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2025--2026年湖南省邵阳市九年级数学人教版
上学期第21章--26章综合能力基础练习试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知的半径为5，点到直线的距离为4，则直线与公共点的个数为（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
2．下列社交软件的标志中，是中心对称图形的是 （ ）
A． B．
C． D．
3．一个密码锁的密码由四个数字组成，每个数字都是这九个数字中的一个，只有当四个数字与所设定的密码相同时，才能将锁打开．若忘了中间的两个数字，则一次就能打开锁的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值为（ ）
A．33 B． C．7 D．
5．已知二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
x … -2 -1 0 1 2 …
y … -17 -7 -1 1 -1 …
则当时，x的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
6．如图，为正方形的外接圆，若，则的面积为（ ）

A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，点在第一象限，，且，将绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转后点的坐标为 ．
8．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B均在小正方形的顶点上，以点B为圆心，2为半径画弧，与网格线交于点C，则经过点B的的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图是二次函数图象的一部分，对称轴是直线．关于下列结论：①；②；③；④；⑤方程的两个根为，，其中正确的结论有（ ）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．课本中有这样一句话：“利用勾股定理，可以作出，，，…的线段（如图）．”记，，…，的内切圆的半径分别为，，…，，若，则的值是（ ）
A．24 B．25 C．26 D．27
二、填空题
11．我市举办的“喜迎二十大·奋进新征程——乡村振兴成果展”吸引了众多市民前来参观，如图是该展览馆出入口示意图．小颖和母亲从同一入口进入分别参观，参观结束后，她们恰好从同一出口走出的概率是 ．
12．若关于的一元二次方程的一个根是1，则的值是 ．
13．圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为 °．
14．将抛物线向右平移4个单位长度后，得到的新抛物线的对称轴是 ．
15．若，则 ．
16．一个水杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线都是同一条抛物线的一部分，都与水面、桌面平行，，水杯高度为，当水面高度为时，水面宽度为，如图2先把水杯盛满水，再将水杯绕点倾斜倒出部分水，如图3，当倾斜角时，杯中水面与桌面平行．则此时水面的值是 ．
17．如图，两个半径长均为1的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形的圆心C是弧的中点，且扇形绕着点C旋转，半径交与点G，半径交与点H，则图中阴影面积等于 （结果保留）．
18．已知是关于x的一元二次方程的一个根，则b的值是 ．
三、解答题
19．已知关于x的方程．求证：不论取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
20．如图，与关于点成中心对称，，，，求的长．
21．已知关于x的一元二次方程.
(1)求m的值；
(2)用公式法解这个方程．
22．如图，点A的坐标为，点B的坐标为，作如下操作：

(1)画出关于原点对称的图形，点的坐标为______．
(2)以点A为旋转中心，将顺时针方向旋转，得到，在图中画出，点的坐标为______．
23．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，

(1)当水面下降多少米时，水面宽为8米？
(2)若水面下降1米，求水面宽度会增加多少米？
24．如图①，某公园在人园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．若将拱门看作抛物线的一部分，建立如图②所示的平面直角坐标系．设拱门上的点距地面的竖直高度为（单位：）与水平距离（单位：）．
(1)拱门上的点的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m
竖直高度y/m
根据上述数据，求出拱门所在抛物线的函数表达式：
(2)一段时间后，公园重新维修拱门，新拱门上的点距地面的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）满足函数关系式，若记“原拱门”的跨度（跨度为拱门底部两个端点间的距离）为，“新拱门”的跨度为，试说明与之间的大小关系．
25．我国古诗词源远流长．某校以“赏诗词之美、寻文化之根、铸民族之魂”为主题，组织学生开展了古诗词知识竞赛活动．为了解学生对古诗词的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：
(1)本次共抽取了________名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图；
(2)若该校共有2000人参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数；
(3)学校在竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名学生里，随机选取2人参加经典诵读活动，用画树状图或列表法求出甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率．
26．设二次函数有最大值，求实数的值．
试卷第1页，共3页
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《2025--2026年湖南省邵阳市九年级数学人教版 上学期第23章--26章综合能力基础练习试卷》参考答案
1．B
【分析】根据直线和圆的位置关系判断方法，可得结论．
【详解】解：∵的半径为5，点到直线的距离为4，
∴，
∴直线与圆相交，
∴直线与公共点的个数为个，
故选：B．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线和圆的位置关系判断方法是解题的关键．
2．B
【分析】把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义逐一进行判断即可．
【详解】解：中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转后能和原来的图形重合，A、C、D都不符合；
是中心对称图形的只有B．
故选：B．
3．C
【分析】计算出数字的总共组合有几种，其中只有一种能打开，利用概率公式进行求解即可．
【详解】解：因为密码由四个数字组成，如个位和千位上的数字已经确定，假设十位上的数字是1，则百位上的数字即有可能是中的一个，要试9次，同样，假设十位上的数字是2，则百位上的数字即有可能是中的一个，也要试9次，依次类推，要打开该锁需要试81次，而其中一次可以打开，所以一次就能打开该锁的概率是，
故选：C．
【点睛】本题考查随机事件概率的求法，熟练掌握概率公式是解题的关键．
4．B
【分析】此题主要考查了关于原点对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．根据关于原点对称点的坐标特点：横纵标互为相反数可得的值，进而得到．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴
∴，
故选：B．
5．C
【分析】根据二次函数图象和性质及已知数据可得，抛物线的对称轴是，再根据抛物线经过的点判断抛物线的开口，然后求关于对称的点坐标，即可得出答案．
【详解】解：根据表中数据可知，点和点关于对称，
抛物线的对称轴为，
抛物线经过点，点，
抛物线开口向下，
点 关于对称的点坐标为，
或时，，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，找到抛物线的对称轴是解题关键．
6．A
【分析】根据正方形的性质，得出，，再根据勾股定理，得出，再根据正方形的性质，得出，进而得出的半径为，再根据圆的面积公式，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴的半径为，
∴的面积为：．
故选：A
【点睛】本题考查了求正方形外接圆的直径、正方形的性质、勾股定理、圆的面积，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．
7．
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形的性质、坐标与图形等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键．画出图形，然后再运用勾股定理、直角三角形的性质确定点B的坐标，再发现旋转过程中每4个一循环，再据此规律即可解答．
【详解】解：如图
∵，
∴，
∴，
如图：过B作，
∵，
∴，
∴．
∴，
由旋转的性质可得：，，，，
∵每次逆时针旋转，
∴、、、循环出现，
∵，
∴第2025次旋转后点的坐标为；
故答案为：．
8．A
【分析】如图，设点为所在圆的圆心，连接，由可得，进而由圆周角定理得，即得是等边三角形，得到，再得到，由勾股定理逆定理得到为直角三角形，，即得，再利用弧长公式计算即可求解．
【详解】解：如图，设点为所在圆的圆心，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴为直角三角形，，
∴，
∴的长，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角函数，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，弧长公式，正确作出辅助线是解题的关键．
9．B
【分析】本题考查了二次函数图像与性质，由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．根据二次函数图像判定代数式的正负和数形结合思想是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵，
∴，
∴，故①错误；
∵抛物线与x轴交于点，
∴，故②正确；
∴方程的两个根为，
∴④正确，
∵当时，，即，
∴③正确，
故正确的有②③④，共3个．
故选B．
10．A
【分析】利用勾股定理分别求出各边长，进而得出内切圆半径长的规律，再列方程求解进而得出答案．
【详解】解：设内切圆的圆心分别为设与的三边相切于点，如图，
则四边形为正方形，
又，
，
，
同样，在中，四边形为正方形，
又，
，
同理，，
，
则，
，
，
经检验，是增根，是原方程的根，
∴的值是24，
故选：A
【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及求三角形内切圆半径，解题的关键是得到三角形内切圆半径长的规律：．
11．
【分析】先画出树状图，共有种等可能的情况，其中恰好从同一出口走出的情况有种，再根据概率公式，计算即可得出结果．
【详解】解：画树状图如下：
∵共有种等可能的情况，其中恰好从同一出口走出的情况有种，
∴她们恰好从同一出口走出的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了用树状图求概率，解本题的关键在根据树状图找出所有等可能的情况数．概率等于所求情况数与总情况数之比．
12．2
【分析】本题考查一元二次方程的解．熟练掌握方程的解，是使方程成立的未知数的值，是解题的关键．将代入方程，求解即可．
【详解】解：把代入得，
解得，
故答案为：2．
13．
【分析】本题考查圆锥的侧面展开图以及扇形的弧长公式，圆锥的底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，根据弧长公式计算即可．
【详解】解：∵圆锥的底面半径为，
∴底面周长为：
解得：，
故答案为：
14．直线
【分析】本题考查了二次函数的平移，由抛物线向右平移4个单位长度后，得抛物线，从而即可求解．
【详解】解：将抛物线向右平移4个单位长度后，得到的新抛物线解析式为，
∴新抛物线的对称轴是直线，
故答案为：直线．
15．2
【分析】本题考查利用换元法解一元二次方程，解题关键是要根据方程的特点灵活选用合适的方法．设，把原方程变形并求得的值，结合是非负数，即可得出答案．
【详解】解：设，则原方程为，
整理得，
∴，
解得，
∵是非负数，
∴．
故答案为：2．
16．
【分析】本题主要考查二次函数的应用，一次函数的应用，理解题意，建立正确的坐标轴是解题的关键．以的中点为原点，直线为的轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，求出抛物线的解析式，再求出直线的解析式，即可得到答案．
【详解】解：以的中点为原点，直线为的轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，
由题意得，
设抛物线的解析式为，
将代入，
得，
解得，
，
当时，，
解得，
，
根据题意知，，设与轴的交点坐标，与轴的交于点，
在中，，
，
，
，
设直线的解析式为，
将，代入，
得，
解得，
故线的解析式为，
令，
解得或，
点的横坐标为，
当时，，
，
．

故答案为：．
17．
【分析】先根据扇形面积公式求出两扇形面积，再过C分别作于M，于N，连接，再证明，可证得白色部分的面积等于对角线为的正方形得面积，进而可求得阴影部分的面积．
【详解】解：∵两个直角扇形的半径长均为1，
∴两个扇形面积和为，
过C分别作于M，于N，连接，则四边形是矩形，
∵C是的中点，
∴，即平分，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴白色部分的面积等于对角线为的正方形的面积，
∴空白部分面积为，
∴阴影部分面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查扇形面积公式、圆的有关性质、角平分线的性质、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟记扇形面积公式，熟练掌握角平分线的性质定理和全等三角形的判定与性质，求出空白部分面积是解答的关键．
18．1
【分析】本题考查了根与系数的关系，设方程的另一个根为，根据根与系数的关系得，，然后解方程组即可．
【详解】设方程的另一个根为，
根据根与系数的关系得，，
解得，，
故答案为：1．
19．见解析
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【详解】证明：，
∵，
∴，即，
∴不论取何值，方程必有两个不相等的实数根．
【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式．
20．
【分析】本题考查了中心对称的性质、勾股定理，熟记中心对称的性质是解题关键根据中心对称的性质可得，、、三点共线，再利用勾股定理即可得
【详解】解：与关于点成中心对称，
，
∴，、、三点共线，
∵，，，
21．(1)3
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及公式法解一元二次方程；
（1）根据一元二次方程的定义可得，，解方程，即可求解；
（2）根据公式法解一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，，，
∴，
∴，
∵，
解得：；
（2）解：当时，原方程为，
∴，，
∴，
解得：．
22．(1)图见解析；
(2)图见解析；
【分析】本题考查了图形的变换、关于原点对称的点的坐标．
（1）根据点关于原点对称的点的坐标为：，同理可得：，，依次连接，即可求解；
（2）将绕点A顺时针旋转得到，同理可得：，连接，即可求解；
熟练掌握轴对称图形的性质及旋转的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：点关于原点对称的点的坐标为：，
同理可得：，，依次连接，
如图所示，即为所求：

故答案为：．
（2）将绕点A顺时针旋转得到，
同理可得：，连接，
如图所示，即为所求：
点的坐标为：，
故答案为：．
23．(1)当水面下降米时，水面宽为8米；
(2)比原来水面宽度增加了米；
【分析】（1）以水平面所在的直线为x轴，以过拱顶C 且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，O为原点，设抛物线的解析式为，求出解析式即可求解；
（2）当水面下降1米，即，代入求解即可．
【详解】（1）解：如图，以水平面所在的直线为x轴，以过拱顶C 且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，O为原点，

由题意可得，米，抛物线顶点C的坐标为，
可设抛物线的解析式为，
把代入得：，解得：，
∴抛物线的解析式为，
当时，，
∴当水面下降米时，水面宽为8米；
（2）解：当水面下降1米，即，
∴，解得：（负值舍去），
∴水面宽度增加到米，比原来水面宽度增加了米．
【点睛】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
24．(1)
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，
（1）由表格得当时，，当时，，从而可求顶点坐标，即可求解；
（2）由表格可以直接求出，由可求出，进行比较即可．
【详解】（1）解：由表格得：
，
顶点坐标为，
，
，
解得：，
．
（2）解：由表格得
当时，，
原拱门中：（）；
新拱门中：
当时，
解得：，，
（），
，
．
25．(1)400，见解析
(2)800名
(3)见解析，
【分析】（1）利用C等级的人数除以其所占的百分比求得样本总数，再利用样本总人数减去其他等级的人数求得D等级的人数，再补全条形统计图即可；
（2）利用B等级的人数除以样本总数求得其所占的百分比，再乘除全校人数即可求解；
（3）画树状图可得共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人中恰好有1人被选中有8种等可能的结果，再利用概率公式求解即可．
【详解】（1）解：由图可得，（名），
∴D等级的人数为：（名），
补全条形统计图如下所示：
故答案为：400；
（2）解：（名），
答：估计竞赛成绩为B等级的学生人数为800名；
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人中恰好有1人被选中有8种等可能的结果，
∴甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率为．
【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图、用样本估计总体、用树状图或列表法求概率、概率公式，根据统计图中的信息求得样本总数是解题的关键．
26．的值为或．
【分析】根据解析式可得二次函数图象开口向下，对称轴为，分三种情况考虑：①对称轴在到之间，②对称轴在的左边，③对称轴在的右边，分别根据函数的最大值为列出关于a的方程，求出方程的解即可得到满足题意的a的值．
【详解】解：由题意得：二次函数图象开口向下，对称轴为，
①若，即，
可得当时，y取最大值，此时，
解得：，符合题意；
②若，即，
可得当时，y取最大值，此时，
解得：或（不符合题意，舍去）；
③若，即，
可得当时，y取最大值，此时，
解得：（不符合题意，舍去），
综上，的值为或．
【点睛】本题主要考查二次函数的最值问题，掌握二次函数的性质，正确分类讨论是解答本题的关键．
答案第1页，共2页

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