资源简介

5.3　诱导公式
新课程标准解读 核心素养
1.能借助单位圆的对称性，利用定义推导出三角函数的诱导公式 逻辑推理
2.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题 数学运算、逻辑推理
第1课时　诱导公式二、三、四
　　“南京眼”和辽宁的“生命之环”均利用完美的对称展现自己的和谐之美.而三角函数与圆（单位圆）是紧密联系的，它的基本性质是圆的几何性质的代数表示.圆有很好的对称性：圆既是以圆心为对称中心的中心对称图形，又是以任意直径所在直线为对称轴的轴对称图形.
【问题】　你能否利用这些对称性，借助单位圆，讨论任意角α的终边与π±α，－α有什么样的对称关系？
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
知识点　诱导公式二、三、四
终边关系 图示 公式
公式二 角π＋α与角α的终边关于　　对称 sin（π＋α）＝　　， cos（π＋α）＝　　， tan（π＋α）＝　
公式三 角－α与角α的终边关于　　轴对称 sin（－α）＝　　， cos（－α）＝　　， tan（－α）＝　
公式四 角π－α与角α的终边关于　　轴对称 sin（π－α）＝　　， cos（π－α）＝　　， tan（π－α）＝　
提醒　诱导公式的记忆方法与口诀：①记忆方法：2kπ＋α，－α，π±α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号；②记忆口诀：“函数名不变，符号看象限”.“口诀”的正确理解：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数值在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值.
1.若sin（3π＋α）＝，则sin α＝（　　）
A.　　　B.－　　C.3　　　D.－3
2.若tan α＝4，则tan（π－α）＝（　　）
A.π－4 B.4π C.－4 D.4－π
3.求值：（1）sin ＝　 　；（2）cos＝　 　.
题型一 给角求值问题
【例1】　求下列各三角函数值：
（1）cos；
（2）tan（－855°）；
（3）tan＋sin.
通性通法
利用诱导公式解决给角求值问题的步骤
【跟踪训练】
　计算：（1）sin；
（2）tan（－765°）；
（3）sin·cos·tan.
题型二 给值（式）求值
【例2】　已知cos（－α）＝，则cos（α＋）＝　　　　.
【母题探究】
1.（变设问）若本例中条件不变，求cos（α－）的值.
2.（变设问）若本例中条件不变，求cos（＋α）－sin2（α－）的值.
通性通法
解决条件求值问题的两个技巧
【跟踪训练】
1.已知sin（π＋α）＝，且α是第四象限角，那么cos（α－π）＝（　　）
A.　　　　　　　　　　 B.－
C.± D.
2.已知sin（θ－）＝－，且θ∈（0，），则cos（＋θ）＝　　　　.
题型三 化简求值
【例3】　化简：（1）；
（2）.
通性通法
利用诱导公式一～四化简应注意的问题
（1）利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；
（2）化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；
（3）同时有切（正切）与弦（正弦、余弦）的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切.
【跟踪训练】
　化简：（1）；
（2）（n∈Z）.
1.cos＝（　　）
A.－　　 　　　　 B.－
C. D.
2.已知角α的终边过点（，－2），则sin（α－3π）＝（　　）
A.－　　 B.
C.－　　D.
3.tan（5π＋α）＝m，则＝（　　）
A. B.
C.－1 D.1
4.化简：·tan（2π－α）.
第1课时　诱导公式二、三、四
【基础知识·重落实】
知识点
原点　－sin α　－cos α　tan α　x
－sin α　cos α　－tan α　y　sin α
－cos α　－tan α
自我诊断
1.B　sin（3π＋α）＝sin（π＋α）＝－sin α＝，∴sin α＝－.
2.C　tan（π－α）＝－tan α＝－4.
3.（1）　（2）－　解析：（1）sin ＝sin＝sin ＝.
（2）cos＝cos ＝cos（π＋）＝－cos ＝－.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）cos＝cos＝cos＝cos＝－cos＝－.
（2）tan（－855°）＝－tan 855°＝－tan（2×360°＋135°）＝－tan 135°＝－tan（180°－45°）＝tan 45°＝1.
（3）原式＝tan＋sin（2π－）＝－tan－sin＝－1－＝－.
跟踪训练
　解：（1）原式＝－sin＝－sin（2π＋）＝－sin＝－.
（2）原式＝－tan 765°＝－tan（2×360°＋45°）＝－tan 45°＝－1.
（3）原式＝sincos·tan（π＋）＝－sincostan＝－××1＝－.
【例2】　－　解析：cos（α＋）＝cos［π－（－α）］＝－cos（－α）＝－.
母题探究
1.解：cos（α－）＝cos（－α）＝cos［2π＋（－α）］＝cos（－α）＝.
2.解：因为cos（＋α）＝cos［π－（－α）］＝－cos（－α）＝－，
sin2（α－）＝sin2［－（－α）］＝1－cos2（－α）＝1－（）2＝，
所以cos（＋α）－sin2（α－）＝－－＝－.
跟踪训练
1.B　因为sin（π＋α）＝－sin α＝，所以sin α＝－.又α是第四象限角，所以cos α＝，所以cos（α－π）＝cos（π－α）＝－cos α＝－.故选B.
2.－　解析：cos（＋θ）＝cos［（θ－）＋π］＝－cos（θ－），∵θ∈（0，），∴θ－∈（－，），∴cos（θ－）＞0，即cos（θ－）＝＝，∴cos（＋θ）＝－.
【例3】　解：（1）原式＝＝＝＝1.
（2）原式＝
＝＝＝－1.
跟踪训练
　解：（1）原式＝
＝＝1.
（2）原式＝
＝
＝＝－.
随堂检测
1.A　由诱导公式可知cos＝cos＝cos＝cos（π＋）＝－cos＝－，故选A.
2.D　由已知得sin α＝－，则sin（α－3π）＝－sin α＝.故选D.
3.A　因为tan（5π＋α）＝tan α＝m，所以原式＝＝＝＝＝.
4.解：原式＝·tan（－α）＝·＝－1.
2 / 3(共60张PPT)
5.3　诱导公式
新课程标准解读 核心素养
1.能借助单位圆的对称性，利用定义推导出三角
函数的诱导公式 逻辑推理
2.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求
值、化简和证明问题 数学运算、
逻辑推理
第1课时　
诱导公式二、三、四
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　“南京眼”和辽宁的“生命之环”均利用完美的对称展现自己的
和谐之美.而三角函数与圆（单位圆）是紧密联系的，它的基本性质
是圆的几何性质的代数表示.圆有很好的对称性：圆既是以圆心为对
称中心的中心对称图形，又是以任意直径所在直线为对称轴的轴对称
图形.
【问题】　你能否利用这些对称性，借助单位圆，讨论任意角α的终
边与π±α，－α有什么样的对称关系？

知识点　诱导公式二、三、四
终边关系 图示 公式
公式
二 角π＋α与角α
的终边关于
对称 sin （π＋α）＝ ，
cos （π＋α）
＝ ，
tan（π＋α）＝
原
点　
－ sin α　
－ cos α　
tan α
终边关系 图示 公式
公式
三 角－α与角α的
终边关于
轴对称 sin （－α）＝ ，
cos （－α）＝ ，
tan（－α）＝
公式
四 角π－α与角α
的终边关于 轴对称 sin （π－α） ，
cos （π－α） ，
tan（π－α）＝
x 　
－ sin α
cos α 　
y 　
sin α　
－ cos α　
－ tan α
－ tan α
提醒　诱导公式的记忆方法与口诀：①记忆方法：2 k π＋α，－α，
π±α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐
角时原函数值的符号；②记忆口诀：“函数名不变，符号看象
限”.“口诀”的正确理解：“函数名不变”是指等式两边的三角函
数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假
设α是锐角，要看原函数值在本公式中角的终边所在象限是取正值还
是负值.
1. 若 sin （3π＋α）＝ ，则 sin α＝（　　）
C. 3 D. －3
解析： 　 sin （3π＋α）＝ sin （π＋α）＝－ sin α＝ ，∴ sin
α＝－ .
2. 若tan α＝4，则tan（π－α）＝（　　）
A. π－4 B. 4π
C. －4 D. 4－π
解析： 　tan（π－α）＝－tan α＝－4.
3. 求值：（1） sin ＝ 　 　；
解析： sin ＝ sin ＝ sin ＝ .
（2） cos ＝ 　－ 　.
解析： cos ＝ cos ＝ cos ＝－ cos ＝－ .
　
－ 　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 给角求值问题
【例1】　求下列各三角函数值：
（1） cos ；
解： cos ＝ cos ＝ cos ＝ cos ＝－
cos ＝－ .
（2）tan（－855°）；
解： tan（－855°）＝－tan 855°＝－tan（2×360°＋
135°）＝－tan 135°＝－tan（180°－45°）＝tan 45°＝1.
（3）tan ＋ sin .
解： 原式＝tan ＋ sin ＝－tan － sin ＝
－1－ ＝－ .
通性通法
利用诱导公式解决给角求值问题的步骤
【跟踪训练】
　计算：（1） sin ；
解： 原式＝－ sin ＝－ sin ＝－ sin ＝－ .
（2）tan（－765°）；
解： 原式＝－tan 765°＝－tan（2×360°＋45°）＝－
tan 45°＝－1.
（3） sin · cos ·tan .
解： 原式＝ sin cos tan ＝－ sin
cos tan ＝－ × ×1＝－ .
题型二 给值（式）求值
【例2】　已知 cos （ －α）＝ ，则 cos （α＋ ）＝ 　－ 　.
解析： cos （α＋ ）＝ cos ［π－（ －α）］＝－ cos （ －α）
＝－ .
－ 　
【母题探究】
1. （变设问）若本例中条件不变，求 cos （α－ ）的值.
解： cos （α－ ）＝ cos （ －α）＝ cos ［2π＋（ －
α）］＝ cos （ －α）＝ .
解：因为 cos （ ＋α）＝ cos ［π－（ －α）］＝－ cos （ －
α）＝－ ，
sin 2（α－ ）＝ sin 2［－（ －α）］＝1－ cos 2（ －α）＝1
－（ ）2＝ ，
所以 cos （ ＋α）－ sin 2（α－ ）＝－ － ＝－ .
2. （变设问）若本例中条件不变，求 cos （ ＋α）－ sin 2（α－
）的值.
通性通法
解决条件求值问题的两个技巧
【跟踪训练】
1. 已知 sin （π＋α）＝ ，且α是第四象限角，那么 cos （α－π）
＝（　　）
解析： 　因为 sin （π＋α）＝－ sin α＝ ，所以 sin α＝－ .又
α是第四象限角，所以 cos α＝ ，所以 cos （α－π）＝ cos （π
－α）＝－ cos α＝－ .故选B.
2. 已知 sin （θ－ ）＝－ ，且θ∈（0， ），则 cos （ ＋θ）
＝ .
解析： cos （ ＋θ）＝ cos ［（θ－ ）＋π］＝－ cos （θ－
），∵θ∈（0， ），∴θ－ ∈（－ ， ），∴ cos （θ－
）＞0，即 cos （θ－ ）＝ ＝ ，∴ cos
（ ＋θ）＝－ .
－ 　
题型三 化简求值
【例3】　化简：（1） ；
解： 原式＝ ＝ ＝ ＝1.
（2） .
解： 原式＝
＝ ＝ ＝－1.
通性通法
利用诱导公式一～四化简应注意的问题
（1）利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；
（2）化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改
变；
（3）同时有切（正切）与弦（正弦、余弦）的式子化简，一般采用
切化弦，有时也将弦化切.
【跟踪训练】
　化简：（1） ；
解： 原式＝
＝ ＝1.
（2） （ n ∈Z）.
解： 原式＝
＝
＝ ＝－ .
1. cos ＝（　　）
解析： 　由诱导公式可知 cos ＝ cos ＝ cos
＝ cos ＝－ cos ＝－ ，故选A.
2. 已知角α的终边过点（ ，－2），则 sin （α－3π）＝（　　）
解析： 由已知得 sin α＝－ ，则 sin （α－3π）＝－ sin α＝
.故选D.
3. tan（5π＋α）＝ m ，则 ＝（　　）
C. －1 D. 1
解析： 因为tan（5π＋α）＝tan α＝ m ，所以原式＝
＝ ＝ ＝ ＝ .
4. 化简： ·tan（2π－α）.
解：原式＝ ·tan（－α）＝ · ＝－1.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 化简 sin 2（π＋α）－ cos （π＋α）· cos （－α）＋1的结果为
（　　）
A. 1 B. 2 sin 2α
C. 0 D. 2
解析： 　原式＝ sin 2α＋ cos 2α＋1＝2.
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2. 若 cos （π－α）＝－ ，则 cos （－2π－α）＝（　　）
解析： 　∵ cos （π－α）＝－ cos α＝－ ，∴ cos α＝ ，
∴ cos （－2π－α）＝ cos （－α）＝ cos α＝ .
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3. 若 sin （π＋α）＋ sin （－α）＝－ m ，则 sin （3π＋α）＋2 sin
（2π－α）＝（　　）
解析： 　因为 sin （π＋α）＋ sin （－α）＝－2 sin α＝－ m ，
所以 sin α＝ ，则 sin （3π＋α）＋2 sin （2π－α）＝－ sin α
－2 sin α＝－3 sin α＝－ m .故选B.
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4. sin 315°＋ sin （－480°）＋ cos （－330°）＝（　　）
解析： 　原式＝ sin （360°－45°）＋ sin （－360°－120°）
＋ cos （－360°＋30°）＝ sin （－45°）＋ sin （－120°）＋
cos 30°＝－ sin 45°＋ sin （－180°＋60°）＋ cos 30°＝－ sin
45°－ sin 60°＋ cos 30°＝－ － ＋ ＝－ .故选C.
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5. （多选）已知△ ABC 的三个内角分别为 A ， B ， C ，则下列命题正
确的是（　　）
A. sin （ B ＋ C ）＝ sin A
B. cos （ B ＋ C ）＝ cos A
C. tan（ B ＋ C ）＝tan A
D. cos （2 A ＋ B ＋ C ）＝ cos （ B ＋ C ）
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解析： 　依题意，在△ ABC 中， B ＋ C ＝π－ A ， sin （ B ＋ C ）
＝ sin （π－ A ）＝ sin A ，A正确； cos （ B ＋ C ）＝ cos （π－ A ）
＝－ cos A ，B错误；tan（ B ＋ C ）＝tan（π－ A ）＝－tan A ，C错
误；因为 cos （2 A ＋ B ＋ C ）＝ cos [ A ＋（ A ＋ B ＋ C ）]＝ cos
（π＋ A ）＝－ cos A . 而 cos （ B ＋ C ）＝ cos （π－ A ）＝－ cos
A . 故D正确.
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6. （多选）下列化简正确的是（　　）
A. tan（π＋1）＝tan 1
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解析： 　A正确；B正确， ＝ ＝ cos α；C
错， ＝ ＝－tan α；D错，
＝ ＝－1.
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7. tan 690°＝ .
解析：tan 690°＝tan（2×360°－30°）＝tan（－30°）＝－tan
30°＝－ .
－ 　
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8. 已知 sin （45°＋α）＝ ，则 sin （225°＋α）＝ 　－ 　.
解析： sin （225°＋α）＝ sin [（45°＋α）＋180°]＝－ sin
（45°＋α）＝－ .
－ 　
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9. 若 P （－4，3）是角α终边上一点，则
＝ .
解析：由题意知 sin α＝ ，原式＝ ＝－ ＝－
＝－ .
－ 　
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10. 化简与计算：
（1） ；
解： 原式＝ ＝ ＝
tan θ.
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（2） sin 420° cos 330°＋ sin （－690°） cos （－660°）.
解： 原式＝ sin （360°＋60°） cos （360°－
30°）＋ sin （－2×360°＋30°） cos （－2×360°
＋60°）
＝ sin 60° cos 30°＋ sin 30° cos 60°＝ × ＋
× ＝1.
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11. 已知α为锐角，且2tan（π－α）－3 sin （－β）＋5＝0，tan（π
＋α）＋6 sin （π＋β）－1＝0，则 sin α＝（　　）
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解析： 　由α为锐角，且2tan（π－α）－3 sin （－β）＋5
＝0，可得2tan α－3 sin β－5＝0　①.由tan（π＋α）＋6
sin （π＋β）－1＝0，可得tan α－6 sin β－1＝0　②.①×2
－②得3tan α－9＝0，∴tan α＝3，即 ＝3.∵ sin 2α＋
cos 2α＝1，
∴ sin 2α＝ .又α为锐角，∴ sin α＞0，∴ sin α＝ .
故选C.
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12. （多选）定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝π，则称θ
与φ“广义互补”.已知 sin （π＋α）＝－ ，下列角β中，可能
与角α“广义互补”的是（　　）
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解析： 　∵ sin （π＋α）＝－ sin α＝－ ，∴ sin α＝ ，
若α＋β＝π，则β＝π－α.A中， sin β＝ sin ＝ sin α＝
，故A符合条件；B中， cos （π＋β）＝ cos ＝ cos α
＝± ，故B符合条件；C中，tan β＝ ，即 sin β＝ cos
β，又 sin 2β＋ cos 2β＝1，故 sin β＝± ，故C不符合条
件；D中， cos （2π－β）＝ cos [2π－（π－α）]＝ cos （π＋
α）＝－ cos α＝± ，故D符合条件.故选A、B、D.
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13. 化简： ＝ .
解析：原式＝ ＝ ＝｜ cos 6－
sin 6｜.因为 ＜6＜2π，所以 cos 6＞0， sin 6＜0，因此 cos 6－
sin 6＞0，所以原式＝ cos 6－ sin 6.
cos 6－ sin 6　
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解：因为tan α， 是关于 x 的方程 x2－ kx ＋ k2－3＝0的两个实
数根，
故由根与系数的关系有tan α· ＝ k2－3＝1，解得 k ＝±2.
又3π＜α＜ ，所以tan α＞0， ＞0，
所以tan α＋ ＝ k ＞0，于是 k ＝2.
14. 已知tan α， 是关于 x 的方程 x2－ kx ＋ k2－3＝0的两个实数
根，且3π＜α＜ ，求 cos （3π＋α）－ sin （π－α）的值.
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因此tan α＝ ＝1， sin α＝ cos α.
又 sin 2α＋ cos 2α＝1，解得 sin α＝ cos α＝－ ，
所以 cos （3π＋α）－ sin （π－α）＝－ cos α－ sin α＝ .
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15. 已知α为第四象限角，化简 ＋
＝ .
　
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解析：因为α为第四象限角，所以 ＋
＝ ＋ ＝ ＋
＝ ＋ ＝ ＝
.
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16. 是否存在α∈ ，β∈（0，π），使等式 sin （3π－α）
＝ sin β， cos （－α）＝－ cos （π＋β）同时成立？若
存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由.
解：假设存在角α，β满足条件.
由已知条件可得
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由①2＋②2，得 sin 2α＋3 cos 2α＝2.
∴ sin 2α＝ ，∴ sin α＝± .
∵α∈ ，∴α＝± .
当α＝ 时，由②式知 cos β＝ ，
又β∈（0，π），∴β＝ ，此时①式成立；
当α＝－ 时，由②式知 cos β＝ ，
又β∈（0，π），∴β＝ ，此时①式不成立，故舍去.
∴存在α＝ ，β＝ 满足条件.
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谢 谢 观 看！5.3　诱导公式
第1课时　诱导公式二、三、四
1.化简sin2（π＋α）－cos（π＋α）·cos（－α）＋1的结果为（　　）
A.1　 B.2sin2α
C.0 D.2
2.若cos（π－α）＝－，则cos（－2π－α）＝（　　）
A. B.±
C.－ D.±
3.若sin（π＋α）＋sin（－α）＝－m，则sin（3π＋α）＋2sin（2π－α）＝（　　）
A.－m B.－m
C.m D.m
4.sin 315°＋sin（－480°）＋cos（－330°）＝（　　）
A. B.－
C.－ D.
5.（多选）已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，则下列命题正确的是（　　）
A.sin（B＋C）＝sin A
B.cos（B＋C）＝cos A
C.tan（B＋C）＝tan A
D.cos（2A＋B＋C）＝cos（B＋C）
6.（多选）下列化简正确的是（　　）
A.tan（π＋1）＝tan 1
B.＝cos α
C.＝tan α
D.＝1
7.tan 690°＝　　　　.
8.已知sin（45°＋α）＝，则sin（225°＋α）＝　　　　.
9.若P（－4，3）是角α终边上一点，则＝　　　　.
10.化简与计算：
（1）；
（2）sin 420°cos 330°＋sin（－690°）cos（－660°）.
11.已知α为锐角，且2tan（π－α）－3sin（－β）＋5＝0，tan（π＋α）＋6sin（π＋β）－1＝0，则sin α＝（　　）
A. B.
C. D.
12.（多选）定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝π，则称θ与φ“广义互补”.已知sin（π＋α）＝－，下列角β中，可能与角α“广义互补”的是（　　）
A.sin β＝ B.cos（π＋β）＝
C.tan β＝ D.cos（2π－β）＝－
13.化简：＝　　　　.
14.已知tan α，是关于x的方程x2－kx＋k2－3＝0的两个实数根，且3π＜α＜，求cos（3π＋α）－sin（π－α）的值.
15.已知α为第四象限角，化简＋＝　　　　.
16.是否存在α∈，β∈（0，π），使等式sin（3π－α）＝sin β，cos（－α）＝－cos（π＋β）同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由.
第1课时　诱导公式二、三、四
1.D　原式＝sin2α＋cos2α＋1＝2.
2.A　∵cos（π－α）＝－cos α＝－，∴cos α＝，∴cos（－2π－α）＝cos（－α）＝cos α＝.
3.B　因为sin（π＋α）＋sin（－α）＝－2sin α＝－m，所以sin α＝，则sin（3π＋α）＋2sin（2π－α）＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－m.故选B.
4.C　原式＝sin（360°－45°）＋sin（－360°－120°）＋cos（－360°＋30°）＝sin（－45°）＋sin（－120°）＋cos 30°＝－sin 45°＋sin（－180°＋60°）＋cos 30°＝－sin 45°－sin 60°＋cos 30°＝－－＋＝－.故选C.
5.AD　依题意，在△ABC中，B＋C＝π－A，sin（B＋C）＝sin（π－A）＝sin A，A正确；cos（B＋C）＝cos（π－A）＝－cos A，B错误；tan（B＋C）＝tan（π－A）＝－tan A，C错误；因为cos（2A＋B＋C）＝cos[A＋（A＋B＋C）]＝cos（π＋A）＝－cos A.而cos（B＋C）＝cos（π－A）＝－cos A.故D正确.
6.AB　A正确；B正确，＝＝cos α；C错，＝＝－tan α；D错，＝＝－1.
7.－　解析：tan 690°＝tan（2×360°－30°）＝tan（－30°）＝－tan 30°＝－.
8.－　解析：sin（225°＋α）＝sin[（45°＋α）＋180°]＝－sin（45°＋α）＝－.
9.－　解析：由题意知sin α＝，原式＝＝－＝－＝－.
10.解：（1）原式＝＝＝tan θ.
（2）原式＝sin（360°＋60°）cos（360°－30°）＋sin（－2×360°＋30°）cos（－2×360°＋60°）
＝sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60°＝×＋×＝1.
11.C　由α为锐角，且2tan（π－α）－3sin（－β）＋5＝0，可得2tan α－3sin β－5＝0　①.由tan（π＋α）＋6sin（π＋β）－1＝0，可得tan α－6sin β－1＝0　②.①×2－②得3tan α－9＝0，∴tan α＝3，即＝3.∵sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＝.又α为锐角，∴sin α＞0，∴sin α＝.故选C.
12.ABD　∵sin（π＋α）＝－sin α＝－，∴sin α＝，若α＋β＝π，则β＝π－α.A中，sin β＝sin＝sin α＝，故A符合条件；B中，cos（π＋β）＝cos（2π－α）＝cos α＝±，故B符合条件；C中，tan β＝，即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝1，故sin β＝±，故C不符合条件；D中，cos（2π－β）＝cos[2π－（π－α）]＝cos（π＋α）＝－cos α＝±，故D符合条件.故选A、B、D.
13.cos 6－sin 6　解析：原式＝＝＝｜cos 6－sin 6｜.因为＜6＜2π，所以cos 6＞0，sin 6＜0，因此cos 6－sin 6＞0，所以原式＝cos 6－sin 6.
14.解：因为tan α，是关于x的方程x2－kx＋k2－3＝0的两个实数根，
故由根与系数的关系有tan α·＝k2－3＝1，解得k＝±2.
又3π＜α＜，所以tan α＞0，＞0，
所以tan α＋＝k＞0，于是k＝2.
因此tan α＝＝1，sin α＝cos α.
又sin2α＋cos2α＝1，解得sin α＝cos α＝－，
所以cos（3π＋α）－sin（π－α）＝－cos α－sin α＝.
15.　解析：因为α为第四象限角，所以＋＝＋
＝＋
＝＋
＝＝.
16.解：假设存在角α，β满足条件.
由已知条件可得
由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2.
∴sin2α＝，∴sin α＝±.
∵α∈，∴α＝±.
当α＝时，由②式知cos β＝，
又β∈（0，π），∴β＝，此时①式成立；
当α＝－时，由②式知cos β＝，
又β∈（0，π），∴β＝，此时①式不成立，故舍去.
∴存在α＝，β＝满足条件.
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