资源简介

(共58张PPT)
第2课时　
诱导公式五、六
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　我们容易计算像0、 、 这样的角的三角函数值，对于求 －α
与 ＋α的三角函数值，能否化为α的三角函数值计算？
【问题】　（1） －α与α的终边有什么关系？
（2）如何求 ＋α的三角函数值？

知识点　诱导公式五、六
提醒　公式五、六的记忆方法与口诀：①记忆方法： ±α的正弦
（余弦）函数值，分别等于α的余弦（正弦）函数值，前面加上一个
把α看成锐角时原函数值的符号；②记忆口诀：“函数名改变，符号
看象限”或“正变余，余变正，符号象限定”.
1. 下列与 sin θ的值相等的是（　　）
A. sin （π＋θ）
解析： 　 sin （π＋θ）＝－ sin θ； sin ＝ cos θ； cos
＝ sin θ； cos ＝－ sin θ.
2. 已知 sin ＝ ，α∈ ，则 sin α＝（　　）
解析： 　 sin ＝ sin ＝ cos α＝ .又α∈
，所以 sin α＝－ ＝－ .
3. sin 95°＋ cos 175°＝ .
解析： sin 95°＋ cos 175°＝ sin （90°＋5°）＋ cos （180°－
5°）＝ cos 5°－ cos 5°＝0.
0　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 利用诱导公式化简
【例1】　化简：
（1） ＋ ；
解： 原式＝ ＋ ＝－ sin α＋ sin α＝0.
（2） sin （－α－5π） cos － sin cos （α－2π）.
解： 原式＝ sin （－α－π） cos － sin ［π＋
（ ＋α）］ cos [－（2π－α）]
＝ sin [－（α＋π）] cos ＋ sin cos （2π－α）
＝－ sin （α＋π） sin α＋ cos α cos α
＝ sin 2α＋ cos 2α＝1.
通性通法
用诱导公式进行化简时的注意点
（1）化简后项数尽可能的少；
（2）函数的种类尽可能的少；
（3）分母尽可能不含三角函数的符号；
（4）能求值的一定要求值；
（5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等.
【跟踪训练】
　化简： .
解：∵ sin （4π－α）＝ sin （－α）＝－ sin α，
cos ＝ cos ＝ cos ＝－ sin α，
sin ＝ sin ＝－ sin ＝－ cos α.
∴原式＝ ＝－ ＝－tan2α.
题型二 利用诱导公式求值
【例2】　（1）（2024·苏州月考）已知tan α＝3，求
的值；
解：
＝ ＝
＝ ＝2.
（2）已知 sin ＝ ，求 cos · sin 的值.
解： cos · sin
＝ cos · sin
＝ sin · sin ＝ × ＝ .
通性通法
用诱导公式化简求值的方法
（1）对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原
则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化
弦，以保证三角函数名最少；
（2）解答此类问题要学会发现它们的互余、互补关系：如 －α与
＋α， ＋α与 －α， －α与 ＋α等互余， ＋θ与 －
θ， ＋θ与 －θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角
的和，要善于利用角的变换来解决问题.
【跟踪训练】
1. 已知 sin （π＋α）＝ ，则 cos ＝（　　）
解析： 　由 sin （π＋α）＝ 得 sin α＝－ ，所以 cos
＝ cos ＝－ sin α＝ ，故选A.
2. 已知 sin ＝ ，则 cos ＝（　　）
解析： 　∵ ＋α－ ＝ ，∴ cos ＝ sin
＝ sin ＝－ sin （α－ ）＝－ .
题型三 利用诱导公式证明恒等式
【例3】　求证：
＝ .
证明：左边＝
＝
＝
＝
＝ ＝ .
右边＝ ＝ .
∴左边＝右边，故原等式成立.
通性通法
利用诱导公式证明三角恒等式
（1）公式中所涉及的角均可用 k · ±α（ k ∈Z）表示，这里的α可
以为任意角，但利用公式判断符号时可将α看成锐角；
（2）各公式的作用：公式一可将任意角转化为0～2π内的角；公式二
可将0～2π内的角转化为0～π内的角；公式三可将负角转化为正
角；公式四可将 ～π内的角转化为0～ 内的角；公式五、六可
实现正、余弦互化.
【跟踪训练】
　求证： ＝－1.
证明：因为
＝
＝ ＝ ＝－1＝右边，所以原等式成立.
题型四 诱导公式的综合应用
【例4】　（2024·三门峡月考）若 f （α）＝
.
（1）化简 f （α）；
解： f （α）＝ ＝－ cos α.
（2）若 f （α）· f ＝－ ，且 ≤α≤ ，求 f （α）＋ f
的值.
解： f ＝－ cos ＝ sin α，因为 f （α）· f
＝－ ，所以 cos α· sin α＝ ，可得
＝（ sin α－ cos α）2＝ ，由 ≤α≤ ，得 cos α≥
sin α，所以 f （α）＋ f ＝ sin α－ cos α＝－ .
通性通法
诱导公式综合应用要“三看”
（1）看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减
分析两角的关系；
（2）看函数名称：一般是弦切互化；
（3）看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法.如分式可对分子
分母同乘一个式子变形.
【跟踪训练】
　已知 sin α是方程5 x2－7 x －6＝0的根，α是第三象限角，求
·tan2（π－α）的值.
解：方程5 x2－7 x －6＝0的两根为 x1＝－ ， x2＝2，
由α是第三象限角，得 sin α＝－ ，则 cos α＝－ ，
∴ ·tan2（π－α）
＝ ·tan2α
＝ ·tan2α＝－tan2α＝－ ＝－ .
1. 已知 sin ＝ ，那么 cos α＝（　　）
解析： 　 sin ＝ sin ＝ cos α，故 cos α＝ ，故
选C.
2. 已知 cos ＝ ，且｜φ｜＜ ，则tan φ＝（　　）
解析： 　由 cos ＝－ sin φ＝ ，得 sin φ＝－ .又｜φ｜
＜ ，∴φ＝－ ，∴tan φ＝－tan ＝－ .故选C.
3. 计算： sin 211°＋ sin 279°＝ .
解析：因为11°＋79°＝90°，所以 sin 79°＝ cos 11°，所以原
式＝ sin 211°＋ cos 211°＝1.
4. 化简：
－ .
解：原式＝ － ＝ sin α－（－ sin α）＝2
sin α.
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知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若 sin ＜0，且 cos ＞0，则θ是（　　）
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
解析： 　由于 sin ＝ cos θ＜0， cos ＝ sin θ＞
0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.
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2. 若 cos （α＋π）＝－ ，则 sin ＝（　　）
解析： 　因为 cos （α＋π）＝－ cos α＝－ ，所以 cos α＝ .
所以 sin ＝ cos α＝ .
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3. 已知角θ的终边经过点（3，－4），则 ＝
（　　）
解析： 　由三角函数的定义可得tan θ＝－ ，因此
＝ ＝－ ＝ .故选C.
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4. 已知 sin ＝－ ，则 cos ＝（　　）
解析： 　 sin ＝ sin ＝－ sin （ ＋α）＝－
，所以 sin ＝ .故 cos ＝ cos ＝ sin
＝ .故选A.
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5. 已知 sin （ x ＋φ）＝ sin （－ x ＋φ），则φ的值可能是（　　）
A. 0
C. π D. 2π
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解析： 　对于A，当φ＝0时，左边＝ sin x ，右边＝ sin （－ x ）＝
－ sin x ，不满足条件；对于B，当φ＝ 时，左边＝ sin （ x ＋ ）
＝ cos x ，右边＝ sin （－ x ＋ ）＝ cos x ，满足条件；对于C，当φ
＝π时，左边＝ sin （ x ＋π）＝－ sin x ，右边＝ sin （－ x ＋π）＝
sin x ，不满足条件；对于D，当φ＝2π时，左边＝ sin （ x ＋2π）＝
sin x ，右边＝ sin （－ x ＋2π）＝－ sin x ，不满足条件.
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6. （多选）已知 sin （ ＋α）＝ ，则角α
的终边可能在（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. x 轴的负半轴上
解析： 　原等式可化为－ cos α＝ ，∴－ cos α＝
，∴｜ cos α｜＝－ cos α，∴ cos α≤0，∴α的终边在
第二、三象限或在 x 轴的负半轴上.
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7. 已知 cos α＝ ，则 sin cos tan（π－α）＝ 　 　.
解析： sin cos tan（π－α）＝－ cos α· sin α（－
tan α）＝ sin 2α＝1－ cos 2α＝1－ ＝ .
　
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8. 已知θ是第四象限角，且 sin ＝ ，则tan（θ－ ）＝ .
－ 　
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解析：∵θ是第四象限角，且 sin ＝ ＞0，∴θ＋ 为第一
象限角，∴ cos ＝ ＝ .∵ －
＝ ，∴ sin ＝ sin ［（θ＋ ）－ ］＝－ cos （θ＋
）＝－ ， cos ＝ cos ＝ sin （θ＋ ）＝ ，
∴tan ＝ ＝－ .
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9. 若θ为第二象限角，且tan（θ－π）＝－ ，则 －
＝ .
－4　
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解析：由tan（θ－π）＝－ 得tan θ＝－ ，而θ为第二象限角，
则有 sin θ＞0，因此， － ＝
－ ＝ － ＝ － ＝
＝ ＝－4.
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10. 化简：（1） · sin cos ；
解： 原式＝ · sin ［－（ －α）］·（－
sin α）
＝ · （－ sin α）
＝ ·（－ cos α）（－ sin α）＝－ cos 2α.
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（2） .
解： 原式
＝
＝ ＝1.
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11. 已知 cos （75°＋α）＝ ，则 sin （α－15°）＋ cos （105°－
α）＝（　　）
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解析： 　∵ cos （75°＋α）＝ ，∴ sin （α－15°）＋
cos （105°－α）＝ sin [（α＋75°）－90°]＋ cos
[180°－（α＋75°）]＝－ cos （75°＋α）－ cos （75°
＋α）＝－ .故选D.
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12. 在△ ABC 中， sin ＝3 sin （π－ A ）， cos A ＝－ cos
（π－ B ），则△ ABC 为（　　）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
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解析： 　由 sin ＝3 sin （π－ A ）可得 cos A ＝3 sin
A ，所以tan A ＝ ，又0＜ A ＜π，所以 A ＝ ，再由 cos A ＝－
cos （π－ B ）可得 cos A ＝ cos B ，所以 cos B ＝ ，又0＜ B ＜
π，所以 B ＝ ，所以 C ＝ ，所以△ ABC 为直角三角形.故选B.
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13. 已知 sin （ －α）＝ ，且－π＜α＜－ ，则 sin （ ＋α）
＝ .
解析：由－π＜α＜－ ，可得 ＜ －α＜ ，所以 cos （ －
α）＜0，所以 cos （ －α）＝－ ＝－ .
由 sin （ ＋α）＝ sin ［ －（ －α）］＝ cos （ －α）＝－
.
－ 　
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14. 在①tan（π＋α）＝3；② sin （π－α）－ sin （ －α）＝2 cos
（－α）；③3 sin （ ＋α）＝ cos （ ＋α），这三个条件中
任选一个，补充在下面问题中，并解决问题.
已知 　　.
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（1）求 的值；
解： 若选①，由tan（π＋α）＝3得，tan α＝3，
若选②，由 sin （π－α）－ sin （ －α）＝2 cos （－α），
得 sin α－ cos α＝2 cos α，即tan α＝3，
若选③，由3 sin （ ＋α）＝ cos （ ＋α），得3 cos α
＝ sin α，即tan α＝3，
所以 ＝ ＝ ＝ .
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（2）当α为第三象限角时，求 sin （－α）＋ cos （π＋α）－
cos （ ＋α） sin （α－ ）的值.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
解： 由得 cos α＝± ，
又因α为第三象限角，所以 cos α＝－ ， sin α＝－ ，
所以 sin （－α）＋ cos （π＋α）－ cos （ ＋α） sin
（α－ ）＝－ sin α－ cos α＋ sin α cos α＝ ＋
＋ × ＝ .
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解析：因为 sin 21°＋ sin 289°＝ sin 21°＋ cos 21°＝1， sin 22°＋
sin 288°＝ sin 22°＋ cos 22°＝1， sin 2 x °＋ sin 2（90°－ x °）
＝ sin 2 x °＋ cos 2 x °＝1（1≤ x ≤44， x ∈N），所以原式＝
（ sin 21°＋ sin 289°）＋（ sin 22°＋ sin 288°）＋…＋（ sin 244°＋ sin 246°）＋ sin 290°＋ sin 245°＝45＋ ＝ .
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16. 已知 sin α＝1－ sin ，求 sin 2α＋ sin ＋1的取值
范围.
解：因为 sin α＝1－ sin ＝1－ cos β，
所以 cos β＝1－ sin α.
因为－1≤ cos β≤1，
所以－1≤1－ sin α≤1，0≤ sin α≤2，
又因为－1≤ sin α≤1，所以 sin α∈[0，1].
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所以 sin 2α＋ sin ＋1＝ sin 2α＋ cos β＋1＝ sin 2α－ sin
α＋2＝ ＋ .（*）
又 sin α∈[0，1]，所以当 sin α＝ 时，（*）式取得最小值 ；
当 sin α＝1或 sin α＝0时，（*）式取得最大值2，故所求范围为
.
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谢 谢 观 看！第2课时　诱导公式五、六
　　我们容易计算像0、、这样的角的三角函数值，对于求－α与＋α的三角函数值，能否化为α的三角函数值计算？
【问题】　（1）－α与α的终边有什么关系？
（2）如何求＋α的三角函数值？
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
知识点　诱导公式五、六
提醒　公式五、六的记忆方法与口诀：①记忆方法：±α的正弦（余弦）函数值，分别等于α的余弦（正弦）函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号；②记忆口诀：“函数名改变，符号看象限”或“正变余，余变正，符号象限定”.
1.下列与sin θ的值相等的是（　　）
A.sin（π＋θ）　　　　 B.sin
C.cos D.cos
2.已知sin＝，α∈，则sin α＝（　　）
A.－ B.
C.－ D.
3.sin 95°＋cos 175°＝　　　　.
题型一 利用诱导公式化简
【例1】　化简：
（1）＋
；
（2）sin（－α－5π）cos－sin（＋α）·cos（α－2π）.
通性通法
用诱导公式进行化简时的注意点
（1）化简后项数尽可能的少；
（2）函数的种类尽可能的少；
（3）分母尽可能不含三角函数的符号；
（4）能求值的一定要求值；
（5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等.
【跟踪训练】
　化简：.
题型二 利用诱导公式求值
【例2】　（1）（2024·苏州月考）已知tan α＝3，求的值；
（2）已知sin＝，求cos·sin的值.
通性通法
用诱导公式化简求值的方法
（1）对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少；
（2）解答此类问题要学会发现它们的互余、互补关系：如－α与＋α，＋α与－α，－α与＋α等互余，＋θ与－θ，＋θ与－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题.
【跟踪训练】
1.已知sin（π＋α）＝，则cos＝（　　）
A.　　 B.－　　
C.　　 D.－
2.已知sin＝，则cos＝（　　）
A. B.－
C. D.－
题型三 利用诱导公式证明恒等式
【例3】　求证：
＝.
通性通法
利用诱导公式证明三角恒等式
（1）公式中所涉及的角均可用k·±α（k∈Z）表示，这里的α可以为任意角，但利用公式判断符号时可将α看成锐角；
（2）各公式的作用：公式一可将任意角转化为0～2π内的角；公式二可将0～2π内的角转化为0～π内的角；公式三可将负角转化为正角；公式四可将～π内的角转化为0～内的角；公式五、六可实现正、余弦互化.
【跟踪训练】
　求证：＝－1.
题型四 诱导公式的综合应用
【例4】　（2024·三门峡月考）若f（α）＝.
（1）化简f（α）；
（2）若f（α）·f＝－，且≤α≤，求f（α）＋f的值.
通性通法
诱导公式综合应用要“三看”
（1）看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系；
（2）看函数名称：一般是弦切互化；
（3）看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法.如分式可对分子分母同乘一个式子变形.
【跟踪训练】
　已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求·tan2（π－α）的值.
1.已知sin＝，那么cos α＝（　　）
A.－　　　　　　 B.－
C. D.
2.已知cos＝，且｜φ｜＜，则tan φ＝（　　）
A.－ B.
C.－ D.
3.计算：sin211°＋sin279°＝　　　　.
4.化简：
－.
第2课时　诱导公式五、六
【基础知识·重落实】
知识点
cos α　sin α　－sin α
自我诊断
1.C　sin（π＋θ）＝－sin θ；sin＝cos θ；cos＝sin θ；cos（＋θ）＝－sin θ.
2.C　sin＝sin＝cos α＝.又α∈，所以sin α＝－＝－.
3.0　解析：sin 95°＋cos 175°＝sin（90°＋5°）＋cos（180°－5°）＝cos 5°－cos 5°＝0.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）原式＝＋＝－sin α＋sin α＝0.
（2）原式＝sin（－α－π）cos［－（－α）］－sin［π＋（＋α）］cos[－（2π－α）]＝sin[－（α＋π）]cos＋sin（＋α）cos（2π－α）
＝－sin（α＋π）sin α＋cos αcos α
＝sin2α＋cos2α＝1.
跟踪训练
　解：∵sin（4π－α）＝sin（－α）＝－sin α，
cos＝cos＝cos（＋α）＝－sin α，
sin＝sin＝－sin＝－cos α.
∴原式＝＝－＝－tan2α.
【例2】　解：（1）
＝＝
＝＝2.
（2）cos·sin＝cos［－（－α）］·sin［π－（－α）］＝sin·sin＝×＝.
跟踪训练
1.A　由sin（π＋α）＝得sin α＝－，所以cos＝cos＝－sin α＝，故选A.
2.D　∵＋α－＝，∴cos（＋α）＝sin＝sin＝－sin（α－）＝－.
【例3】　证明：左边＝
＝
＝
＝
＝＝.
右边＝＝.
∴左边＝右边，故原等式成立.
跟踪训练
　证明：因为
＝
＝＝＝－1＝右边，所以原等式成立.
【例4】　解：（1）f（α）＝＝－cos α.
（2）f＝－cos＝sin α，因为f（α）·f＝－，所以cos α·sin α＝，可得［f（α）＋f（α＋）］2＝（sin α－cos α）2＝，由≤α≤，得cos α≥sin α，所以f（α）＋f＝sin α－cos α＝－.
跟踪训练
　解：方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2，
由α是第三象限角，得sin α＝－，则cos α＝－，
∴·tan2（π－α）
＝·tan2α
＝·tan2α＝－tan2α＝－＝－.
随堂检测
1.C　sin＝sin＝cos α，故cos α＝，故选C.
2.C　由cos＝－sin φ＝，得sin φ＝－.又｜φ｜＜，∴φ＝－，∴tan φ＝－tan ＝－.故选C.
3.1　解析：因为11°＋79°＝90°，所以sin 79°＝cos 11°，所以原式＝sin211°＋cos211°＝1.
4.解：原式＝－＝sin α－（－sin α）＝2sin α.
2 / 3第2课时　诱导公式五、六
1.若sin＜0，且cos＞0，则θ是（　　）
A.第一象限角　　　　　B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
2.若cos（α＋π）＝－，则sin＝（　　）
A. B.－
C. D.－
3.已知角θ的终边经过点（3，－4），则＝（　　）
A. B.－
C. D.－
4.已知sin＝－，则cos＝（　　）
A. B.－
C. D.－
5.已知sin（x＋φ）＝sin（－x＋φ），则φ的值可能是（　　）
A.0 B.
C.π D.2π
6.（多选）已知sin（＋α）＝，则角α的终边可能在（　　）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.x轴的负半轴上
7.已知cos α＝，则sincostan（π－α）＝　　　　.
8.已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan（θ－）＝　　　　.
9.若θ为第二象限角，且tan（θ－π）＝－，则－＝　　　　.
10.化简：（1）·sincos；
（2）.
11.已知cos（75°＋α）＝，则sin（α－15°）＋cos（105°－α）＝（　　）
A. B.
C.－ D.－
12.在△ABC中，sin＝3sin（π－A），cos A＝－cos（π－B），则△ABC为（　　）
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
13.已知sin（－α）＝，且－π＜α＜－，则sin（＋α）＝　　　　.
14.在①tan（π＋α）＝3；②sin（π－α）－sin（－α）＝2cos（－α）；③3sin（＋α）＝cos（＋α），这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决问题.
已知　　　　.
（1）求的值；
（2）当α为第三象限角时，求sin（－α）＋cos（π＋α）－cos（＋α）sin（α－）的值.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
15.sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＋sin290°＝　　　　.
16.已知sin α＝1－sin，求sin2α＋sin＋1的取值范围.
第2课时　诱导公式五、六
1.B　由于sin＝cos θ＜0，cos（－θ）＝sin θ＞0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.
2.A　因为cos（α＋π）＝－cos α＝－，所以cos α＝.所以sin＝cos α＝.
3.C　由三角函数的定义可得tan θ＝－，因此＝＝－＝.故选C.
4.A　sin＝sin＝－sin（＋α）＝－，所以sin（＋α）＝.故cos＝cos＝sin＝.故选A.
5.B　对于A，当φ＝0时，左边＝sin x，右边＝sin（－x）＝－sin x，不满足条件；对于B，当φ＝时，左边＝sin（x＋）＝cos x，右边＝sin（－x＋）＝cos x，满足条件；对于C，当φ＝π时，左边＝sin（x＋π）＝－sin x，右边＝sin（－x＋π）＝sin x，不满足条件；对于D，当φ＝2π时，左边＝sin（x＋2π）＝sin x，右边＝sin（－x＋2π）＝－sin x，不满足条件.
6.BCD　原等式可化为－cos α＝，∴－cos α＝，∴｜cos α｜＝－cos α，∴cos α≤0，∴α的终边在第二、三象限或在x轴的负半轴上.
7.　解析：sincos·tan（π－α）＝－cos α·sin α（－tan α）＝sin2α＝1－cos2α＝1－＝.
8.－　解析：∵θ是第四象限角，且sin（θ＋）＝＞0，∴θ＋为第一象限角，∴cos＝＝.∵－＝，∴sin＝sin［（θ＋）－］＝－cos（θ＋）＝－，cos＝cos［（θ＋）－］＝sin（θ＋）＝，∴tan（θ－）＝＝－.
9.－4　解析：由tan（θ－π）＝－得tan θ＝－，而θ为第二象限角，则有sin θ＞0，因此，
－＝－＝－＝－＝＝＝－4.
10.解：（1）原式＝·
sin［－（－α）］·（－sin α）
＝·（－sin α）
＝·（－cos α）（－sin α）＝－cos2α.
（2）原式＝
＝＝1.
11.D　∵cos（75°＋α）＝，∴sin（α－15°）＋cos（105°－α）＝sin[（α＋75°）－90°]＋cos[180°－（α＋75°）]＝－cos（75°＋α）－cos（75°＋α）＝－.故选D.
12.B　由sin＝3sin（π－A）可得cos A＝3sin A，所以tan A＝，又0＜A＜π，所以A＝，再由cos A＝－cos（π－B）可得cos A＝cos B，所以cos B＝，又0＜B＜π，所以B＝，所以C＝，所以△ABC为直角三角形.故选B.
13.－　解析：由－π＜α＜－，可得＜－α＜，所以cos（－α）＜0，所以cos（－α）＝－＝－.由sin（＋α）＝sin［－（－α）］＝cos（－α）＝－.
14.解：（1）若选①，由tan（π＋α）＝3得，
tan α＝3，
若选②，由sin（π－α）－sin（－α）＝2cos（－α），
得sin α－cos α＝2cos α，即tan α＝3，
若选③，由3sin（＋α）＝cos（＋α），得3cos α＝sin α，即tan α＝3，
所以＝＝＝.
（2）由得cos α＝±，
又因α为第三象限角，所以cos α＝－，sin α＝－，
所以sin（－α）＋cos（π＋α）－cos（＋α）sin（α－）＝－sin α－cos α＋sin αcos α＝＋＋×＝.
15.　解析：因为sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，sin2x°＋sin2（90°－x°）＝sin2x°＋cos2x°＝1（1≤x≤44，x∈N），所以原式＝（sin21°＋sin289°）＋（sin22°＋sin288°）＋…＋（sin244°＋sin246°）＋sin290°＋sin245°＝45＋＝.
16.解：因为sin α＝1－sin＝1－cos β，
所以cos β＝1－sin α.
因为－1≤cos β≤1，
所以－1≤1－sin α≤1，0≤sin α≤2，
又因为－1≤sin α≤1，
所以sin α∈[0，1].
所以sin2α＋sin＋1＝sin2α＋cos β＋1＝sin2α－sin α＋2＝＋.（*）
又sin α∈[0，1]，所以当sin α＝时，（*）式取得最小值；当sin α＝1或sin α＝0时，（*）式取得最大值2，故所求范围为.
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