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2025--2026年湖南省邵阳市九年级数学人教版
上学期第21章--24章综合能力提高练习试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知一元二次方程有两个实数根，则的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
2．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为8万元．若设该校今明两年在实验器材投资的年平均增长率是x，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．通过配方法将二次函数化成的形式，此二次函数可变形为（ ）
A． B．
C． D．
5．下面的图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形的是（ ）
A．科克曲线 B．笛卡尔心形图
C．希尔伯特曲线 D．斐波那契螺旋线
6．一个等腰三角形的三边长分别为m，n，3，且m，n是关于x的一元二次方程的两根，则t的值为（ ）
A．16 B．18 C．16或17 D．18或19
7．对于实数，定义运算“”为，例如：，则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
8．如图，抛物线（，）与轴交于，两点，直线交抛物线于另一点，直线交抛物线于另一点，的解析式为，的解析式为，若，则和，和的关系都正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
9．一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数，一次项系数，常数项分别为（ ）
A．1，8，4 B． C．5，8，4 D．
10．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．线段以每秒旋转90°的速度，绕点沿顺时针方向连续旋转，同时，点从点出发，以每秒移动1个单位长度的速度，在线段上，按照…的路线循环运动，则第2023秒时点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
11．一元二次方程的二次项系数 ，一次项系数 ．
12．二次函数的顶点坐标是 ．
13．若关于x的方程的一个根是，则m的值为 ．
14．若直线不经过第二象限，则关于的一元二次方程根的存在情况是 ．
15．如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，、交于点若，则的度数是 ．
16．某商品进价为元，当每件售价为元时，每天能售出件，经市场调查发现每件售价每降低元，则每天可多售出件，当店里每天的利润要达到最大时，店主应把该商品每件售价降低 元．
17．如图，在中，，，点从点出发，以的速度沿边向点移动．到达点处停止移动；点从点出发，以的速度沿边向点移动，到达点处停止移动，，两点同时出发， 秒后，的面积等于．
18．已知，是方程的两个实数根，则______．
三、解答题
19．关于x的一元二次方程有实数根，求m的取值范围．
20．解方程：．
21．现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，O为的中点．以O为坐标原点，以所在的直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴．建立平面直角坐标系．根据设计要求：抛物线底面宽度．该抛物线的顶点P到的距离为．
(1)求抛物线的解析式：
(2)现需在这一隧道内壁上同一高度安装照明灯，即在该抛物线上的点处分别安装照明灯．已知照明灯的水平距离为，求照明灯距地面的高度；
(3)如图，隧道上方还需安装一块高度为，宽度为的电子显示屏．为确保行车安全，要求电子显示屏距地面至少，并且距左右墙壁需各留至少的安全距离．能否满足安装设计要求？________（填“能”或“不能”）．
22．解下列方程：
(1)；
(2)．
23．已知抛物线过点，顶点为Q，抛物线
(1)求a的值和点Q的坐标．
(2)求证：无论t为何值，将的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在上．
24．（1）计算题：；
（2）解方程：．
25．在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．其中、、．
(1)画出关于x轴对称的；
(2)画出关于原点O的中心对称图形，A，B、C的对称点分别是、、．
26．综合与实践
【主题】探究函数与图象
【素材】如图所示，在平面直角坐标系中，点的坐标是，在轴上任取一点．
【实践操作】
步骤：连接，作线段的垂直平分线，过点作轴上的垂线，记直线与的交点为．
步骤：在轴上多次改变点的位置，用步骤的方法得到相应的点，把这些点用平滑的曲线连接起来．
【实践探索】
(1)在轴上任取点，，，，时，用步骤的方法得到相应的交点，，，，．请在表中写出相应交点坐标，并在图中标出这些点，用平滑的曲线连接起来．
点坐标
点坐标 (___，___) (___，___) (___，___) (___，___) (___，___)
(2)猜想所连接起来的曲线是我们学过的_______函数图象，试求出这个函数的解析式．
(3)若在轴上任取点的坐标为，试求出点的坐标，并说明理由．
试卷第1页，共3页
《2025--2026年湖南省邵阳市九年级数学人教版 上学期第23章--25章综合能力提高练习试卷》参考答案
1．C
【分析】根据根与系数的关系得．
【详解】解：根据根与系数的关系得，
故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，．
2．D
【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．
【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：D．
3．B
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意设该校今明两年在实验器材投资的年平均增长率是x，再用含x的代数式表示出今年的投资额，再用含x的代数式表示出明年的投资额，继而列式即可．
【详解】解：设该校今明两年在实验器材投资的年平均增长率是x，
∵去年对实验器材的投资为2万元，
∴今年的投资额：元，明年的投资额：元，
∵今明两年的投资总额为8万元，
∴，
故选：B．
4．A
【分析】根据配方法的步骤解答即可．
【详解】解：
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的三种形式的转化，熟练掌握和运用配方法是解题的关键． ①一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）；②顶点式： y=a(x-h)2+k （a，b，c为常数，a≠0）；③交点式(与x轴)：y=a(x-x1)(x-x2)．
5．A
【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与自身重合．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：选项B、C、D中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项A中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：A．
6．C
【分析】本题考查等腰三角形定义，以及一元二次方程根的判别式，根据等腰三角形的三边长分别为m，n，3，分以下两种情况讨论，①当时，②当或，再利用m，n是关于x的一元二次方程的两根，建立等式求解，即可解题．
【详解】解：等腰三角形的三边长分别为m，n，3，且m，n是关于x的一元二次方程的两根，
①当时，
有，
即，整理得，解得；
②当或，
将代入一元二次方程中，
有，解得；
综上所述，t的值为17或．
故选：C．
7．A
【分析】本题考查实数新定义运算和一元二次方程的知识，解题的关键是理解实数新定义运算，把化简，再根据根的判别式进行判断，即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴关于的方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
8．B
【分析】利用一次函数的特征，先求得，，再由抛物线（，）与轴交于，两点，得，进而一次函数平行的性质即可得解．
【详解】解：∵的解析式为，的解析式为，
∴令得，解得，
令得，解得，
∴，，
∵抛物线（，）与轴交于，两点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
故选B．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的图像及性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
9．B
【分析】方程经过展开、移项、整理可得一般形式，接下来就可得到二次项系数、 一次项系数和常数项．
【详解】解：将左边展开得：
，
移项、合并同类项得：，
∴二次项系数，一次项系数，常数项分别为，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式（a、b、c为常数，），其特征是等式左边是含一个未知数的二次三项式，右边是0，其中叫做二次项，a叫做二次项系数，叫做一次项，b叫做一次项系数，c叫做常数项．
10．D
【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．
【详解】解：第1秒时，，此时在轴的负半轴上，，
第2秒时，，此时在轴的负半轴上，，
第3秒时，，此时在轴的正半轴上，，
第4秒时，，此时在轴的正半轴上，，
第5秒时，，此时在轴的负半轴上，，
第6秒时，，此时在轴的负半轴上，，
第7秒时，，此时在轴的正半轴上，，
第8秒时，，此时在轴的正半轴上，，
即点的坐标每8秒一个循环，
∴第2023秒时，，此时在轴的正半轴上，，
故选：D．
【点睛】本题考查坐标与图形的变化-旋转，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法．
11．
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为，，，根据定义即可得出答案，把握“一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项的含义”是解题的关键．
【详解】解：一元二次方程的二次项系数为，一次项系数为，
故答案为：，．
12．
【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式．根据顶点式的顶点坐标为直接写出即可．
【详解】解：∵二次函数是顶点式，
∴顶点坐标为：，
故答案为：．
13．15
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出的值即可．
【详解】解：∵关于x的方程的一个根是，
∴，
∴，
故答案为：．
14．有两个不相等的实数根
【分析】由直线不经过第二象限以及一元二次方程的定义知，继而知，据此可得答案．
【详解】解：直线不经过第二象限，是关于的一元二次方程，
，
，
则关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
故答案为：有两个不相等的实数根．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，还涉及到一次函数的图象与性质．
15．/75度
【分析】由旋转的性质可知，，，，，因为，所以，，由三角形内角和可得，所以再由三角形内角和定理可知，．
【详解】解：由旋转的性质可知，，，，，
，
， ，
，
∴
．
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查旋转的性质，三角形内角和等相关内容，由旋转的性质得出和的角度是解题关键．
16．
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据每天的利润单件利润每天售出的数量，列出函数解析式，再根据函数的性质即可求解，根据题意，找到等量关系，正确列出函数解析式是解题的关键．
【详解】解：设该商品每件售价降低元，每天的利润为元，
根据题意得：，
∵，
∴当时，有最大值，
∴当店里每天的利润要达到最大时，店主应把该商品每件售价降低元，
故答案为：．
17．或
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设经过秒以后面积为，①当时，由三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可；②当时，由三角形面积公式列出一元一次方程，解方程即可．
【详解】解：设经过秒以后面积为，
分两种情况：
①当时，
由题意得：，
整理得：，
解得：或不合题意，舍去；
②当时，
由题意得：，
解得：；
综上所述，秒或秒后，的面积等于，
故答案为：或．
18．
【分析】根据，所以先计算的值以及的值即可．
【详解】解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的根与系数的关系等知识内容，正确掌握根与系数的关系是解题的关键．
19．且
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的性质列出算式，计算即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴且，
解得且，
故m的取值范围且．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．
20．，
【分析】应用因式分解法，将原方程化为两个一次因式的积即可求解．
【详解】解：
解得：，．
【点睛】此题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，把方程右边等于0，方程左边化为两个一次因式的积是解此类试题的关键．
21．(1)
(2)
(3)能
【分析】本题主要考查了待定系数法解二次函数的解析式，矩形的性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）依题意，设抛物线的解析式为，再结合抛物线底面宽度米，且O为的中点，得出点的坐标分别为，代入求解即可作答．
（2）由二次函数的图象性质得点M的横坐标为，点N的横坐标为5，代入，进行计算即可作答．
（3）先作图，延长交抛物线于一点，，则，将其代入求出，在得出点F到地面距离与比较即可得出结论．
【详解】（1）由题意，设该抛物线的解析式为，
，O为AB的中点，，
点A，B的坐标分别为，
把代入，
得，解得，
抛物线的解析式为；
（2）照明灯M，N的水平距离为10m，且位于同一高度，
点M的横坐标为，点N的横坐标为5，
当时，，
照明灯距地面的高度为；
（3）能满足安装设计要求，理由如下：
依题意，电子显示屏是矩形，
∴（米）， （米），
如图：延长交抛物线于一点，设，
∵电子显示屏，为确保行车安全，
距左右墙紧需各留至少1米的安全距离，
∴令，
则，
把代入中，
，
∴点F到地面距离为 (米)，
∵，
∴满足安装设计要求．
22．(1)或
(2)或
【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
分解因式得：，
∴或，
解得：或．
（2）解：，
∵，，，
∴，
∴，
解得：或．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，准确计算．
23．(1)，
(2)见解析
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、坐标的平移，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可得出，从而得出抛物线的解析式，再化为顶点式即可得解；
（2）求出平移后的坐标为，再求出当时，的值，即可得证．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，
∴，
∴，
∴抛物线，
∴；
（2）证明：将向左平移个单位长度得到对应点的坐标为，
当时，，
∴在抛物线上．
24．（1）；（2），．
【分析】本题考查了算术平方根和立方根和解一元二次方程等知识点，
（1）先根据算术平方根，立方根进行计算，再算加减即可；
（2）先根据等式的性质移项，再配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
能正确根据实数的运算法则进行计算是解（1）的关键，能正确配方是解（2）的关键．
【详解】（1）
；
（2），
，
∴，
∴，
，．
25．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）分别确定，，关于x轴对称的对称点，，，再顺次连接，，即可；
（2）分别确定，，关于原点对称的对称点、、，再顺次连接、、即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形，
（2）如图所示，即为所求作的三角形，
【点睛】本题考查的是画关于x轴对称的图形，画关于原点对称的图形，熟练的利用轴对称的性质与中心对称的性质画图是解本题的关键．
26．(1)填表和画图见解析
(2)二次，
(3)点的坐标为，理由见解析
【分析】（）根据步骤的方法得出点，，，，进而连线画图即可；
（）根据（）所画图象即可判断函数类型，再利用待定系数法求出解析式即可；
（）把代入（）所得函数解析式解答即可；
本题考查了画二次函数图象，求二次函数解析式及图象上点的坐标，根据步骤的方法得出点，，，的坐标是解题的关键．
【详解】（1）解：用步骤的方法得到相应的交点，，，，坐标如下：
点坐标
点坐标
画图象如下：
（2）解：由图象可知，所连接起来的曲线是我们学过的二次函数图象，
∵顶点为，
∴设二次函数解析式为，把代入得，
，
∴，
∴这个函数的解析式为，
故答案为：二次；
（3）解：点的坐标为，理由如下：
把代入得，，
∴点的坐标为．
答案第1页，共2页

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