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人教A版高一暑假作业6：平面向量
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.(2025·湖北省黄冈市·期中考试)是，，，四点构成平行四边形的( )
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.(2025·江苏省苏州市·月考试卷)已知两点，，则与向量同向的单位向量是( )
A. B. C. D.
3.(2025·江苏省南京市·月考试卷)已知向量，，则 ( )
A. B. C. D.
4.(2025·广东省·月考试卷)如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，，则塔高为( )
A. B. C. D.
5.(2025·全国·同步练习)在中，，，，则外接圆的面积为( )
A. B. C. D.
6.(2025·江苏省淮安市·期中考试)如图，正方形的边长为，为边的中点，为边上一点，若，则( )
A. B. C. D.
7.(2025·山东省·单元测试)已知为正三角形内一点，且满足，若的面积与的面积比值为，则的值为( )
A. B. C. D.
8.(2025·湖南省·模拟题)已知中角，，所对的边分别为，，，满足，且则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.(2025·河北省·单元测试)化简以下各式：
；；；．
结果为零向量的是( )
A. B. C. D.
10.(2025·黑龙江省·月考试卷)已知向量，，则( )
A. 若与垂直，则 B. 若，则的值为
C. 若，则 D. 若，则与的夹角为
11.(2025·山东省日照市·期中考试)在中，角，，所对的边分别为，，，若，内角平分线交于点，，以下结论正确的是( )
A. B.
C. D. 的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.(2025·河北省·月考试卷)已知点是的重心，则______．
13.(2025·浙江省温州市·期中考试)设锐角三个内角，，所对的边分别为，，，若，，则的取值范围为 ．
14.一艘船在海上由西向东航行，在处测得某岛的方位角为北偏东角，前进后在处测得该岛的方位角为北偏东角，已知该岛周围范围内包括边界有暗礁，现该船继续东行当与满足 条件时，该船没有触礁危险．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(2025·江苏省连云港市·联考题)本小题分
已知向量，，，且，．
求向量、；
若，，求向量，的夹角的大小．
16.(2025·广东省惠州市·联考题)本小题分
如图，在菱形中，，．
若，求的值；
若，，求．
17.(2025·陕西省铜川市·模拟题)本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为．
求；
若，，求的周长．
18.(2025·广东省·月考试卷)本小题分
在中，分别是角所对的边，已知，，，且 ．
求角的大小
若的面积为，求的值．
求周长的取值范围．
19.(2025·广东省湛江市·期中考试)本小题分
如图，在四边形中，，，是等边三角形．
若，求的面积；
若，求的面积；
求的面积的最大值．
1.【答案】
【解析】解：由可知，，，四点不一定构成平行四边形；
当，，，四点构成平行四边形时，与不一定相等，
故选D．
2.【答案】
【解析】解：由两点，，
可知与向量同向的单位向量是：
故选：．
3.【答案】
【解析】解：，；
；
又；
．
故选A．
4.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，．
所以
．
在中，由正弦定理可得，
即，解得．
在中，
故选C．
5.【答案】
【解析】解：在中，，，，由余弦定理可得
，，
设外接圆半径为，
再由正弦定理可得，
的外接圆半径，
外接圆的面积为．
故选A．
6.【答案】
【解析】解：法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，
建立平面直角坐标系如图所示，
则，设，则，故，．
，，解得，
．
故选D．
法二：连接
由题意，，
，
是的中点，
设，
则，在中，，
即，
解得，．
故选D．
7.【答案】
【解析】解：，
，
如图，
，分别是对应边的中点，
由平行四边形法则知，
，在正三角形中，
，
且三角形与三角形同底边，
故点到底边的距离等于到底边的距离的三分之一，
故
由得．故选A．
8.【答案】
【解析】
解：因为在中，，所以由，得：，于是由正弦定理得：，因为，，所以，又，所以，．
于是由，得：由，
再由正弦定理、余弦定理得：，
化简得：．
于是由正弦定理可得：，
所以
，
其中锐角满足：，，
所以当，，即，时，取得的最大值为．
故选D．
9.【答案】
【解析】解：；
；
；
，
故零向量的是，
故选ABD．
10.【答案】
【解析】解：对于选项，，则，解得，选项错误；
对于选项，，故，，，
，选项正确；
对于选项，若，则，，所以，选项正确；
对于选项，若，则，，
此时，与的夹角不是，选项错误．
故选：．
11.【答案】
【解析】
解：在中，由，即，
根据余弦定理得，，即，所以．
由倍角公式得，解得．
在中，，故选项正确；
在中，，解得，故选项错误；
，解得，故选项正确；
由，则，又，，
，故选项不正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：如图所示，
连接并延长交于点，点为的中点，
延长到点，使，则，，
，
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：由及余弦定理得，
，，
又为锐角三角形，，由正弦定理得，
，
由，得，
，，
的取值范围为，
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：过作于，如图所示，
由题意可知，，，设，
在中，，根据正弦定理得，即，，
又因为时没有触礁危险，即，
则，即．
故答案为．
15.【答案】解：因为 ， ， ，且 ， ，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以 ， ；
解：设向量 ， 的夹角的大小为 ．
由题意可得， ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ．
16.【答案】解：因为，，
所以，
而，
所以，，故．
，
，
为菱形，，，
，
即．
17.【答案】解 ：因为面积，且，
所以，所以．
由正弦定理得，
因为，所以．
由得，．
因为，所以，
又，所以，，，
由余弦定理得，
由正弦定理得，，
所以，
由得：，
所以，即周长为．
18.【答案】解：由，，且，
得，
；
又，；
由余弦定理得，
即，；
又的面积为，
，，
．
由知，，则，
，，，；
，
又，，，
，
周长的取值范围．
19.【答案】解：在中，由余弦定理可得：
，则．
因为是等边三角形，所以的面积．
在中，由余弦定理可得，
则，故，
因为是等边三角形，所以，
所以
，
则的面积为，
设，，
在中，由正弦定理可得，则，
由余弦定理可得，
，
则，
所以的面积：
，
因为，，
所以，
当时，取得最大值，即的面积的最大值为．
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