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(共47张PPT)
培优课　
指（对）数型函数的综合问题
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 指（对）数型函数图象的变换
【例1】　利用函数 y ＝ f （ x ）＝2 x 的图象，作出下列各函数的图
象：
（1） f （ x －1）；（2） f （｜ x ｜）；（3） f （ x ）－1；
（4）－ f （ x ）；（5）｜ f （ x ）－1｜.
解：利用指数函数 y ＝2 x 的图象及变换作图法可作出所要作的函
数图象.如图所示.
通性通法
利用图象变换法作函数的图象
（1）平移变换
① y ＝ f （ x ） y ＝－ f （ x ）；
② y ＝ f （ x ） y ＝ f （－ x ）；
③ y ＝ f （ x ） y ＝－ f （－ x ）；
④ y ＝ ax （ a ＞0且 a ≠1） y ＝log ax （ a ＞0且 a≠1）.
（2）对称变换
（3）翻折变换
① y ＝ f （ x ） y ＝｜ f （ x ）｜；
② y ＝ f （ x ） y ＝ f （｜ x ｜）.
【跟踪训练】
下列函数中，其图象与函数 y ＝ln x 的图象关于直线 x ＝1对称的是
（　　）
A. y ＝ln（1－ x ） B. y ＝ln（2－ x ）
C. y ＝ln（1＋ x ） D. y ＝ln（2＋ x ）
法二　由题意知，对称轴上的点（1，0）既在函数 y ＝ln x 的图象上也
在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A、
C、D，故选B.
解析： 　法一　设所求函数图象上任一点的坐标为（ x ， y ），则其
关于直线 x ＝1的对称点的坐标为（2－ x ， y ），由对称性知点（2－
x ， y ）在函数 y ＝ln x 的图象上，所以 y ＝ln（2－ x ）.
题型二 指（对）数型复合函数的单调性
【例2】　判断函数 f （ x ）＝lo （ x2－2 x －3）的单调性.
解：由 x2－2 x －3＞0，解得 x ＞3或 x ＜－1，
所以函数 f （ x ）的定义域为（－∞，－1）∪（3，＋∞），
因函数 f （ x ）＝lo （ x2－2 x －3）可看作由 y ＝lo u 和 u ＝ x2－2 x
－3复合而成，又由于 y ＝lo u 在定义域内是减函数，
而 u ＝ x2－2 x －3在（－∞，－1）上单调递减，在（3，＋∞）上单
调递增.
由复合函数单调性的判断法则“同增异减”可知， f （ x ）＝lo （ x2
－2 x －3）在（－∞，－1）上单调递增，在（3，＋∞）上单调递减.
通性通法
复合函数 y ＝ f （ g （ x ））的单调性判断步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）将复合函数分解成两个简单函数： y ＝ f （ u ）与 u ＝ g （ x ）；
（3）分别确定分解成的两个函数的单调性；
（4）若两个函数在对应区间上的单调性相同（即都单调递增，或都
单调递减），则复合后的函数 y ＝ f （ g （ x ））单调递增；
若两个函数在对应区间上的单调性相异（即一个单调递增，
而另一个单调递减），则复合后的函数 y ＝ f （ g （ x ））单
调递减.
【跟踪训练】
1. 函数 y ＝ 的单调递减区间是（　　）
A. （－∞，＋∞）
B. （－∞，0）
C. （0，＋∞）
D. （－∞，0）和（0，＋∞）
解析： 　设 u ＝ ，则 y ＝3 u ，因为 u ＝ 在（－∞，0）和（0，
＋∞）上单调递减，且 y ＝3 u 在（－∞，0）和（0，＋∞）上单调
递增，所以函数 y ＝ 的单调递减区间是（－∞，0）和（0，＋
∞）.
2. 讨论函数 y ＝log a （3 x －1）的单调性.
解：由3 x －1＞0，得函数的定义域为 .
当 a ＞1， x ＞ 时，函数 f （ x ）＝log a （3 x －1）为增函数；
当0＜ a ＜1， x ＞ 时，函数 f （ x ）＝log a （3 x －1）为减函数.
题型三 与指（对）数函数有关的恒成立问题
【例3】　已知函数 f （ x ）＝log2（ ＋1）是奇函数， a ∈R.
（1）求 a 的值；
解： 令 ＋1＞0，则 ＞0， x ＜－ a －1或 x ＞－
a ，
f （ x ）是奇函数，其定义域关于原点对称，－ a －1－ a ＝0， a
＝－ .
（2）对任意的 x ∈（－∞，0），不等式 f （2 x ＋1）＞log2（ m －2 x ）
恒成立，求实数 m 的取值范围.
解： f （2 x ＋1）＞log2（ m －2 x ），
即log2（ ＋1）＞log2（ m －2 x ），
整理得 m ＜2 x ＋ ＋ ＋ ，
令 u ＝2 x ＋ ， x ∈（－∞，0），所以 u ∈（ ， ），
令 g （ u ）＝ u ＋ ＋ ，易知 g （ u ）≥ ，
当 u ＝1时取等号，所以 m ＜ .
又由 m －2 x ＞0，即 m ＞2 x ，故 m ≥1，
所以 m 的取值范围是［1， ）.
通性通法
解决恒成立问题的基本思路
（1）转换成求函数最值：① m ≥ f （ x ）在 x ∈ D 上恒成立 m ≥ f
（ x ）max， x ∈ D ；② m ≤ f （ x ）在 x ∈ D 上恒成立 m ≤ f
（ x ）min， x ∈ D .
（2）转换成函数图象问题：①若 f （ x ）＞ g （ x ）在 x ∈ D 上恒成
立，则在区间 D 上，函数 y ＝ f （ x ）的图象在函数 y ＝ g （ x ）
图象的上方；②若 f （ x ）＜ g （ x ）在 x ∈ D 上恒成立，则在区
间 D 上，函数 y ＝ f （ x ）的图象在函数 y ＝ g （ x ）图象的下方.
【跟踪训练】
已知函数 f （ x ）＝1－ .
（1）判断函数 f （ x ）在R上的单调性，并用单调性的定义证明；
解： 函数 f （ x ）是增函数，任取 x1， x2∈R，不妨设 x1＜x2，
f （ x1）－ f （ x2）＝（1－ ）－（1－ ）＝
，
∵ x1＜ x2，∴ － ＜0，又 ＋1＞0， ＋1＞0，
∴ f （ x1）－ f （ x2）＜0，即 f （ x1）＜ f （ x2），
∴函数 f （ x ）是R上的增函数.
（2）判断函数 f （ x ）的奇偶性，并证明；
解： 函数 f （ x ）为奇函数，证明如下：
由解析式可得 f （ x ）＝ ，且定义域为R关于原点对称，
f （－ x ）＝ ＝ ＝－ f （ x ），
∴函数 f （ x ）是定义域上的奇函数.
（3）若 f （－2 x2＋ x ）＋ f （－2 x2－ k ）＜0恒成立，求实数 k 的取值
范围.
解： f （－2 x2＋ x ）＋ f （－2 x2－ k ）＜0等价于 f （－2 x2
＋ x ）＜－ f （－2 x2－ k ）＝ f （2 x2＋ k ），
∵ f （ x ）是R上的增函数，∴－2 x2＋ x ＜2 x2＋ k ，即4 x2－ x ＋
k ＞0恒成立，
由Δ＝1－16 k ＜0，解得 k ＞ .
∴实数 k 的取值范围为（ ，＋∞）.
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 函数 y ＝log a （ x －1）（0＜ a ＜1）的图象大致是（　　）
解析： 　∵0＜ a ＜1，∴ y ＝log ax 在（0，＋∞）上是减函数，故
排除C、D；又函数 y ＝log a （ x －1）的图象是由 y ＝log ax 的图象向
右平移1个单位长度得到的，故A正确.
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2. 已知函数 f （ x ）＝ln x ＋ln（2－ x ），则（　　）
A. f （ x ）在（0，2）上单调递增
B. f （ x ）在（0，2）上单调递减
C. y ＝ f （ x ）的图象关于直线 x ＝1对称
D. y ＝ f （ x ）的图象关于点（1，0）对称
解析： 　∵函数 f （ x ）＝ln x ＋ln（2－ x ），∴ f （2－ x ）＝ln
（2－ x ）＋ln x ，即 f （ x ）＝ f （2－ x ），即 y ＝ f （ x ）的图象关
于直线 x ＝1对称.
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3. 若两个函数的图象经过平移后能够重合，则称两个函数为“同形函
数”.给出下列四个函数： f1（ x ）＝2log2（ x ＋1）， f2（ x ）＝
log2（ x ＋2）， f3（ x ）＝log2 x2， f4（ x ）＝log2（2 x ），则是“同
形函数”的是（　　）
A. f2（ x ）与 f4（ x ） B. f1（ x ）与 f3（ x ）
C. f1（ x ）与 f4（ x ） D. f3（ x ）与 f4（ x ）
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解析： 　因为 f4（ x ）＝log2（2 x ）＝1＋log2 x ，所以 f2
（ x ）＝log2（ x ＋2）的图象沿着 x 轴先向右平移2个单位长
度，得到 y ＝log2 x 的图象，然后再沿 y 轴向上平移1个单位长
度，得到 f4（ x ）＝log2（2 x ）＝1＋log2 x 的图象，根据“同
形函数”的定义，可知选A.
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4. 函数 f （ x ）＝（ ） x －（ ） x ＋1在[－1，2]上的最小值是
（　　）
A. 1
D. 3
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解析： 　由题意，得函数 f （ x ）＝（ ） x －（ ） x ＋1＝（ ）2 x
－（ ） x ＋1，设 t ＝（ ） x ，因为 x ∈[－1，2]，所以 t ＝（ ） x
∈［ ，2］，则函数 y ＝ t2－ t ＋1＝（ t － ）2＋ ，当 t ＝ 时，
ymin＝ .
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5. 对于函数 f （ x ）＝ ，下列描述正确的是（　　）
A. 是减函数且值域为（－1，1）
B. 是增函数且值域为（－1，1）
C. 是减函数且值域为（－∞，1）
D. 是增函数且值域为（－∞，1）
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解析： 函数 f （ x ）＝ ＝1－ ， x ∈R，因为函数 y ＝3 x
＞0且为增函数，所以 y ＝ 为减函数，所以 f （ x ）为增函数，
又3 x ∈（0，＋∞），所以3 x ＋1∈（1，＋∞）， ∈（0，
2），所以 f （ x ）＝1－ ∈（－1，1），即 f （ x ）的值域为
（－1，1）.
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6. 若函数 f （ x ）＝lo （－ x2＋4 x ＋5）在区间（3 m －2， m ＋2）
内单调递增，则实数 m 的取值范围为（　　）
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解析： 　由－ x2＋4 x ＋5＞0，解得－1＜ x ＜5.二次函数 y ＝－ x2
＋4 x ＋5的图象开口向下，对称轴为 x ＝2.由对数型函数的单调性
可得函数 f （ x ）＝lo （－ x2＋4 x ＋5）的单调递增区间为（2，
5）.要使函数 f （ x ）＝lo （－ x2＋4 x ＋5）在区间（3 m －2， m
＋2）内单调递增，只需解得 ≤ m ＜2.
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7. （多选）某数学课外兴趣小组对函数 f （ x ）＝2｜ x－1｜的图象与性
质进行了探究，得到的下列四个结论中正确的有（　　）
A. 该函数的值域为（0，＋∞）
B. 该函数在区间[0，＋∞）上单调递增
C. 该函数的图象关于直线 x ＝1对称
D. 该函数的图象与直线 y ＝－ a2（ a ∈R）不可能有交点
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解析： 　画出 f （ x ）＝2｜ x－1｜的图象如图.
对于A，根据 f （ x ）的图象可知，函数 f （ x ）的
值域为[1，＋∞），A错误；对于B，根据 f
（ x ）的图象可知，函数 f （ x ）在区间[0，1]上
单调递减，在[1，＋∞）上单调递增，B错误；
对于C，根据 f （ x ）的图象可知，函数 f （ x ）的图象关于直线 x ＝1对称，C正确；对于D，因为 y ＝－ a2≤0，所以函数 f （ x ）的图象与直线 y ＝－ a2（ a ∈R）不可能有交点，D正确.故选C、D.
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8. （多选）关于函数 y ＝log2（ x2－2 x ＋3）有以下4个结论，其中正
确的有（　　）
A. 函数的定义域为（－∞，－3）∪（1，＋∞）
B. 函数的单调递增区间为[1，＋∞）
C. 函数的最小值为1
D. 函数的图象恒在 x 轴的上方
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解析： 　函数 y ＝ f （ x ）＝log2（ x2－2 x ＋3）的定义域为R，
故A错误；令 t ＝ x2－2 x ＋3，则 y ＝log2 t ， t ＝ x2－2 x ＋3的单调递
增区间为[1，＋∞）， y ＝log2 t 为增函数，故函数 y ＝log2（ x2－2
x ＋3）的单调递增区间为[1，＋∞），故B正确；当 x ＝1时函数取
最小值为1，故C正确；对于D，由C知最小值为1，而最小值1在 x
轴上方，故D正确.故选B、C、D.
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9. （多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有
“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学
家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 x ∈R，用[ x ]表示不超
过 x 的最大整数，则 y ＝[ x ]称为高斯函数，例如：[－3.5]＝－
4，[2，1]＝2.已知函数 f （ x ）＝ － ，则关于函数 g （ x ）＝
[ f （ x ）]的叙述中正确的是（　　）
A. g （ x ）是偶函数
B. f （ x ）是奇函数
C. f （ x ）在R上是增函数
D. g （ x ）的值域是{－1，0，1}
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解析： 　∵ g （1）＝[ f （1）]＝［ － ］＝0， g （－1）＝
[ f （－1）]＝［ － ］＝－1，∴ g （－1）≠ g （1），则 g
（ x ）不是偶函数，故A错误；∵ f （ x ）＝ － 的定义域为
R， f （－ x ）＋ f （ x ）＝ ＋ －1＝ ＋ －1
＝ －1＝0，∴ f （ x ）为奇函数，故B正确；
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∵ f （ x ）＝ － ＝ － ＝ － ，又 y ＝2 x 在R上是增函
数，∴ f （ x ）＝ － 在R上是增函数，故C正确；∵2 x ＞0，∴1＋
2 x ＞1，则0＜ ＜1，可得－ ＜ － ＜ .即－ ＜ f （ x ）＜ ，
∴ g （ x ）＝[ f （ x ）]∈{－1，0}，故D错误.
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10. 设函数 f （ x ）＝ － ，若 f （2 m －1）＋ f （ m －2）＜0，则
实数 m 的取值范围是 .
解析：∵函数的定义域为R， f （－ x ）＝ － ＝ － ＝
－ ＝－ ＋ ＝－ f （ x ），∴ f （ x ）为奇函数，又 f
（ x ）在R上是减函数，由 f （2 m －1）＋ f （ m －2）＜0得 f （2 m
－1）＜－ f （ m －2）＝ f （2－ m ），∴2 m －1＞2－ m ，解得 m
＞1.
（1，＋∞）　
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解析：令 t ＝log2 x ，则 t ∈（0，2]，∴原函数化为 y ＝ t2－3 t ＋
4， t ∈（0，2]，其对称轴方程为 t ＝ ，∴当 t ＝ 时， y 有最小
值为（ ）2－3× ＋4＝ ；当 t ＝0时， y 有最大值为4，但取不
到.∴ f （ x ）的值域为［ ，4）.
［ ，4）　
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12. 已知函数 f （ x ）＝ b · ax （其中 a ， b 为常数，且 a ＞0， a ≠1）的
图象经过点 A （1，6）， B （3，24）.
（1）求 f （ x ）的表达式；
解： 因为 f （ x ）的图象过点 A （1，6）， B （3，24），
所以所以 a2＝4，
又 a ＞0，所以 a ＝2， b ＝3，所以 f （ x ）＝3·2 x .
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（2）若不等式 ＋ － m ≥0在（－∞，1]上恒成立，求实
数 m 的取值范围.
解： 由（1）知 a ＝2， b ＝3，则当 x ∈（－∞，1]
时， ＋ － m ≥0恒成立，即 m ≤ ＋ 在
（－∞，1]上恒成立.
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又因为 y ＝ 与 y ＝ 在（－∞，1]上均为减函数，所
以 y ＝ ＋ 在（－∞，1]上也是减函数，所以当 x ＝
1时， y ＝ ＋ 有最小值 ，所以 m ≤ ，即 m 的取值
范围是 .
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13. 已知函数 f （ x ）＝lg ， f （1）＝0，当 x ＞0时，恒有 f （ x ）
－ f （ ）＝lg x .
（1）求 f （ x ）的表达式；
解： 当 x ＞0时， f （ x ）－ f （ ）＝lg x 恒成立.
即lg －lg ＝lg x 恒成立，
即（ a － b ） x ＝ a － b 恒成立，所以 a ＝ b .
又 f （1）＝0，即 a ＋ b ＝2，从而 a ＝ b ＝1，
即 f （ x ）＝lg .
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（2）若方程 f （ x ）＝lg（8 x ＋ m ）的解集为 ，求实数 m 的值.
解： 若原方程有解，则由lg ＝lg（8 x ＋ m ）可
得 ＝8 x ＋ m 且 ＞0.
进一步等价为8 x2＋（6＋ m ） x ＋ m ＝0，且 x ＜－1或 x
＞0.
由于原方程的解集为 ，故有两种情况：
①方程8 x2＋（6＋ m ） x ＋ m ＝0无解，即Δ＜0，解得2
＜ m ＜18.
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②方程8 x2＋（6＋ m ） x ＋ m ＝0有解，两根均在[－1，
0]内，令 g （ x ）＝8 x2＋（6＋ m ） x ＋ m .
则解得即0≤ m ≤2.
综上，实数 m 的取值范围是[0，18）.
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谢 谢 观 看！指（对）数型函数的综合问题
题型一 指（对）数型函数图象的变换
【例1】　利用函数y＝f（x）＝2x的图象，作出下列各函数的图象：
（1）f（x－1）；（2）f（｜x｜）；（3）f（x）－1；（4）－f（x）；（5）｜f（x）－1｜.
通性通法
利用图象变换法作函数的图象
（1）平移变换
（2）对称变换
①y＝f（x）y＝－f（x）；
②y＝f（x）y＝f（－x）；
③y＝f（x）y＝－f（－x）；
④y＝ax（a＞0且a≠1）y＝logax（a＞0且a≠1）.
（3）翻折变换
①y＝f（x）y＝｜f（x）｜；
②y＝f（x）y＝f（｜x｜）.
【跟踪训练】
下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是（　　）
A.y＝ln（1－x）　　B.y＝ln（2－x）
C.y＝ln（1＋x） D.y＝ln（2＋x）
题型二 指（对）数型复合函数的单调性
【例2】　判断函数f（x）＝lo（x2－2x－3）的单调性.
通性通法
复合函数y＝f（g（x））的单调性判断步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）将复合函数分解成两个简单函数：y＝f（u）与u＝g（x）；
（3）分别确定分解成的两个函数的单调性；
（4）若两个函数在对应区间上的单调性相同（即都单调递增，或都单调递减），则复合后的函数y＝f（g（x））单调递增；
若两个函数在对应区间上的单调性相异（即一个单调递增，而另一个单调递减），则复合后的函数y＝f（g（x））单调递减.
【跟踪训练】
1.函数y＝的单调递减区间是（　　）
A.（－∞，＋∞） B.（－∞，0）
C.（0，＋∞） D.（－∞，0）和（0，＋∞）
2.讨论函数y＝loga（3x－1）的单调性.
题型三 与指（对）数函数有关的恒成立问题
【例3】　已知函数f（x）＝log2（＋1）是奇函数，a∈R.
（1）求a的值；
（2）对任意的x∈（－∞，0），不等式f（2x＋1）＞log2（m－2x）恒成立，求实数m的取值范围.
通性通法
解决恒成立问题的基本思路
（1）转换成求函数最值：①m≥f（x）在x∈D上恒成立 m≥f（x）max，x∈D；②m≤f（x）在x∈D上恒成立 m≤f（x）min，x∈D.
（2）转换成函数图象问题：①若f（x）＞g（x）在x∈D上恒成立，则在区间D上，函数y＝f（x）的图象在函数y＝g（x）图象的上方；②若f（x）＜g（x）在x∈D上恒成立，则在区间D上，函数y＝f（x）的图象在函数y＝g（x）图象的下方.
【跟踪训练】
已知函数f（x）＝1－.
（1）判断函数f（x）在R上的单调性，并用单调性的定义证明；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（3）若f（－2x2＋x）＋f（－2x2－k）＜0恒成立，求实数k的取值范围.
培优课　指（对）数型函数的综合问题
【典型例题·精研析】
【例1】　解：利用指数函数y＝2x的图象及变换作图法可作出所要作的函数图象.如图所示.
跟踪训练
　B　法一　设所求函数图象上任一点的坐标为（x，y），则其关于直线x＝1的对称点的坐标为（2－x，y），由对称性知点（2－x，y）在函数y＝ln x的图象上，所以y＝ln（2－x）.
法二　由题意知，对称轴上的点（1，0）既在函数y＝ln x的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A、C、D，故选B.
【例2】　解：由x2－2x－3＞0，解得x＞3或x＜－1，
所以函数f（x）的定义域为（－∞，－1）∪（3，＋∞），
因函数f（x）＝lo（x2－2x－3）可看作由y＝lou和u＝x2－2x－3复合而成，
又由于y＝lou在定义域内是减函数，
而u＝x2－2x－3在（－∞，－1）上单调递减，在（3，＋∞）上单调递增.
由复合函数单调性的判断法则“同增异减”可知，f（x）＝lo（x2－2x－3）在（－∞，－1）上单调递增，在（3，＋∞）上单调递减.
跟踪训练
1.D　设u＝，则y＝3u，因为u＝在（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递减，且y＝3u在（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递增，所以函数y＝的单调递减区间是（－∞，0）和（0，＋∞）.
2.解：由3x－1＞0，得函数的定义域为.
当a＞1，x＞时，函数f（x）＝loga（3x－1）为增函数；
当0＜a＜1，x＞时，函数f（x）＝loga（3x－1）为减函数.
【例3】　解：（1）令＋1＞0，则＞0，x＜－a－1或x＞－a，
f（x）是奇函数，其定义域关于原点对称，－a－1－a＝0，a＝－.
（2）f（2x＋1）＞log2（m－2x），
即log2（＋1）＞log2（m－2x），
整理得m＜2x＋＋＋，
令u＝2x＋，x∈（－∞，0），所以u∈（，），
令g（u）＝u＋＋，易知g（u）≥，
当u＝1时取等号，所以m＜.
又由m－2x＞0，即m＞2x，故m≥1，
所以m的取值范围是［1，）.
跟踪训练
　解：（1）函数f（x）是增函数，任取x1，x2∈R，不妨设x1＜x2，
f（x1）－f（x2）＝（1－）－（1－）＝，
∵x1＜x2，∴－＜0，又＋1＞0，＋1＞0，
∴f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）是R上的增函数.
（2）函数f（x）为奇函数，证明如下：
由解析式可得f（x）＝，且定义域为R关于原点对称，
f（－x）＝＝＝－f（x），
∴函数f（x）是定义域上的奇函数.
（3）f（－2x2＋x）＋f（－2x2－k）＜0等价于f（－2x2＋x）＜－f（－2x2－k）＝f（2x2＋k），
∵f（x）是R上的增函数，∴－2x2＋x＜2x2＋k，即4x2－x＋k＞0恒成立，
由Δ＝1－16k＜0，解得k＞.
∴实数k的取值范围为（，＋∞）.
2 / 2培优课　指（对）数型函数的综合问题
1.函数y＝loga（x－1）（0＜a＜1）的图象大致是（　　）
2.已知函数f（x）＝ln x＋ln（2－x），则（　　）
A.f（x）在（0，2）上单调递增 B.f（x）在（0，2）上单调递减
C.y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称 D.y＝f（x）的图象关于点（1，0）对称
3.若两个函数的图象经过平移后能够重合，则称两个函数为“同形函数”.给出下列四个函数：f1（x）＝2log2（x＋1），f2（x）＝log2（x＋2），f3（x）＝log2x2，f4（x）＝log2（2x），则是“同形函数”的是（　　）
A.f2（x）与f4（x）　 B.f1（x）与f3（x）
C.f1（x）与f4（x） D.f3（x）与f4（x）
4.函数f（x）＝（）x－（）x＋1在[－1，2]上的最小值是（　　）
A.1　　　　　　　　　B. C.　　　　　　　　　D.3
5.对于函数f（x）＝，下列描述正确的是（　　）
A.是减函数且值域为（－1，1） B.是增函数且值域为（－1，1）
C.是减函数且值域为（－∞，1） D.是增函数且值域为（－∞，1）
6.若函数f（x）＝lo（－x2＋4x＋5）在区间（3m－2，m＋2）内单调递增，则实数m的取值范围为（　　）
A.［，3］ B.［，2］
C.［，2） D.［，＋∞）
7.（多选）某数学课外兴趣小组对函数f（x）＝2｜x－1｜的图象与性质进行了探究，得到的下列四个结论中正确的有（　　）
A.该函数的值域为（0，＋∞）
B.该函数在区间[0，＋∞）上单调递增
C.该函数的图象关于直线x＝1对称
D.该函数的图象与直线y＝－a2（a∈R）不可能有交点
8.（多选）关于函数y＝log2（x2－2x＋3）有以下4个结论，其中正确的有（　　）
A.函数的定义域为（－∞，－3）∪（1，＋∞） B.函数的单调递增区间为[1，＋∞）
C.函数的最小值为1 D.函数的图象恒在x轴的上方
9.（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[－3.5]＝－4，[2，1]＝2.已知函数f（x）＝－，则关于函数g（x）＝[f（x）]的叙述中正确的是（　　）
A.g（x）是偶函数 B.f（x）是奇函数
C.f（x）在R上是增函数 D.g（x）的值域是{－1，0，1}
10.设函数f（x）＝－，若f（2m－1）＋f（m－2）＜0，则实数m的取值范围是　　　　.
11.函数f（x）＝（log2x）2－log2x3＋4，x∈（1，4]的值域为　　　　.
12.已知函数f（x）＝b·ax（其中a，b为常数，且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24）.
（1）求f（x）的表达式；
（2）若不等式＋－m≥0在（－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围.
13.已知函数f（x）＝lg，f（1）＝0，当x＞0时，恒有f（x）－f（）＝lg x.
（1）求f（x）的表达式；
（2）若方程f（x）＝lg（8x＋m）的解集为 ，求实数m的值.
培优课　指（对）数型函数的综合问题
1.A　∵0＜a＜1，∴y＝logax在（0，＋∞）上是减函数，故排除C、D；又函数y＝loga（x－1）的图象是由y＝logax的图象向右平移1个单位长度得到的，故A正确.
2.C　∵函数f（x）＝ln x＋ln（2－x），∴f（2－x）＝ln（2－x）＋ln x，即f（x）＝f（2－x），即y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称.
3.A　因为f4（x）＝log2（2x）＝1＋log2x，所以f2（x）＝log2（x＋2）的图象沿着x轴先向右平移2个单位长度，得到y＝log2x的图象，然后再沿y轴向上平移1个单位长度，得到f4（x）＝log2（2x）＝1＋log2x的图象，根据“同形函数”的定义，可知选A.
4.C　由题意，得函数f（x）＝（）x－（）x＋1＝（）2x－（）x＋1，设t＝（）x，因为x∈[－1，2]，所以t＝（）x∈［，2］，则函数y＝t2－t＋1＝（t－）2＋，当t＝时，ymin＝.
5.B　函数f（x）＝＝1－，x∈R，因为函数y＝3x＞0且为增函数，所以y＝为减函数，所以f（x）为增函数，又3x∈（0，＋∞），所以3x＋1∈（1，＋∞），∈（0，2），所以f（x）＝1－∈（－1，1），即f（x）的值域为（－1，1）.
6.C　由－x2＋4x＋5＞0，解得－1＜x＜5.二次函数y＝－x2＋4x＋5的图象开口向下，对称轴为x＝2.由对数型函数的单调性可得函数f（x）＝lo（－x2＋4x＋5）的单调递增区间为（2，5）.要使函数f（x）＝lo（－x2＋4x＋5）在区间（3m－2，m＋2）内单调递增，只需解得≤m＜2.
7.CD　画出f（x）＝2｜x－1｜的图象如图.对于A，根据f（x）的图象可知，函数f（x）的值域为[1，＋∞），A错误；对于B，根据f（x）的图象可知，函数f（x）在区间[0，1]上单调递减，在[1，＋∞）上单调递增，B错误；对于C，根据f（x）的图象可知，函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，C正确；对于D，因为y＝－a2≤0，所以函数f（x）的图象与直线y＝－a2（a∈R）不可能有交点，D正确.故选C、D.
8.BCD　函数y＝f（x）＝log2（x2－2x＋3）的定义域为R，故A错误；令t＝x2－2x＋3，则y＝log2t，t＝x2－2x＋3的单调递增区间为[1，＋∞），y＝log2t为增函数，故函数y＝log2（x2－2x＋3）的单调递增区间为[1，＋∞），故B正确；当x＝1时函数取最小值为1，故C正确；对于D，由C知最小值为1，而最小值1在x轴上方，故D正确.故选B、C、D.
9.BC　∵g（1）＝[f（1）]＝［－］＝0，g（－1）＝[f（－1）]＝［－］＝－1，∴g（－1）≠g（1），则g（x）不是偶函数，故A错误；∵f（x）＝－的定义域为R，f（－x）＋f（x）＝＋－1＝＋－1＝－1＝0，∴f（x）为奇函数，故B正确；∵f（x）＝－＝－＝－，又y＝2x在R上是增函数，∴f（x）＝－在R上是增函数，故C正确；∵2x＞0，∴1＋2x＞1，则0＜＜1，可得－＜－＜.即－＜f（x）＜，∴g（x）＝[f（x）]∈{－1，0}，故D错误.
10.（1，＋∞）　解析：∵函数的定义域为R，f（－x）＝－＝－＝－＝－＋＝－f（x），∴f（x）为奇函数，又f（x）在R上是减函数，由f（2m－1）＋f（m－2）＜0得f（2m－1）＜－f（m－2）＝f（2－m），∴2m－1＞2－m，解得m＞1.
11.［，4）　解析：令t＝log2x，则t∈（0，2]，∴原函数化为y＝t2－3t＋4，t∈（0，2]，其对称轴方程为t＝，∴当t＝时，y有最小值为（）2－3×＋4＝；当t＝0时，y有最大值为4，但取不到.∴f（x）的值域为［，4）.
12.解：（1）因为f（x）的图象过点A（1，6），B（3，24），
所以所以a2＝4，
又a＞0，所以a＝2，b＝3，所以f（x）＝3·2x.
（2）由（1）知a＝2，b＝3，则当x∈（－∞，1]时，＋－m≥0恒成立，即m≤＋在（－∞，1]上恒成立.
又因为y＝与y＝在（－∞，1]上均为减函数，所以y＝＋在（－∞，1]上也是减函数，所以当x＝1时，y＝＋有最小值，所以m≤，即m的取值范围是.
13.解：（1）当x＞0时，f（x）－f（）＝lg x恒成立.
即lg－lg＝lg x恒成立，
即（a－b）x＝a－b恒成立，
所以a＝b.
又f（1）＝0，即a＋b＝2，从而a＝b＝1，
即f（x）＝lg.
（2）若原方程有解，则由lg＝lg（8x＋m）可得＝8x＋m且＞0.
进一步等价为8x2＋（6＋m）x＋m＝0，且x＜－1或x＞0.
由于原方程的解集为 ，故有两种情况：
①方程8x2＋（6＋m）x＋m＝0无解，即Δ＜0，解得2＜m＜18.
②方程8x2＋（6＋m）x＋m＝0有解，两根均在[－1，0]内，
令g（x）＝8x2＋（6＋m）x＋m.
则
解得即0≤m≤2.
综上，实数m的取值范围是[0，18）.
2 / 2

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