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(共50张PPT)
5.2.1　三角函数的概念
新课程标准解读 核心素养
1.理解三角函数的概念，会求给定角的三角函数值，并
会判断给定角的三角函数值的符号 数学抽象、
数学运算
2.掌握诱导公式一，并能运用公式解决相关问题 逻辑推理、
数学运算
第1课时　
三角函数的定义
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
初中我们就学习了锐角三角函数，如图，α为锐角， sin α＝ ，
cos α＝ ，tan α＝ ，三角函数值为两个边长的比值.
【问题】　如图所示，以单位圆的圆心 O 为原点，建立直角坐标系，
设点 P （ xP ， yP ），你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表
示锐角α的正弦函数的定义吗？
知识点　任意角的三角函数的定义
条
件 如图，设α是一个任意角，α∈R，它
的终边 OP 与单位圆交于点 P （ x ， y ）
定
义 正弦 点 P 的 叫做α的正弦函数，记作 sin α，即
y ＝
余弦 点 P 的 叫做α的余弦函数，记作 cos α，
即 x ＝
正切 点 P 的纵坐标与横坐标的比值 叫做α的正切，记
作tan α，即 ＝
三角 函数 正弦函数 y ＝ sin x ， x ∈R；
余弦函数 y ＝ cos x ， x ∈R；
正切函数 y ＝tan x ， x ∈{ x ｜ x ≠ ＋ k π（ k ∈Z）}
纵坐标 y 　
sin α　
横坐标 x 　
cos α　
　
tan α（ x ≠0）　
提醒　三角函数定义的再理解：①三角函数是一个函数，符合函数的
定义，是由角的集合（弧度数）到一个比值的集合的函数；②三角函
数值实质是一个比值，因此分母不能为零，所以正切函数的定义域就
是使分母不为零的角的集合；③已知终边上任意一点可求三角函数值
的大小，若已知角α终边上一点 P （ x ， y ）不是单位圆上一点，则先
求 r ＝ ，再求 sin α＝ ， cos α＝ ，tan α＝ （ x ≠0）.
1. 已知角α的终边经过点 ，则 sin α＝ 　－ 　， cos α
＝ 　－ 　，tan α＝ 　 　.
解析：因为 ＋ ＝1，所以点 在单位圆上，
由三角函数的定义知 sin α＝－ ， cos α＝－ ，tan α＝ .
－ 　
－ 　
　
2. 若角α的终边经过点（1，－ ），则 sin α＝ 　－ 　.
解析：∵角α的终边经过点（1，－ ），∴ x ＝1， y ＝－ ， r
＝2，∴ sin α＝ ＝－ .
3. 已知角α的终边经过点（ m ，2），且 cos α＝－ ，则实数 m
＝ .
解析：由题意得 ＝－ ，且 m ＜0，所以 m ＝－2 或 m
＝2 （舍去）.
－ 　
－2 　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 单位圆法求三角函数值
【例1】　利用定义求 的正弦、余弦和正切值.
解：如图所示， 的终边与单位圆的交点为 P ，过
点 P 作 PB ⊥ x 轴于点 B ，在△ OPB 中，｜ OP ｜＝
1，∠ POB ＝ .
则｜ PB ｜＝ ，｜ OB ｜＝ ，则 P .
所以 sin ＝ ， cos ＝－ ，tan ＝ ＝－ .
通性通法
单位圆法求三角函数值的策略
（1）确定角的终边与单位圆的交点的坐标；
（2）根据三角函数的定义 sin α＝ y ； cos α＝ x ；tan α＝ （ x
≠0）.
【跟踪训练】
1. 设角α的终边与单位圆相交于点 P ，则 sin α－ cos α＝
（　　）
A. － B. －
C. D.
解析： 　角α的终边与单位圆相交于点 P ，则 sin α＝－
， cos α＝ ，所以 sin α－ cos α＝－ － ＝－ .故选A.
2. 在平面直角坐标系中，角α的终边与单位圆交于点 A ，点 A 的纵坐
标为 ，求tan α.
解：由题意，设点 A 的坐标为 ，所以 x2＋ ＝1，解得 x
＝ 或－ .
当 x ＝ 时，角α在第一象限，tan α＝ ＝ ；
当 x ＝－ 时，角α在第二象限，tan α＝ ＝－ .
题型二 坐标法求三角函数值
【例2】　（1）已知角α的终边过点 P （－3 a ，4 a ）（ a ≠0），求2
sin α＋ cos α的值；
解： r ＝ ＝5｜ a ｜，
①若 a ＞0，则 r ＝5 a ，角α在第二象限.
sin α＝ ＝ ＝ ，
cos α＝ ＝ ＝－ ，
所以2 sin α＋ cos α＝ － ＝1.
②若 a ＜0，则 r ＝－5 a ，角α在第四象限，
sin α＝ ＝－ ， cos α＝ ＝ .
所以2 sin α＋ cos α＝－ ＋ ＝－1.
（2）在平面直角坐标系中，角α的终边在直线 y ＝－2 x 上，求 sin
α， cos α，tan α的值.
解： 当 α的终边位于第二象限时，在α的终边上取一点 P
（－1，2），则 r ＝ ＝ ，
所以 sin α＝ ＝ ， cos α＝ ＝－ ，tan α＝ ＝－2.
当α的终边位于第四象限时，在α的终边上取一点P'（1，－
2），则 r ＝ ＝ ，
所以 sin α＝ ＝－ ， cos α＝ ＝ ，tan α＝ ＝－2.
通性通法
坐标法求三角函数值的策略
在α的终边上任选一点 P （ x ， y ），设 P 到原点的距离为 r （ r
＞0），则 sin α＝ ， cos α＝ .当已知α的终边上一点求α的三角
函数值时，用该方法更方便.
【跟踪训练】
1. 已知角α的终边上一点 P （ m ， ），且 cos α＝ ，则 m
＝ .
解析：由题意得 x ＝ m ， y ＝ ，∴ r ＝｜ OP ｜＝ ，
∴ cos α＝ ＝ ＝ ，显然 m ＞0，解得 m ＝ .
　
2. 已知角α的终边为射线 y ＝－ x （ x ≥0），求角α的正弦、余弦
和正切值.
解：取射线 y ＝－ x （ x ≥0）上一点（ ，－ ），则 r ＝1.
∴ sin α＝ ＝－ ， cos α＝ ＝ ，tan α＝ ＝－ .
1. 若tan α＝－ ，且角α的终边经过点 P （ x ，2），则 P 点的横坐
标 x ＝（　　）
A. 2 B. ±2
C. D. －
解析： 　由正切函数的定义可知tan α＝ ，又∵tan α＝－ ，
∴－ ＝ ，即 x ＝－ .
2. 如果角α的终边过点（2 sin 30°，－2 cos 30°），那么 sin α＝
（　　）
A. B. －
C. D. －
解析： 　依题意可知点（2 sin 30°，－2 cos 30°），即（1，－
），则 r ＝ ＝2，因此 sin α＝ ＝－ .
3. 若 sin α＝ ， cos α＝－ ，则在角α终边上的点为（　　）
A. （－4，3） B. （3，－4）
C. （4，－3） D. （－3，4）
解析： 　由三角函数的定义知 x ＝－4， y ＝3， r ＝5时，选项A满
足题意.
4. 已知角α的终边在射线3 x － y ＝0（ x ≤0）上，求 sin α的值.
解：∵角α的终边在射线3 x － y ＝0（ x ≤0）上，
∴角α的终边在第三象限.
在角α的终边上取一点 P （－1，－3），
∴点 P 到原点的距离 r ＝ ， sin α＝ ＝ ＝－ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知角α的终边过点 P （1，－1），则 sin α· cos α·tan α＝
（　　）
A. － B.
解析：B　 r ＝ ＝ ，由三角函数定义知， sin α＝
＝－ ， cos α＝ ＝ ，tan α＝ ＝－1，故 sin α· cos
α·tan α＝ × ×（－1）＝ .
C. D. －
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2. 已知角α的终边与单位圆交于点 P ，则 sin α·tan α＝
（　　）
A. － B. ±
C. － D. ±
解析： 　∵点 P 在单位圆上，∴ ＋ y2＝1，∴ y2＝
.由三角函数的定义可得 sin α＝ y ，tan α＝ ，因此 sin α·tan α
＝ ＝－ ，故选C.
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3. 以原点为圆心的单位圆上一点 P 从（1，0）出发，沿逆时针方向运
动 弧长到达点 Q ，则点 Q 的坐标为（　　）
A. B.
C. D.
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解析： 　设单位圆的半径为 r ，点 P 运动所形成的圆弧 的长为
l ，则 r ＝1， l ＝ ，∴ 对应的圆心角α＝ ＝ ＝2π＋ .∴点
Q 在第一象限，设 Q （ x ， y ），由任意角的三角函数定义，可得 x
＝ cos ＝ ， y ＝ sin ＝ .∴点 Q 的坐标为 .
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4. 已知角α终边上异于原点的一点 P 且｜ PO ｜＝ r ，则点 P 的坐标为
（　　）
A. P （ sin α， cos α） B. P （ cos α， sin α）
C. P （ r sin α， r cos α） D. P （ r cos α， r sin α）
解析： 　设 P （ x ， y ），则 r ＝｜ PO ｜＝ ，又 sin α＝
， cos α＝ ，∴ y ＝ r sin α， x ＝ r cos α，∴ P （ r cos α， r sin
α），故选D.
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5. （多选）若角α的终边过点 P （－3，－2），则（　　）
A. sin αtan α＜0 B. cos αtan α＜0
C. sin α cos α＞0 D. sin α cos α＜0
解析：ABC　由 P （－3，－2），可得 r ＝ ， sin α＝－ ＜
0， cos α＝ ＜0，tan α＝ ＞0，所以 sin αtan α＜0， cos
αtan α＜0， sin α cos α＞0.故A、B、C正确.
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6. （多选）若角α的终边经过点 P （ x ，－3）且 sin α＝－ ，
则 x ＝（　　）
A. － B. －1
C. 1 D.
解析： 　 r ＝｜ OP ｜＝ ，∵ sin α＝ ＝ ＝
－ ，解得 x2＝1，∴ x ＝±1.
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7. 已知角α的终边与单位圆的交点为 P （－ ，－ ），则 sin α
－ cos α＝ .
解析：由三角函数的单位圆定义得 sin α＝－ ， cos α＝－
，因此， sin α－ cos α＝－ .
－ 　
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8. 已知点 M 是单位圆上的点，以射线 OM 为终边的角α的正弦值为－
，则tan α＝ .
解析：设 M （ x ， y ），∵ r ＝1，∴ sin α＝ y ＝－ ，∴ x2＝1－
y2＝1－ ＝ ，∴ x ＝± ，∴tan α＝ ＝±1.
±1　
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9. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与 x 轴非负半轴重合，终边过点
A （ t ，2 t ）（ t ＜0），则 sin θ＝ 　－ 　， cos θ＝ 　－ 　.
解析： r ＝｜ OA ｜＝ ＝ ＝－ t ，则 sin θ＝
＝ ＝－ ， cos θ＝ ＝－ .
－ 　
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10. 已知角α的终边上一点 P （ m ，－ ）（ m ≠0），且 cos α＝
.
（1）求 m 的值；
解： 由题设知 r ＝｜ OP ｜＝ ＝
（ O 为坐标原点），因此 cos α＝ ＝ ，
∴2 ＝ ，解得 m ＝± .
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（2）求 sin α和tan α.
解： 当 m ＝ 时， sin α＝－ ，tan α＝－ .
当 m ＝－ 时， sin α＝－ ，tan α＝ .
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11. 角α的终边与直线 y ＝3 x 重合，且 sin α＜0，又 P （ m ， n ）是
角α终边上一点，且 m2＋ n2＝10，则 m － n ＝（　　）
A. 2 B. －2
C. 4 D. －4
解析： 　由题意知 所以 m ＝－1，
n ＝－3.所以 m － n ＝2.故选A.
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12. （多选）已知角α的终边过点 P （－3 m ， m ）（ m ≠0），则 sin
α的值可以是（　　）
A. B.
C. － D. －
解析： 　因为角α的终边过点 P （－3 m ， m ）（ m ≠0），所
以 r ＝ ＝ ｜ m ｜，所以 sin α＝ .当
m ＞0时， sin α＝ ；当 m ＜0时， sin α＝－ .
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13. 若点 P 在角 的终边所在的直线上，且｜ OP ｜＝2（点 O 为坐标
原点），则点 P 的坐标为 .
解析：点 P 在角 的终边所在的直线上，且｜ OP ｜＝2（点 O 为
坐标原点），设点 P 的坐标为（ a ， b ），则 a2＋ b2＝4，且tan
＝－ ＝ ，求得 a ＝ ， b ＝－1，或 a ＝－ ， b ＝1，故点 P
的坐标为（ ，－1）或（－ ，1）.
（ ，－1）或（－ ，1）　
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14. 张明做作业时，遇到了这样的一道题：若已知角θ终边上一点 P
（ x ，3）（ x ≠0），且 cos θ＝ x ，问：能否求出 sin θ，
cos θ的值？若能，求出其值；若不能，请说明理由.他对此题百
思不得其解，你能帮张明解答此题吗？
解：由题意，得 r ＝｜ OP ｜＝ ，
则 cos θ＝ ＝ .
∵ cos θ＝ x ，
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∴ ＝ x .
∵ x ≠0，∴ x ＝1或 x ＝－1.
当 x ＝1时，点 P 的坐标为（1，3），角θ为第一象限角，
此时， sin θ＝ ＝ ， cos θ＝ ；
当 x ＝－1时，点 P 的坐标为（－1，3），角θ为第二象限角，
此时， sin θ＝ ， cos θ＝－ .
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15. 平面直角坐标系中，设角α的终边上任意一点 P 的坐标是（ x ，
y ），它与原点的距离是 r （ r ＞0），规定：比值 叫做α的正
余混弦，记作sch α.若sch α＝ （0＜α＜π），则tan α＝
（　　）
A. － B.
C. － D.
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解析： 　由题意得sch α＝ ＝ ＝ （0＜α＜π），
∴25（ y － x ）2＝ x2＋ y2，且 y ＞ x ，即24（ ）2－50 ＋24＝0，
且 y ＞ x ，解得 ＝ .故tan α＝ .
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16. 若α∈（0， ），证明 sin α＋ cos α＞1.
证明：设角α的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，
则角α的终边与单位圆的交点 P 在第一象限，设点 P 的坐标为
（ x ， y ）.
法一　易知0＜ x ＜1，0＜ y ＜1， x2＋ y2＝1.
因为 x2＋ y2＝1，（ x ＋ y ）2＝ x2＋ y2＋2 xy ＞1，所以 x ＋ y ＞1.
由三角函数的定义可知 sin α＝ y ， cos α＝ x ，所以 sin α＋ cos α
＞1.
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法二　如图，过点 P 作 PM ⊥ x 轴，垂足为 M ，则 sin α
＝｜ MP ｜， cos α＝｜ OM ｜，｜ OP ｜＝1，由三角形
两边之和大于第三边，可知｜ MP ｜＋｜ OM ｜＞｜
OP ｜，即 sin α＋ cos α＞1.
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谢 谢 观 看！第1课时　三角函数的定义
1.已知角α的终边过点P（1，－1），则sin α·cos α·tan α＝（　　）
A.－　 B.
C. D.－
2.已知角α的终边与单位圆交于点P，则sin α·tan α＝（　　）
A.－ B.±
C.－ D.±
3.以原点为圆心的单位圆上一点P从（1，0）出发，沿逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为（　　）
A. B.
C. D.
4.已知角α终边上异于原点的一点P且｜PO｜＝r，则点P的坐标为（　　）
A.P（sin α，cos α） B.P（cos α，sin α）
C.P（rsin α，rcos α） D.P（rcos α，rsin α）
5.（多选）若角α的终边过点P（－3，－2），则（　　）
A.sin αtan α＜0 B.cos αtan α＜0
C.sin αcos α＞0 D.sin αcos α＜0
6.（多选）若角α的终边经过点P（x，－3）且sin α＝－，则x＝（　　）
A.－ B.－1
C.1 D.
7.已知角α的终边与单位圆的交点为P（－，－），则sin α－cos α＝　　　　.
8.已知点M是单位圆上的点，以射线OM为终边的角α的正弦值为－，则tan α＝　　　　.
9.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点A（t，2t）（t＜0），则sin θ＝　　　　，cos θ＝　　　　.
10.已知角α的终边上一点P（m，－）（m≠0），且cos α＝.
（1）求m的值；
（2）求sin α和tan α.
11.角α的终边与直线y＝3x重合，且sin α＜0，又P（m，n）是角α终边上一点，且m2＋n2＝10，则m－n＝（　　）
A.2 B.－2
C.4 D.－4
12.（多选）已知角α的终边过点P（－3m，m）（m≠0），则sin α的值可以是（　　）
A. B.
C.－ D.－
13.若点P在角的终边所在的直线上，且｜OP｜＝2（点O为坐标原点），则点P的坐标为　　　　.
14.张明做作业时，遇到了这样的一道题：若已知角θ终边上一点P（x，3）（x≠0），且cos θ＝x，问：能否求出sin θ，cos θ的值？若能，求出其值；若不能，请说明理由.他对此题百思不得其解，你能帮张明解答此题吗？
15.平面直角坐标系中，设角α的终边上任意一点P的坐标是（x，y），它与原点的距离是r（r＞0），规定：比值叫做α的正余混弦，记作sch α.若sch α＝（0＜α＜π），则tan α＝（　　）
A.－ B.
C.－ D.
16.若α∈（0，），证明sin α＋cos α＞1.
第1课时　三角函数的定义
1.B　r＝＝，由三角函数定义知，sin α＝＝－，cos α＝＝，tan α＝＝－1，故sin α·cos α·tan α＝××（－1）＝.
2.C　∵点P在单位圆上，∴＋y2＝1，∴y2＝.由三角函数的定义可得sin α＝y，tan α＝，因此sin α·tan α＝＝－，故选C.
3.D　设单位圆的半径为r，点P运动所形成的圆弧的长为l，则r＝1，l＝，∴对应的圆心角α＝＝＝2π＋.∴点Q在第一象限，设Q（x，y），由任意角的三角函数定义，可得x＝cos＝，y＝sin＝.∴点Q的坐标为.
4.D　设P（x，y），则r＝｜PO｜＝，又sin α＝，cos α＝，∴y＝rsin α，x＝rcos α，∴P（rcos α，rsin α），故选D.
5.ABC　由P（－3，－2），可得r＝，sin α＝－＜0，cos α＝＜0，tan α＝＞0，所以sin αtan α＜0，cos αtan α＜0，sin αcos α＞0.故A、B、C正确.
6.BC　r＝｜OP｜＝，∵sin α＝＝＝－，解得x2＝1，∴x＝±1.
7.－　解析：由三角函数的单位圆定义得sin α＝－，cos α＝－，因此，sin α－cos α＝－.
8.±1　解析：设M（x，y），∵r＝1，∴sin α＝y＝－，∴x2＝1－y2＝1－＝，∴x＝±，∴tan α＝＝±1.
9.－　－　解析：r＝｜OA｜＝＝＝－t，则sin θ＝＝＝－，cos θ＝＝－.
10.解：（1）由题设知r＝｜OP｜＝＝（O为坐标原点），因此cos α＝＝，
∴2＝，解得m＝±.
（2）当m＝时，sin α＝－，tan α＝－.
当m＝－时，sin α＝－，tan α＝.
11.A　由题意知 所以m＝－1，n＝－3.所以m－n＝2.故选A.
12.AC　因为角α的终边过点P（－3m，m）（m≠0），所以r＝＝｜m｜，所以sin α＝.当m＞0时，sin α＝；当m＜0时，sin α＝－.
13.（，－1）或（－，1）　解析：点P在角的终边所在的直线上，且｜OP｜＝2（点O为坐标原点），设点P的坐标为（a，b），则a2＋b2＝4，且tan＝－＝，求得a＝，b＝－1，或a＝－，b＝1，故点P的坐标为（，－1）或（－，1）.
14.解：由题意，得r＝｜OP｜＝，
则cos θ＝＝.
∵cos θ＝x，
∴＝x.
∵x≠0，∴x＝1或x＝－1.
当x＝1时，点P的坐标为（1，3），角θ为第一象限角，
此时，sin θ＝＝，
cos θ＝；
当x＝－1时，点P的坐标为（－1，3），角θ为第二象限角，
此时，sin θ＝，cos θ＝－.
15.D　由题意得sch α＝＝＝（0＜α＜π），∴25（y－x）2＝x2＋y2，且y＞x，即24（）2－50＋24＝0，且y＞x，解得＝.故tan α＝.
16.证明：设角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，则角α的终边与单位圆的交点P在第一象限，设点P的坐标为（x，y）.
法一　易知0＜x＜1，0＜y＜1，x2＋y2＝1.
因为x2＋y2＝1，（x＋y）2＝x2＋y2＋2xy＞1，所以x＋y＞1.
由三角函数的定义可知sin α＝y，cos α＝x，所以sin α＋cos α＞1.
法二　如图，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则sin α＝｜MP｜，cos α＝｜OM｜，｜OP｜＝1，由三角形两边之和大于第三边，可知｜MP｜＋｜OM｜＞｜OP｜，即sin α＋cos α＞1.
2 / 25.2　三角函数的概念
5.2.1　三角函数的概念
新课程标准解读 核心素养
1.理解三角函数的概念，会求给定角的三角函数值，并会判断给定角的三角函数值的符号 数学抽象、数学运算
2.掌握诱导公式一，并能运用公式解决相关问题 逻辑推理、数学运算
第1课时　三角函数的定义
初中我们就学习了锐角三角函数，如图，α为锐角，sin α＝，cos α＝，tan α＝，三角函数值为两个边长的比值.
【问题】　如图所示，以单位圆的圆心O为原点，建立直角坐标系，设点P（xP，yP），你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角α的正弦函数的定义吗？
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
知识点　任意角的三角函数的定义
条件 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆交于点P（x，y）
定义 正弦 点P的　　　　叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝　　
余弦 点P的　　　　叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝　　
定义 正切 点P的纵坐标与横坐标的比值　　叫做α的正切，记作tan α，即＝　　　　
三角 函数 正弦函数y＝sin x，x∈R； 余弦函数y＝cos x，x∈R； 正切函数y＝tan x，x∈{x｜x≠＋kπ（k∈Z）}
提醒　三角函数定义的再理解：①三角函数是一个函数，符合函数的定义，是由角的集合（弧度数）到一个比值的集合的函数；②三角函数值实质是一个比值，因此分母不能为零，所以正切函数的定义域就是使分母不为零的角的集合；③已知终边上任意一点可求三角函数值的大小，若已知角α终边上一点P（x，y）不是单位圆上一点，则先求r＝，再求sin α＝，cos α＝，tan α＝（x≠0）.
1.已知角α的终边经过点，则sin α＝　　　，cos α＝　　　，tan α＝　　　.
2.若角α的终边经过点（1，－），则sin α＝　　　　.
3.已知角α的终边经过点（m，2），且cos α＝－，则实数m＝　　　　.
题型一 单位圆法求三角函数值
【例1】　利用定义求的正弦、余弦和正切值.
通性通法
单位圆法求三角函数值的策略
（1）确定角的终边与单位圆的交点的坐标；
（2）根据三角函数的定义sin α＝y；cos α＝x；tan α＝（x≠0）.
【跟踪训练】
1.设角α的终边与单位圆相交于点P（，－），则sin α－cos α＝（　　）
A.－ B.－
C. D.
2.在平面直角坐标系中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，求tan α.
题型二 坐标法求三角函数值
【例2】　（1）已知角α的终边过点P（－3a，4a）（a≠0），求2sin α＋cos α的值；
（2）在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y＝－2x上，求sin α，cos α，tan α的值.
通性通法
坐标法求三角函数值的策略
在α的终边上任选一点P（x，y），设P到原点的距离为r（r＞0），则sin α＝，cos α＝.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便.
【跟踪训练】
1.已知角α的终边上一点P（m，），且cos α＝，则m＝　　　　.
2.已知角α的终边为射线y＝－x（x≥0），求角α的正弦、余弦和正切值.
1.若tan α＝－，且角α的终边经过点P（x，2），则P点的横坐标x＝（　　）
A.2 B.±2
C. D.－
2.如果角α的终边过点（2sin 30°，－2cos 30°），那么sin α＝（　　）
A. B.－
C. D.－
3.若sin α＝，cos α＝－，则在角α终边上的点为（　　）
A.（－4，3） B.（3，－4）
C.（4，－3） D.（－3，4）
4.已知角α的终边在射线3x－y＝0（x≤0）上，求sin α的值.
第1课时　三角函数的定义
【基础知识·重落实】
知识点
纵坐标y　sin α　横坐标x　cos α　　tan α（x≠0）
自我诊断
1.－　－　　解析：因为＋＝1，所以点在单位圆上，由三角函数的定义知sin α＝－，cos α＝－，tan α＝.
2.－　解析：∵角α的终边经过点（1，－），∴x＝1，y＝－，r＝2，∴sin α＝＝－.
3.－2　解析：由题意得＝－，且m＜0，所以m＝－2或m＝2（舍去）.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：如图所示，的终边与单位圆的交点为P，过点P作PB⊥x轴于点B，在△OPB中，｜OP｜＝1，∠POB＝.
则｜PB｜＝，｜OB｜＝，
则P.
所以sin ＝，cos＝－，tan＝＝－.
跟踪训练
1.A　角α的终边与单位圆相交于点P，则sin α＝－，cos α＝，所以sin α－cos α＝－－＝－.故选A.
2.解：由题意，设点A的坐标为，所以x2＋＝1，解得x＝或－.
当x＝时，角α在第一象限，tan α＝＝；
当x＝－时，角α在第二象限，tan α＝＝－.
【例2】　解：（1）r＝＝5｜a｜，
①若a＞0，则r＝5a，角α在第二象限.
sin α＝＝＝，
cos α＝＝＝－，
所以2sin α＋cos α＝－＝1.
②若a＜0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin α＝＝－，cos α＝＝.
所以2sin α＋cos α＝－＋＝－1.
（2）当 α的终边位于第二象限时，在α的终边上取一点P（－1，2），
则r＝＝，
所以sin α＝＝，cos α＝＝－，tan α＝＝－2.
当α的终边位于第四象限时，在α的终边上取一点P'（1，－2），
则r＝＝，
所以sin α＝＝－，cos α＝＝，tan α＝＝－2.
跟踪训练
1.　解析：由题意得x＝m，y＝，∴r＝｜OP｜＝，∴cos α＝＝＝，显然m＞0，解得m＝.
2.解：取射线y＝－x（x≥0）上一点（，－），则r＝1.
∴sin α＝＝－，cos α＝＝，tan α＝＝－.
随堂检测
1.D　由正切函数的定义可知tan α＝，又∵tan α＝－，∴－＝，即x＝－.
2.D　依题意可知点（2sin 30°，－2cos 30°），即（1，－），则r＝＝2，因此sin α＝＝－.
3.A　由三角函数的定义知x＝－4，y＝3，r＝5时，选项A满足题意.
4.解：∵角α的终边在射线3x－y＝0（x≤0）上，
∴角α的终边在第三象限.
在角α的终边上取一点P（－1，－3），
∴点P到原点的距离r＝，sin α＝＝＝－.
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