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2024-2025 学年湖南省衡阳市衡南县高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.考生你好，语文考试需要 150 分钟，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为( )
A. 5 512 B. 3 C. 6 D. 12
2.已知 2为虚数单位，则复数1+ =( )
A. 1 + B. 1 C. 1 D. 1
3.函数 = log (2 3) + 2( > 0 且 ≠ 1)的图象所过定点的坐标为( )
A. (2,2) B. (0,2) C. (1,2) D. (2,0)
4.如图，已知电路中 4 1个开关每个断开的概率都是3，且是相互独立的，则灯亮的概率为( )
A. 316
B. 581
C. 7681
D. 1316
5. = (1,1)， = ( 1,2)，则 在 上的投影向量是( )
A. ( 1 , 2 1 2 2 1 2 15 5 ) B. ( 5 , 5 ) C. ( 5 , 5 ) D. ( 5 , 5 )
6.著名数学家华罗庚先生曾经说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万
事休”，如函数 的图像大致是( )
A. B.
C. D.
7.已知 0 < 1 < 2 < 2 ， 1 = 2 =
1
3，则 sin( 1 2) =( )
A. 79 B.
7
9 C.
4 2
9 D.
4 2
9
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8.已知 0 < < < 1， = log ， = ， = ，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若集合 = {1, }， = { 2, 2}，且 ∩ ≠ ，则 的值可以是( )
A. 1 B. 0 C. 1 D. 2
10.在△ 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，下列说法中正确的是( )
A.若 2 = 2 ，则△ 为等腰三角形
B.若 = 2， = 2，则 2 + 2 = 8
C.若△ 中 为钝角，则 >
D.若 = 7.5 ， = 8， = 3，则△ 解的个数为 2
11.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如
图，在鳖臑 中， ⊥平面 ， ⊥ ， = 2.若鳖臑
32
外接球的体积为 3 ，则当此鳖臑的体积最大时，下列结论正确的是( )
A. = = 2 6
B.鳖臑 体积的最大值为 2
C. 2 15点 到面 的距离是 5
D.鳖臑 15 6内切球的半径为 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在三角形 中， = 3， = 4，∠ = 120°，则( ) =______．
13 1 1.底面半径为 的圆柱的侧面积是圆柱表面积的2，则该圆柱的高为______．
14.已知函数 ( )由下表给出
0 1 2 3 4
( ) (0) (1) (2) (3) (4)
其中 ( )( = 0,1,2,3,4)的值等于 (0)、 (1)、 (2)、 (3)和 (4)中 所出现的次数，则 (0) + (1) + (2) +
(3) = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
班里有 20 个男生，18 个女生，其中一名女生叫小雪，从中任意抽取 人参加志愿活动．
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(1)女生被抽到是必然事件，求 的取值范围；
(2)女生小雪被抽到是随机事件，求 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
某校在组织选拔数学英才班的过程中，对高一年级的 300 名学生进行了一次测试.已知参加此次测试的学生
的分数 ( = 1,2, …, 300)全部介于 45 分到 95 分之间，学校将所有分数分成 5 组：[45,55)，[55,65)，…，
[85,95]，整理得到如图所示的频率分布直方图(同组数据以这组数据的中间值作为代表)．

(1)求 的值，并估计此次校内测试分数的平均值 ；
(2)学校要求按照分数从高到低选拔前 90 名的学生进行培训，试估计这 90 名学生的最低分数(计算结果由
四舍五入保留一位小数)；
(3)试估计这 300 名学生的分数 ( = 1,2, …, 300)的方差 2，并判断此次得分为 64 分和 87 分的两名同学的

成绩是否进入到了[ , + ]范围内？

( 1参考公式： 2 = ( )2 =1 ，其中 为各组频数，参考数据： 129 ≈ 11.4).
17.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，侧面 是正三角形，侧面 ⊥底面 ， 是线
段 的中点， 是线段 的中点．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求 与面 所成角的正弦值．
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18.(本小题 17 分)
某高中高一学生成立了课外实践数学小组，计划通过数学建模的方法来测量某人工圆形湖泊的直径，如图
为该人工湖泊的大致俯视图，该小组成员首先在湖泊边缘处 点处固定一旗帜，然后从 点沿逆时针方向绕
着湖泊边缘走到 点处固定一旗帜，并在红外线角度测量仪的帮助下从 点逆时针走至 点处，此时测得
∠ = 120°，且测得 = 20 米， = 10 米．
(1)求该人工圆形湖泊的直径；
(2)若 为人工圆形湖泊优弧 上一动点(异于 ， 两点)，求四边形 周长的取值范围．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2 2 + 2 + 3 ， 为常数．
(1) 证明： ( )的图象关于直线 = 2对称．
(2)设 ( ) 3 在( , 2 )上有两个零点 ， ．
(ⅰ)求 的取值范围；
(ⅱ) 5 证明： + < 2．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.10
13.1
14.5
15.(1)必然事件是指在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件．
已知班级里有 20 个男生，18 个女生，总人数为 20 + 18 = 38 人．
要使女生被抽到是必然事件，意味着抽取的人数 要足够多，使得在抽取 个人时，不可能只抽到男生．
∵男生有 20 人，∴当 > 20 时，就不可能只抽到男生，必然会抽到女生．
∴ 21 ≤ ≤ 38，即 的范围是{ |21 ≤ ≤ 38, ∈ }．
(2)随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件．
要使女生小雪被抽到是随机事件，则抽取的人数 要满足：
抽取的人数 至少为 1 人，∵如果 = 0，则不存在抽取的情况；
抽取的人数 最多为 37 人，∵如果 = 38，那么所有人都会被抽到，
此时小雪被抽到就是必然事件，而不是随机事件，
∴ 1 ≤ ≤ 37，即 的取值范围是{ |1 ≤ ≤ 37, ∈ }．
16.(1)根据题目有：10 × (0.006 + 0.014 + 0.020 + + 0.036) = 1，
解得 = 0.024，
根据频率分布直方图，各组中间值为：50，60，70，80，90，
对应频率为：0.06，0.14，0.24，0.36，0.2，
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= 50 × 0.06 + 60 × 0.14 + 70 × 0.24 + 80 × 0.36 + 90 × 0.2 = 75；
(2)容易知这 90 名学生的最低分数为该次校内测试分数的 70%分位数，
又 0.06 + 0.14 + 0.24 = 0.44 < 0.7 < 0.8 = 0.06 + 0.14 + 0.24 + 0.36，
设这 90 名学生的最低分数为 ，因此 ∈ (75,85)，
0.7 0.44
因此 = 75 + 0.036 ≈ 82.2 分；
1
(3) 2 = 2 ( ) = 0.06 × (50 75)
2 + 0.14 × (60 75)2 + 0.24 × (70 75)2
=1
+0.36 × (80 75)2 + 0.2 × (90 75)2 = 129，
因此 = 129 ≈ 11.4，

因此 = 75 11.4 = 63.6， + = 75 + 11.4 = 86.4，
因此成绩区间为[63.6,86.4]，64 分的同学成绩在区间范围里，87 分的同学成绩不在区间范围里．
17.(1)证明：∵底面 为正方形，
∴ ⊥ ，
又∵平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
又∵ 是线段 的中点， 是线段 的中点，
∴ // ，
∴ ⊥平面 ．
(2)解：如图，取 中点为 ，连接 ， ， ，
∵△ 为正三角形，
∴ ⊥ ，
又∵平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，
∴ ⊥平面 ，
又∵ 平面 ，
∴ ⊥ ，
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= = 3 = 2 + 2 = ( )2 + 2 = 5设 ， ，2 2 2 ，
∴在 △ 中， = 2 + 2 = ( 32 )
2 + ( 52 )
2 = 2 ，
由(1)得 ⊥平面 ，
又∵ // ，∴ ⊥平面 ，
又∵ 平面 ，
∴ ⊥ ，
∴ 1 1 2 1 1 2△ = 2 × × = 2 ， △ = 2 × × = 2 ，
设 到面 的距离为 ，∵ = ，
∴ 1 1 2 1 1 2 33 × 2 × = 3 × 2 × 2 ，
∴ = 32 ，
设 与面 所成角为 ，
3
则 = = 2 6， 2 = 4
∴ 与面 所成角的正弦值为 6．
4
18.(1)在△ 中，∠ = 120°， = 20 米， = 10 米，
由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 ∠ ，
即 2 = 102 + 202 2 × 10 × 20 × ( 12 ) = 700，故 = 10 7米．
设该人工圆形湖泊的半径为 ，
10 7 20 21
由正弦定理可得，2 = sin∠ = 3 = 3 ；
2
(2)因为 ， ， ， 四点共圆，∠ = 120°，所以∠ = 180° ∠ = 60°，
在△ ，由余弦定理可得， 2 = 2 + 2 2 ∠ ，
即 700 = 2 + 2 = ( + )2 3 ，
所以 700 = ( + )2 3 ≥ ( + )2 3( + 2 )
2，
所以 700 ≥ 14 ( + )
2，当且仅当 = 时取等号，
所以 + ≤ 20 7，又 + > = 10 7，又 = 20， = 10，
所以四边形 周长的取值范围为(30 + 10 7, 30 + 20 7](米)．
19.解：(1)证明：因为 ( ) = 2 2 + 2 + 3
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= 2(1 sin2 ) + 2 + 3
= 2 2 + 2 + 3 2，
因为 ( ) = 2 2( ) + 2 ( ) + 3 2 = 2 2 + 2 + 3 2 = ( )，

所以 ( )的图象关于直线 = 2对称．
(2)(ⅰ)令 = ，因为 ∈ ( , 3 2 )，所以 ∈ ( 1,0)，则 ∈ ( 1,0)，
则 2 2 + 2 + 3 2 = 2 2 + 2 + 3 2， ∈ ( 1,0)，
3
因为 = 在( , 2 )上单调递减，
所以关于 的方程 2 2 + 2 + 3 2 = 0 在( 1,0)上有两个不相等实数根，
3 2 > 0
所以 2 × ( 1)2 + 2 × ( 1) + 3 2 > 0 2 < < 5，解得 ，
= 4 4 × 2(3 2) > 0 3 6
2 5
即 的取值范围是{ | 3 < < 6 }.
(ⅱ)证明：令 1 = < 0， 22 = < 0，则 1， 2为关于 的方程 2 + 2 + 3 2 = 0 的两根，
所以 1 + = 1 =
3 2
2 ， 1 2 2 ，
所以 + = 1，
所以( + )2 = ( 1)2，即sin2 + sin2 + 2 = 1，
因为 2 > 0，
所以sin2 + sin2 < 1 = cos2 + sin2 ，所以sin2 < cos2 = sin2( 5 2 )，
由于 < < 3 5 3 2， < 2 < 2，所以 sin(
5
2 ) < 0，
< sin( 5 ) > sin( 5 则 2 ，即 2 )，
= ( , 3 又 在 2 )上单调递减，
5 5
所以 < 2 ，即 + < 2．
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