资源简介

人教A版高一暑假作业7：立体几何初步
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.(2025·河南省信阳市·模拟题)设，，是三个不同平面，且，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.(2025·湖北省·联考题)如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，则平面四边形的周长为( )
A. B. C. D.
3.(2025·广西壮族自治区防城港市·期中考试)科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号如图是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器年月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成次升空大气科学观测，最高升空至米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力“极目一号”Ⅲ型浮空艇长米，高米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的体积为( )
A. B. C. D.
4.(2025·重庆市·同步练习)设是两个平面，是两条直线，且下列四个命题：
若，则或 若，则
若，且，则 若与和所成的角相等，则
其中所有真命题的编号是( )
A. B. C. D.
5.(2025·江苏省·模拟题)一个五面体已知，且两两之间距离为并已知则该五面体的体积为( )
A. B. C. D.
6.(2025·福建省泉州市·模拟题)已知正三棱台的体积为，，，则与平面所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
7.(2025·浙江省·单元测试)已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，是线段上的点不含端点设与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则( )
A. B. C. D.
8.(2025·江苏省无锡市·期中考试)已知正方体的棱长为，，分别是棱，的中点，动点在正方形包括边界内运动，若面，则线段的长度范围是( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.(2025·湖北省随州市·模拟题)已知，表示直线，表示平面，则下列推理不正确的是( )
A. B. ，且
C. D.
10.(2025·福建省·历年真题)在正三棱柱中，为中点，则( )
A. B. 平面
C. D. 平面
11.(2025·江苏省南京市·月考试卷)如图，已知正方体的棱长为，为底面的中心，交平面于点，点为棱的中点，则( )
A. ，，三点共线
B. 异面直线与所成的角为
C. 点到平面的距离为
D. 过点，，的平面截该正方体所得截面的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.(2025·全国·历年真题)一底面半径为，高为的封闭圆柱形容器容器壁厚度忽略不计内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为 单位：
13.(2025·山东省青岛市·月考试卷)在边长为的正方体中，点是该正方体表面上一个动点，且平面，则动点的轨迹的长度是 ．
14.(2025·山东省聊城市·月考试卷)如图，，，分别是边长为的正三角形三边的中点，将，，分别沿向上翻折至与平面均成直二面角，得到几何体则二面角的余弦值为 ；几何体的外接球表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(2025·浙江省·单元测试)本小题分
如图，在三棱柱中，，，，分别为，，，的中点．
证明：，，，四点共面．
证明：，，三线共点．
16.(2025·浙江省宁波市·期中考试)本小题分
如图，已知圆台的轴截面为等腰梯形，满足，点为不包括端点上一点，为线段的中点．

证明：平面；
若圆台的体积为，求圆台的表面积．
17.(2025·福建省·期中考试)本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，平面，，是的中点．
求证：；
求证：平面平面；
若是线段上任意一点，试判断线段上是否存在点，使得平面？请说明理由．
18.(2025·河南省·单元测试)本小题分
如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，点，分别是棱，的中点．
证明：平面；
若，求点到平面的距离．
19.(2025·江苏省南通市·其他类型)本小题分
如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面．
求证：平面平面；
求二面角的大小；
在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求的长；若不存在，说明理由．
1.【答案】
【解析】解：由 ， ， ，则 可能相交，
故“ ”推不出“ ”，
由 ， ， ，由面面平行的性质定理知 ，
故“ ”能推出“ ”，
故“ ”是“ ”的必要不充分条件．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：将直观图还原得平行四边形，如下图，
所以，所以平面四边形为菱形，
其周长为．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：该组合体的直观图如图：
半球的半径为米，圆柱的底面半径为米，母线长为米，
圆台的两底面半径分别为米和米，高为米，
半球的体积为立方米，
圆柱的体积为立方米，
圆台的体积为立方米，
该组合体的体积为立方米．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：对，当，因为，，则，
当，因为，，则，
当既不在也不在内，因为，，则且，故正确；
对，若，则与不一定垂直，故错误；
对，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线，
因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知，
同理可得，则，因为平面，平面，则平面，
因为平面，，则，又因为，则，故正确；
对，若与和所成的角相等，如果，则，故错误；
综上只有正确，
故选：．
5.【答案】
【解析】解：用一个完全相同的五面体顶点与五面体一一对应与该五面体相嵌，使得；重合，
因为，且两两之间距离为．，
则形成的新组合体为一个三棱柱，
该三棱柱的直截面与侧棱垂直的截面为边长为的等边三角形，侧棱长为，
．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：因为，，所以，，
而正三棱台的体积为，
因此若正三棱台的高为，则，解得．
若正、正的中心分别为、，则，，
因此若与平面所成角为，则．
7.【答案】
【解析】解：由题意可知在底面的射影为正方形的中心．
过作，交于，过底面的中心作交于，连接，
取中点，连接，，，则，
则，，．
显然，，，均为锐角．
，，，
，
又，，，
．
综上可知．
故选D．
8.【答案】
【解析】解：取的中点，的中点，连接，，，取中点，连接，如图所示，
点，分别是棱长为的正方体中棱，的中点，
，，
平面，平面，
平面，同理，平面，
，，平面，
平面平面，
动点在正方形包括边界内运动，且面，
点的轨迹是线段，
，，
，
当与重合时，的长度取最小值为，
当与或重合时，的长度取最大值为．
线段的长度范围为
故选D．
9.【答案】
【解析】解：选项A中，，，则，可能平行，也可能相交，故A项不正确；
选项B中，，，则可能且，也可能在平面或内，故B项不正确；
选项C中，，，，，根据面面平行的判定定理，再加上条件直线，相交，才能得出，故C项不正确；
由平面与平面平行的性质定理可知，，，，故正确．
故选ABC．
10.【答案】
【解析】解：如图，取中点，连接，，，
对于，易得，而，所以与不垂直即与不垂直，故 A错误
对于，在正三角形中，是中点，所以，
又因为在正三棱柱中，侧棱底面，
所以，因为，且平面，平面，
所以平面，故B正确
对于，因为，，所以不成立，故C错误．
对于，，平面，平面，所以平面，故 D正确
故选BD．
11.【答案】
【解析】解：因为为底面的中心，
所以为和的中点，则，，
因为平面，平面，
所以平面，平面，
所以点是平面与平面的公共点；
显然是平面与平面的公共点；
因为交平面于点，平面，
所以也是平面与平面的公共点，
所以，，三点都在平面与平面的交线上，
即，，三点共线，故A正确；
因为平面，平面，
所以，
又，，，平面，
所以平面，
又平面，
所以，即异面直线与所成的角为，故B不正确；
根据证明的方法，同理可得，
因为，，平面，
所以平面，
则的长度就是点到平面的距离，
显然为正三角形的中心，
因为正方体的棱长为，
所以正三角形的边长为，
所以，
又，
所以，
即点到平面的距离为，故C正确；
取的中点，连，，，，
因为，
所以等腰梯形就是过点，，的平面截该正方体所得截面，如图：
因为，，，
所以等腰梯形的高为，
所以等腰梯形的面积为，
即过点，，的平面截该正方体所得截面的面积为，故D正确．
故选：．
12.【答案】2.5
【解析】解：轴截面如图所示，设铁球半径为，则有，
即，即，解得或舍，
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：如图，边长为的正方体中，
动点满足平面，
由面面平行的性质得：当始终在一个与平面平行的面内，即满足题意，
连接，，，
因为且，所以四边形为平行四边形，
所以，同理，
又平面，平面，所以平面，
因为平面，平面，所以平面，
又因平面，
所以平面平面，
又平面，是该正方体表面上一个动点，所以动点的轨迹为，
因为，所以动点的轨迹的长度为．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：取的中点，的中点，连接，，
故，
根据面面垂直的性质可得平面，平面，故，且，故四边形为矩形．
所以．
根据图形的对称性，易得为正三角形，
取中点，因为，，
则，，则二面角为，
且，
作，易得，且，，
故，
即二面角的余弦值为；
设几何体的外接球球心为，设中心为，中心为，易得共线，如图，设外接球半径，
根据正三角形中的关系，，．
因为，则，即，即，故，解得，
故外接球表面积为，
故答案为；．
15.【答案】证明：如图，连接，．
是的中位线，
．
且，
四边形是平行四边形，
，，，，，四点共面．
如图，延长，相交于点．
，平面，
平面．，平面．平面
平面平面，
，，，三线共点．
16.【答案】解：证明：

连接，，
因为四边形为等腰梯形，所以，
因为，为中点，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面，又因为为的中点，
所以为三角形的中位线，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
又因为平面，平面，，
所以平面平面，又因为平面，
所以平面；
设上底面圆半径为，则，，
下底面圆半径为，则，，
设圆台高为，体积为，
则，
解得，
在截面等腰梯形中，过作的垂线，垂足为，如图：

则，
所以圆台母线长，
所以圆台的表面积为：．
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
17.【答案】解：证明：平面，平面，平面平面，
所以．
证明：因为平面平面，平面平面，
因为，，则，所以平面，
又因为平面，
所以平面平面．
当为中点时，平面．
证明：取的中点，连接，，，分别为，的中点，所以，平面，平面，所以平面，
又因为，，所以四边形为平行四边形，
所以，平面，平面，所以平面，，所以平面平面，又因为平面，所以平面．
线段上存在点，使得平面．
18.【答案】证明：取的中点，连接，，
点是棱的中点，，．
点是棱的中点，四边形是菱形，
，，，且，
四边形是平行四边形，
，
平面，平面，平面．
解：由可得：平面．
要求点到平面的距离，只要求点到平面的距离即可．
点是棱的中点，
求出点到平面的距离，则
取的中点，连接，．
四边形是菱形，，
是等边三角形，，
平面，，
而，，平面，
平面，是点到平面的距离，
，
．
19.【答案】解：证明：因为在等腰梯形中，
，，是的中点，
所以四边形为菱形，所以，
又，所以，，
又，、平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
因为在等腰梯形中，，，是的中点，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以，
因为，，所以，
又面面，
所以即为二面角的平面角，
因为平面，平面，
所以，又，
则在直角三角形中，，
所以，
即二面角的平面角为；
假设线段上存在点，使得平面，
过点作交于，连接，，如下图所示：
因为，所以，
即可得，，，四点共面，
又因为平面，平面平面，
所以，
则四边形为平行四边形，
所以，
则点为的中点，
即在线段上存在点，使得平面，且，
易知为正三角形，且，
所以，
因为，则在直角三角形中，
由勾股定理可得，
因为平面，平面，
所以，则在直角三角形中，
所以，
所以．
第2页，共2页

展开更多......

收起↑