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第3课时　分段函数
1.函数y＝的值域是（　　）
A.R　　　　　　　 　B.[0，＋∞）
C.[0，3] D.{y｜0≤y≤2或y＝3}
2.设x∈R，定义符号函数sgn x＝则（　　）
A.｜x｜＝x｜sgn x｜ B.｜x｜＝xsgn ｜x｜
C.｜x｜＝｜x｜sgn x D.｜x｜＝xsgn x
3.函数f（x）＝则f（f（2））＝（　　）
A.－3 B.0
C.－1 D.2
4.已知函数f（x）＝若f（a）＋f（1）＝0，则实数a＝（　　）
A.－3 B.－1
C.1 D.3
5.（多选）函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　）
A.f（x）＝
B.f（x）＝
C.f（x）＝－｜x｜＋1
D.f（x）＝｜x＋1｜
6.（多选）某打车平台欲对收费标准进行改革，现制订了甲、乙两种方案供乘客选择，其支付费用y与打车里程x的函数关系大致如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A.当打车距离为8 km时，乘客选择甲方案省钱
B.当打车距离为10 km时，乘客选择甲、乙方案均可
C.当打车距离为3 km以上时，每千米增加的费用甲方案比乙方案多
D.甲方案打车距离在3 km内（含3 km）付费5元，大于3 km每增加1千米费用增加0.7元
7.已知f（x）＝则f＋f＝　　　　.
8.设函数f（x）＝若f（m）＞m，则实数m的取值范围是　　　　.
9.某商品的单价为5 000元，若一次性购买超过5件，但不超过10件时，每件优惠500元；若一次性购买超过10件，则每件优惠1 000元.某单位购买x件（x∈N*，x≤15），设总购买费用是f（x）元，则f（x）的解析式是　　　　.
10.已知函数f（x）＝
（1）画出函数f（x）的图象；
（2）求f（a2＋1）（a∈R），f（f（3））的值；
（3）当f（x）≥2时，求x的取值范围.
11.已知f（x）＝｜x｜，g（x）＝x2，设h（x）＝则函数h（x）的大致图象是（　　）
12.（多选）已知狄利克雷函数f（x）＝则下列结论正确的是（　　）
A.f（x）的值域为[0，1]
B.f（x）的定义域为R
C.f（x＋1）＝f（x）
D.f（x）的图象经过点
13.已知函数f（x）＝的值域为R，则实数a的取值范围是　　　　.
14.如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系.骑车者9时离开家，15时回到家.根据这个曲线图，请你回答下列问题：
（1）最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
（2）何时开始第一次休息？休息多长时间？
（3）第一次休息时，离家多远？
（4）11：00到12：00他骑了多少千米？
（5）他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度分别是多少？
（6）他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？
15.已知λ∈R，函数f（x）＝当λ＝2时，不等式f（x）＜0的解集是　　　　；若函数f（x）的图象与x轴恰有2个交点，则λ的取值范围是　　　　.
16.如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点M从点A出发，沿A→B→C→D→A方向，以每秒2个单位长度的速度在正方形ABCD的边上运动；点N从点B出发，沿B→C→D→A方向，以每秒1个单位长度的速度在正方形ABCD的边上运动.点M与点N同时出发，运动时间为t（单位：秒），△AMN的面积为f（t）（规定A，M，N三点共线时其面积为零），求点M第一次到达点A前，y＝f（t）的解析式，并画出y＝f（t）的图象.
第3课时　分段函数
1.D　值域为[0，2]∪{2}∪{3}＝{y｜0≤y≤2或y＝3}.
2.D　法一　取特殊值进行判断，不妨令x＝－5，可知选项A、B、C都不正确，可排除，选D.
法二　对于选项A，右边＝x｜sgn x｜＝而左边＝｜x｜＝所以不正确.易判断选项B、C不正确.对于选项D，右边＝xsgn x＝而左边＝｜x｜＝所以正确.
3.A　因为f（x）＝所以f（2）＝f（2－1）＝f（1）＝1－2＝－1，所以f（f（2））＝f（－1）＝－1－2＝－3.故选A.
4.A　∵f（a）＋f（1）＝0，∴f（a）＝－f（1）＝－2，当a＞0时，2a＝－2，∴a＝－1，舍去，当a≤0时，a＋1＝－2，∴a＝－3.
5.AC　通过代入点（－1，0），（0，1），（1，0）来验证，可知选A、C.
6.ABC　对于A，当3＜x＜10时，甲对应的函数值小于乙对应的函数值，故当打车距离为8 km时，乘客选择甲方案省钱，故A正确；对于B，当打车距离为10 km时，由题图可知，甲、乙均为12元，故乘客选择甲、乙方案均可，故B正确；对于C，当打车距离为3 km以上时，甲每千米增加的费用为＝1元，乙每千米增加的费用为＝元，故每千米增加的费用甲方案比乙方案多，故C正确；对于D，由题图可知，甲方案打车距离在3 km内（含3 km）付费5元，大于3 km每增加1千米费用增加1元，故D错误.
7.4　解析：∵f（x）＝∴f＝f＝f＝f＝f＝×2＝，f＝2×＝，∴f＋f＝＋＝4.
8.（－∞，－1）　解析：由题意，得或解得m＜－1.
9.f（x）＝
解析：当x≤5，x∈N*时，f（x）＝5 000x；当5＜x≤10，x∈N*时，f（x）＝（5 000－500）x＝4 500x；当10＜x≤15，x∈N*时，f（x）＝（5 000－1 000）x＝4 000x.
10.解：（1）图象如图.作图时应注意定义域中区间的端点函数值及是否包含端点.
（2）因为a2＋1≥1，
所以f（a2＋1）＝3－（a2＋1）2＝－a4－2a2＋2.
f（f（3））＝f（－6）＝1－2×（－6）＝13.
（3）当x＞0时，3－x2≥2，解得0＜x≤1.
当x＝0时，2≥2，符合题意.
当x＜0时，1－2x≥2，解得x≤－.
综上可知，当f（x）≥2时，x的取值范围为.
11.D　当f（x）≤g（x）时，即｜x｜≤x2时，解得x≤－1或x≥1或x＝0，∴h（x）＝故图象为D.
12.BC　对于A，f（x）的值域为{0，1}，故A错误；对于B，f（x）的定义域为R，故B正确；对于C，当x是有理数时，x＋1也为有理数，当x是无理数时，x＋1也为无理数，故f（x＋1）＝f（x）成立，故C正确；对于D，因为f＝1，所以f（x）的图象经过点，故D错误.故选B、C.
13.[－8，3）　解析：当x≥4时，f（x）＝＋2≥4.因为函数f（x）＝的值域为R，所以当x＜4时，f（x）＝（3－a）x＋5a满足解得－8≤a＜3.故实数a的取值范围是[－8，3）.
14.解：（1）最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米.
（2）10：30开始第一次休息，休息了半小时.
（3）第一次休息时，离家17千米.
（4）11：00至12：00他骑了13千米.
（5）9：00～10：00的平均速度是10千米/时；10：00～10：30的平均速度是14千米/时.
（6）从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形.
15.（1，4）　（1，3]∪（4，＋∞）　解析：当λ＝2时，不等式f（x）＜0等价于或即2≤x＜4或1＜x＜2，所以1＜x＜4.故不等式f（x）＜0的解集为（1，4）.易知函数y＝x－4（x∈R）的图象与x轴交点的横坐标为4，函数y＝x2－4x＋3（x∈R）的图象与x轴交点的横坐标分别为1，3.在同一直角坐标系中作出这两个函数的图象（图略），要使函数f（x）的图象与x轴恰有2个交点，则只能有以下两种情形：①两个交点的横坐标分别为1，3，此时λ＞4；②两个交点的横坐标分别为1，4，此时1＜λ≤3.综上，λ的取值范围为（1，3]∪（4，＋∞）.
16.解：根据题意，当0≤t≤1时，△AMN的面积为f（t）＝·2t·t＝t2；
当1＜t≤2时，△AMN的面积为f（t）＝×2×[t－（2t－2）]＝2－t；
当2＜t≤3时，△AMN的面积为f（t）＝×2×[（2t－4）－（t－2）]＝t－2；
当3＜t≤4时，△AMN的面积为f（t）＝×[2－（2t－6）][2－（t－2）]＝（4－t）2；
所以f（t）＝
其图象如图所示.
2 / 3第3课时　分段函数
　　某市公共汽车的票价按下列规则实施：（1）5千米以内（包含5千米），票价2元；（2）5千米以上，每增加5千米，票价增加1元（不足5千米的按5千米计算）.已知两个相邻的公共汽车站之间相距1千米，沿途（包括起点站和终点站）共有11个汽车站.
【问题】　（1）从起点站出发，公共汽车的行程x（千米）与票价y（元）是函数关系吗？
（2）若是函数关系，则函数的表达式是什么？
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
知识点　分段函数
1.定义：像y＝这样的函数称为分段函数.
2.本质：函数在定义域的不同子集内，有着不同的对应关系.
提醒　关于分段函数概念的再理解：①分段函数是一个函数，而不是几个函数；②分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集.
1.（多选）下列给出的函数是分段函数的是（　　）
A.f（x）＝
B.f（x）＝
C.f（x）＝
D.f（x）＝
2.若f（x）＝则f（－2）＝（　　）
A.2 B.3
C.4 D.5
3.函数y＝的定义域为　　　　　，值域为　　　　　　.
题型一 分段函数求值问题
【例1】　已知函数f（x）＝
（1）求f（－3），f的值；
（2）若f（a）＝2，求a的值.
通性通法
1.分段函数求函数值的方法
（1）确定要求值的自变量属于哪一段区间；
（2）代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现f（f（x0））的形式时，应从内到外依次求值.
2.已知函数值求参数取值（范围）的步骤
（1）先将参数分情况代入解析式，列出方程（不等式）；
（2）解方程（不等式）求参数的值（范围），并检验是否符合参数的取值范围；
（3）符合题意的所有值（范围的并集）即为所求.
【跟踪训练】
1.设函数f（x）＝则f＝（　　）
A.　　　B.4 C.3　　　D.－3
2.已知f（x）＝若f（a）≤－3，则实数a的取值范围为（　　）
A.[－3，－1]∪[1，3] B.（－3，－1]∪[1，3）
C.[－2，－1]∪[1，2] D.[－3，3]
题型二 分段函数的图象
【例2】　已知函数f（x）＝1＋（－2＜x≤2）.
（1）用分段函数的形式表示该函数；
（2）画出该函数的图象；
（3）写出该函数的值域.
通性通法
分段函数图象的画法
（1）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象；
（2）作分段函数的图象时，分别作出各段的图象.在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意衔接点处点的虚实，保证不重不漏.
【跟踪训练】
1.已知函数f（x）＝则函数f（x）的图象是（　　）
2.已知函数f（x）的图象如图所示，求f（x）的解析式.
题型三 分段函数的应用问题
【例3】　某市有A，B两家羽毛球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，A俱乐部每块场地每小时收费6元；B俱乐部按月计费，一个月中20小时以内（含20小时）每块场地收费90元，超过20小时的部分，每块场地每小时收费2元.某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动，其活动时间不少于12小时，也不超过30小时.
（1）设在A俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为f（x）元（12≤x≤30），在B俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为g（x）元（12≤x≤30），试求f（x）与g（x）的解析式；
（2）问该企业选择哪家俱乐部比较合算，为什么？
通性通法
分段函数的实际应用
（1）当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画；
（2）分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式.
【跟踪训练】
某地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y（元）关于用电量x（度）的函数图象是一条折线（如图所示），根据图象解下列问题：
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）利用函数解析式，说明电力公司采取的收费标准.
1.设函数f（x）＝则f（f（3））＝（　　）
A.　　　B.3　　　C.　　　D.
2.已知函数f（x）＝若f（－1）＝f（1），则实数a的值为（　　）
A.1 B.2 C.0 D.－1
3.函数f（x）＝的图象是（　　）
4.已知f（x）＝
（1）作出f（x）的图象；
（2）求f（x）的定义域和值域.
第3课时　分段函数
【基础知识·重落实】
自我诊断
1.AD　B中的函数f（x）＝中，当x＝4时，有两个值与之对应，不满足函数的定义，不是分段函数；C中的函数f（x）＝中，当x＝1时，有两个值与之对应，不满足函数的定义，不是分段函数；只有A、D中的函数满足分段函数的定义，是分段函数.故选A、D.
2.A　∵－2＜0，∴f（－2）＝－（－2）＝2.
3.（－∞，0）∪（0，＋∞）　{－2}∪（0，＋∞）
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）因为－3＜－1，所以f（－3）＝－3＋2＝－1.
因为－1＜＜2，所以f＝2×＝3.
又3＞2，所以f＝f（3）＝.
（2）当a≤－1时，由f（a）＝2，得a＋2＝2，a＝0，舍去；
当－1＜a＜2时，由f（a）＝2，得2a＝2，a＝1；
当a≥2时，由f（a）＝2，
得＝2，a＝2或a＝－2（舍去）.
综上所述，a的值为1或2.
跟踪训练
1.A　依题意知f（2）＝22＋2－2＝4，则f＝f＝1－＝.故选A.
2.A　当a≤0时，a2＋4a≤－3，a∈[－3，－1]；当a＞0时，a2－4a≤－3，a∈[1，3].因此，a∈[－3，－1]∪[1，3].故选A.
【例2】　解：（1）当0≤x≤2时，f（x）＝1＋＝1；
当－2＜x＜0时，f（x）＝1＋＝1－x.
∴f（x）＝
（2）函数f（x）的图象如图所示.
（3）由（2）知，f（x）在（－2，2]上的值域为[1，3）.
跟踪训练
1.A　当x＝－1时，y＝0，即图象过点（－1，0），D错误；当x＝0时，y＝1，即图象过点（0，1），C错误；当x＝1时，y＝2，即图象过点（1，2），B错误.故选A.
2.解：由图可知，图象由两条线段（其中一条不含右端点）组成，
当－1≤x＜0时，设f（x）＝ax＋b（a≠0），
将（－1，0），（0，1）代入解析式，
则∴
∴f（x）＝x＋1.
当0≤x≤1时，设f（x）＝kx（k≠0），
将（1，－1）代入，则k＝－1.
∴f（x）＝－x.
即f（x）＝
【例3】　解：（1）由题意f（x）＝6x，x∈[12，30]，
g（x）＝
（2）①12≤x≤20时，6x＝90，
解得x＝15，
即当12≤x＜15时，f（x）＜g（x），
当x＝15时，f（x）＝g（x），
当15＜x≤20时，f（x）＞g（x）.
②当20＜x≤30时，f（x）＞g（x），
故当12≤x＜15时，选A俱乐部合算，
当x＝15时，两家俱乐部一样合算，
当15＜x≤30时，选B俱乐部合算.
跟踪训练
　解：（1）当0≤x≤100时，设函数解析式为y＝kx（k≠0）.
将x＝100，y＝65代入，得k＝0.65，所以y＝0.65x.
当x＞100时，设函数解析式为y＝ax＋b（a≠0）.
将x＝100，y＝65和x＝130，y＝89代入，得解得
所以y＝0.8x－15.
综上可得y＝
（2）由（1）知电力公司采取的收费标准为用户月用电量不超过100度时，每度电0.65元；超过100度时，超出的部分，每度电0.80元.
随堂检测
1.D　由题意得f（3）＝，从而f（f（3））＝f＝＋1＝.
2.B　因为f（－1）＝f（1），所以1－（－1）＝a，所以a＝2.故选B.
3.C　当x＞0时，f（x）＝1；当x＜0时，f（x）＝－1.故选C.
4.解：（1）利用描点法，作出f（x）的图象.如图所示.
（2）由条件知，函数f（x）的定义域为R.由图象知，当－1≤x≤1时，f（x）＝x2的值域为[0，1]；
当x＞1，或x＜－1时，f（x）＝1，
所以f（x）的值域为[0，1].
4 / 4(共59张PPT)
第3课时　分段函数
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　某市公共汽车的票价按下列规则实施：（1）5千米以内（包含5
千米），票价2元；（2）5千米以上，每增加5千米，票价增加1元
（不足5千米的按5千米计算）.已知两个相邻的公共汽车站之间相距1
千米，沿途（包括起点站和终点站）共有11个汽车站.
【问题】　（1）从起点站出发，公共汽车的行程 x （千米）与票价 y
（元）是函数关系吗？
（2）若是函数关系，则函数的表达式是什么？

知识点　分段函数
1. 定义：像 y ＝这样的函数称为分段函数.
2. 本质：函数在定义域的不同子集内，有着不同的对应关系.
提醒　关于分段函数概念的再理解：①分段函数是一个函数，而不
是几个函数；②分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义
域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集.
1. （多选）下列给出的函数是分段函数的是（　　）
解析： 　B中的函数 f （ x ）＝中，当 x ＝4时，
有两个值与之对应，不满足函数的定义，不是分段函数；C中的函
数 f （ x ）＝中，当 x ＝1时，有两个值与之
对应，不满足函数的定义，不是分段函数；只有A、D中的函数满
足分段函数的定义，是分段函数.故选A、D.
2. 若 f （ x ）＝则 f （－2）＝（　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
解析： 　∵－2＜0，∴ f （－2）＝－（－2）＝2.
3. 函数 y ＝的定义域为
，值域为 .
（－∞，0）∪（0，＋
∞）　
{－2}∪（0，＋∞）　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 分段函数求值问题
【例1】　已知函数 f （ x ）＝
（1）求 f （－3）， f 的值；
解： 因为－3＜－1，所以 f （－3）＝－3＋2＝－1.
因为－1＜ ＜2，所以 f ＝2× ＝3.
又3＞2，所以 f ＝ f （3）＝ .
（2）若 f （ a ）＝2，求 a 的值.
解： 当 a ≤－1时，由 f （ a ）＝2，得 a ＋2＝2， a ＝
0，舍去；
当－1＜ a ＜2时，由 f （ a ）＝2，得2 a ＝2， a ＝1；
当 a ≥2时，由 f （ a ）＝2，
得 ＝2， a ＝2或 a ＝－2（舍去）.
综上所述， a 的值为1或2.
通性通法
1. 分段函数求函数值的方法
（1）确定要求值的自变量属于哪一段区间；
（2）代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现 f （ f
（ x0））的形式时，应从内到外依次求值.
2. 已知函数值求参数取值（范围）的步骤
（1）先将参数分情况代入解析式，列出方程（不等式）；
（2）解方程（不等式）求参数的值（范围），并检验是否符合参
数的取值范围；
（3）符合题意的所有值（范围的并集）即为所求.
【跟踪训练】
1. 设函数 f （ x ）＝则 f ＝（　　）
B. 4
C. 3 D. －3
解析： 　依题意知 f （2）＝22＋2－2＝4，则 f ＝ f ＝
1－ ＝ .故选A.
2. 已知 f （ x ）＝若 f （ a ）≤－3，则实数 a 的取值
范围为（　　）
A. [－3，－1]∪[1，3] B. （－3，－1]∪[1，3）
C. [－2，－1]∪[1，2] D. [－3，3]
解析： 　当 a ≤0时， a2＋4 a ≤－3， a ∈[－3，－1]；当 a ＞0
时， a2－4 a ≤－3， a ∈[1，3].因此， a ∈[－3，－1]∪[1，3].
故选A.
题型二 分段函数的图象
【例2】　已知函数 f （ x ）＝1＋ （－2＜ x ≤2）.
（1）用分段函数的形式表示该函数；
解： 当0≤ x ≤2时， f （ x ）＝1＋ ＝1；
当－2＜ x ＜0时， f （ x ）＝1＋ ＝1－ x .
∴ f （ x ）＝
（2）画出该函数的图象；
解： 函数 f （ x ）的图象如图所示.
（3）写出该函数的值域.
解： 由（2）知， f （ x ）在（－2，2]上的值域为[1，3）.
通性通法
分段函数图象的画法
（1）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意
义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函
数图象；
（2）作分段函数的图象时，分别作出各段的图象.在作每一段图象
时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一
段图象即可，作图时要特别注意衔接点处点的虚实，保证不重
不漏.
【跟踪训练】
1. 已知函数 f （ x ）＝则函数 f （ x ）的图象是
（　　）
解析： 　当 x ＝－1时， y ＝0，即图象过点（－1，0），D错误；
当 x ＝0时， y ＝1，即图象过点（0，1），C错误；当 x ＝1时， y ＝
2，即图象过点（1，2），B错误.故选A.
2. 已知函数 f （ x ）的图象如图所示，求 f （ x ）的
解析式.
解：由图可知，图象由两条线段（其中一条不含
右端点）组成，
当－1≤ x ＜0时，设 f （ x ）＝ ax ＋ b （ a ≠0），
将（－1，0），（0，1）代入解析式，
则∴∴ f （ x ）＝ x ＋1.
当0≤ x ≤1时，设 f （ x ）＝ kx （ k ≠0），
将（1，－1）代入，则 k ＝－1.∴ f （ x ）＝－ x .
即 f （ x ）＝
题型三 分段函数的应用问题
【例3】　某市有 A ， B 两家羽毛球俱乐部，两家设备和服务都很好，
但收费方式不同， A 俱乐部每块场地每小时收费6元； B 俱乐部按月计
费，一个月中20小时以内（含20小时）每块场地收费90元，超过20小
时的部分，每块场地每小时收费2元.某企业准备下个月从这两家俱乐
部中的一家租用一块场地开展活动，其活动时间不少于12小时，也不
超过30小时.
（1）设在 A 俱乐部租一块场地开展活动 x 小时的收费为 f （ x ）元
（12≤ x ≤30），在 B 俱乐部租一块场地开展活动 x 小时的
收费为 g （ x ）元（12≤ x ≤30），试求 f （ x ）与 g （ x ）
的解析式；
解： 由题意 f （ x ）＝6 x ， x ∈[12，30]，
g （ x ）＝
（2）问该企业选择哪家俱乐部比较合算，为什么？
解： ①12≤ x ≤20时，6 x ＝90，解得 x ＝15，
即当12≤ x ＜15时， f （ x ）＜ g （ x ），
当 x ＝15时， f （ x ）＝ g （ x ），
当15＜ x ≤20时， f （ x ）＞ g （ x ）.
②当20＜ x ≤30时， f （ x ）＞ g （ x ），
故当12≤ x ＜15时，选 A 俱乐部合算，
当 x ＝15时，两家俱乐部一样合算，
当15＜ x ≤30时，选 B 俱乐部合算.
通性通法
分段函数的实际应用
（1）当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段
函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要
分段画；
（2）分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变
量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的
函数解析式.
【跟踪训练】
某地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量
分段收费办法，若某户居民每月应交电费 y （元）关于用电量 x
（度）的函数图象是一条折线（如图所示），根据图象解下列问题：
（1）求 y 关于 x 的函数解析式；
解： 当0≤ x ≤100时，设函数解析式为y ＝ kx （ k ≠0）.
将 x ＝100， y ＝65代入，得 k ＝0.65，所以 y ＝0.65 x .
当 x ＞100时，设函数解析式为 y ＝ ax ＋ b （ a ≠0）.
将 x ＝100， y ＝65和 x ＝130， y ＝89代入，
得解得
所以 y ＝0.8 x －15.
综上可得 y ＝
（2）利用函数解析式，说明电力公司采取的收费标准.
解： 由（1）知电力公司采取的收费标
准为用户月用电量不超过100度时，每度电
0.65元；超过100度时，超出的部分，每度电
0.80元.
1. 设函数 f （ x ）＝则 f （ f （3））＝（　　）
B. 3
解析： 　由题意得 f （3）＝ ，从而 f （ f （3））＝ f ＝
＋1＝ .
2. 已知函数 f （ x ）＝若 f （－1）＝ f （1），则实数
a 的值为（　　）
A. 1 B. 2 C. 0 D. －1
解析： 　因为 f （－1）＝ f （1），所以1－（－1）＝ a ，所以 a
＝2.故选B.
3. 函数 f （ x ）＝ 的图象是（　　）
解析： 　当 x ＞0时， f （ x ）＝1；当 x ＜0时， f （ x ）＝－
1.故选C.
4. 已知 f （ x ）＝
（1）作出 f （ x ）的图象；
解： 利用描点法，作出 f （ x ）的图象.
如图所示.
（2）求 f （ x ）的定义域和值域.
解： 由条件知，函数 f （ x ）的定义域为R. 由图象知，
当－1≤ x ≤1时， f （ x ）＝ x2的值域为[0，1]；
当 x ＞1，或 x ＜－1时， f （ x ）＝1，
所以 f （ x ）的值域为[0，1].
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 函数 y ＝的值域是（　　）
A. R B. [0，＋∞）
C. [0，3] D. { y ｜0≤ y ≤2或 y ＝3}
解析： 　值域为[0，2]∪{2}∪{3}＝{ y ｜0≤ y ≤2或 y ＝3}.
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2. 设 x ∈R，定义符号函数sgn x ＝则（　　）
A. ｜ x ｜＝ x ｜sgn x ｜ B. ｜ x ｜＝ x sgn ｜ x ｜
C. ｜ x ｜＝｜ x ｜sgn x D. ｜ x ｜＝ x sgn x
解析： 　法一　取特殊值进行判断，不妨令 x ＝－5，可知选项
A、B、C都不正确，可排除，选D.
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法二　对于选项A，右边＝ x ｜sgn x ｜＝而左边＝｜
x ｜＝所以不正确.易判断选项B、C不正确.对于选
项D，右边＝ x sgn x ＝而左边＝｜ x ｜＝
所以正确.
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3. 函数 f （ x ）＝则 f （ f （2））＝（　　）
A. －3 B. 0 C. －1 D. 2
解析： 　因为 f （ x ）＝所以 f （2）＝ f （2－
1）＝ f （1）＝1－2＝－1，所以 f （ f （2））＝ f （－1）＝－1－2
＝－3.故选A.
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4. 已知函数 f （ x ）＝若 f （ a ）＋ f （1）＝0，则实数
a ＝（　　）
A. －3 B. －1
C. 1 D. 3
解析： 　∵ f （ a ）＋ f （1）＝0，∴ f （ a ）＝－ f （1）＝－2，
当 a ＞0时，2 a ＝－2，∴ a ＝－1，舍去，当 a ≤0时， a ＋1＝－
2，∴ a ＝－3.
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5. （多选）函数 f （ x ）的图象如图所示，则 f （ x ）的解析式是（　　）
C. f （ x ）＝－｜ x ｜＋1
D. f （ x ）＝｜ x ＋1｜
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解析： 　通过代入点（－1，0），（0，1），（1，0）来验
证，可知选A、C.
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6. （多选）某打车平台欲对收费标准进行改革，现制订了甲、乙两种
方案供乘客选择，其支付费用 y 与打车里程 x 的函数关系大致如图
所示，则下列说法正确的是（　　）
A. 当打车距离为8 km时，乘客选择甲方案省钱
B. 当打车距离为10 km时，乘客选择甲、乙方案均可
C. 当打车距离为3 km以上时，每千米增加的费用甲
方案比乙方案多
D. 甲方案打车距离在3 km内（含3 km）付费5元，
大于3 km每增加1千米费用增加0.7元
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解析： 　对于A，当3＜ x ＜10时，甲对应的函数值小于乙对应
的函数值，故当打车距离为8 km时，乘客选择甲方案省钱，故A正
确；对于B，当打车距离为10 km时，由题图可知，甲、乙均为12
元，故乘客选择甲、乙方案均可，故B正确；对于C，当打车距离
为3 km以上时，甲每千米增加的费用为 ＝1元，乙每千米增加
的费用为 ＝ 元，故每千米增加的费用甲方案比乙方案多，故
C正确；对于D，由题图可知，甲方案打车距离在3 km内（含3
km）付费5元，大于3 km每增加1千米费用增加1元，故D错误.
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7. 已知 f （ x ）＝则 f ＋ f ＝ .
解析：∵ f （ x ）＝∴ f ＝ f ＝ f
＝ f ＝ f ＝ ×2＝ ， f ＝2× ＝ ，∴ f
＋ f ＝ ＋ ＝4.
4　
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8. 设函数 f （ x ）＝若 f （ m ）＞ m ，则实数 m 的取
值范围是 .
解析：由题意，得或解得 m ＜－1.
（－∞，－1）　
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解析：当 x ≤5， x ∈N*时， f （ x ）＝5 000 x ；当5＜ x ≤10， x
∈N*时， f （ x ）＝（5 000－500） x ＝4 500 x ；当10＜ x ≤15， x
∈N*时， f （ x ）＝（5 000－1 000） x ＝4 000 x .
f （ x ）＝
　
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10. 已知函数 f （ x ）＝
（1）画出函数 f （ x ）的图象；
解： 图象如图.作图时应注意定义域中区间的端点函数值及是否包含端点.
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（2）求 f （ a2＋1）（ a ∈R）， f （ f （3））的值；
解： 因为 a2＋1≥1，
所以 f （ a2＋1）＝3－（ a2＋1）2＝－ a4－2 a2＋2.
f （ f （3））＝ f （－6）＝1－2×（－6）＝13.
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（3）当 f （ x ）≥2时，求 x 的取值范围.
解： 当 x ＞0时，3－ x2≥2，解得0＜ x ≤1.
当 x ＝0时，2≥2，符合题意.
当 x ＜0时，1－2 x ≥2，解得 x ≤－ .
综上可知，当 f （ x ）≥2时， x 的取值范围为 .
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11. 已知 f （ x ）＝｜ x ｜， g （ x ）＝ x2，设 h （ x ）＝则函数 h （ x ）的大致图象是（　　）
解析： 　当 f （ x ）≤ g （ x ）时，即｜ x ｜≤ x2时，解得 x ≤－1
或 x ≥1或 x ＝0，∴ h （ x ）＝故图
象为D.
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12. （多选）已知狄利克雷函数 f （ x ）＝则下列结
论正确的是（　　）
A. f （ x ）的值域为[0，1]
B. f （ x ）的定义域为R
C. f （ x ＋1）＝ f （ x ）
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解析： 　对于A， f （ x ）的值域为{0，1}，故A错误；对于
B， f （ x ）的定义域为R，故B正确；对于C，当 x 是有理数时， x
＋1也为有理数，当 x 是无理数时， x ＋1也为无理数，故 f （ x ＋
1）＝ f （ x ）成立，故C正确；对于D，因为 f ＝1，所以 f
（ x ）的图象经过点 ，故D错误.故选B、C.
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13. 已知函数 f （ x ）＝的值域为R，则实
数 a 的取值范围是 .
解析：当 x ≥4时， f （ x ）＝ ＋2≥4.因为函数 f （ x ）＝
的值域为R，所以当 x ＜4时， f （ x ）
＝（3－ a ） x ＋5 a 满足解得－8≤ a ＜3.
故实数 a 的取值范围是[－8，3）.
[－8，3）　
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14. 如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系.骑车者
9时离开家，15时回到家.根据这个曲线图，请你回答下列问题：
（1）最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
解： 最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米.
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（2）何时开始第一次休息？休息多长时间？
解： 10：30开始第一次休息，休息了半小时.
（3）第一次休息时，离家多远？
解： 第一次休息时，离家17千米.
（4）11：00到12：00他骑了多少千米？
解： 11：00至12：00他骑了13千米.
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（5）他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度分别
是多少？
解： 9：00～10：00的平均速度是10千米/时；10：00～
10：30的平均速度是14千米/时.
（6）他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？
解： 从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际
情形.
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15. 已知λ∈R，函数 f （ x ）＝当λ＝2时，不等
式 f （ x ）＜0的解集是 ；若函数 f （ x ）的图象与 x
轴恰有2个交点，则λ的取值范围是 .
（1，4）　
（1，3]∪（4，＋∞）　
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解析：当λ＝2时，不等式 f （ x ）＜0等价于或
即2≤ x ＜4或1＜ x ＜2，所以1＜ x ＜4.故不等
式 f （ x ）＜0的解集为（1，4）.易知函数 y ＝ x －4（ x ∈R）的图
象与 x 轴交点的横坐标为4，函数 y ＝ x2－4 x ＋3（ x ∈R）的图象
与 x 轴交点的横坐标分别为1，3.在同一直角坐标系中作出这两个
函数的图象（图略），要使函数 f （ x ）的图象与 x 轴恰有2个交
点，则只能有以下两种情形：①两个交点的横坐标分别为1，3，
此时λ＞4；②两个交点的横坐标分别为1，4，此时1＜λ≤3.综
上，λ的取值范围为（1，3]∪（4，＋∞）.
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16. 如图，在正方形 ABCD 中， AB ＝2，点 M 从点 A 出
发，沿 A → B → C → D → A 方向，以每秒2个单位长
度的速度在正方形 ABCD 的边上运动；点 N 从点 B 出
发，沿 B → C → D → A 方向，以每秒1个单位长度的
速度在正方形 ABCD 的边上运动.点 M 与点 N 同时出发，运动时间为 t （单位：秒），△ AMN 的面积为 f （ t ）（规定 A ， M ， N 三点共线时其面积为零），求点 M 第一次到达点 A 前， y ＝ f （ t ）的解析式，并画出 y ＝ f （ t ）的图象.
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解：根据题意，当0≤ t ≤1时，△ AMN 的面积
为 f （ t ）＝ ·2 t · t ＝ t2；
当1＜ t ≤2时，△ AMN 的面积为 f （ t ）＝
×2×[ t －（2 t －2）]＝2－ t ；
当2＜ t ≤3时，△ AMN 的面积为 f （ t ）＝ ×2×[（2 t －4）－（ t －2）]＝ t －2；当3＜ t ≤4时，△ AMN 的面积为 f （ t ）＝
×[2－（2 t －6）][2－（ t －2）]＝（4－ t ）2；
所以 f （ t ）＝其图象如图所示.
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