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2025--2026年湖南省邵阳市九年级数学人教版
上学期第25章--26章综合能力提高练习试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在一个不透明的盒子里装有20个黑、白两种颜色的小球，每个球除了颜色外都相同，小红通过多次摸球试验发现，摸到黑球的频率稳定在0.2左右，则盒子里的白球的个数可能是（ ）
A．4 B．8 C．10 D．16
2．正十边形的中心角的度数为（　　）
A．30 B． C．45 D．60
3．下列说法正确的是（　　）
A．长度相等的弧是等弧 B．半圆是弧
C．等弦对等圆心角 D．直径是最长的弦，半径是最短的弦
4．如图是将一个圆锥的侧面展开得到的扇形纸片，已知该扇形的半径是，弧长是，则这个圆锥的高是（　　）

A． B． C． D．
5．已知等腰的三个顶点都在半径为5的上，如果底边的长为8，那么边上的高为（ ）
A．2 B．8 C．2或8 D．3
6．由四个图1所示的四边形和四个图2所示的菱形拼成一个正八边形（如图3），则图3中阴影部分面积与空白部分面积之比为（　　）
A． B． C． D．
7．假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同，如果3枚鸟卵全部成功孵化，那么3只雏鸟中有不少于2只雄鸟的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，过点作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点作的切线，交，于点，．若，的周长为4，则的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
9．蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关．如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧…以此类推，当得到的“蚊香”恰好有12段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连结，，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．有4 张背面相同的扑克牌，正面上的数字分别是6、7、8、9，若将这4张牌背面向上洗匀后，从中任意抽取一张，那么这张牌正面上的数字是3的倍数的概率为 ．
12．如图是小明的健康绿码示意图，用黑白打印机打印于边长为4cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 cm2．
13．如图，四条直径把两个同心圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在白色区域的概率是 ．
14．如图，正六边形飞镖游戏板，对角线，相交于点O．假设飞镖投中游戏板上的每一点是等可能的(若投中各区域的边界线或没有投中游戏板，则重投1次)，现向该游戏板随机投掷飞镖1次，则飞镖投中阴影区域的概率是 ．

15．已知，OA是⊙O的半径，延长AO至点B，使得OB=3OA=3，以B为直角顶点，作等腰直角△BMC，且满足点M始终在⊙O上（如图所示），连接OC，则OC的最大值为 ．
16．一个不透明盒子中装有除颜色外均相同的10个白球和a个红球，从盒子中随机摸出1个球，记下颜色后放回去摇匀，再从中摸出一球，重复摸多次，统计出摸到红球的频率接近，则a的值约为 ．
17．如图，在中，，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E、若，则的最小值为 ．
18．如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是 ．
三、解答题
19．已知代数式．
(1)化简代数式；
(2)在满足的整数中随机抽取1个代入代数式中，求不会使得代数式无意义的概率．
20．随着信息技术的迅猛发展，移动支付已成为一种常见的支付方式，在一次购物中，马老师和赵老师随机从“微信”“支付宝”“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付．
(1)请用列表法求两位老师所有可能出现的支付方式；
(2)求两位老师恰好都选择“微信”支付的概率．
21．如图是某居民小区的一块长为2a米，宽为b米的长方形空地，为了美化环境，准备在这个长方形的四个顶点处修建一个半径为a米的扇形花台，然后在花台内种花，其余种草．如果建造花台及种花费用每平方米需要资金100元，种草每平方米需要资金50元，那么美化这块空地共需资金多少元？
22．一只不透明的袋子中装有若干个白球和其他颜色的球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中摸出一个球，然后放回摇匀再摸，在摸球实验中得到下列表中的部分数据：
摸球次数 40 80 400 600 800 1000 1200 1500
摸出白球的频数 14 26 128 198 267 399 500
摸出白球的频率
(1)请将表补充完整；
(2)画出“摸出白球”的频率折线统计图，得摸出白球的概率估计值是 ；（精确到到0.01）
(3)若袋中共有200个球，则袋中可能有 个白球．
23．如图，在中，，点、在上，，过、、三点作，连接并延长，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，，求的半径长．
24．我们在研究问题时，可以改变研究的对象，提出一些新的问题，解决这些新的问题又可以获得一些新的发现．比如，研究了“直线与圆的位置关系”后，我们可以这样改变研究的对象：

(1)把研究对象“直线”改为“射线”，可以提出下面的问题：
如图是射线和．改变射线的位置，如果以它们公共点的个数情况以及端点与的位置关系作为标准，请尝试将射线和的位置关系进行分类（要求：每一种类型画出一个示意图）．
(2)把研究对象“圆”改为“正方形”，可以提出下面的问题：
①在直线和正方形的各种位置关系中，它们的公共点个数有哪几种情况？
②已知正方形的边长是1，其中心到直线的距离是，当正方形与直线有且只有一个公共点时，的取值范围是_______．
25．对一个正整数n，我们进行如下操作：若它是奇数，则乘以3再加1；若是偶数，则除以2．
(1)对于，进行若干次上述操作后，是否有一数是4的倍数．
(2)求证对任意正整数n，进行有限次上述操作后，必有一数是4的倍数．
26．如图，某雕塑位于河段上，游客在步道上由点出发沿方向行走．已知，，当观景视角最大时，游客行走的距离是多少米？

试卷第1页，共3页
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《2025--2026年湖南省邵阳市九年级数学人教版 上学期第25章--26章综合能力提高练习试卷》参考答案
1．D
【分析】本题考查用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是利用白球的概率公式列方程求解得到白球的个数．
根据题意和题目中的数据，可以计算出盒子里的白球的个数可能是多少，本题得以解决．
【详解】解：由题意可得，
盒子里的白球的个数可能是：（个），
故选：D．
2．B
【分析】本题考查正多边形和圆，一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的个数（多边形的边数），就得到中心角的度数．
【详解】正十边形中心角的度数为，
故选：B．
3．B
【分析】根据连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径；圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆；在同圆或等圆中，等弦所对的弧对应相等，等弧所对的圆心角相等，逐项判断可得答案．
【详解】解：A．等弧指的是在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，而不是长度相等，就一定能够重合，故此选项不符合题意；
B．半圆是弧，故此选项符合题意；
C．在同圆或等圆中，等弦所对的弧对应相等，等弧所对的圆心角相等，故此选项不符合题意；
D．直径是最长的弦，半径不是弦，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查圆的认识，在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角的关系．解题的关键是掌握弧、半圆和弦的定义，弦、弧、圆心角的关系．
4．A
【分析】设圆锥的底面圆的半径为，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到，解方程得到，然后利用勾股定理计算圆锥的高．
【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为，
根据题意得，
解得，
即圆锥的底面圆的半径为，
所以这个圆锥的高为．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式．
5．C
【分析】分为两种情况：①如图1，当圆心在三角形的内部时，连接并延长交于D点， ②当圆心在三角形的外部时，如图2，连接并延长交于D点，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：①如图1，当圆心在三角形的内部时，连接并延长交于D点，
连接，
∵，
∴，
根据垂径定理得，则，
在中，由勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴高；
②当圆心在三角形的外部时，如图2，连接交于D，
同理可得：，，，
三角形底边上的高．
所以边上的高是8或2，
故选C．
【点睛】本题综合考查了垂径定理和勾股定理的应用，因三角形与圆心的位置不明确，注意分情况讨论．
6．B
【分析】根据正多边形的性质求得中心角和多边形的内角，设正八边形的边长为a，通过直角三角形的性质，菱形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，用a表示出菱形与八边形的面积，进而求得结果便可．
【详解】过图2中菱形的顶点B作于E，设图3中正八边形的中心点为点O，一边为，连接，过M点作于P，
设正八边形的边长为a，则，
由正八边形的性质可得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
空白部分面积的面积为：
，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴正八边形的面积为：，
∴阴影部分的面积为：
，
∴阴影部分面积与空白部分面积之比为
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，菱形的性质，关键是正确构造直角三角形，用正多边形的边长表示出各部分的面积．
7．B
【分析】根据题意，画出树状图，利用概率公式进行求解即可．
【详解】解：根据题意画图如下：
共8种情况，3只雏鸟中有不少于2只雄鸟有4种情况，所以概率为．
故选：B．
【点睛】本题考查列树状图法求概率．熟练掌握树状图法求概率是解题的关键．
8．B
【分析】本题考查的是切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，再根据切线长定理、三角形的周长公式、勾股定理计算，得到答案．
【详解】解：、为的切线，
，
、为的切线，
，
同理，，
的周长，
，
．
故选：B
9．B
【分析】本题考查了等边三角形的性质和弧长的计算公式，掌握以上知识点是解题的关键．由题意可知，每段圆弧的中心角都是，每段圆弧的半径依次增加1，然后根据弧长的公式计算即可．
【详解】三角形是等边三角形，边长为1
，
第一段圆弧圆心角：，
第二段圆弧圆心角：，
以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），
以此类推，可以知道每段圆弧的中心角都是，每段圆弧的半径依次增加1，
所以蚊香的长度为，
故选：B．
10．A
【分析】先证明，即可得点E在以为直径的半圆上移动，设的中点为O，作正方形关于直线对称的正方形，则点D的对应点是F，连接交于P，交半圆O于E，根据对称性有：，则有：，则线段的长即为的长度最小值，问题随之得解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点E在以为直径的半圆上移动，
如图，设的中点为O，
作正方形关于直线对称的正方形，
则点D的对应点是F，
连接交于P，交半圆O于E，
根据对称性有：，
则有：，
则线段的长即为的长度最小值，E
∵，，
∴，，
∴，
∴，
故的长度最小值为，
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线，得出点E的运动路线是解题的关键．
11．/
【分析】由有4张背面相同的扑克牌，正面上的数字分别是6、7、8、9，是3的倍数的有6，9，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：有4张背面相同的扑克牌，正面上的数字分别是6、7、8、9，是3的倍数的有6，9，
这张牌正面上的数字是3的倍数的概率为：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
12．9.6
【分析】经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，可得点落入黑色部分的概率为0.6，再计算出正方形的面积，进而可以估计黑色部分的总面积．
【详解】解：∵经过大量重复实验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
∴点落入黑色部分的概率为0.6，
∵边长为4cm的正方形面积为4×4=16(cm2)，
设黑色部分面积为S，则=0.6，
解得S=9.6cm2．
故答案为：9.6．
【点睛】此题考查了利用频率估计概率，解题的关键是掌握概率公式，知道点落入黑色部分的概率为0.6．
13．
【分析】根据题意可知白色区域与灰色区域的面积相等，据此求解概率即可．
【详解】解：∵两个同心圆被等分成八等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，其中白色区域的面积占了其中的四等份，
∴P（飞镖落在白色区域）=
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了几何概率，正确理解题意得到白色区域占总面积的二分之一是解题的关键．
14．
【分析】本题考查几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【详解】解：如图，连接，
根据正六边形的性质，可知图中所有小三角形的面积都相等，

∴任意投掷飞镖一次，飞镖投中阴影部分的概率为．
故答案为：．
15．/
【分析】由“SAS”可证△NBM≌△OBC，可得MN=OC，则当点O在线段MN上时，MN有最大值，即可求解．
【详解】解：如图，过点B作BN⊥AB，且BN=OB，连接ON，OM，MN，
∴∠NBO=90°=∠MBC，
∴∠MBN=∠OBC，
在△NBM和△OBC中，
∵MB=BC，∠MBN=∠OBC，BN=OB，
∴△NBM≌△OBC（SAS），
∴MN=OC，
∵MN≤OM+ON，
∴当点O在线段MN上时，MN有最大值，
∵OB=3OA=3，
∴，
∴MN的最大值为，
∴OC的最大值为，
故答案为：
【点睛】本题考查了圆的基本性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，圆的有关知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
16．5
【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【详解】由题意可得，，
解得，，
经检验是原方程的根．
故答案为：5．
17．
【分析】根据题意识别出点是在以为直径的圆上运动，点是在以为圆心，以1为半径的圆上运动，所以当与圆相切于点，且在外部时，最大，最小，再根据已知长度计算就可以．
【详解】解：，
，
点是在以为直径的圆上运动，
，且是绕点旋转，
点是在以为圆心，以1为半径的圆上运动，
如图，当与圆相切于点，且在外部时，最大，最小，
，
，
四边形为圆的内接四边形，，
，
，
此时，即的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的性质、勾股定理等，解题的关键是识别出隐圆模型，作出合适的辅助线．
18．4
【分析】由正方形的性质，知点是点关于的对称点，过点作，且使，连接交于点，取，连接、，则点、为所求点，进而求解．
【详解】解：的面积为，则圆的半径为，则，
由正方形的性质，知点是点关于的对称点，
过点作，且使，
连接交于点，取，连接、，则点、为所求点，
理由：，且，则四边形为平行四边形，
则，
故的周长为最小，
则，
则的周长的最小值为，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了圆的性质、轴对称性质、平行四边形的性质及勾股定理等，确定点、的位置是本题解题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据分式的混合运算法则计算即可解答；
（2）先求出满足的整数，再求出分式有意义的条件即可解答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：在区间上的整数有，，0，1，2,共个，
由（1）得，分式有意义的条件为：且，即可取0,1，
∴不会使得代数式无意义的概率为．
【点睛】本题考查了分式的运算法则，分式有意义的条件及列举法求概率，解题的关键是熟练掌握以上知识点并保持计算准确．
20．(1)见解析
(2)
【分析】此题考查的是列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）把“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式分别记为：A、B、C，列表可得所有结果；
（2）共有9种等可能的结果，其中马老师和赵老师恰好都选择“微信”支付的结果有1种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：把“微信”“支付宝”“银行卡”三种支付方式分别记为A，B，C．
列表如下：
马老师 赵老师
A B C
A
B
C
（2）解：共有9种等可能的结果，其中马老师和赵老师恰好都选择“微信”支付的结果有1种，
∴马老师和赵老师恰好都选择“微信”支付的概率为．
21．美化这块空地共需资金为元
【分析】利用扇形的面积公式求出扇形的面积，再用矩形的面积减去扇形的面积得到阴影部分的面积，然后利用费用乘以面积进行计算即可．
【详解】解：花台面积为：平方米，种草面积为平方米，
∴美化这块空地共需资金为元．
【点睛】本题考查扇形的面积，阴影部分的面积，利用扇形面积公式，以及割补法求出阴影部分面积是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)见解析，
(3)66
【分析】本题考查了画折线统计图，频率估计概率，频数、频率与实验总次数的关系，掌握这些知识是关键．
（1）由频数、频率与摸球次数的关系可求得摸球40次，摸出白球14的概率；也可求得摸球1000次且频率为时摸出白球的频数，因而可补充完整表格；
（2）按折线统计图的画法画图即可；根据统计图即可估计出概率；
（3）根据（2）中概率的近似值，即可计算出袋中白球可能的个数．
【详解】（1）解：，；
补充完整表格如下：
摸球次数 40 80 400 600 800 1000 1200 1500
摸出白球的频数 14 26 128 198 267 332 399 500
摸出白球的频率
（2）解：折线统计图如下：
由图知，摸出白球的概率估计值是；
故答案为：．
（3）解：由（2）知，摸出白球的概率估计值是，
则袋中200个球，白球可能为：（个）
故答案为：66．
23．(1)见解析
(2)的半径为5
【分析】（1）连接、、、，先证明，得到，再由，可得垂直平分，即，
（2）设求的半径为，由（1）可知为中点，则，利用勾股定理求出，再求出，，，由勾股定理建立方程，解得，则的半径为5．
【详解】（1）证明：连接、、、，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴垂直平分，即，
（2）解：设求的半径为，
由（1）可知，
∴为中点，为中点，
∴，
在中，，
在中，，，，
∵
∴，
解得，
∴的半径为5．
【点睛】本题主要考查了三线合一定理，线段垂直平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，圆的基本性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
24．(1)共6种情况见解析
(2)①公共点个数共有4种情况：没有公共点，1个公共点，2个公共点，无数个公共点；②
【分析】（1）根据射线、直线和圆的定义的知识进行解答；
（2）①根据射线、直线和圆的定义的知识进行解答；
②正方形的边长是1，根据正方形的性质可知，其对角线的长度为，再根据点到直线的距离的知识分析即可．
【详解】（1）解：共6种情况，如图①～图⑥．
；
（2）解：①公共点个数共有4种情况，没有公共点，1个公共点．2个公共点，无数个公共点；

②由题意，作出图形如下：

由题可知，，是正方形的中心．
则，
所以．
答案：．
【点睛】此题考查的是四边形综合题目，涉及到了圆的性质、正方形的性质、与圆的位置关系等知识，正确作出图形是解决此题的关键．
25．(1)和，进行一次上述操作后，都有一数是4的倍数；
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查了反证法和有理数的四则运算：
（1）根据定义进行判断即可；
（2）奇数经过一次操作后一定会变为偶数，因此只需要证明偶数经过操作后有一数是4的倍数即可；若偶数为4的倍数，则问题得证，若偶数不是4的倍数时，则该偶数可以表示为（m为整数），当（k为整数），则，经过操作后可变为，问题得证；当（k为整数），则经过操作后可得，对于，要使不是4的倍数，那么k一定要是奇数，则可推出要一直成立，即对于任意的k的结果都是整数，显然这是不可能的，据此问题得证．
【详解】（1）解：∵，且52是4的倍数，
∴进行一次上述操作后，有一数是4的倍数；
∵，且112是4的倍数，
∴进行一次上述操作后，有一数是4的倍数；
（2）解：∵奇数乘以3再加1后一定会变为偶数，而偶数除以一定数量的2之后一定会变为奇数，
∴经过有限步后奇数一定会变为偶数，
若偶数为4的倍数，则问题得证，
若偶数不是4的倍数时，则该偶数可以表示为（m为整数），
当（k为整数），则，
，，
∴一定是4的倍数，故当m为偶数时，满足题意；
当（k为整数），则，
，，，
，，
对于，要使不是4的倍数，那么k一定要是奇数，
设（p为整数），则，
，，，
同理要使不是4的倍数，则p一定是奇数，
如此反复，在此过程中，若有一个环节中出现了偶数，那么环节中必有4的倍数，
∴假设不存在4的倍数，那么要一直成立，即对于任意的k的结果都是整数，显然这是不可能的，
∴假设不成立，
∴原结论正确．
26．米
【分析】先证是的切线，切点为，当点与点重合时，观景视角最大，由直角三角形的性质可求解．
【详解】解：取的中点，过点作于，以直径作，如图所示：

根据圆周角定理，劣弧所对的圆周角都是相等的，则游客在步道上由点出发沿方向行走时，与相切时，观景视角最大，
，点是的中点，
，
，
，，
，从而由勾股定理可得，
，
又，
是的切线，切点为，
当点与点重合时，观景视角最大，此时．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，切线的判定，直角三角形的性质，证明是的切线是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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