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2024-2025 学年河北省张家口一中高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 ( ) = ，则 ′( ) =( )

A. + B.
C. D.

2.在( 1)7的展开式中， 4的系数为( )
A. 21 B. 35 C. 21 D. 35
3.函数 = ( )的导函数 = ′( )的图像如图所示，以下命题错误的是( )
A. ( 1)是函数的最小值
B. ( 3)是函数的极值
C. = ( )在区间( 3,1)上单调递增
D. = ( )在 = 0 处的切线的斜率大于 0
4.一袋中装有大小、质地均相同的 5 个白球，3 个黄球和 2 个黑球，从中任取 3 个球，则至少含有一个黑
球的概率是( )
A. 7 8 1 115 B. 15 C. 5 D. 2
5.在(1 2 ) 的展开式中，偶数项的二项式系数之和为 128，则展开式中二项式系数最大的项的系数为( )
A. 960 B. 960 C. 1120 D. 1680
6.将 5 种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不
同的种植方法种数是( )
A. 420 B. 180 C. 64 D. 25
7.如图，已知函数 ( )的图像在点 (2, (2))处的切线为 ，则 (2) + ′(2) =( )
A. 3
B. 2
C. 2
D. 1
8.设函数 ( )是 上可导的偶函数，且 (3) = 2，当 > 0，满足 2 ( ) + ′( ) > 1，则 2 ( ) > 18 的解
集为( )
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A. ( ∞, 3) B. ( ∞, 3) ∪ (3, + ∞)
C. (3, + ∞) D. ( 3,3)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9. ， ， ， ， 五个人并排站在一起，下列说法正确的是( )
A.若 ， 不相邻，有 72 种排法 B.若 ， 不相邻，有 48 种排法
C.若 ， 相邻，有 48 种排法 D.若 ， 相邻，有 24 种排法
10 1.在( + )
9的展开式中，下列结论正确的是( )
A.第 6 项和第 7 项的二项式系数相等 B.奇数项的二项式系数和为 256
C.常数项为 84 D.有理项有 2 项
11.五一假期过后，车主小王选择去该市新开的 ， 两家共享自助洗车店洗车.已知小王第一次去 ， 两家
3 2 1
洗车店洗车的概率分别为5和5，如果小王第一次去 洗车店，那么第二次去 洗车店的概率为2；如果小王第
一次去 3洗车店，那么第二次去 洗车店的概率为5，则下列结论正确的是( )
A. 4小王第一次去 洗车店，第二次也去 洗车店的概率为25
B.小王第二次去 洗车店的概率比第二次去 洗车店的概率大
C. 5若小王第二次去了 洗车店，则他第一次去 洗车店的概率为9
D. 13若小王第二次去了 洗车店，则他第一次去 洗车店的概率为23
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若随机变量 ～ (10,0.2)，则 ( ) = ______．
13.小智和电脑连续下两盘棋，已知小智第一盘获胜的概率是 0.5，小智连续两盘都获胜的概率是 0.4，那么
小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是______．
14.已知函数 ( ) = ( 2) 2 +1，过点 (0, )且与曲线 = ( )相切的直线只有 1 条，则实数 的取值范
围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
1
求函数 ( ) = 33 4 + 4 的单调区间和极值．
16.(本小题 15 分)
某班从 6 名男生和 4 名女生中，随机抽取 5 人组成数学兴趣小组，另 5 人组成物理兴趣小组．
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(1)求数学兴趣小组中包含男生 ，但不包含女生 的概率；
(2)用 表示物理兴趣小组中的女生人数，求 的分布列与数学期望 ( )．
17.(本小题 15 分)
1
从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为2，
1 1
3，4．
(Ⅰ)若有一辆车独立地从甲地到乙地，求这一辆车未遇到红灯的概率；
(Ⅱ)记 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 的分布列和数学期望．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ( 2 + )，其中 是常数．
(Ⅰ)当 = 1 时，求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程；
(Ⅱ)若存在实数 ，使得关于 的方程 ( ) = 在[0, + ∞)上有两个不相等的实数根，求 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
2+3 +2
设函数 ( ) = +1 ， ( ) = ln( + 1)．
(1)证明： ( ) ≥ 0．
(2)当 > 1 时，证明： ( ) < ln( + 2)．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1.6
13.0.8
14.{ | < 2 或 = 0}
15.解：∵ ′( ) = ( + 2)( 2)，
令 ′( ) > 0，解得： > 2， < 2，
令 ′( ) < 0，解得： 2 < < 2，
∴ ( )在( ∞, 2)，(2, + ∞)递增，在( 2,2)递减，
∴ ( ) 28极大值 = ( 2) = 3，
( )极小值 = (2) =
4
3．
16.解：(1)已知某班从 6 名男生和 4 名女生中，随机抽取 5 人组成数学兴趣小组，另 5 人组成物理兴趣小
组，
5 5
共有 10 52 22 =
5
10 = 252 种组合方式， 2
其中数学兴趣小组中包含男生 ，但不包含女生 的有 48 = 70 种，
70 5
所以数学兴趣小组中包含男生 ，但不包含女生 的概率 = 252 = 18；
(2)易知 的所有可能取值为 0，1，2，3，4，
5 56 5 1
4
6
1 5 3 2 5 2 3 5
此时 ( = 0) = 5 = 42， ( = 1) =
4 5
5 =
5
21， ( = 2) =
6 4 5 = 10 55 21， ( = 3) =
6 4 5 =
10 10
5
10 10 21
，
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1
( = 4) = 6
4 54 5 = 1，
510 42
则 的分布列为：
0 1 2 3 4
1 5 10 5 142 21 21 21 42
1 5 10 5 1
所以 ( ) = 0 × 42 + 1 × 21 + 2 × 21+ 3 × 21 + 4 × 42 = 2．
17.解：( ) ∵ 1 1 1各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为2，3，4，
∴ 1 1这一辆车未遇到红灯的概率 = (1 2 ) × (1 3 ) × (1
1
4 ) =
1
4．
( )由题意可得， 所有可能取值为 0，1，2，3，
( = 0) = (1 1 1 12 ) × (1 3 ) × (1 4 ) =
1
4，
( = 1) = 12 × (1
1 1 1 1 1 1 1 1 11
3 ) × (1 4 ) + (1 2 ) × 3 × (1 4 ) + (1 2 ) × (1 3 ) × 4 = 24，
( = 3) = 1 1 1 12 × 3 × 4 = 24，
( = 2) = 1 ( = 0) ( = 1) ( = 3) = 14，
故 的分布列为：
0 1 2 3
1 11 1 14 24 4 24
1 11 1 1 13
故 E( ) = 0 × 4+ 1 × 24 + 2 × 4 + 3 × 24 = 12．
18.解：(Ⅰ)由 ( ) = ( 2 + )可得，
′( ) = [ 2 + ( + 2) )]，. …(2 分)
当 = 1 时， (1) = ， ′(1) = 4 . …(4 分)
所以 曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程为 = 4 ( 1)，
即 = 4 3 . …(5 分)
(Ⅱ)令 ′( ) = [ 2 + ( + 2) )] = 0，
解得 = ( + 2)或 = 0. …(6 分)
当 ( + 2) ≤ 0，即 ≥ 2 时，在区间[0, + ∞)上， ′( ) ≥ 0，所以 ( )是[0, + ∞)上的增函数．
所以方程 ( ) = 在[0, + ∞)上不可能有两个不相等的实数根．…(8 分)
当 ( + 2) > 0，即 < 2 时， ′( )， ( )随 的变化情况如下表
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0 (0, ( + 2)) ( + 2) ( ( + 2), + ∞)
′( ) 0 0 +
+ 4
( ) ↘
+2
↗
+4
由上表可知函数 ( )在[0, + ∞)上的最小值为 ( ( + 2)) = +2 . …(10 分)
因为 函数 ( )是(0, ( + 2))上的减函数，是( ( + 2), + ∞)上的增函数，
且当 ≥ 时，有 ( ) ≥ ( ) > . …(11 分)
+4
所以要使方程 的方程 ( ) = 在[0, + ∞)上有两个不相等的实数根， 的取值范围必须是( +2 , ]. …(13
分)
19.证明：(1)因为 ( ) = ln( + 1)，其定义域为( 1, + ∞)，
则 ′( ) = +1，当 ∈ ( 1,0)时， ′( ) < 0，当 ∈ (0, + ∞)时， ′( ) > 0，
所以 ( )在( 1,0)上单调递减，在(0, + ∞)上单调递增，
所以 ( ) ≥ (0) = 0．
(2)当 > 1 时，ln( + 2) > ln( 1 + 2) > = 1，
2
( ) = +3 +2 = ( +1)( +2)而 +1 +1 ，
要证 ( ) < ln( + 2)，
( +1)( +2)
即证 +1 < ln( + 2)，
+1 ln( +2)
即证 +1 > ln( +2)，

设 ( ) = ，
( ) = ( 1)

则 ′ 2 ，
+1 ln( +2)
当 > 1 时， ′( ) > 0，则 ( )在(1, + ∞) 上单调递增，且 ( + 1) = +1， (ln( + 2)) = ln( +2)，
当 > 1 时， + 1 > 1，ln( + 2) > 1，
故只需证明 + 1 > ln( + 2)，
由(1)知， ≥ ln( + 1)在( 1, + ∞)上成立，
故 + 1 > ln( + 2)，
即 ( ) < ln( + 2)成立．
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