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4.4.2　对数函数的图象和性质
第1课时　对数函数的图象和性质
1.函数y＝loga（x＋2）＋1的图象过定点（　　）
A.（1，2）　　 B.（2，1）
C.（－2，1） D.（－1，1）
2.已知a＝log23，b＝log2e，c＝ln 2，则a，b，c的大小关系是（　　）
A.a＞b＞c B.b＞a＞c
C.c＞b＞a D.c＞a＞b
3.若lg（2x－4）≤1，则x的取值范围是（　　）
A.（－∞，7] B.（2，7]
C.[7，＋∞） D.（2，＋∞）
4.若点（a，b）在函数y＝lg x的图象上，a≠1，则下列点也在此图象上的是（　　）
A.（，b） B.（10a，1－b）
C.（，b＋1） D.（a2，2b）
5.（多选）函数f（x）＝loga（x＋2）（0＜a＜1）的图象过（　　）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
6.（多选）已知a＞0，b＞0，且ab＝1，a≠1，则函数f（x）＝ax与函数g（x）＝－logbx在同一坐标系中的图象可能是（　　）
7.若函数y＝4＋loga（2x－1）（a＞0，且a≠1）的图象恒过点A，则点A的坐标为　　　　.
8.不等式lo（5＋x）＜lo（1－x）的解集为　　　　.
9.已知m，n∈R，函数f（x）＝m＋lognx的图象如图，则m，n的取值范围分别是　　　　（填序号）.
①m＞0，0＜n＜1；②m＜0，0＜n＜1；③m＞0，n＞1；④m＜0，n＞1.
10.已知函数f（x）＝loga（2＋x）－loga（2－x）（a＞0，且a≠1）.
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性.
11.若函数f（x）＝loga（x＋b）的图象如图所示，其中a，b为常数，则函数g（x）＝ax＋b的图象大致是（　　）
12.已知loga＞logb＞0，则下列关系正确的是（　　）
A.0＜b＜a＜1 B.0＜a＜b＜1
C.1＜b＜a D.1＜a＜b
13.已知f（x）＝的值域为R， 那么实数a的取值范围是　　　　.
14.已知f（x）＝｜log3x｜.
（1）画出这个函数的图象；
（2）当0＜a＜2时f（a）＞f（2），利用函数图象求出a的取值范围.
15.设偶函数f（x）＝loga｜x－b｜在（－∞，0）上单调递增，则f（a＋1）与f（b＋2）的大小关系是（　　）
A.f（a＋1）＜f（b＋2）
B.f（a＋1）≤f（b＋2）
C.f（a＋1）≥f（b＋2）
D.f（a＋1）＞f（b＋2）
16.若不等式x2－logmx＜0在（0，）内恒成立，求实数m的取值范围.
第1课时　对数函数的图象和性质
1.D　令x＋2＝1，即x＝－1，得y＝loga1＋1＝1，故函数y＝loga（x＋2）＋1的图象过定点（－1，1）.
2.A　a＝log23＞b＝log2e＞log22＝1，c＝ln 2＜ln e＝1，∴a，b，c的大小关系为a＞b＞c.
3.B　由lg（2x－4）≤1，得0＜2x－4≤10，即2＜x≤7.
4.D　因为点（a，b）在函数y＝lg x的图象上，所以b＝lg a.当x＝时，有y＝lg ＝－lg a＝－b，所以点（，b）不在此函数的图象上，A不正确；当x＝10a时，有y＝lg（10a）＝1＋lg a＝1＋b，所以点（10a，1－b）不在此函数的图象上，B不正确；当x＝时，有y＝lg ＝1－lg a＝1－b，所以点（，b＋1）不在此函数的图象上，C不正确；当x＝a2时，有y＝lg a2＝2lg a＝2b，所以点（a2，2b）在此函数的图象上，D正确.
5.BCD　作出函数f（x）＝loga（x＋2）（0＜a＜1）的大致图象如图所示，则函数f（x）的图象过第二、三、四象限.
6.AB　∵g（x）＝－logbx＝lox＝logax，∴f（x）和g（x）的单调性相同，结合选项可知A、B正确.
7.（1，4）　解析：令2x－1＝1，可得x＝1，当x＝1时，y＝4，所以函数图象恒过点（1，4）.
8.（－2，1）　解析：因为函数y＝lox在（0，＋∞）上是减函数，
所以解得－2＜x＜1.
9.③　解析：由图象知函数为增函数，故n＞1，又当x＝1时，f（1）＝m＞0，故m＞0.
10.解：（1）要使函数有意义，则需满足
解得－2＜x＜2.故函数f（x）的定义域为（－2，2）.
（2）由（1）知f（x）的定义域关于原点对称，因为f（－x）＝loga（2－x）－loga（2＋x）＝－[loga（2＋x）－loga（2－x）]＝－f（x）.所以函数f（x）为奇函数.
11.D　由f（x）的图象可知0＜a＜1，0＜b＜1，∴g（x）的图象应为D.
12.A　由loga＞0，logb＞0，可知a，b∈（0，1）.又loga＞logb，作出图象如图所示，结合图象易知a＞b，∴0＜b＜a＜1.
13.［－，）　解析：要使函数f（x）的值域为R，则必须满足即所以－≤a＜.
14.解：（1）图象如图：
（2）令f（a）＝f（2），即｜log3a｜＝｜log32｜，
解得a＝或a＝2.
从图象可知，当0＜a＜时，满足f（a）＞f（2），
所以a的取值范围是.
15.D　因为函数f（x）是偶函数，所以b＝0，又函数在（－∞，0）上单调递增，所以函数在（0，＋∞）上单调递减，则0＜a＜1，所以1＜a＋1＜2.因为f（a＋1）＝loga｜a＋1｜，f（b＋2）＝loga2，且1＜a＋1＜2，所以f（a＋1）＞f（b＋2）.
16.解：由x2－logmx＜0，得x2＜logmx，在同一坐标系中作y＝x2和y＝logmx的草图，如图所示.
要使x2＜logmx在（0，）内恒成立，只要y＝logmx在（0，）内的图象在y＝x2图象的上方，于是0＜m＜1.
∵当x＝时，y＝x2＝，
∴只要当x＝时，y＝logm≥＝logm即可，
∴≤，即≤m.又0＜m＜1，∴≤m＜1.
即实数m的取值范围是［，1）.
2 / 2(共58张PPT)
4.4.2　
对数函数的图象和性质
新课程标准解读 核心素养
1.能用描点法或借助计算机工具画出具体对数函数的
图象 直观想象
2.探索并了解对数函数的单调性与特殊点 直观想象、
逻辑推理
3.知道对数函数 y ＝log ax 与指数函数 y ＝ ax 互为反函
数（ a ＞0，且 a ≠1） 数学抽象
第1课时　
对数函数的图象和性质
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　观察下图：
【问题】　（1）从图①上看，函数 y ＝log2 x 与 y ＝lo x 的图象有什
么关系？函数 y ＝log ax 与 y ＝lo x （ a ＞0，且 a ≠1）呢？
（2）从图②上看，对数函数的图象的分布与底数有什么关系？
知识点一　对数函数的图象及性质
a ＞1 0＜ a ＜1
图象
定义域 （0，＋∞）
值域 R
a ＞1 0＜ a ＜1
单调性 增函数 减函数
共点性 图象过点 ，即log a 1＝0
函数值 特点 x ∈（0，1）时， y
∈ ； x
∈[1，＋∞）时， y ∈[0，
＋∞） x ∈（0，1）时， y ∈ ； x
∈[1，＋∞）时， y ∈
对称性 函数 y ＝log ax 与 y ＝lo x 的图象关于 x 轴对称
（1，0）　
（－∞， 0）
　
（0，＋∞）　
（－∞，0]　
提醒　（1）函数图象只出现在 y 轴右侧；（2）对任意底数 a ，当 x ＝
1时， y ＝0，故过定点（1，0）；（3）当0＜ a ＜1时，底数越小，图
象越靠近 x 轴；（4）当 a ＞1时，底数越大，图象越靠近 x 轴.
知识点二　反函数
　指数函数 y ＝ ax （ a ＞0，且 a ≠1）与对数函数 y ＝log ax （ a ＞0，
且 a ≠1）互为反函数，它们的 与 正好互换.
提醒　反函数性质的再理解：①互为反函数的两个函数图象关于直线
y ＝ x 对称；②反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函
数的定义域.
定义域　
值域　
1. 函数 y ＝lg（ x ＋1）的图象大致是（　　）
解析： 　将 y ＝lg x 的图象向左平移1个单位得 y ＝lg（ x ＋1）
的图象.
2. 函数 f （ x ）＝log a （ x －1）＋1（ a ＞0，且 a ≠1）的图象恒过点
（　　）
A. （1，1） B. （1，2）
C. （2，1） D. （2，2）
解析： 令 x －1＝1，即 x ＝2，得 f （2）＝log a 1＋1＝1，因此 f
（ x ）的图象恒过点（2，1）.故选C.
3. 函数 f （ x ）＝ 的反函数是 　 f （ x ）＝lo x （ x ＞0）　.
4. 若函数 y ＝log（2 a－3） x 在（0，＋∞）上是增函数，则实数 a 的取值
范围是 .
解析：由题意，得2 a －3＞1，解得 a ＞2.所以 a 的取值范围是
（2，＋∞）.
f （ x ）＝lo x （ x ＞0）　
（2，＋∞）　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
　　
题型一 对数函数的图象
【例1】　（1）如图，若 C1， C2分别为函数 y ＝log ax 和 y ＝log bx 的图
象，则（　　）
A. 0＜ a ＜ b ＜1 B. 0＜ b ＜ a ＜1
C. a ＞ b ＞1 D. b ＞ a ＞1
解析： 　作直线 y ＝1，则直线与 C1， C2的交点的横坐标分别
为 a ， b ，易知0＜ b ＜ a ＜1.
（2）已知 f （ x ）＝log a ｜ x ｜，满足 f （－5）＝1，试画出函数 f
（ x ）的图象.
解：∵ f （－5）＝1，∴log a 5
＝1，即 a ＝5，故 f （ x ）＝log5｜
x ｜＝
∴函数 y ＝log5｜ x ｜的图象如图所示.
【母题探究】
（变设问）在本例（2）中，若条件不变，试画出函数 h （ x ）＝｜log
ax ｜的图象.
解：因为 a ＝5，所以 h （ x ）＝｜log5 x ｜. h （ x ）的图象如图中实线
部分所示.
通性通法
1. 对数函数底数对图象的影响
其中 a ， b ， c ， d 是图象对应的对数函数的底数，根据图象，其大小关系为0＜ c ＜ d ＜1＜ a ＜ b .
2. 关于定点问题
求函数 y ＝ m ＋log af （ x ）（ a ＞0，且 a ≠1）的图象过定点时，只
需令 f （ x ）＝1求出 x ，即得定点为（ x ， m ）.
【跟踪训练】
1. 函数 f （ x ）＝log a ｜ x ｜＋1（ a ＞1）的图象大致为（　　）
解析： 　∵函数 f （ x ）＝log a ｜ x ｜＋1（ a ＞1）是偶函数，∴ f
（ x ）的图象关于 y 轴对称，当 x ＞0时， f （ x ）＝log ax ＋1单调递
增；当 x ＜0时， f （ x ）＝log a （－ x ）＋1单调递减，又∵函数 f
（ x ）的图象过（1，1），（－1，1）两点，∴结合选项可知选项
C中的图象符合题意.
2. 若函数 y ＝log a （ x ＋ b ）＋ c （ a ＞0，且 a ≠1）的图象恒过定点
（3，2），则实数 b ＝ ， c ＝ .
解析：由于函数图象恒过定点（3，2），故
∴∴
－2　
2　
题型二 比较对数值的大小
【例2】　比较下列各题中两个值的大小：
（1）log31.9，log32；
解： 因为 y ＝log3 x 在（0，＋∞）上是增函数，且1.9＜
2，所以log31.9＜log32.
（2）lo 与lo ；
解： 因为 y ＝lo x 在（0，＋∞）上是减函数，且 ＜ ，
所以lo ＞lo .
（3）log23，log0.32；
解： 因为log23＞log21＝0，log0.32＜log0.31＝0，所以log23
＞log0.32.
（4）log a π，log a 3.14（ a ＞0，且 a ≠1）.
解： π＞3.14，当 a ＞1时，函数 y ＝log ax 在（0，＋∞）上
是增函数，有log a π＞log a 3.14；
当0＜ a ＜1时，函数 y ＝log ax 在（0，＋∞）上是减函数，有log
a π＜log a 3.14.
综上可得，当 a ＞1时，log a π＞log a 3.14；当0＜ a ＜1时，log a π
＜log a 3.14.
通性通法
比较对数值大小时常用的4种方法
（1）若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较；
（2）若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对
底数进行分类讨论；
（3）若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再
进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图
象，再进行比较；
（4）若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较.
【跟踪训练】
下列式子中成立的是（　　）
A. log0.44＜log0.46 B. 1.013.4＞1.013.5
C. 3.50.3＜3.40.3 D. log76＜log67
解析： 　因为 f （ x ）＝log0.4 x 为减函数，故log0.44＞log0.46，故A
错；因为 f （ x ）＝1.01 x 为增函数，所以1.013.4＜1.013.5，故B错；
因为 f （ x ）＝ x0.3在（0，＋∞）上单调递增，且3.5＞3.4，所以
3.50.3＞3.40.3，故C错；设函数 f （ x ）＝log7 x ， g （ x ）＝log6 x ，则
这两个函数在定义域内都是增函数，所以log76＜log77＝1＝log66＜
log67，所以D正确.
题型三 利用单调性解对数不等式
【例3】　解下列不等式：
（1）lo x ＞lo （4－ x ）；
解： 由题意可得
解得0＜ x ＜2.
所以原不等式的解集为（0，2）.
（2）log x ＞1.
解： 当 x ＞1时，log x ＞1＝log xx ，
解得 x ＜ ，此时不等式无解.
当0＜ x ＜1时，log x ＞1＝log xx ，
解得 x ＞ ，所以 ＜ x ＜1.
综上所述，原不等式的解集为 .
通性通法
对数不等式的三种考查类型及解法
（1）形如log ax ＞log ab 的不等式，借助 y ＝log ax 的单调性求解，如果
a 的取值不确定，需分 a ＞1与0＜ a ＜1两种情况进行讨论；
（2）形如log ax ＞ b 的不等式，应将 b 化为以 a 为底数的对数式的形式
（ b ＝log aab ），再借助 y ＝log ax 的单调性求解；
（3）形如log f（ x） a ＞log g（ x） a （ f （ x ）， g （ x ）＞0且不等于1， a
＞0）的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或
利用函数图象求解.
【跟踪训练】
解下列不等式：
（1）log2（2 x ＋3）≥log2（5 x －6）；
解： 原不等式等价于
解得 ＜ x ≤3.
所以不等式的解集为 .
（2）log a （2 x －5）＞log a （ x －1）.
解： 当 a ＞1时，原不等式等价于
解得 x ＞4.
当0＜ a ＜1时，原不等式等价于解得 ＜ x
＜4.
综上所述，当 a ＞1时，原不等式的解集为{ x ｜ x ＞4}.当0
＜ a ＜1时，原不等式的解集为 .
1. 设 a ＝log54， b ＝lo ， c ＝0.5－0.2，则 a ， b ， c 的大小关系是
（　　）
A. a ＜ b ＜ c B. b ＜ a ＜ c
C. c ＜ b ＜ a D. c ＜ a ＜ b
解析： 　 c ＝0.5－0.2＝（ ＝ ＞20＝1， b ＝lo ＝log53
＜log54＝ a ＜1，所以 b ＜ a ＜ c .故选B.
2. 下列选项正确的是（　　）
A. log2（ a2＋ a ＋1）≥log2
B. log2（ a2＋ a ＋1）＞log2
C. log2（ a2＋ a ＋1）≤log2
D. log2（ a2＋ a ＋1）＜log2
解析： 　∵ y ＝log2 x 在（0，＋∞）上是增函数，而 a2＋ a ＋1＝
＋ ≥ ，∴log2（ a2＋ a ＋1）≥log2 .
3. 函数 y ＝ 的图象大致是（　　）
解析： 　函数 y ＝ 的定义域是{ x ｜ x ≠0}，且易得函数为
奇函数，所以函数图象关于原点对称，可排除B、C；当 x ＝1时，
y ＝ln 1＝0，故函数图象与 x 轴相交，且其中一个交点为（1，
0），只有A中图象符合.
4. 若log a ＜1，求 a 的取值范围.
解：当 a ＞1时，满足条件；
当0＜ a ＜1时，由得0＜ a ＜ ，
综上，实数 a 的取值范围是（0， ）∪（1，＋∞）.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 函数 y ＝log a （ x ＋2）＋1的图象过定点（　　）
A. （1，2） B. （2，1）
C. （－2，1） D. （－1，1）
解析： 　令 x ＋2＝1，即 x ＝－1，得 y ＝log a 1＋1＝1，故函数 y
＝log a （ x ＋2）＋1的图象过定点（－1，1）.
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2. 已知 a ＝log23， b ＝log2e， c ＝ln 2，则 a ， b ， c 的大小关系是
（　　）
A. a ＞ b ＞ c B. b ＞ a ＞ c
C. c ＞ b ＞ a D. c ＞ a ＞ b
解析： 　 a ＝log23＞ b ＝log2e＞log22＝1， c ＝ln 2＜ln e＝1，
∴ a ， b ， c 的大小关系为 a ＞ b ＞ c .
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3. 若lg（2 x －4）≤1，则 x 的取值范围是（　　）
A. （－∞，7] B. （2，7]
C. [7，＋∞） D. （2，＋∞）
解析： 　由lg（2 x －4）≤1，得0＜2 x －4≤10，即2＜ x ≤7.
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4. 若点（ a ， b ）在函数 y ＝lg x 的图象上， a ≠1，则下列点也在此图
象上的是（　　）
A. （ ， b ） B. （10 a ，1－ b ）
C. （ ， b ＋1） D. （ a2，2 b ）
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解析： 　因为点（ a ， b ）在函数 y ＝lg x 的图象上，所以 b ＝lg
a .当 x ＝ 时，有 y ＝lg ＝－lg a ＝－ b ，所以点（ ， b ）不在此
函数的图象上，A不正确；当 x ＝10 a 时，有 y ＝lg（10 a ）＝1＋lg
a ＝1＋ b ，所以点（10 a ，1－ b ）不在此函数的图象上，B不正
确；当 x ＝ 时，有 y ＝lg ＝1－lg a ＝1－ b ，所以点（ ， b ＋
1）不在此函数的图象上，C不正确；当 x ＝ a2时，有 y ＝lg a2＝2lg
a ＝2 b ，所以点（ a2，2 b ）在此函数的图象上，D正确.
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5. （多选）函数 f （ x ）＝log a （ x ＋2）（0＜ a ＜1）的图象过
（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析： 　作出函数 f （ x ）＝log a （ x
＋2）（0＜ a ＜1）的大致图象如图所示，
则函数 f （ x ）的图象过第二、三、四象
限.
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6. （多选）已知 a ＞0， b ＞0，且 ab ＝1， a ≠1，则函数 f （ x ）＝ ax
与函数 g （ x ）＝－log bx 在同一坐标系中的图象可能是（　　）
解析： 　∵ g （ x ）＝－log bx ＝lo x ＝log ax ，∴ f （ x ）和 g
（ x ）的单调性相同，结合选项可知A、B正确.
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7. 若函数 y ＝4＋log a （2 x －1）（ a ＞0，且 a ≠1）的图象恒过点 A ，
则点 A 的坐标为 .
解析：令2 x －1＝1，可得 x ＝1，当 x ＝1时， y ＝4，所以函数图象
恒过点（1，4）.
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8. 不等式lo （5＋ x ）＜lo （1－ x ）的解集为 .
解析：因为函数 y ＝lo x 在（0，＋∞）上是减函数，
所以解得－2＜ x ＜1.
（－2，1）　
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9. 已知 m ， n ∈R，函数 f （ x ）＝ m ＋log nx 的图象如图，则 m ， n 的
取值范围分别是 （填序号）.
① m ＞0，0＜ n ＜1；② m ＜0，0＜ n ＜1；③ m ＞0， n ＞1；④ m
＜0， n ＞1.
解析：由图象知函数为增函数，故 n ＞1，又当 x ＝1时， f （1）＝
m ＞0，故 m ＞0.
③　
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10. 已知函数 f （ x ）＝log a （2＋ x ）－log a （2－ x ）（ a ＞0，且 a
≠1）.
（1）求函数 f （ x ）的定义域；
解： 要使函数有意义，则需满足
解得－2＜ x ＜2.故函数 f （ x ）的定义域为（－2，2）.
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（2）判断函数 f （ x ）的奇偶性.
解： 由（1）知 f （ x ）的定义域关于原点对称，因
为 f （－ x ）＝log a （2－ x ）－log a （2＋ x ）＝－[log a
（2＋ x ）－log a （2－ x ）]＝－ f （ x ）.所以函数 f
（ x ）为奇函数.
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11. 若函数 f （ x ）＝log a （ x ＋ b ）的图象如图所示，其中 a ， b 为常
数，则函数 g （ x ）＝ ax ＋ b 的图象大致是（　　）
解析： 　由 f （ x ）的图象可知0＜ a ＜1，0＜ b ＜1，∴ g （ x ）
的图象应为D.
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12. 已知log a ＞log b ＞0，则下列关系正确的是（　　）
A. 0＜ b ＜ a ＜1 B. 0＜ a ＜ b ＜1
C. 1＜ b ＜ a D. 1＜ a ＜ b
解析： 　由log a ＞0，log b ＞0，可知 a ， b
∈（0，1）.又log a ＞log b ，作出图象如图
所示，结合图象易知 a ＞ b ，∴0＜ b ＜ a ＜1.
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13. 已知 f （ x ）＝的值域为R， 那么实
数 a 的取值范围是 .
解析：要使函数 f （ x ）的值域为R，则必须满足
即所以－ ≤ a ＜ .
［－ ， ）　
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14. 已知 f （ x ）＝｜log3 x ｜.
（1）画出这个函数的图象；
解： 图象如图：
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（2）当0＜ a ＜2时 f （ a ）＞ f （2），利用函数图象求出 a 的取值
范围.
解： 令 f （ a ）＝ f （2），即｜log3 a ｜＝｜log32｜，
解得 a ＝ 或 a ＝2.
从图象可知，当0＜ a ＜ 时，满足 f （ a ）＞ f （2），
所以 a 的取值范围是 .
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15. 设偶函数 f （ x ）＝log a ｜ x － b ｜在（－∞，0）上单调递增，则 f
（ a ＋1）与 f （ b ＋2）的大小关系是（　　）
A. f （ a ＋1）＜ f （ b ＋2） B. f （ a ＋1）≤ f （ b ＋2）
C. f （ a ＋1）≥ f （ b ＋2） D. f （ a ＋1）＞ f （ b ＋2）
解析： 　因为函数 f （ x ）是偶函数，所以 b ＝0，又函数在（－
∞，0）上单调递增，所以函数在（0，＋∞）上单调递减，则0＜
a ＜1，所以1＜ a ＋1＜2.因为 f （ a ＋1）＝log a ｜ a ＋1｜， f （ b
＋2）＝log a 2，且1＜ a ＋1＜2，所以 f （ a ＋1）＞ f （ b ＋2）.
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16. 若不等式 x2－log mx ＜0在（0， ）内恒成立，求实数 m 的取
值范围.
解：由 x2－log mx ＜0，得 x2＜log mx ，在同一坐标
系中作 y ＝ x2和 y ＝log mx 的草图，如图所示.
要使 x2＜log mx 在（0， ）内恒成立，只要 y ＝log
mx 在（0， ）内的图象在 y ＝ x2图象的上方，于是
0＜ m ＜1.∵当 x ＝ 时， y ＝ x2＝ ，
∴只要当 x ＝ 时， y ＝log m ≥ ＝log m 即可，
∴ ≤ ，即 ≤ m .又0＜ m ＜1，∴ ≤ m ＜1.
即实数 m 的取值范围是［ ，1）.
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谢 谢 观 看！4.4.2　对数函数的图象和性质
新课程标准解读 核心素养
1.能用描点法或借助计算机工具画出具体对数函数的图象 直观想象
2.探索并了解对数函数的单调性与特殊点 直观想象、逻辑推理
3.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数（a＞0，且a≠1） 数学抽象
第1课时　对数函数的图象和性质
　　观察下图：
【问题】　（1）从图①上看，函数y＝log2x与y＝lox的图象有什么关系？函数y＝logax与y＝lox（a＞0，且a≠1）呢？
（2）从图②上看，对数函数的图象的分布与底数有什么关系？
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
知识点一　对数函数的图象及性质
a＞1 0＜a＜1
图象
定义域 （0，＋∞）
值域 R
单调性 增函数 减函数
共点性 图象过点　　　，即loga1＝0
函数值 特点 x∈（0，1）时，y∈　　　；x∈[1，＋∞）时，y∈[0，＋∞） x∈（0，1）时，y∈　　；x∈[1，＋∞）时，y∈　　　
对称性 函数y＝logax与y＝lox的图象关于x轴对称
提醒　（1）函数图象只出现在y轴右侧；（2）对任意底数a，当x＝1时，y＝0，故过定点（1，0）；（3）当0＜a＜1时，底数越小，图象越靠近x轴；（4）当a＞1时，底数越大，图象越靠近x轴.
知识点二　反函数
　指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）与对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）互为反函数，它们的　　　　与　　　　正好互换.
提醒　反函数性质的再理解：①互为反函数的两个函数图象关于直线y＝x对称；②反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域.
1.函数y＝lg（x＋1）的图象大致是（　　）
2.函数f（x）＝loga（x－1）＋1（a＞0，且a≠1）的图象恒过点（　　）
A.（1，1） 　B.（1，2） 　C.（2，1） 　D.（2，2）
3.函数f（x）＝的反函数是　　　　.
4.若函数y＝log（2a－3）x在（0，＋∞）上是增函数，则实数a的取值范围是　　　　.
题型一 对数函数的图象
【例1】　（1）如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则（　　）
A.0＜a＜b＜1
B.0＜b＜a＜1
C.a＞b＞1
D.b＞a＞1
（2）已知f（x）＝loga｜x｜，满足f（－5）＝1，试画出函数f（x）的图象.
【母题探究】
（变设问）在本例（2）中，若条件不变，试画出函数h（x）＝｜logax｜的图象.
通性通法
1.对数函数底数对图象的影响
其中a，b，c，d是图象对应的对数函数的底数，根据图象，其大小关系为0＜c＜d＜1＜a＜b.
2.关于定点问题
求函数y＝m＋logaf（x）（a＞0，且a≠1）的图象过定点时，只需令f（x）＝1求出x，即得定点为（x，m）.
【跟踪训练】
1.函数f（x）＝loga｜x｜＋1（a＞1）的图象大致为（　　）
2.若函数y＝loga（x＋b）＋c（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点（3，2），则实数b＝　　　　，c＝　　　　.
题型二 比较对数值的大小
【例2】　比较下列各题中两个值的大小：
（1）log31.9，log32；
（2）lo与lo；
（3）log23，log0.32；
（4）logaπ，loga3.14（a＞0，且a≠1）.
通性通法
比较对数值大小时常用的4种方法
（1）若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较；
（2）若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论；
（3）若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较；
（4）若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较.
【跟踪训练】
下列式子中成立的是（　　）
A.log0.44＜log0.46　　　 B.1.013.4＞1.013.5
C.3.50.3＜3.40.3 D.log76＜log67
题型三 利用单调性解对数不等式
【例3】　解下列不等式：
（1）lox＞lo（4－x）；
（2）logx＞1.
通性通法
对数不等式的三种考查类型及解法
（1）形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况进行讨论；
（2）形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式（b＝logaab），再借助y＝logax的单调性求解；
（3）形如logf（x）a＞logg（x）a（f（x），g（x）＞0且不等于1，a＞0）的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解.【跟踪训练】
解下列不等式：
（1）log2（2x＋3）≥log2（5x－6）；
（2）loga（2x－5）＞loga（x－1）.
1.设a＝log54，b＝lo，c＝0.5－0.2，则a，b，c的大小关系是（　　）
A.a＜b＜c B.b＜a＜c
C.c＜b＜a D.c＜a＜b
2.下列选项正确的是（　　）
A.log2（a2＋a＋1）≥log2
B.log2（a2＋a＋1）＞log2
C.log2（a2＋a＋1）≤log2
D.log2（a2＋a＋1）＜log2
3.函数y＝的图象大致是（　　）
4.若loga＜1，求a的取值范围.
第1课时　对数函数的图象和性质
【基础知识·重落实】
知识点一
（1，0）　（－∞，0）　（0，＋∞）　（－∞，0]
知识点二
定义域　值域
自我诊断
1.C　将y＝lg x的图象向左平移1个单位得y＝lg（x＋1）的图象.
2.C　令x－1＝1，即x＝2，得f（2）＝loga1＋1＝1，因此f（x）的图象恒过点（2，1）.故选C.
3.f（x）＝lox（x＞0）
4.（2，＋∞）　解析：由题意，得2a－3＞1，解得a＞2.所以a的取值范围是（2，＋∞）.
【典型例题·精研析】
【例1】　（1）B　作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0＜b＜a＜1.
（2）解：∵f（－5）＝1，∴loga5＝1，即a＝5，故f（x）＝log5｜x｜＝
∴函数y＝log5｜x｜的图象如图所示.
母题探究
　解：因为a＝5，所以h（x）＝｜log5x｜.h（x）的图象如图中实线部分所示.
跟踪训练
1.C　∵函数f（x）＝loga｜x｜＋1（a＞1）是偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，当x＞0时，f（x）＝logax＋1单调递增；当x＜0时，f（x）＝loga（－x）＋1单调递减，又∵函数f（x）的图象过（1，1），（－1，1）两点，∴结合选项可知选项C中的图象符合题意.
2.－2　2　解析：由于函数图象恒过定点（3，2），故∴∴
【例2】　解：（1）因为y＝log3x在（0，＋∞）上是增函数，且1.9＜2，所以log31.9＜log32.
（2）因为y＝lox在（0，＋∞）上是减函数，且＜，所以lo＞lo.
（3）因为log23＞log21＝0，log0.32＜log0.31＝0，所以log23＞log0.32.
（4）π＞3.14，当a＞1时，函数y＝logax在（0，＋∞）上是增函数，有logaπ＞loga3.14；
当0＜a＜1时，函数y＝logax在（0，＋∞）上是减函数，有logaπ＜loga3.14.
综上可得，当a＞1时，logaπ＞loga3.14；当0＜a＜1时，logaπ＜loga3.14.
跟踪训练
　D　因为f（x）＝log0.4x为减函数，故log0.44＞log0.46，故A错；因为f（x）＝1.01x为增函数，所以1.013.4＜1.013.5，故B错；因为f（x）＝x0.3在（0，＋∞）上单调递增，且3.5＞3.4，所以3.50.3＞3.40.3，故C错；设函数f（x）＝log7x，g（x）＝log6x，则这两个函数在定义域内都是增函数，所以log76＜log77＝1＝log66＜log67，所以D正确.
【例3】　解：（1）由题意可得
解得0＜x＜2.
所以原不等式的解集为（0，2）.
（2）当x＞1时，logx＞1＝logxx，
解得x＜，此时不等式无解.
当0＜x＜1时，logx＞1＝logxx，
解得x＞，所以＜x＜1.
综上所述，原不等式的解集为.
跟踪训练
　解：（1）原不等式等价于
解得＜x≤3.
所以不等式的解集为.
（2）当a＞1时，原不等式等价于
解得x＞4.
当0＜a＜1时，原不等式等价于解得＜x＜4.
综上所述，当a＞1时，原不等式的解集为{x｜x＞4}.当0＜a＜1时，原不等式的解集为.
随堂检测
1.B　c＝0.5－0.2＝（＝＞20＝1，b＝lo＝log53＜log54＝a＜1，所以b＜a＜c.故选B.
2.A　∵y＝log2x在（0，＋∞）上是增函数，而a2＋a＋1＝＋≥，∴log2（a2＋a＋1）≥log2.
3.A　函数y＝的定义域是{x｜x≠0}，且易得函数为奇函数，所以函数图象关于原点对称，可排除B、C；当x＝1时，y＝ln 1＝0，故函数图象与x轴相交，且其中一个交点为（1，0），只有A中图象符合.
4.解：当a＞1时，满足条件；
当0＜a＜1时，由得0＜a＜，
综上，实数a的取值范围是（0，）∪（1，＋∞）.
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