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3.2　函数的基本性质
3.2.1　单调性与最大（小）值
第1课时　函数的单调性
1.下列命题为真命题的是（　　）
A.定义在（a，b）上的函数f（x），如果 x1，x2∈（a，b），当x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2），那么f（x）在（a，b）上是增函数
B.如果函数f（x）在区间I1上单调递减，在区间I2上也单调递减，那么f（x）在区间I1∪I2上就一定单调递减
C.定义在（a，b）上的函数f（x），若有无穷多对x1，x2∈（a，b），当x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2），那么f（x）在（a，b）上是增函数
D. x1，x2∈（a，b），且x1＜x2，f（x1）≥f（x2）成立，则函数f（x）在（a，b）上不是单调递增的
2.函数y＝的单调递增区间是（　　）
A.（－∞，－3] B.
C.（－∞，1） D.[－1，＋∞）
3.函数f（x）＝1＋（　　）
A.在（－1，＋∞）上单调递增
B.在（1，＋∞）上单调递增
C.在（－1，＋∞）上单调递减
D.在（1，＋∞）上单调递减
4.已知定义在[0，＋∞）上的减函数f（x），若f（2a－1）＞f，则a的取值范围是（　　）
A. B.
C. D.
5.（多选）下列函数中，在区间（0，＋∞）上单调递增的是（　　）
A.y＝2x＋1 B.y＝3x2＋1
C.y＝ D.y＝｜x｜
6.（多选）如果函数f（x）在区间[a，b]上单调递增，那么对于任意的x1，x2∈[a，b]（x1≠x2），下列结论中正确的是（　　）
A.＞0
B.（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0
C.若x1＜x2，则f（a）＜f（x1）＜f（x2）＜f（b）
D.＜0
7.已知函数y＝f（x）（x∈[－2，6]）的图象如图所示.根据图象写出y＝f（x）的单调递增区间为　　　　.
8.函数y＝｜x2－2x－3｜的单调递增区间是　　　　.
9.已知二次函数f（x）的图象关于y轴对称，且f（x）在[0，＋∞）上单调递增，则f（0），f（3），f（－4）的大小关系为　　　　　　　.
10.已知函数f（x）＝
（1）画出函数f（x）的大致图象；
（2）写出函数f（x）的单调递减区间.
11.若函数f（x）在[0，＋∞）上单调递减，且f（2）＝－1，则满足f（2x－4）＞－1的实数x的取值范围是（　　）
A.（3，＋∞） B.（－∞，3）
C.[2，3） D.[0，3）
12.已知f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，a，b∈R且a＋b≤0，则下列不等式中正确的是（　　）
A.f（a）＋f（b）≤－f（a）＋f（b）
B.f（a）＋f（b）≤f（－a）＋f（－b）
C.f（a）＋f（b）≥－f（a）＋f（b）
D.f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b）
13.若函数f（x）＝ax2＋（a－3）x＋1在（－1，＋∞）上单调递减，则实数a的取值范围是　　　　.
14.已知函数f（x）＝.
（1）判断并证明函数f（x）在（－2，＋∞）上的单调性；
（2）若函数f（x）的定义域为（－2，2），且满足f（－2m＋3）＞f（m2），求m的取值范围.
15.若函数f（x）＝在（－∞，a）上单调递减，在（a，＋∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）
A.[2，＋∞） B.[－2，＋∞）
C.[0，2] D.[－2，0]
16.若f（x）是定义在（0，＋∞）上的函数，且满足f（）＝f（x）－f（y），当x＞1时，f（x）＞0.
（1）判断并证明函数的单调性；
（2）若f（2）＝1，解不等式f（x＋3）－f（）＜2.
第1课时　函数的单调性
1.D　A、C是假命题，“存在”“无穷多”不能代表“所有”“任意”；由f（x）＝，可知B是假命题；若要说明函数f（x）在某个区间上不是单调递增（减）的，只需在该区间上找到两个值x1，x2，证明当x1＜x2时，f（x1）≥f（x2）（f（x1）≤f（x2））成立即可，故D是真命题.
2.B　由2x－3≥0，得x≥.又因为t＝2x－3在（－∞，＋∞）上是增函数，y＝在定义域上是增函数，所以y＝的单调递增区间是.
3.D　函数f（x）＝1＋，其图象可以由基本的反比例函数y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，结合图象知，函数f（x）在（1，＋∞）上单调递减.
4.D　根据题意，f（x）是定义在[0，＋∞）上的减函数，若f（2a－1）＞f，则有0≤2a－1＜，解得≤a＜，即a的取值范围为，故选D.
5.ABD　借助函数图象可知，y＝2x＋1，y＝3x2＋1，y＝｜x｜在（0，＋∞）上都单调递增，y＝在（0，＋∞）上单调递减.
6.AB　因为f（x）在[a，b]上单调递增，所以对于任意的x1，x2∈[a，b]（x1≠x2），x1－x2与f（x1）－f（x2）的符号相同，故A、B正确，D不正确；C中，若x1＜x2，则f（a）≤f（x1）＜f（x2）≤f（b），所以C不正确，故选A、B.
7.[－2，－1]和[2，6]　解析：由题图可知f（x）在[－2，－1]和[2，6]上单调递增，则y＝f（x）在[－2，6]上的单调递增区间为[－2，－1]和[2，6].
8.[－1，1]和[3，＋∞）　解析：y＝｜x2－2x－3｜＝｜（x－1）2－4｜，作出该函数的图象，如图.由图象可知，其单调递增区间为[－1，1]和[3，＋∞）.
9.f（0）＜f（3）＜f（－4）　解析：因为二次函数f（x）的图象关于y轴对称，所以f（－4）＝f（4），又二次函数f（x）在[0，＋∞）上单调递增，所以f（0）＜f（3）＜f（4），即f（0）＜f（3）＜f（－4）.
10.解：（1）函数f（x）的大致图象如图所示.
（2）由函数f（x）的图象得出，函数的单调递减区间为[2，4].
11.C　∵f（2）＝－1，f（2x－4）＞－1，∴f（2x－4）＞f（2），又∵f（x）在[0，＋∞）上单调递减，∴即2≤x＜3.
12.B　由a＋b≤0，可得a≤－b且b≤－a，又函数f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，所以f（a）≤f（－b）且f（b）≤f（－a），所以f（a）＋f（b）≤f（－a）＋f（－b）.故选B.
13.[－3，0]　解析：①a＝0时，f（x）＝－3x＋1在R上是减函数，∴a＝0满足条件；②a≠0时，f（x）＝ax2＋（a－3）x＋1，对称轴为x＝－，∴解得－3≤a＜0.由①②得－3≤a≤0，故a的取值范围是[－3，0].
14.解：（1）f（x）＝＝3＋，f（x）在（－2，＋∞）上单调递减，证明如下：设x1＞x2＞－2，
则f（x1）－f（x2）＝－＝，因为x1＞x2＞－2，
所以x1＋2＞0，x2＋2＞0，x2－x1＜0，
所以f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（－2，＋∞）上单调递减.
（2）由（1）可知，当x∈（－2，2）时，函数f（x）是减函数，所以由f（－2m＋3）＞f（m2）得，
解得1＜m＜，
所以m的取值范围为（1，）.
15.D　函数f（x）＝根据反比例函数的性质可得y＝在区间（－∞，0）上单调递减，要使函数f（x）在区间（－∞，a）上单调递减，则a≤0.由f（x）＝｜x＋2｜在（a，＋∞）上单调递增，得a＋2≥0，解得a≥－2.故实数a的取值范围是[－2，0].故选D.
16.解：（1）f（x）在（0，＋∞）上是增函数.证明如下：
任取x1，x2∈（0，＋∞），且x1＞x2，则＞1.
∵f（）＝f（x）－f（y），当x＞1时，f（x）＞0，
∴f（）＝f（x1）－f（x2）＞0，
∴f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在（0，＋∞）上是增函数.
（2）∵f（2）＝1，
∴f（）＝f（4）－f（2）＝f（4）－1＝1，
∴f（4）＝2，
∴f（x＋3）－f（）＜2，即f[x（x＋3）]＜f（4），
又f（x）的定义域为（0，＋∞），且f（x）为增函数，
∴解得0＜x＜1.
∴原不等式的解集为（0，1）.
2 / 23.2　函数的基本性质
3.2.1　单调性与最大（小）值
新课程标准解读 核心素养
1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性 数学抽象
2.理解单调性的作用和实际意义 逻辑推理、数学运算
3.借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大值、最小值，理解它们的作用和意义 直观想象、数学运算
第1课时　函数的单调性
　　德国著名的心理学家艾宾浩斯对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了有趣的数据.数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数.艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯记忆遗忘曲线”，如图：
【问题】　（1）当时间间隔t逐渐增大时，你能看出对应的函数值y有什么变化趋势吗？
（2）“艾宾浩斯记忆遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学的观点进行解释？
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
知识点一　单调性的定义
条件 一般地，设函数f（x）的定义域为D，区间I D：如果 x1，x2∈I，当x1＜x2时
都有　　　 都有　　　
结论 f（x）在区间I上单调递增.特别地，当函数f（x）在它的定义域上单调递增时，我们就称它是　　 f（x）在区间I上单调递减.特别地，当函数f（x）在它的定义域上单调递减时，我们就称它是　　
图示
提醒　（1）函数的单调递增（单调递减）是针对定义域D内的某个区间I而言的，显然I D；（2）定义中x1，x2有三个特征：①x1，x2属于同一个区间；②任意性，x1与x2不能用I上的特殊值代替；③有序性，通常规定x1＜x2.
【想一想】
　在单调性的定义中，能否把“ x1，x2∈I”改为“ x1，x2∈I”？
知识点二　函数的单调区间
　如果函数y＝f（x）在区间I上　　　　　　或　　　　　　，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间I叫做y＝f（x）的　　　　　　.
【想一想】
　区间I一定是函数的定义域吗？
1.下列函数中，在区间（0，1）上单调递增的是（　　）
A.y＝｜x｜ B.y＝3－x
C.y＝ D.y＝－x2＋4
2.若函数f（x）＝（2a－1）x＋b在R上是减函数，则有（　　）
A.a≥ B.a≤
C.a＞ D.a＜
3.函数f（x）＝－x2＋2x＋3的单调递减区间为　　　　.
题型一 函数单调性的判定与证明
【例1】　试用函数单调性的定义证明f（x）＝在区间（1，＋∞）上单调递减.
通性通法
利用定义证明函数单调性的4步骤
【跟踪训练】
　证明函数f（x）＝在区间（2，＋∞）上单调递减.
题型二 求函数的单调区间
【例2】　画出函数f（x）＝－x2＋2｜x｜的图象，根据图象写出函数f（x）的单调区间.
通性通法
求函数单调区间的2种方法
（1）定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解；
（2）图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间.
提醒　（1）如果函数f（x）在其定义域内的两个区间A，B上单调性相同，则两个区间用“，”或“和”连接，一般不能用“∪”连接，用“∪”连接有严格要求；
（2）书写单调区间时，若函数在区间的端点处有定义，则写成闭区间、开区间均可，但若函数在区间的端点处无定义，则必须写成开区间.
【跟踪训练】
　画出函数y＝｜x｜（x－2）的图象，并指出函数的单调区间.
题型三 函数单调性的应用
角度1　已知函数的单调性求参数
【例3】　若函数f（x）＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围为（　　）
A.［，）
B.（0，）
C.［，＋∞）
D.（－∞，）∪［，＋∞）
通性通法
已知函数的单调性求参数范围的一般思路
（1）将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知的单调区间比较，求出参数的范围；
（2）运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式（组），解不等式（组）求出参数的范围.
角度2　利用单调性解不等式
【例4】　已知f（x）在区间[－2，2]上单调递增，且f（x－2）＜f（1－x），则x的取值范围为　　　　.
通性通法
利用单调性比较大小或解不等式的方法
（1）利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小；在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上；
（2）在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.
【跟踪训练】
1.已知函数f（x）＝若f（x）是R上的增函数，则实数a的取值范围为　　　　.
2.已知函数f（x）＝x2＋ax＋b在区间（－∞，1]上单调递减，在区间[1，＋∞）上单调递增，且f（m＋2）＜f（2），则实数m的取值范围为　　　　.
1.（多选）如图所示的是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f（x）的图象，则下列关于函数f（x）的说法正确的是（　　）
A.函数在区间[－5，－3]上单调递增
B.函数在区间[1，4]上单调递增
C.函数在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减
D.函数在区间[－5，5]上没有单调性
2.函数y＝｜x｜－1的单调递减区间为（　　）
A.（－∞，0] B.（－∞，－1）
C.[0，＋∞） D.（1，＋∞）
3.若函数f（x）＝在（a，＋∞）上单调递减，则a的取值范围是（　　）
A.（－∞，－1] B.[－1，＋∞）
C.（－∞，－1） D.（－1，＋∞）
4.已知函数y＝f（x）是（－∞，＋∞）上的增函数，且f（2x－3）＞f（5x－6），则实数x的取值范围为　　　　.若该函数f（x）是定义在（0，＋∞）上的减函数，则x的取值范围为　　　　.
复合函数y＝f（g（x））的单调性
【例】　已知函数f（x）＝，x∈[2，6].
（1）判断此函数在x∈[2，6]上的单调性；
（2）根据（1）的判断过程，归纳出解题步骤.
结论　复合函数的单调性：一般地，对于复合函数y＝f（g（x）），单调性如表所示，简记为“同增异减”.
g（x） f（x） f（g（x））
增 增 增
增 减 减
减 增 减
减 减 增
【迁移应用】
判断函数f（x）＝在x∈[3，8]上的单调性.
第1课时　函数的单调性
【基础知识·重落实】
知识点一
f（x1）＜f（x2）　f（x1）＞f（x2）　增函数　减函数
想一想
　提示：不能，如图所示，虽然f（－1）＜f（2），但原函数在[－1，2]上不单调.
知识点二
单调递增　单调递减　单调区间
想一想
　提示：不一定，可能是定义域的一部分.
自我诊断
1.A　当x∈（0，1）时，y＝｜x｜＝x，所以y＝｜x｜在（0，1）上单调递增；y＝3－x，y＝在（0，1）上均单调递减；y＝－x2＋4的图象是以直线x＝0为对称轴开口向下的抛物线，所以y＝－x2＋4在（0，1）上单调递减.
2.D　因为函数f（x）＝（2a－1）x＋b在R上是减函数，所以2a－1＜0，即a＜.
3.[1，＋∞）　解析：易知二次函数f（x）＝－x2＋2x＋3的图象开口向下，其对称轴为直线x＝1，所以其单调递减区间是[1，＋∞）.
【典型例题·精研析】
【例1】　证明：f（x）＝2＋，
x1，x2∈（1，＋∞）且x1＞x2，
则f（x1）－f（x2）＝－＝，
因为x1＞x2＞1，
所以x2－x1＜0，x1－1＞0，x2－1＞0，
所以f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在区间（1，＋∞）上单调递减.
跟踪训练
　证明： x1，x2∈（2，＋∞），且x1＜x2，
f（x1）－f（x2）＝－
＝＝.
因为2＜x1＜x2，
所以x2－x1＞0，＞4，＞4，
所以f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）.
所以函数f（x）＝在（2，＋∞）上单调递减.
【例2】　解：如图所示，由图象可知函数f（x）的单调递增区间是（－∞，－1），（0，1），
函数的单调递减区间是（－1，0），（1，＋∞）.
跟踪训练
　解：y＝｜x｜（x－2）＝
函数的图象如图实线部分所示.
由函数的图象知，函数的单调递增区间为（－∞，0]和[1，＋∞），单调递减区间为（0，1）.
【例3】　A　要使f（x）在R上是减函数，需满足：解得≤a＜.
【例4】　［0，）　解析：由题意，得解得0≤x≤3①，因为f（x）在[－2，2]上单调递增，且f（x－2）＜f（1－x）.所以x－2＜1－x，解得x＜②，由①②得0≤x＜.所以满足题意的x的取值范围为［0，）.
跟踪训练
1.[4，8）　解析：因为f（x）是R上的增函数，所以解得4≤a＜8.
2.（－2，0）　解析：∵f（x）在（－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞）上单调递增，∴－＝1，∴a＝－2.
法一　如图.∵f（m＋2）＜f（2），又∵f（0）＝f（2），则0＜m＋2＜2，∴－2＜m＜0，则实数m的取值范围为（－2，0）.
法二　∵二次函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，且开口向上.由f（m＋2）＜f（2），有｜m＋2－1｜＜｜2－1｜，即｜m＋1｜＜1，－1＜m＋1＜1，∴－2＜m＜0，则实数m的取值范围为（－2，0）.
随堂检测
1.ABD　若一个函数出现两个或两个以上的单调性相同的区间，不能用“∪”连接.故选A、B、D.
2.A　当x＞0时，y＝｜x｜－1＝x－1，此时函数单调递增，当x≤0时，y＝｜x｜－1＝－x－1，此时函数单调递减，即函数的单调递减区间为（－∞，0].
3.B　函数f（x）＝的单调递减区间为（－1，＋∞），（－∞，－1），又f（x）在（a，＋∞）上单调递减，所以a≥－1.
4.（－∞，1）　（，＋∞）　解析：若f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，且f（2x－3）＞f（5x－6），则2x－3＞5x－6，即x＜1.∴实数x的取值范围为（－∞，1）.若函数f（x）是定义在（0，＋∞）上的减函数，则解得x＞，∴x的取值范围为（，＋∞）.
拓视野　复合函数y＝f（g（x））的单调性
【例】　解：（1）函数f（x）＝可分解为函数y＝和函数u＝x－1.
因为x∈[2，6]，所以u∈[1，5]，显然函数u＝x－1在x∈[2，6]上单调递增，函数y＝在u∈[1，5]上单调递减，由复合函数的单调性，知f（x）＝在x∈[2，6]上单调递减.
（2）解题步骤为：先求函数的定义域，接着分解复合函数，再判断每一层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性.
迁移应用
　解：函数f（x）＝＝1＋，可分解为函数y＝1＋和函数u＝x－1.
因为x∈[3，8]，所以u∈[2，7]，显然函数u＝x－1在x∈[3，8]上单调递增，函数y＝1＋在u∈[2，7]上单调递减，由复合函数的单调性，知f（x）＝在x∈[3，8]上单调递减.
4 / 4(共61张PPT)
3.2.1　
单调性与最大（小）值
新课程标准解读 核心素养
1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性 数学抽象
2.理解单调性的作用和实际意义 逻辑推理、
数学运算
3.借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大值、
最小值，理解它们的作用和意义 直观想象、
数学运算
第1课时　函数的单调性
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　德国著名的心理学家艾宾浩斯对人类的记忆牢固程度进行了有关
研究.他经过测试，得到了有趣的数据.数据表明，记忆量 y 是时间间
隔 t 的函数.艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯记忆遗
忘曲线”，如图：
【问题】　（1）当时间间隔 t 逐渐增大时，你能看出对应的函数值 y
有什么变化趋势吗？
（2）“艾宾浩斯记忆遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我
们如何用数学的观点进行解释？

知识点一　单调性的定义
条
件 一般地，设函数 f （ x ）的定义域为 D ，区间 I D ：如果 x1，
x2∈ I ，当 x1＜ x2时 都有
都有
结
论 f （ x ）在区间 I 上单调
递增.特别地，当函数 f
（ x ）在它的定义域上
单调递增时，我们就称
它是 f （ x ）在区间 I 上单调递减.特别地，当
函数 f （ x ）在它的定义域上单调递减
时，我们就称它是
f （ x1）＜ f
（ x2）　
f （ x1）＞ f （ x2）　
增函数　
减函数　
图
示
提醒　（1）函数的单调递增（单调递减）是针对定义域 D 内的某个
区间 I 而言的，显然 I D ；（2）定义中 x1， x2有三个特征：① x1， x2
属于同一个区间；②任意性， x1与 x2不能用 I 上的特殊值代替；③有
序性，通常规定 x1＜ x2.
【想一想】
　在单调性的定义中，能否把“ x1， x2∈ I ”改为“ x1， x2∈ I ”？
提示：不能，如图所示，虽然 f （－1）＜ f （2），但原函数在[－1，2]上不单调.
知识点二　函数的单调区间
　如果函数 y ＝ f （ x ）在区间 I 上 或 ，那
么就说函数 y ＝ f （ x ）在这一区间具有（严格的）单调性，区间 I 叫
做 y ＝ f （ x ）的 .
【想一想】
　区间 I 一定是函数的定义域吗？
提示：不一定，可能是定义域的一部分.
单调递增　
单调递减　
单调区间　
1. 下列函数中，在区间（0，1）上单调递增的是（　　）
A. y ＝｜ x ｜ B. y ＝3－ x
D. y ＝－ x2＋4
解析： 　当 x ∈（0，1）时， y ＝｜ x ｜＝ x ，所以 y ＝｜ x ｜在
（0，1）上单调递增； y ＝3－ x ， y ＝ 在（0，1）上均单调递
减； y ＝－ x2＋4的图象是以直线 x ＝0为对称轴开口向下的抛物
线，所以 y ＝－ x2＋4在（0，1）上单调递减.
2. 若函数 f （ x ）＝（2 a －1） x ＋ b 在R上是减函数，则有（　　）
解析： 　因为函数 f （ x ）＝（2 a －1） x ＋ b 在R上是减函数，所
以2 a －1＜0，即 a ＜ .
3. 函数 f （ x ）＝－ x2＋2 x ＋3的单调递减区间为 .
解析：易知二次函数 f （ x ）＝－ x2＋2 x ＋3的图象开口向下，其对
称轴为直线 x ＝1，所以其单调递减区间是[1，＋∞）.
[1，＋∞）　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 函数单调性的判定与证明
【例1】　试用函数单调性的定义证明 f （ x ）＝ 在区间（1，＋
∞）上单调递减.
证明： f （ x ）＝2＋ ， x1， x2∈（1，＋∞）且 x1＞ x2，
则 f （ x1）－ f （ x2）＝ － ＝ ，
因为 x1＞ x2＞1，
所以 x2－ x1＜0， x1－1＞0， x2－1＞0，
所以 f （ x1）＜ f （ x2），
所以 f （ x ）在区间（1，＋∞）上单调递减.
通性通法
利用定义证明函数单调性的4步骤
【跟踪训练】
　证明函数 f （ x ）＝ 在区间（2，＋∞）上单调递减.
证明： x1， x2∈（2，＋∞），且 x1＜ x2，
f （ x1）－ f （ x2）＝ －
＝ ＝ .
因为2＜ x1＜ x2，
所以 x2－ x1＞0， ＞4， ＞4，
所以 f （ x1）－ f （ x2）＞0，即 f （ x1）＞ f （ x2）.
所以函数 f （ x ）＝ 在（2，＋∞）上单调递减.
题型二 求函数的单调区间
【例2】　画出函数 f （ x ）＝－ x2＋2｜ x ｜的图象，根据图象写出函
数 f （ x ）的单调区间.
解：如图所示，由图象可知函数 f （ x ）的单调递增
区间是（－∞，－1），（0，1），
函数的单调递减区间是（－1，0），（1，＋∞）.
通性通法
求函数单调区间的2种方法
（1）定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解；
（2）图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间.
提醒　（1）如果函数 f （ x ）在其定义域内的两个区间 A ， B 上
单调性相同，则两个区间用“，”或“和”连接，一般不能用
“∪”连接，用“∪”连接有严格要求；
（2）书写单调区间时，若函数在区间的端点处有定义，则写成闭区
间、开区间均可，但若函数在区间的端点处无定义，则必须写
成开区间.
【跟踪训练】
　画出函数 y ＝｜ x ｜（ x －2）的图象，并指出函数的单调区间.
解： y ＝｜ x ｜（ x －2）＝
函数的图象如
图实线部分所示.
由函数的图象知，函数的单调递增区间为（－∞，0]
和[1，＋∞），单调递减区间为（0，1）.
题型三 函数单调性的应用
角度1　已知函数的单调性求参数
【例3】　若函数 f （ x ）＝是定义在R上
的减函数，则 a 的取值范围为（　　）
解析： 　要使 f （ x ）在R上是减函数，需满足：
解得 ≤ a ＜ .
通性通法
已知函数的单调性求参数范围的一般思路
（1）将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知的单调区间
比较，求出参数的范围；
（2）运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式（组），解不等
式（组）求出参数的范围.

解析：由题意，得解得0≤ x ≤3①，因为 f （ x ）在
[－2，2]上单调递增，且 f （ x －2）＜ f （1－ x ）.所以 x －2＜1－
x ，解得 x ＜ ②，由①②得0≤ x ＜ .所以满足题意的 x 的取值范围为
［0， ）.
［0， ）　
通性通法
利用单调性比较大小或解不等式的方法
（1）利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小；在解决比
较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调
区间上；
（2）在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性
将“ f ”脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意
函数的定义域.
【跟踪训练】
1. 已知函数 f （ x ）＝若 f （ x ）是R上的增函
数，则实数 a 的取值范围为 .
解析：因为 f （ x ）是R上的增函数，所以解得4≤
a ＜8.
[4，8）　
2. 已知函数 f （ x ）＝ x2＋ ax ＋ b 在区间（－∞，1]上单调递减，在
区间[1，＋∞）上单调递增，且 f （ m ＋2）＜ f （2），则实数 m 的
取值范围为 .
解析：∵ f （ x ）在（－∞，1]上单调递减，在[1，＋
∞）上单调递增，∴－ ＝1，∴ a ＝－2.
（－2，0）　
法一　如图.∵ f （ m ＋2）＜ f （2），又∵ f （0）＝ f （2），则0＜ m
＋2＜2，∴－2＜ m ＜0，则实数 m 的取值范围为（－2，0）.
法二　∵二次函数 y ＝ f （ x ）的图象关于直线 x ＝1对称，且开口向
上.由 f （ m ＋2）＜ f （2），有｜ m ＋2－1｜＜｜2－1｜，即｜ m ＋
1｜＜1，－1＜ m ＋1＜1，∴－2＜ m ＜0，则实数 m 的取值范围为
（－2，0）.
1. （多选）如图所示的是定义在区间[－5，5]上的函数 y ＝ f （ x ）的
图象，则下列关于函数 f （ x ）的说法正确的是（　　）
A. 函数在区间[－5，－3]上单调递增
B. 函数在区间[1，4]上单调递增
C. 函数在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减
D. 函数在区间[－5，5]上没有单调性
解析： 　若一个函数出现两个或两个以上的单调性相同的区
间，不能用“∪”连接.故选A、B、D.
2. 函数 y ＝｜ x ｜－1的单调递减区间为（　　）
A. （－∞，0] B. （－∞，－1）
C. [0，＋∞） D. （1，＋∞）
解析： 　当 x ＞0时， y ＝｜ x ｜－1＝ x －1，此时函数单调递增，
当 x ≤0时， y ＝｜ x ｜－1＝－ x －1，此时函数单调递减，即函数
的单调递减区间为（－∞，0].
3. 若函数 f （ x ）＝ 在（ a ，＋∞）上单调递减，则 a 的取值范围
是（　　）
A. （－∞，－1] B. [－1，＋∞）
C. （－∞，－1） D. （－1，＋∞）
解析： 　函数 f （ x ）＝ 的单调递减区间为（－1，＋∞），
（－∞，－1），又 f （ x ）在（ a ，＋∞）上单调递减，所以 a ≥
－1.

解析：若 f （ x ）在（－∞，＋∞）上是增函数，且 f （2 x －3）＞ f
（5 x －6），则2 x －3＞5 x －6，即 x ＜1.∴实数 x 的取值范围为
（－∞，1）.若函数 f （ x ）是定义在（0，＋∞）上的减函数，则
解得 x ＞ ，∴ x 的取值范围为（ ，＋∞）.
（－∞，1）　
（ ，＋∞）　
　复合函数 y ＝ f （ g （ x ））的单调性
【例】 已知函数 f （ x ）＝ ， x ∈[2，6].
（1）判断此函数在 x ∈[2，6]上的单调性；
解： 函数 f （ x ）＝ 可分解为函数 y ＝ 和函数 u ＝
x －1.
因为 x ∈[2，6]，所以 u ∈[1，5]，显然函数 u ＝ x －1在 x
∈[2，6]上单调递增，函数 y ＝ 在 u ∈[1，5]上单调递
减，由复合函数的单调性，知 f （ x ）＝ 在 x ∈[2，6]上
单调递减.
（2）根据（1）的判断过程，归纳出解题步骤.
解： 解题步骤为：先求函数的定义域，接着分解复合函
数，再判断每一层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性
确定函数的单调性.
g （ x ） f （ x ） f （ g （ x ））
增 增 增
增 减 减
减 增 减
减 减 增
结论　复合函数的单调性：一般地，对于复合函数 y ＝ f （ g
（ x ）），单调性如表所示，简记为“同增异减”.
【迁移应用】
判断函数 f （ x ）＝ 在 x ∈[3，8]上的单调性.
解：函数 f （ x ）＝ ＝1＋ ，可分解为函数 y ＝1＋ 和函
数 u ＝ x －1.
因为 x ∈[3，8]，所以 u ∈[2，7]，显然函数 u ＝ x －1在 x ∈[3，8]上
单调递增，函数 y ＝1＋ 在 u ∈[2，7]上单调递减，由复合函数的单
调性，知 f （ x ）＝ 在 x ∈[3，8]上单调递减.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
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1. 下列命题为真命题的是（　　）
A. 定义在（ a ， b ）上的函数 f （ x ），如果 x1， x2∈（ a ， b ），当 x1＜ x2时，有 f （ x1）＜ f （ x2），那么 f （ x ）在（ a ， b ）上是增函数
B. 如果函数 f （ x ）在区间 I1上单调递减，在区间 I2上也单调递减，那么 f （ x ）在区间 I1∪ I2上就一定单调递减
C. 定义在（ a ， b ）上的函数 f （ x ），若有无穷多对 x1， x2∈（ a ， b ），当 x1＜ x2时，有 f （ x1）＜ f （ x2），那么 f （ x ）在（ a ， b ）上是增函数
D. x1， x2∈（ a ， b ），且 x1＜ x2， f （ x1）≥ f （ x2）成立，则函数 f （ x ）在（ a ， b ）上不是单调递增的
解析： 　A、C是假命题，“存在”“无穷多”不能代表“所
有”“任意”；由 f （ x ）＝ ，可知B是假命题；若要说明函数 f
（ x ）在某个区间上不是单调递增（减）的，只需在该区间上找到
两个值 x1， x2，证明当 x1＜ x2时， f （ x1）≥ f （ x2）（ f （ x1）≤ f
（ x2））成立即可，故D是真命题.
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2. 函数 y ＝ 的单调递增区间是（　　）
A. （－∞，－3]
C. （－∞，1） D. [－1，＋∞）
解析： 　由2 x －3≥0，得 x ≥ .又因为 t ＝2 x －3在（－∞，＋
∞）上是增函数， y ＝ 在定义域上是增函数，所以 y ＝
的单调递增区间是 .
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3. 函数 f （ x ）＝1＋ （　　）
A. 在（－1，＋∞）上单调递增
B. 在（1，＋∞）上单调递增
C. 在（－1，＋∞）上单调递减
D. 在（1，＋∞）上单调递减
解析： 　函数 f （ x ）＝1＋ ，其图象可以由基本的反比例函
数 y ＝ 的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得
到，结合图象知，函数 f （ x ）在（1，＋∞）上单调递减.
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4. 已知定义在[0，＋∞）上的减函数 f （ x ），若 f （2 a －1）＞ f
，则 a 的取值范围是（　　）
解析： 　根据题意， f （ x ）是定义在[0，＋∞）上的减函数，若
f （2 a －1）＞ f ，则有0≤2 a －1＜ ，解得 ≤ a ＜ ，即 a 的取
值范围为 ，故选D.
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5. （多选）下列函数中，在区间（0，＋∞）上单调递增的是（　　）
A. y ＝2 x ＋1 B. y ＝3 x2＋1
D. y ＝｜ x ｜
解析： 　借助函数图象可知， y ＝2 x ＋1， y ＝3 x2＋1， y
＝｜ x ｜在（0，＋∞）上都单调递增， y ＝ 在（0，＋∞）上
单调递减.
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6. （多选）如果函数 f （ x ）在区间[ a ， b ]上单调递增，那么对于任
意的 x1， x2∈[ a ， b ]（ x1≠ x2），下列结论中正确的是（　　）
B. （ x1－ x2）[ f （ x1）－ f （ x2）]＞0
C. 若 x1＜ x2，则 f （ a ）＜ f （ x1）＜ f （ x2）＜ f （ b ）
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解析： 　因为 f （ x ）在[ a ， b ]上单调递增，所以对于任意的
x1， x2∈[ a ， b ]（ x1≠ x2）， x1－ x2与 f （ x1）－ f （ x2）的符号相
同，故A、B正确，D不正确；C中，若 x1＜ x2，则 f （ a ）≤ f
（ x1）＜ f （ x2）≤ f （ b ），所以C不正确，故选A、B.
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7. 已知函数 y ＝ f （ x ）（ x ∈[－2，6]）的图象如图所示.根据图象
写出 y ＝ f （ x ）的单调递增区间为 .
解析：由题图可知 f （ x ）在[－2，－1]和[2，6]上单调递增，则 y
＝ f （ x ）在[－2，6]上的单调递增区间为[－2，－1]和[2，6].
[－2，－1]和[2，6]　
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8. 函数 y ＝｜ x2－2 x －3｜的单调递增区间是
.
解析： y ＝｜ x2－2 x －3｜＝｜（ x －1）2－
4｜，作出该函数的图象，如图.由图象可知，其
单调递增区间为[－1，1]和[3，＋∞）.
[－1，1]和[3，＋
∞）　
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9. 已知二次函数 f （ x ）的图象关于 y 轴对称，且 f （ x ）在[0，＋
∞）上单调递增，则 f （0）， f （3）， f （－4）的大小关系为
.
解析：因为二次函数 f （ x ）的图象关于 y 轴对称，所以 f （－4）＝
f （4），又二次函数 f （ x ）在[0，＋∞）上单调递增，所以 f
（0）＜ f （3）＜ f （4），即 f （0）＜ f （3）＜ f （－4）.
f
（0）＜ f （3）＜ f （－4）　
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10. 已知函数 f （ x ）＝
（1）画出函数 f （ x ）的大致图象；
解： 函数 f （ x ）的大致图象如图所示.
（2）写出函数 f （ x ）的单调递减区间.
解： 由函数 f （ x ）的图象得出，函数的单调递减区间
为[2，4].
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11. 若函数 f （ x ）在[0，＋∞）上单调递减，且 f （2）＝－1，则满
足 f （2 x －4）＞－1的实数 x 的取值范围是（　　）
A. （3，＋∞） B. （－∞，3）
C. [2，3） D. [0，3）
解析： 　∵ f （2）＝－1， f （2 x －4）＞－1，∴ f （2 x －4）＞ f
（2），又∵ f （ x ）在[0，＋∞）上单调递减，∴
即2≤ x ＜3.
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12. 已知 f （ x ）在（－∞，＋∞）上是增函数， a ， b ∈R且 a ＋ b
≤0，则下列不等式中正确的是（　　）
A. f （ a ）＋ f （ b ）≤－ f （ a ）＋ f （ b ）
B. f （ a ）＋ f （ b ）≤ f （－ a ）＋ f （－ b ）
C. f （ a ）＋ f （ b ）≥－ f （ a ）＋ f （ b ）
D. f （ a ）＋ f （ b ）≥ f （－ a ）＋ f （－ b ）
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解析： 　由 a ＋ b ≤0，可得 a ≤－ b 且 b ≤－ a ，又函数 f （ x ）
在（－∞，＋∞）上是增函数，所以 f （ a ）≤ f （－ b ）且 f
（ b ）≤ f （－ a ），所以 f （ a ）＋ f （ b ）≤ f （－ a ）＋ f （－
b ）.故选B.
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13. 若函数 f （ x ）＝ ax2＋（ a －3） x ＋1在（－1，＋∞）上单调递
减，则实数 a 的取值范围是 .
解析：① a ＝0时， f （ x ）＝－3 x ＋1在R上是减函数，∴ a ＝0满
足条件；② a ≠0时， f （ x ）＝ ax2＋（ a －3） x ＋1，对称轴为 x
＝－ ，∴解得－3≤ a ＜0.由①②得－3≤ a
≤0，故 a 的取值范围是[－3，0].
[－3，0]　
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14. 已知函数 f （ x ）＝ .
（1）判断并证明函数 f （ x ）在（－2，＋∞）上的单调性；
解： f （ x ）＝ ＝3＋ ， f （ x ）在（－2，＋∞）上单调递减，证明如下：设 x1＞ x2＞－2，则 f （ x1）－ f （ x2）＝ － ＝ ，因为 x1＞ x2＞－2，
所以 x1＋2＞0， x2＋2＞0， x2－ x1＜0，
所以 f （ x1）＜ f （ x2），所以 f （ x ）在（－2，＋∞）上单
调递减.
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（2）若函数 f （ x ）的定义域为（－2，2），且满足 f （－2 m ＋
3）＞ f （ m2），求 m 的取值范围.
解： 由（1）可知，当 x ∈（－2，2）时，函数 f （ x ）
是减函数，所以由 f （－2 m ＋3）＞ f （ m2）得，
解得1＜ m ＜ ，
所以 m 的取值范围为（1， ）.
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15. 若函数 f （ x ）＝在（－∞， a ）上单调递减，在
（ a ，＋∞）上单调递增，则实数 a 的取值范围是（　　）
A. [2，＋∞） B. [－2，＋∞）
C. [0，2] D. [－2，0]
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解析： 　函数 f （ x ）＝根据反比例函数的性
质可得 y ＝ 在区间（－∞，0）上单调递减，要使函数 f （ x ）在
区间（－∞， a ）上单调递减，则 a ≤0.由 f （ x ）＝｜ x ＋2｜在
（ a ，＋∞）上单调递增，得 a ＋2≥0，解得 a ≥－2.故实数 a 的
取值范围是[－2，0].故选D.
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16. 若 f （ x ）是定义在（0，＋∞）上的函数，且满足 f （ ）＝ f
（ x ）－ f （ y ），当 x ＞1时， f （ x ）＞0.
（1）判断并证明函数的单调性；
解： f （ x ）在（0，＋∞）上是增函数.证明如下：
任取 x1， x2∈（0，＋∞），且 x1＞ x2，则 ＞1.
∵ f （ ）＝ f （ x ）－ f （ y ），当 x ＞1时， f （ x ）＞0，
∴ f （ ）＝ f （ x1）－ f （ x2）＞0，∴ f （ x1）＞ f （ x2），
∴ f （ x ）在（0，＋∞）上是增函数.
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（2）若 f （2）＝1，解不等式 f （ x ＋3）－ f （ ）＜2.
解： ∵ f （2）＝1，
∴ f （ ）＝ f （4）－ f （2）＝ f （4）－1＝1，
∴ f （4）＝2，
∴ f （ x ＋3）－ f （ ）＜2，即 f [ x （ x ＋3）]＜ f （4），
又 f （ x ）的定义域为（0，＋∞），且 f （ x ）为增函数，
∴解得0＜ x ＜1.
∴原不等式的解集为（0，1）.
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