （ x ）－2 f （－ x ）＝1
＋2 x ，求 f （ x ）的解析式.
解：在 f （ x ）－2 f （－ x ）＝1＋2 x 中，以－ x 代换 x ，可得 f （－ x ）
－2 f （ x ）＝1－2 x ，
则
消去 f （－ x ），可得 f （ x ）＝ x －1.
通性通法
方程组法求函数解析式
　　方程组法（消去法），适用于自变量具有对称规律的函数表达
式，如互为相反数的 f （－ x ）， f （ x ）的函数方程，通过对称规律
再构造一个关于 f （－ x ）， f （ x ）的方程，联立解出 f （ x ）.
【跟踪训练】
　已知函数 f （ x ）满足 f （ x ）＋2 f ＝ x ，求函数 f （ x ）的
解析式.
解：在已知等式中，将 x 换成 ，得 f ＋2 f （ x ）＝ ，
与已知方程联立，得
消去 f ，得 f （ x ）＝－ ＋ （ x ≠0）.
题型四 赋值法求函数解析式
【例4】　已知函数 f （ x ）对于一切实数 x ， y 都有 f （ x ＋ y ）－ f
（ y ）＝（ x ＋2 y ＋1） x 成立，且 f （1）＝0.
（1）求 f （0）的值；
解： 取 x ＝1， y ＝0，则有 f （1＋0）－ f （0）＝（1＋0＋
1）×1 f （0）＝ f （1）－2＝0－2＝－2.
（2）求 f （ x ）的解析式.
解： 取 y ＝0，则有 f （ x ＋0）－ f （0）＝（ x ＋0＋1）
x ，整理得 f （ x ）＝ x2＋ x －2.
通性通法
赋值法求函数解析式
　　赋值法求函数解析式的关键是赋值，至于如何赋值，要根据题目
来确定，通常可通过赋予不同的值达到解题的目的.常见的有令 x ＝
0，1，－1或令 x ＝－ t ， 等.
【跟踪训练】
　设 f （ x ）是R上的函数，满足 f （0）＝1，并且对任意的实数
x ， y ，都有 f （ x － y ）＝ f （ x ）－ y （2 x － y ＋1），求 f
（ x ）的解析式.
解：法一　∵ f （0）＝1， f （ x － y ）＝ f （ x ）－ y （2 x － y ＋1），
∴可令 y ＝ x ，则 f （ x － y ）＝ f （0）＝ f （ x ）－ x （2 x － x ＋1）＝
1，∴ f （ x ）＝ x2＋ x ＋1.
法二　令 x ＝0，得 f （0－ y ）＝ f （0）－ y （－ y ＋1），即 f （－ y ）
＝1－ y （－ y ＋1），用 x 代替－ y ，得 f （ x ）＝ x2＋ x ＋1.
1. 已知函数 f （ x ＋1）＝3 x ＋2，则 f （ x ）的解析式是（　　）
A. f （ x ）＝3 x －1
B. f （ x ）＝3 x ＋1
C. f （ x ）＝3 x ＋2
D. f （ x ）＝3 x ＋4
解析： 　令 x ＋1＝ t ，则 x ＝ t －1，∴ f （ t ）＝3（ t －1）＋2＝3
t －1.∴ f （ x ）＝3 x －1.
2. 已知一次函数 f （ x ）满足2 f （ x ）＋ f （ x ＋1）＝9 x ＋6，则 f
（4）＝（　　）
A. 12 B. 13
C. 14 D. 15
解析： 　设 f （ x ）＝ ax ＋ b （ a ≠0），则2 f （ x ）＋ f （ x ＋1）
＝2 ax ＋2 b ＋ a （ x ＋1）＋ b ＝3 ax ＋ a ＋3 b ＝9 x ＋6，所以
解得所以 f （ x ）＝3 x ＋1， f （4）＝13.故
选B.
3. 已知 f （ x2＋2）＝ x4＋4 x2，则 f （ x ）的解析式为
.
解析：因为 f （ x2＋2）＝ x4＋4 x2＝（ x2＋2）2－4，令 t ＝ x2＋2（ t
≥2），则 f （ t ）＝ t2－4（ t ≥2），所以 f （ x ）＝ x2－4（ x
≥2）.
f （ x ）＝ x2－
4（ x ≥2）　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若一次函数的图象经过点 A （1，6）和 B （2，8），则该函数的图
象还经过的点的坐标为（　　）
A. （ ，5） B. （ ，4）
C. （－1，2） D. （－2，1）
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解析： 　设一次函数的解析式为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0），则由该函
数的图象经过点 A （1，6）和 B （2，8），得解得
所以此函数的解析式为 y ＝2 x ＋4，则C选项中的坐标符合
此函数的解析式.故选C.
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2. 已知 f （ ）＝ x －1，则 f （ x ）＝（　　）
A. x2－1 B. x2＋1
C. x2＋1（ x ≥0） D. x2－1（ x ≥0）
解析： 　令 t ＝ ，则 t ≥0， x ＝ t2，所以 f （ t ）＝ t2－1（ t
≥0），即 f （ x ）＝ x2－1（ x ≥0）.
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3. 若对于任意实数 x ，恒有2 f （ x ）－ f （－ x ）＝3 x ＋1，则 f （1）
＝（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析： 　令 x ＝1，得2 f （1）－ f （－1）＝4①，令 x ＝－1，得2 f
（－1）－ f （1）＝－2②，联立①②得， f （1）＝2.
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4. 已知2 f （ x ）＋ f （ ）＝3 x （ x ≠0），则 f （ x ）＝（　　）
A. 2 x （ x ≠0） B. （ x ≠0）
C. 2 x ＋ （ x ≠0） D. 2 x － （ x ≠0）
解析： 　已知2 f （ x ）＋ f （ ）＝3 x ①，用 代换①中的 x ，得2
f （ ）＋ f （ x ）＝ ②，由①×2－②并整理，得 f （ x ）＝2 x －
（ x ≠0）.
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5. 已知二次函数 f （ x ）满足 f （2 x ）＋ f （ x －1）＝10 x2－7 x ＋5，
则 f （ f （1））＝（　　）
A. 1 B. 7
C. 8 D. 15
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解析： 　设 f （ x ）＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0）.因为 f （2 x ）＋ f （ x
－1）＝10 x2－7 x ＋5，所以4 ax2＋2 bx ＋ c ＋ a （ x －1）2＋ b （ x
－1）＋ c ＝10 x2－7 x ＋5，即5 ax2＋（3 b －2 a ） x ＋ a － b ＋2 c ＝
10 x2－7 x ＋5，所以解得所以 f （ x ）
＝2 x2－ x ＋1.所以 f （1）＝2－1＋1＝2，所以 f （ f （1））＝ f
（2）＝2×4－2＋1＝7.
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6. （多选）已知 f （2 x ＋1）＝ x2，则下列结论正确的是（　　）
A. f （－3）＝4 B. f （ x ）＝
C. f （ x ）＝ x2 D. f （3）＝9
解析： 　 f （2 x ＋1）＝ x2，当 x ＝－2时 f （－3）＝4，故A正
确；令 t ＝2 x ＋1，则 x ＝ ，所以 f （ t ）＝ ＝ ，则
f （ x ）＝ ，故B正确，C错误； f （3）＝ ＝1，故D
错误.故选A、B.
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7. 已知二次函数 f （ x ）满足 f （0）＝1， f （1）＝2， f （2）＝5，则
f （ x ）的解析式为 .
解析：设 f （ x ）＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0），
所以解得所以 f （ x ）＝
x2＋1.
f （ x ）＝ x2＋1　
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8. 已知函数 F （ x ）＝ f （ x ）＋ g （ x ），其中 f （ x ）是 x 的正比例
函数， g （ x ）是 x 的反比例函数，且 F ＝16， F （1）＝8，则
F （ x ）的解析式为 .
F （ x ）＝3 x ＋ 　
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解析：设 f （ x ）＝ kx （ k ≠0）， g （ x ）＝ （ m ≠0），则 F
（ x ）＝ kx ＋ .由 F ＝16， F （1）＝8，得
解得所以 F （ x ）＝3 x ＋ .
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9. 已知 f （ ）＝ ，那么 f （ x ）的解析式为 　 f （ x ）＝ （ x ≠
.
解析：由 f （ ）＝ 可知，函数 f （ x ）的定义域为{ x ｜ x ≠0且
x ≠－1}.令 t ＝ ，则 f （ t ）＝ ＝ ，故 f （ x ）＝ （ x ≠－
1且 x ≠0）.
f （ x ）＝ （ x ≠
－1且 x ≠0）　
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解：由 f （ x ）＝ x ，得 ＝ x ，即 ax2＋（ b －1） x ＝0.
因为方程 f （ x ）＝ x 有唯一解，所以Δ＝（ b －1）2＝0，即 b ＝1.
又因为 f （2）＝1，所以 ＝1.所以 a ＝ .
所以 f （ x ）＝ ＝ .所以 f [ f （－3）]＝ f （6）＝ .
10. 已知函数 f （ x ）＝ （ a ， b 为常数，且 a ≠0）满足 f （2）
＝1，方程 f （ x ）＝ x 有唯一解，求函数 f （ x ）的解析式，并求 f
[ f （－3）]的值.
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11. 已知 f （ x ）＝ ，则 f （2 x ）＋ f （ ）＝（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析： 　∵ f （ x ）＝ ，∴ f （2 x ）＋ f （ ）＝ ＋
＝ ＋ ＝ ＝1， x ∈（－∞，－1）∪（－1，－ ）∪
（－ ，0）∪（0，＋∞）.
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12. （多选）设 f （ x ）＝ ，则下列结论正确的有（　　）
A. f （－ x ）＝－ f （ x ） B. f （ ）＝－ f （ x ）
C. f （－ ）＝ f （ x ） D. f （－ x ）＝ f （ x ）
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解析： 　因为 f （ x ）＝ ，所以 f （－ x ）＝ ＝ f
（ x ），故A错误，D正确； f （ ）＝ ＝ ＝－ f
（ x ）， f （－ ）＝ ＝ ＝－ f （ x ），故B正确，C
错误.
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13. 已知函数 f （ x ）＝ x ＋1，则 f （ f （ f （ x ）））的表达式为
； 　 （ n
∈N*）的表达式为 .
f （ f （ f （ x ）））＝ x ＋3　
（ n ∈N*）＝ x ＋ n 　
n 个f
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解析：当 n ＝1， f （ x ）＝ x ＋1，当 n ＝2， f （ f （ x ））＝（ x ＋
1）＋1＝ x ＋2，当 n ＝3， f （ f （ f （ x ）））＝（ x ＋2）＋1＝ x
＋3，当 n ＝4， f （ f （ f （ f （ x ））））＝（ x ＋3）＋1＝ x ＋4，
归纳推理可知， （ n ∈N*）＝ x ＋
n .
　　　
　 n 个 f
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14. 在① f （ x ＋1）＝ f （ x ）＋2 x －1；② f （ x ＋1）＝ f （1－ x ），
且 f （0）＝3；③ f （ x ）≥2恒成立，且 f （0）＝3，这三个条件
中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.
问题：已知二次函数 f （ x ）的图象经过点（1，2）， 　　.
（1）求 f （ x ）的解析式；
（1）设 f （ x ）＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0），
则 f （ x ＋1）＝ a （ x ＋1）2＋ b （ x ＋1）＋ c ＝ ax2＋
（2 a ＋ b ） x ＋ a ＋ b ＋ c .
解：选条件①.
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因为 f （ x ＋1）＝ f （ x ）＋2 x －1，
所以 ax2＋（2 a ＋ b ） x ＋ a ＋ b ＋ c ＝ ax2＋ bx ＋ c ＋2x －1，
所以解得
因为函数 f （ x ）的图象经过点（1，2），
所以 f （1）＝ a ＋ b ＋ c ＝1－2＋ c ＝2，得 c ＝3.
故 f （ x ）＝ x2－2 x ＋3.
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选条件②.
（1）设 f （ x ）＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0），
则 f （ x ＋1）＝ a （ x ＋1）2＋ b （ x ＋1）＋ c ＝ ax2＋（2 a
＋ b ） x ＋ a ＋ b ＋ c ，
f （1－ x ）＝ a （1－ x ）2＋ b （1－ x ）＋ c ＝ ax2－（2 a ＋
b ） x ＋ a ＋ b ＋ c ，因为 f （ x ＋1）＝ f （1－ x ），所以（2
a ＋ b ） x ＝－（2 a ＋ b ） x ，所以2 a ＋ b ＝0，
由题意可得解得
故 f （ x ）＝ x2－2 x ＋3.
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（2）求 f （ x ）在[－1，4]上的值域.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
解：由（1）可知 f （ x ）＝ x2－2 x ＋3＝（ x －1）2＋2.
因为－1≤ x ≤4，所以－2≤ x －1≤3，
所以0≤（ x －1）2≤9，所以2≤（ x －1）2＋2≤11.
所以 f （ x ）在[－1，4]上的值域为[2，11].
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选条件②.
（2）同选条件①.
选条件③.
（1）设 f （ x ）＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0）.
因为 f （0）＝3，所以 c ＝3.
因为 f （ x ）≥2＝ f （1）恒成立，所以
解得
故 f （ x ）＝ x2－2 x ＋3.
（2）同选条件①.
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15. 已知函数 f （ x ）是一次函数，且 f [ f （ x ）－4 x ]＝5恒成立，则 f
（2）＝ .
解析：法一　因为 f （ x ）为一次函数，可设 f （ x ）＝ kx ＋ b （ k
≠0），又 f [ f （ x ）－4 x ]＝5恒成立，所以 f [（ kx ＋ b ）－4 x ]
＝ k [（ kx ＋ b ）－4 x ]＋ b ＝（ k2－4 k ） x ＋ kb ＋ b ＝5恒成立，
所以 k2－4 k ＝0（ k ≠0）且 kb ＋ b ＝5，解得 k ＝4， b ＝1，所以 f
（ x ）＝4 x ＋1， f （2）＝4×2＋1＝9.
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法二　因为函数 f （ x ）是一次函数，且 f [ f （ x ）－4 x ]＝5恒成立，
令 f （ x ）－4 x ＝ t ，则 f （ x ）＝4 x ＋ t ，所以 f （ t ）＝4 t ＋ t ＝5，解
得 t ＝1，所以 f （ x ）＝4 x ＋1， f （2）＝2×4＋1＝9.
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16. 若函数 f （ x ）满足2 f （ x ）－ f （－ x ）＝ x2－3 x ＋1.
（1）求 f （ x ）的解析式；
解： 函数 f （ x ）满足2 f （ x ）－ f （－ x ）＝ x2－3 x ＋
1， ①
则有2 f （－ x ）－ f （ x ）＝ x2＋3 x ＋1， ②
由①②可得， f （ x ）＝ x2－ x ＋1.
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（2）若在区间[－1，1]上不等式 f （ x ）＞2 x ＋ m 有解，求实数
m 的取值范围.
解： 由题意可得， x2－ x ＋1＞2 x ＋ m 在[－1，1]
有解，
即 x2－3 x ＋1－ m ＞0在[－1，1]上有解，
令 g （ x ）＝ x2－3 x ＋1－ m ＝（ x － ）2－ － m ，其
对称轴为直线 x ＝ ，
则 g （ x ）在区间[－1，1]上的最大值为 g （－1），
故 g （－1）＝1＋3＋1－ m ＞0，解得 m ＜5，
所以实数 m 的取值范围为（－∞，5）.
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