资源简介

(共55张PPT)
第1课时　
两角差的余弦公式
新课程标准解读 核心素养
1.经历推导两角差的余弦公式的过程，知道两角差余
弦公式的意义 数学抽象、
逻辑推理
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、
余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，
了解它们的内在联系 逻辑推理、
数学运算
3.能够运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二
倍角公式解决求值、化简等问题 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　观察下表中的数据：
cos （60°
－30°） cos 60° cos 30° sin 60° sin 30°
【问题】　分析数据， cos （α－β）与 cos α， cos β， sin α，
sin β之间存在联系吗？

知识点　两角差的余弦公式
两角差的余弦公式 cos （α－β）＝

简记符号 C（α－β）
使用条件 α，β都是 角
cos α cos β
＋ sin α sin β　
任意　
（2）公式中的α，β都是任意角，既可以是一个角，也可以是几个
角的组合.
提醒　（1）公式的结构特征：
1. cos 43° cos 13°＋ sin 43° sin 13°＝（　　）
解析： 　 cos 43° cos 13°＋ sin 43° sin 13°＝ cos （43°－
13°）＝ cos 30°＝ .

解析： cos 15°＝ cos （60°－45°）＝ cos 60° cos 45°＋ sin
60° sin 45°＝ × ＋ × ＝ .
　
3. 已知 cos α＝－ ，α∈（0，π），则 cos （ －α）
＝ .
解析：因为α∈（0，π），且 cos α＝－ ，所以 sin α＝
＝ ，所以 cos ＝ cos cos α＋ sin sin α＝
× ＋ × ＝ .
　
4. 已知 sin ＝ ，α∈ ，求 cos 的值.
解：由已知得 cos α＝ ， sin α＝－ ，
所以 cos ＝ cos α＋ sin α＝－ .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 给角求值问题
【例1】　求值：（1） cos 75°；
解： 原式＝ cos （120°－45°）
＝ cos 120° cos 45°＋ sin 120° sin 45°
＝－ × ＋ ×
＝ .
（2） cos cos ＋ cos sin .
解： 原式＝ cos cos ＋ sin sin
＝ cos ＝ cos ＝ .
通性通法
利用两角差的余弦公式求值的一般思路
（1）把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求值；
（2）在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的
右边形式，然后逆用公式求值.
【跟踪训练】
求下列各式的值：
（1） cos 80°· cos 35°＋ cos 10°· cos 55°；
解： 原式＝ cos 80°· cos 35°＋ sin 80°· sin 35°
＝ cos （80°－35°）＝ cos 45°＝ .
（2） cos 105°＋ sin 105°.
解： 原式＝ cos 60° cos 105°＋ sin 60° sin 105°
＝ cos （60°－105°）＝ cos （－45°）＝ .
题型二 给值求值问题
【例2】　（1）若 sin （π＋θ）＝－ ，θ是第二象限角， sin
＝－ ，φ是第三象限角，求 cos （θ－φ）的值；
解： ∵ sin （π＋θ）＝－ sin θ＝－ ，∴ sin θ＝ ，
又θ是第二象限角，∴ cos θ＝－ .
∵ sin ＝ cos φ＝－ ，且φ为第三象限角，
∴ sin φ＝－ ，
∴ cos （θ－φ）＝ cos θ cos φ＋ sin θ sin φ
＝ × ＋ × ＝ .
（2）已知α，β为锐角，且 cos α＝ ， cos （α＋β）＝－ ，求
cos β的值.
解： ∵α，β为锐角，∴0＜α＋β＜π.
由 cos （α＋β）＝－ ，得 sin （α＋β）＝
＝ ＝ .
又∵ cos α＝ ，∴ sin α＝ .
∴ cos β＝ cos [（α＋β）－α]＝ cos （α＋β） cos α＋ sin
（α＋β） sin α＝ × ＋ × ＝ .
通性通法
给值求值的解题策略
（1）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注
意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角；
（2）由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活
地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有：①α＝（α－β）
＋β；②α＝ ＋ ；③2α＝（α＋β）＋（α－β）；
④2β＝（α＋β）－（α－β）.
【跟踪训练】
已知 sin ＝－ ，且 π＜α＜ π，则 cos α＝ 　－ 　.
解析：因为 π＜α＜ π，所以 π＜α＋ ＜2π，所以 cos ＞
0，所以 cos ＝ ＝ ＝ ，所以 cos α
＝ cos ＝ cos cos ＋ sin sin ＝ × ＋
× ＝－ .
－ 　
题型三 给值求角问题
【例3】　已知 cos α＝ ， cos （α－β）＝ ，且0＜β＜α＜ ，
求β的值.
解：由 cos α＝ ，0＜α＜ ，得 sin α＝ ＝
＝ .
由0＜β＜α＜ ，得0＜α－β＜ .
又∵ cos （α－β）＝ ，∴ sin （α－β）＝
＝ ＝ .
∵β＝α－（α－β），∴ cos β＝ cos [α－（α－β）]＝ cos α
cos （α－β）＋ sin α sin （α－β）＝ × ＋ × ＝ .
∵0＜β＜ ，∴β＝ .
通性通法
已知三角函数值求角的步骤
（1）界定角的范围，根据条件确定所求角的范围；
（2）求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在上述范围内
单调的三角函数；
（3）结合三角函数值及角的范围求角.
提醒　由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误
答案.
【跟踪训练】
若 cos （α－β）＝ ， cos 2α＝－ ，α，β均为锐角，且α＜
β，求α＋β的值.
解：∵ cos （α－β）＝ ， cos 2α＝－ ，α，β∈ ，且
α＜β，∴α－β∈ ，2α∈（0，π），
∴ sin （α－β）＝－ ， sin 2α＝ ，
∴ cos （α＋β）＝ cos [2α－（α－β）]
＝ cos 2α cos （α－β）＋ sin 2α sin （α－β）
＝－ × ＋ × ＝－ ，
∵α＋β∈（0，π），∴α＋β＝ .
1. cos 20°＝（　　）
A. cos 30° cos 10°－ sin 30° sin 10°
B. cos 30° cos 10°＋ sin 30° sin 10°
C. sin 30° cos 10°－ sin 10° cos 30°
D. sin 30° cos 10°＋ sin 10° cos 30°
解析： 　 cos 20°＝ cos （30°－10°）＝ cos 30° cos 10°＋
sin 30° sin 10°.
2. cos （α－35°） cos （25°＋α）＋ sin （α－35°） sin （25°
＋α）＝（　　）
解析： 　原式＝ cos [（α－35°）－（α＋25°）]＝ cos （－
60°）＝ cos 60°＝ .
3. 已知 cos α＝ ，α∈ ，则 cos ＝ 　 　.
解析：由 cos α＝ ，α∈ ，得 sin α＝－ ＝
－ ＝－ .∴ cos ＝ cos α cos ＋ sin α sin ＝
× ＋ × ＝ .
　
解：∵α，β均为锐角，∴ cos α＝ ， cos β＝ .
∴ cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝ × ＋
× ＝ .
又∵ sin α＞ sin β，∴0＜β＜α＜ ，
∴0＜α－β＜ .
故α－β＝ .
4. 已知α，β均为锐角，且 sin α＝ ， sin β＝ ，求α－
β的值.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. cos 56° cos 26°＋ sin 56° cos 64°＝（　　）
解析： 　原式＝ cos 56° cos 26°＋ sin 56° sin 26°＝ cos
（56°－26°）＝ cos 30°＝ .
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2. 已知点 P （1， ）是角α的终边上一点，则 cos （ －α）＝
（　　）
解析： 　由题意可得 sin α＝ ， cos α＝ ，所以 cos （ －
α）＝ cos cos α＋ sin sin α＝ × ＋ × ＝ .
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3. 已知 A ， B ， C 是△ ABC 的三个内角，且方程 x2＋ x cos A cos B ＋ sin
A sin B －1＝0的两根之和与两根之积相等，则△ ABC 是（　　）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等边三角形 D. 钝角三角形
解析： 　由题意得－ cos A cos B ＝ sin A sin B －1，即 cos A cos B ＋
sin A sin B ＝1，则 cos （ A － B ）＝1，又 A ， B 为△ ABC 的内角，
所以 A ＝ B . 故△ ABC 是等腰三角形.故选B.
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4. 已知 cos ＝－ ，则 cos x ＋ cos ＝（　　）
C. －1 D. ±1
解析： 　 cos x ＋ cos ＝ cos x ＋ cos x ＋ sin x ＝ cos x ＋
sin x ＝ （ cos x ＋ sin x ）＝ cos ＝－1.
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5. （多选）下列各式化简正确的是（　　）
A. cos 80° cos 20°＋ sin 80° sin 20°＝ cos 60°
B. cos 15°＝ cos 45° cos 30°＋ sin 45° sin 30°
C. sin （α＋45°） sin α＋ cos （α＋45°） cos α＝ cos 45°
解析： 　根据两角差的余弦公式A、B、C都是正确的；而对
于D， cos ＝ cos α cos ＋ sin α sin ＝ cos α＋ sin
α，故D错误.
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6. （多选）若 sin x ＋ cos x ＝ cos （ x －φ），则φ的一个可能值是
（　　）
解析： 　因为 sin x ＋ cos x ＝ cos （ x －φ）＝ cos x cos φ＋ sin
x sin φ，所以有所以φ＝ ＋2 k π， k ∈Z，故选A、C.
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7. 已知 cos ＝ cos α，则tan α＝ 　 　.
解析： cos ＝ cos α cos ＋ sin α sin ＝ cos α＋ sin α
＝ cos α，所以 sin α＝ cos α，所以 ＝ ，即tan α＝ .
　
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8. ＝ 　 　.
解析：原式＝
＝
＝ ＝ cos 15°＝ cos （60°－45°）＝ .
　
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9. 已知α∈（0， ），tan α＝2，则 cos （α－ ）＝ 　 　.
解析：因为α∈（0， ），所以 sin α＞0， cos α＞0.由
得所以 cos （α－ ）＝ cos α
cos ＋ sin α sin ＝ （ cos α＋ sin α）＝ .
　
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10. 如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位
圆交于 A ， B 两点.
（1）如果 A ， B 两点的纵坐标分别为 ， ，求 cos α和 sin
β的值；
解： ∵ OA ＝1， OB ＝1，且点 A ，
B 的纵坐标分别为 ， ，
∴ sin α＝ ， sin β＝ ，
又∵α为锐角，∴ cos α＝ ＝ .
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（2）在（1）的条件下，求 cos （β－α）的值.
解： ∵β为钝角，∴由（1）知 cos
β＝－ ＝－ ，
∴ cos （β－α）＝ cos β cos α＋ sin β
sin α＝－ × ＋ × ＝ .
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11. 在△ ABC 中，有关系式tan A ＝ 成立，则△ ABC 为
（　　）
A. 等腰三角形
B. A ＝60°的三角形
C. 等腰三角形或 A ＝60°的三角形
D. 不能确定
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解析： 因为tan A ＝ ＝ ，所以 sin A sin C － sin A
sin B ＝ cos A cos B － cos A cos C ，所以 cos A cos C ＋ sin A sin C ＝
cos A cos B ＋ sin A sin B ，即 cos （ A － C ）＝ cos （ A － B ），所
以 A － C ＝ A － B 或 A － C ＋ A － B ＝0，所以 C ＝ B （舍）或 A ＝
60°，所以△ ABC 为 A ＝60°的三角形.
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12. （多选）满足 sin α sin β＝ ＋ cos α cos （π－β）的一组
α，β的值为（　　）
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解析： 　∵ sin α sin β＝ ＋ cos α cos （π－β），∴ cos
α cos β＋ sin α sin β＝ ，即 cos （α－β）＝ .当α＝ ，
β＝ 时，α－β＝ － ＝ ，此时 cos ＝ ，∴α＝ ，β＝
符合题意，同理D也符合题意.故选B、D.
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13. 已知0＜α＜ ，－ ＜β＜0， cos （ ＋α）＝ ， cos （ －
）＝ ，则 cos （α＋ ）＝ 　 　.
解析：由题设得 ＜ ＋α＜ ， ＜ － ＜ ，∴ sin （ ＋
α）＝ ， sin （ － ）＝ ，∴ cos （α＋ ）＝ cos ［（
＋α）－（ － ）］＝ cos （ ＋α） cos （ － ）＋ sin （
＋α） sin （ － ）＝ .
　
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14. 已知α，β为锐角且 cos （α－β）＝ ， cos α＝ ，求 cos β
的值.
解：∵ cos α＝ ， cos （α－β）＝ ，α，β为锐角，
∴ sin α＝ ， sin （α－β）＝± .
当 sin （α－β）＝ 时， cos β＝ cos [α－（α－β）]＝ cos
α cos （α－β）＋ sin α sin （α－β）＝ .
当 sin （α－β）＝－ 时， cos β＝ cos [α－（α－β）]＝
cos α cos （α－β）＋ sin α sin （α－β）＝0.
∵β为锐角，∴ cos β＝ .
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15. 设 f （ x ）＝ ，则 f （1°）＋ f （2°）＋…＋ f
（59°）＝ .
　
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解析：由 f （ x ）＝ ，得 f （ x ）＋ f （60°－ x ）＝
＋ ＝ ＝
＝ ，∴ f （1°）＋ f （2°）＋…＋ f （59°）
＝ .
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16. 已知函数 f （ x ）＝2 cos （其中ω＞0， x ∈R）的最小正
周期为10π.
（1）求ω的值；
解： 因为函数 f （ x ）的最小正周期为10π，所以10π＝
，所以ω＝ .
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解： 由（1）知 f （ x ）＝2 cos ，
因为 f ＝－ ，
所以2 cos ＝2 cos ＝－ ，所以 sin
α＝ .
又因为 f ＝ ，
（2）设α，β∈ ， f ＝－ ， f ＝ ，
求 cos （α－β）的值.
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所以2 cos ＝2 cos β＝ ，所以 cos β＝ .
因为α，β∈ ，所以 cos α＝ ， sin β＝ ，
所以 cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝ ×
＋ × ＝ .
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谢 谢 观 看！第1课时　两角差的余弦公式
1.cos 56°cos 26°＋sin 56°cos 64°＝（　　）
A.　　　　　　　　　B.－
C. D.－
2.已知点P（1，）是角α的终边上一点，则cos（－α）＝（　　）
A. B.
C.－ D.
3.已知A，B，C是△ABC的三个内角，且方程x2＋xcos Acos B＋sin Asin B－1＝0的两根之和与两根之积相等，则△ABC是（　　）
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.钝角三角形
4.已知cos＝－，则cos x＋cos＝（　　）
A.－ B.±
C.－1 D.±1
5.（多选）下列各式化简正确的是（　　）
A.cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝cos 60°
B.cos 15°＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°
C.sin（α＋45°）sin α＋cos（α＋45°）cos α＝cos 45°
D.cos＝cos α＋sin α
6.（多选）若sin x＋cos x＝cos（x－φ），则φ的一个可能值是（　　）
A. B.－
C. D.
7.已知cos＝cos α，则tan α＝　　　　.
8.＝　　　　.
9.已知α∈（0，），tan α＝2，则cos（α－）＝　　　　.
10.如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点.
（1）如果A，B两点的纵坐标分别为，，求cos α和sin β的值；
（2）在（1）的条件下，求cos（β－α）的值.
11.在△ABC中，有关系式tan A＝成立，则△ABC为（　　）
A.等腰三角形
B.A＝60°的三角形
C.等腰三角形或A＝60°的三角形
D.不能确定
12.（多选）满足sin αsin β＝＋cos αcos（π－β）的一组α，β的值为（　　）
A.α＝，β＝ B.α＝，β＝
C.α＝，β＝ D.α＝，β＝
13.已知0＜α＜，－＜β＜0，cos（＋α）＝，cos（－）＝，则cos（α＋）＝　　　　.
14.已知α，β为锐角且cos（α－β）＝，cos α＝，求cos β的值.
15.设f（x）＝，则f（1°）＋f（2°）＋…＋f（59°）＝　　　　.
16.已知函数f（x）＝2cos（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为10π.
（1）求ω的值；
（2）设α，β∈，f＝－，f＝，求cos（α－β）的值.
第1课时　两角差的余弦公式
1.C　原式＝cos 56°cos 26°＋sin 56°sin 26°＝cos（56°－26°）＝cos 30°＝.
2.A　由题意可得sin α＝，cos α＝，所以cos（－α）＝cos cos α＋sin ·sin α＝×＋×＝.
3.B　由题意得－cos Acos B＝sin Asin B－1，即cos Acos B＋sin Asin B＝1，则cos（A－B）＝1，又A，B为△ABC的内角，所以A＝B.故△ABC是等腰三角形.故选B.
4.C　cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x＝cos x＋sin x＝（cos x＋sin x）＝cos（x－）＝－1.
5.ABC　根据两角差的余弦公式A、B、C都是正确的；而对于D，cos＝cos αcos＋sin αsin＝cos α＋sin α，故D错误.
6.AC　因为sin x＋cos x＝cos（x－φ）＝cos xcos φ＋sin xsin φ，所以有所以φ＝＋2kπ，k∈Z，故选A、C.
7.　解析：cos＝cos αcos＋sin αsin＝cos α＋sin α＝cos α，所以sin α＝cos α，所以＝，即tan α＝.
8.　解析：原式＝
＝
＝＝cos 15°＝cos（60°－45°）＝.
9.　解析：因为α∈（0，），所以sin α＞0，cos α＞0.由得所以cos（α－）＝cos αcos ＋sin αsin ＝（cos α＋sin α）＝.
10.解：（1）∵OA＝1，OB＝1，且点A，B的纵坐标分别为，，
∴sin α＝，sin β＝，
又∵α为锐角，∴cos α＝＝.
（2）∵β为钝角，∴由（1）知cos β＝－＝－，
∴cos（β－α）＝cos βcos α＋sin βsin α＝－×＋×＝.
11.B　因为tan A＝＝，所以sin Asin C－sin Asin B＝cos Acos B－cos Acos C，所以cos Acos C＋sin A·sin C＝cos Acos B＋sin Asin B，即cos（A－C）＝cos（A－B），所以A－C＝A－B或A－C＋A－B＝0，所以C＝B（舍）或A＝60°，所以△ABC为A＝60°的三角形.
12.BD　∵sin αsin β＝＋cos αcos（π－β），∴cos αcos β＋sin αsin β＝，即cos（α－β）＝.当α＝，β＝时，α－β＝－＝，此时cos ＝，∴α＝，β＝符合题意，同理D也符合题意.故选B、D.
13.　解析：由题设得＜＋α＜，＜－＜，∴sin（＋α）＝，sin（－）＝，∴cos（α＋）＝cos［（＋α）－（－）］＝cos（＋α）cos（－）＋sin（＋α）sin（－）＝.
14.解：∵cos α＝，cos（α－β）＝，α，β为锐角，
∴sin α＝，sin（α－β）＝±.
当sin（α－β）＝时，cos β＝cos[α－（α－β）]＝cos αcos（α－β）＋sin α·sin（α－β）＝.
当sin（α－β）＝－时，cos β＝cos[α－（α－β）]＝cos αcos（α－β）＋sin α·sin（α－β）＝0.
∵β为锐角，∴cos β＝.
15.　解析：由f（x）＝，得f（x）＋f（60°－x）＝＋＝＝＝，∴f（1°）＋f（2°）＋…＋f（59°）＝.
16.解：（1）因为函数f（x）的最小正周期为10π，所以10π＝，所以ω＝.
（2）由（1）知f（x）＝2cos，
因为f＝－，
所以2cos
＝2cos＝－，
所以sin α＝.
又因为f＝，
所以2cos＝2cos β＝，所以cos β＝.
因为α，β∈，所以cos α＝，
sin β＝，
所以cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.
2 / 25.5　三角恒等变换
5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
新课程标准解读 核心素养
1.经历推导两角差的余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义 数学抽象、逻辑推理
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系 逻辑推理、数学运算
3.能够运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式解决求值、化简等问题 数学运算
第1课时　两角差的余弦公式
　　
　观察下表中的数据：
cos（60°－30°） cos 60° cos 30° sin 60° sin 30°
cos（120°－60°） cos 120° cos 60° sin 120° sin 60°
－
【问题】　分析数据，cos（α－β）与cos α，cos β，sin α，sin β之间存在联系吗？
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
知识点　两角差的余弦公式
两角差的余弦公式 cos（α－β）＝　　　　　
简记符号 C（α－β）
使用条件 α，β都是　　角
提醒　（1）公式的结构特征：
（2）公式中的α，β都是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合.
1.cos 43°cos 13°＋sin 43°sin 13°＝（　　）
A.　　　　　　　 B.－
C. D.－
2.cos 15°＝　　　　.
3.已知cos α＝－，α∈（0，π），则cos（－α）＝　　　　.
4.已知sin＝，α∈，求cos的值.
题型一 给角求值问题
【例1】　求值：（1）cos 75°；
（2）cos cos ＋cos sin .
通性通法
利用两角差的余弦公式求值的一般思路
（1）把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求值；
（2）在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值.
【跟踪训练】
求下列各式的值：
（1）cos 80°·cos 35°＋cos 10°·cos 55°；
（2）cos 105°＋sin 105°.
题型二 给值求值问题
【例2】　（1）若sin（π＋θ）＝－，θ是第二象限角，sin＝－，φ是第三象限角，求cos（θ－φ）的值；
（2）已知α，β为锐角，且cos α＝，cos（α＋β）＝－，求cos β的值.
通性通法
给值求值的解题策略
（1）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角；
（2）由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有：①α＝（α－β）＋β；②α＝＋；③2α＝（α＋β）＋（α－β）；④2β＝（α＋β）－（α－β）.
【跟踪训练】
已知sin＝－，且π＜α＜π，则cos α＝　　　　.
题型三 给值求角问题
【例3】　已知cos α＝，cos（α－β）＝，且0＜β＜α＜，求β的值.
通性通法
已知三角函数值求角的步骤
（1）界定角的范围，根据条件确定所求角的范围；
（2）求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数；
（3）结合三角函数值及角的范围求角.
提醒　由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案.
【跟踪训练】
若cos（α－β）＝，cos 2α＝－，α，β均为锐角，且α＜β，求α＋β的值.
1.cos 20°＝（　　）
A.cos 30°cos 10°－sin 30°sin 10°
B.cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°
C.sin 30°cos 10°－sin10°cos 30°
D.sin 30°cos 10°＋sin 10°cos 30°
2.cos（α－35°）cos（25°＋α）＋sin（α－35°）sin（25°＋α）＝（　　）
A.－　　　　　　　　 B.
C.－ D.
3.已知cos α＝，α∈，则cos（α－）＝　　　　.
4.已知α，β均为锐角，且sin α＝，sin β＝，求α－β的值.
第1课时　两角差的余弦公式
【基础知识·重落实】
知识点
cos αcos β＋sin αsin β　任意
自我诊断
1.C　cos 43°cos 13°＋sin 43°sin 13°＝cos（43°－13°）＝cos 30°＝.
2.　解析：cos 15°＝cos（60°－45°）＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝×＋×＝.
3.　解析：因为α∈（0，π），且cos α＝－，所以sin α＝＝，所以cos＝coscos α＋sin sin α＝×＋×＝.
4.解：由已知得cos α＝，sin α＝－，
所以cos＝cos α＋sin α＝－.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）原式＝cos（120°－45°）
＝cos 120°cos 45°＋sin 120°sin 45°
＝－×＋×
＝.
（2）原式＝coscos＋sinsin
＝cos＝cos＝.
跟踪训练
　解：（1）原式＝cos 80°·cos 35°＋sin 80°·sin 35°＝cos（80°－35°）＝cos 45°＝.
（2）原式＝cos 60°cos 105°＋sin 60°·sin 105°＝cos（60°－105°）＝cos（－45°）＝.
【例2】　解：（1）∵sin（π＋θ）＝－sin θ＝－，∴sin θ＝，
又θ是第二象限角，∴cos θ＝－.
∵sin＝cos φ＝－，且φ为第三象限角，
∴sin φ＝－，
∴cos（θ－φ）＝cos θcos φ＋sin θsin φ
＝×＋×＝.
（2）∵α，β为锐角，∴0＜α＋β＜π.
由cos（α＋β）＝－，得sin（α＋β）＝＝＝.
又∵cos α＝，∴sin α＝.
∴cos β＝cos[（α＋β）－α]＝cos（α＋β）·cos α＋sin（α＋β）sin α＝×＋×＝.
跟踪训练
　－　解析：因为π＜α＜π，所以π＜α＋＜2π，所以cos＞0，所以cos＝＝ ＝，所以cos α＝cos［（α＋）－］＝coscos＋sinsin＝×＋×＝－.
【例3】　解：由cos α＝，0＜α＜，得sin α＝＝＝.
由0＜β＜α＜，得0＜α－β＜.
又∵cos（α－β）＝，∴sin（α－β）＝＝＝.
∵β＝α－（α－β），∴cos β＝cos[α－（α－β）]＝cos αcos（α－β）＋sin αsin（α－β）＝×＋×＝.
∵0＜β＜，∴β＝.
跟踪训练
　解：∵cos（α－β）＝，cos 2α＝－，α，β∈，且α＜β，∴α－β∈，2α∈（0，π），
∴sin（α－β）＝－，sin 2α＝，
∴cos（α＋β）＝cos[2α－（α－β）]
＝cos 2αcos（α－β）＋sin 2αsin（α－β）
＝－×＋×＝－，
∵α＋β∈（0，π），∴α＋β＝.
随堂检测
1.B　cos 20°＝cos（30°－10°）＝cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°.
2.B　原式＝cos[（α－35°）－（α＋25°）]＝cos（－60°）＝cos 60°＝.
3.　解析：由cos α＝，α∈，得sin α＝－＝－＝－.∴cos＝cos αcos＋sin αsin＝×＋×＝.
4.解：∵α，β均为锐角，∴cos α＝，
cos β＝.
∴cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.
又∵sin α＞sin β，∴0＜β＜α＜，
∴0＜α－β＜.
故α－β＝.
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