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2024-2025 学年湖南省邵阳市海谊中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 = 2 4+ ( 2) 是纯虚数，则实数 =( )
A. 0 B. ±2 C. 2 D. 2
2.已知集合 = { 2, 1,0,1,2}， = { | 2 6 0}，则 ∩ =( )
A. { 2, 1,0,1} B. {0,1,2} C. { 2} D. {2}
3.已知圆 的圆心在曲线 = 2( > 0)上，圆 与直线 + 2 + 1 = 0 相切，则圆 面积最小值为( )
A. 5 B. 2 5 C. 5 D. 10
4.已知△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .已知 = 1, = 4，△ 的面积 = 2，则△ 的
外接圆的半径为( )
A. 4 5 B. 2 5 C. 5 2 D. 5 22
5.已知定义域为 的函数 ( )， 1， 2 ∈ ， 1 < 2，都有( 1 2)[ ( 1) ( 2)] < 0，则( )
A. (3) < ( ) < (2) B. ( ) < (3) < (2)
C. (2) < ( ) < (3) D. ( ) < (2) < (3)
6.已知向量 = (2, ), = ( 1, 2), = (1,2)，且( )// ，则实数 =( )
A. 4 B. 2 C. 2 D. 4
7 .圆 ：( 1)2 + ( 1)2 = 1 与直线 ：4+ 3 = 1 的位置关系为( )
A.相切 B.相交 C.相离 D.无法确定
8.已知 ( 3) = ，则 (10)的值为( )
A. 1 B. 3 10 C. 13 D.
1
3 10
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 ， 为不垂直的异面直线， 是一个平面，则 ， 在 上的射影可能是( )
A.两条平行直线 B.两条互相垂直的直线
C.同一条直线 D.一条直线及其外一点
2 210 .已知双曲线 ： 2 = 1，则下列说法正确的是( )
A.双曲线 的实轴长为 2 B.双曲线 的焦点到渐近线的距离为
C.若(2,0)是双曲线 的一个焦点，则 = 2 D.若双曲线 的两条渐近线相互垂直，则 = 2
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11.在△ 5中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 = 2， = 2， = 3，则( )
A. ： = 5：4 B. = 2
C. △ 是钝角三角形 D. △ 是锐角三角形
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 > 0 + , ≤ ,，若函数 ( ) = + 2, > 有两个不同的零点，则 的取值范围为______．
13.在等比数列{ }中，已知 1 3 11 = 8，那么 2 8 =______．
14.设随机变量 服从两点分布，若 ( = 1) ( = 0) = 0.2，则 ( = 1) =______， ( ) =______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
用分层随机抽样从某校高二年级 800 名学生的数学成绩(满分为 100 分，成绩都是整数)中抽取一个样本量
为 100 的样本，其中男生成绩数据 40 个，女生成绩数据 60 个.再将 40 个男生成绩样本数据分为 6 组：
[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)，绘制得到如图所示的频率分布直方图．
(1)估计男生成绩样本数据的第 80 百分位数；
(2)若成绩不低于 80 分的为“优秀”等级，用样本的频率分布估计总体，估计高二年级男生中成绩为“优
秀”等级的人数．
16.(本小题 15 分)
1
已知等差数列{ }的前 项和为
2

，且 = ．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2) 16若 1 2 + 2 3 + + +1 > 33，求正整数 的最小值．
17.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ⊥ ， // ， = = 2 = 2 = 2， ⊥
平面 ， 为棱 上的动点．
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(1)当 为棱 的中点时，证明： //平面 ；
(2)若 = 2 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
18.(本小题 17 分)
2 2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为 2 ，长轴长为 4．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点(0, 2)的直线 与椭圆 交于 ， 两点， 为坐标原点.若△ 的面积为 2，求| |．
19.(本小题 17 分)
对于定义域为 的函数 = ( )，如果存在区间[ , ] ，同时满足：① ( )在[ , ]上单调；②当 ∈ [ , ]
时， ( ) ∈ [ , ]，则称[ , ]是该函数的“优美区间”.求证：
(1)[0,2] 1是函数 ( ) = 22 的一个“优美区间”；
(2)函数 ( ) = 4 + 6 不存在“优美区间”．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.(0, 1 2 )
13.4
14.0.6 0.6
15.(1)根据题意可知，在[40,80)内的成绩占比为 0.01 × 10 + 0.015 × 10 + 0.015 × 10 + 0.03 × 10 = 0.7 <
0.8，
在[40,90)内的成绩占比为 0.7 + 0.025 × 10 = 0.95 > 0.8，
0.8 0.7
因此第 80 百分位数在[80,90)内，80 + 10 × 0.95 0.7 = 84，
∴估计第 80 百分位数约是 84；
(2)成绩不低于 80 分的频率为(0.025 + 0.005) × 10 = 0.3，
40
则高二年级男生中成绩优秀人数估计为：0.3 × 100 × 800 = 96，
∴估计高二年级男生中成绩优秀人数为 96 人．
16.(1) 1由差数列{ 2 }的前 项和为 ，且 = ，
1
当 = 1 时， = 1 = 1，即有 1 = 1，1
当 ≥ 2 1时， = = 2 2 1 ( 1) = 2 1，
1
即 = 2 1
1
，即

= 2 1．
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(2) = 1 1 1 1由 +1 (2 1)(2 +1) = 2 ( 2 1 2 +1 )，
可得 1 2 + 2 3 + +
1 1 1 1 1 1 1 1 1
+1 = 2 ( 1 3 + 3 5 + + 2 1 2 +1 ) = 2 (1 2 +1 ) = 2 +1，
16
由题意可得2 +1 > 33，
解得 > 16，
可得正整数 的最小值为 17．
17.(1)证明：取 的中点 ，连接 ， ，
因为 为 的中点，
所以 // , = 12 ，
因为 // ， = 2 ，
所以 // ， = ，
所以四边形 为平行四边形，所以 // ．
又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
(2)因为 ⊥ ， ⊥平面 ，即 ， ， 两两垂直，
故可以 为原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系．
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则 (0,0,0)， (0,0,2)， (0,2,0)， (1,1,0)，
= 2 (0, 4 , 2因为 ，所以 3 3 )，
所以 = (1,1,0), = (0,2,0), = (0, 4 23 , 3 )．
设平面 的法向量为 = ( , , )，
⊥ = + = 0则 ，则 ，
⊥ = 4 23 + 3 = 0
取 = 1，得 = 1， = 2，
所以 = ( 1,1, 2)，.
因为 ⊥ ， ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
所以 = (0,2,0)为平面 的一个法向量，
设平面 与平面 的夹角为 ，
| | 2 6
则 = |cos < , > | =
| | |
=
| 2 6
= 6 ．
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 6．
6
18. (1)
2 2
解： 椭圆 ：
2 + 2 = 1 中，2 = 4，所以 = 2，
由 = = 2，得 = 2 = 2， 2 2
所以 2 = 2 2
2 2
= 2，椭圆的方程为 + 4 2 = 1；
(2)由题意知，直线 的斜率存在且不为 0，设斜率为 ，则直线
的方程为 = 2，
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= 2
由 2 2 ，消去 ，整理得(1 + 2 2) 2 8 + 4 = 0，
4 + 2 = 1
所以 = 64 2 16(1 + 2 2) = 32 2 16 > 0，解得 < 2或2 >
2；
2
8 4
由 1 + 2 = 1+2 2， 1 2 = 1+2 2，
2
设直线 交 轴于点 ，则 ( , 0)，
1
所以 △ = 2 | | | 1 2|
1 2
= 2 | | |( 1 2) ( 2 2)|
= | 1 2|
= ( 1 + 2)2 4 1 2
64 2 16
= (1+ 2 2)2 1+ 2 2
= 41+2 2 2
2 1 = 2，
解得 =± 6，2
所以| | = 1 + 2| 31 2| = 1 + 2 × 2 = 5．
19.(1) 1证明：根据题意，函数 ( ) = 22 为二次函数，在区间[0,2]上为单调增函数，
(0) = 0 (2) = 1且 ， 2 × 4 = 2，即 ( ) ∈ [0,2]，
故[0,2] 1是函数 ( ) = 22 的一个“优美区间”；
(2) 6证明：假设[ , ]是函数 ( ) = 4 + 的一个“优美区间”，
对于函数 ( ) = 4 + 6 ，其定义域为( ∞,0) ∪ (0, + ∞)，
则有[ , ] ( ∞，0)或[ , ] (0，+∞)，
又由 ( )在[ , ]上递减，
4 + 6 = 6 6
则有 6 ，两式相减可得 = ，变形可得 = 6，4 + =
对于 4 + 6 = ，变形可得 4 + 6 = ，即 4 = 0，不能成立，
故假设[ , ] 6 6是函数 ( ) = 4 + 的一个“优美区间”错误，则函数 ( ) = 4 + 不存在“优美区间”．
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