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人教A版高一暑假作业9:高一综合(1)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.(2025·江苏省淮安市·月考试卷)设为虚数单位，若复数满足，则在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.(2025·江苏省苏州市·月考试卷)已知为锐角，且，则( )
A. B. C. D.
3.(2025·江苏省苏州市·月考试卷)在中，已知，，，则角的度数为( )
A. B. C. 或 D.
4.(2025·江苏省苏州市·月考试卷)已知，，若在上的投影向量为，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
5.(2025·江苏省扬州市·月考试卷)设样本数据的均值和方差分别为和，若，则的方差为( )
A. B. C. D.
6.(2025·江苏省苏州市·月考试卷)已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，若，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.(2025·黑龙江省哈尔滨市·期中考试)如图，在正四棱柱中，
，则异面直线与所成角的余弦值为( )
B. C. D.
8.(2025·湖北省武汉市·月考试卷)如图，平行四边形中，，
现将沿 折起，使二面角大小为，则折起后得到的三棱锥外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.(2025·江苏省淮安市·月考试卷)已知，是不同的直线，，是不重合的平面，则下列命题中，真命题有( )
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
10.(2025·浙江省·单元测试)某保险公司为客户定制了个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险。各种保险按相关约定进行参保与理赔该保险公司对个险种参保客户进行抽样调查，得出如图所示的统计图，以下四个选项中，说法正确的有( )
A. 周岁及以上客户人数最少 B. 周岁客户参保总费用最少
C. 丁险种更受客户青睐 D. 周岁以上的客户约占参保客户的
11.(2025·江苏省无锡市·月考试卷)已知正三棱台，，，下列说法正确的是( )
A. 正三棱台体积为
B. 侧棱与底面所成角的余弦值为
C. 点到平面的距离为
D. 三棱台的外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.(2025·内蒙古自治区赤峰市·期中考试)已知向量，的夹角为，，，则 ．
13.(2025·江苏省镇江市·月考试卷)在中，内角，，所对的边，，满足，则 ，三角形为锐角三角形，则的取值范围是 ．
14.(2025·江苏省宿迁市·月考试卷)如图，在长方体中，
，，为的中点，过的平面分别与棱，交于点，，且，则截面四边形的面积为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(2025·北京市·模拟题)本小题分
已知，，且，求：
的值
的值．
16.(2025·江苏省连云港市·月考试卷)本小题分
如图，是圆的直径，点在圆所在平面上的射影恰是圆上的点，且，点是的中点，点为的中点．
求异面直线和所成角的大小；
求二面角的大小．
17.(2025·江苏省扬州市·月考试卷)本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，其中为的面积．
求角的大小；
设是边的中点，若，求的长．
18.(2025·广东省中山市·模拟题)本小题分
如图，四棱锥的侧面是边长为的正三角形，底面为矩形，且平面平面，，分别为，的中点，二面角的正切值为．
求四棱锥的体积
证明：
求直线与平面所成角的正弦值．
19.(2025·辽宁省大连市·期末考试)本小题分
将连续正整数，，，，从小到大排列构成一个数，为这个数的位数例如：当时，此数为，共有个数字，则现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到的概率．
求
当时，求的表达式
令为这个数中数字的个数，为这个数中数字的个数，，，求当时的最大值．
1.【答案】
【解析】解：由，
得，
，
则，
在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：因为为锐角，
所以，
所以，
所以
．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：由 ， 得 ，于是 ，则为锐角，
由正弦定理得 ，
，
故选：．
4.【答案】
【解析】解：因为，，在上的投影向量为，
所以，所以，
设与的夹角为，则，
又，所以．
故选B．
5.【答案】
【解析】解：由方差的性质可得，
．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，即，
若“”，根据线面平行的判定，则“”成立；
反之，若 ，，由线面平行的性质可得；
故“”是“”的充要条件，
故选C．
7.【答案】
【解析】解：如图连接，因为为正四棱柱，
所以且，所以四边形为平行四边形，
所以，则或其补角就是异面直线与所成的角，
设，则，可得，，，
故．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：如图所示，过点作，过点作，两直线相交于点，
因为，，
所以，，则，
由于，又平面平面，
故即为二面角的平面角，
则，
过点作延长线的垂线，交延长线于点，
因为，，，平面，
故平面，
因为平面，所以，
又，，平面，
则平面，且，
取的中点，则外接球球心在平面上的投影为，即平面，
连接，，则，
过点作，交直线于点，
因为平面，平面，则，所以，
又平面，所以，
所以四边形为平行四边形，则，
因为，则，，
，
在中，由余弦定理得，
设，则，故，
由勾股定理得，，
故，解得，
故外接球半径为，外接球表面积为．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：对于，由，，得，
又，因此，故A正确；
对于，由，得存在过的平面与相交，
令交线为不与重合，则，
由，得存在过的平面与相交，
令交线为不与重合，则，于是，
显然，则，而，
因此，，故B正确；
对于，，，
则或，故C错误；
对于，由，，且，是不重合的平面，得，
而，则，故D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：由扇形图可判断周岁及以上所占比例最少，故参保人数最少，选项正确；
由折线图可估计周岁大约参保费用为元，所占比例为，
设参保人数为人，则总费用大约为：元，
而周岁以上人群大约参保费用为元，所占比例为，
故总费用大约为：元，
故B选项错误；
由条形图可知丁险种的参保比例更高，可判断选项正确；
由扇形图可知周岁以上所占比例为，故D选项正确．
故选ACD．
11.【答案】
【解析】解： 正三棱台，，，
设 ，分别为的中心，
设为三棱台的外接球的球心，
设的中点分别为，
对于，，
，
，
，，
，故 A错误；
对于，侧棱与底面所成角为，
，故B正确；
对于，设点到平面的距离为，
则，
，
由，
可得，
即，解得，故C正确；
对于，，，
，
解得，说明球心在线段的延长线上，
，
三棱台的外接球的表面积为，故D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：由向量，的夹角为，，，
则，
则
，
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：
，即
即
得或舍
，
又即

故答案为，．
14.【答案】
【解析】解：如图：过点作的平行线分别与，的延长线交于，，
连接，，并分别与，交于，，
因为，且平面，平面，
所以平面，
所以平面即为平面，
又平面平面，平面平面，
平面平面，
所以，同理，所以四边形为平行四边形，
又，，所以，所以四边形为菱形，
因为，，
所以 ．
故答案为：．
15.【答案】解：因为，，所以
又因为，所以
所以，．
．
．
又因为，所以．

16.【答案】解：取中点，连接，，
因为，分别为，的中点，
所以，所以或其补角为异面直线和所成角，
因为，
为以为直径的圆上的点，所以，
所以在直角三角形中，
，，
由勾股定理得，
因为点在圆所在平面上的射影恰是圆上的点，
所以面，又，在平面内，
所以，，又，
所以，所以三角形为正三角形，，
异面直线和所成角是
由知，，，
得平面，且平面，
所以，又，
所以为二面角的平面角，
在等腰直角三角形中易知，
故二面角的大小为．
17.【答案】解：由，
可得，即，
结合正弦定理可得B.
在中，，
所以，
整理得B.因为，，
故，即，又，所以；
因为是边的中点，故，
又，所以，
即，
整理得，
在中，由余弦定理得，
即，联立，可得，，
因为是边的中点，故BD，在中，由勾股定理得
，所以．
18.【答案】解：为正三角形，为中点，
．
又平面平面，平面平面，
平面．又平面，
，
为二面角的平面角，．
又，，底面为正方形．又易得，
四棱锥的体积．
证明：由知，平面，平面，．
在正方形中，易知，．
而，
，．
，平面．
平面，．
解：设，连接，．
平面，为直线与平面所成的角．
可求得，，，．
又，，，
直线与平面所成角的正弦值为．
19.【答案】解：当时，，
即这个数中共有个数字，其中数字的个数为，
则恰好取到的概率为；
当时，这个数由个位数组成，
当时，这个数由个位数组成，个两位数组成，则
当时，这个数由个位数组成，个两位数组成，个三位数组成，
当时，这个数有个位数组成，个两位数组成，个三位数组成，
个四位数组成，
综上所述：；
时，，
当时，
当时，，
即
同理有
由，可知，，，，，，，，，，
所以当时，，
当时，，当时，，
时，，
由关于单调递增，
故当时，有的最大值为，
又，
所以当时的最大值为．
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