资源简介

(共54张PPT)
第3课时　
两角和与差的正切公式
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　如图所示，每个小正方形的边长为1，tan α＝ ，tan β＝ ，∠
COD ＝α－β.
【问题】　能否求出tan（α－β）和tan（α＋β）的值？

知识点　两角和与差的正切公式
1. 正切公式
名称 公式 简记符号 条件
两角和的
正切公式 tan（α＋β）
＝ T（α＋β） α，β，α＋β≠ k π＋ （ k ∈Z）
两角差的
正切公式 tan（α－β）
＝ T（α－β） α，β，α－β≠ k π＋ （ k ∈Z）
　
　
提醒　（1）公式T（α±β）的右侧为分式形式，其中分子为tan α与
tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和；
（2）
符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.
2. 正切公式的变形
tan α＋tan β＝tan（α＋β）（1－tan αtan β）；
tan α－tan β＝tan（α－β）（1＋tan αtan β）；
1－tan αtan β＝ ；
1＋tan αtan β＝ .
1. 下列说法正确的个数为（　　）
①存在α，β∈R，使tan（α＋β）＝tan α＋tan β成立；
②对任意的α，β∈R，tan（α＋β）＝ 都成立；
③tan 能根据公式tan（α－β）直接展开.
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析： 　①若α＝ ，β＝0，则等式成立，所以①正确；②只有
当α，β，α＋β≠ ＋ k π， k ∈Z时，公式才成立，所以②错
误；③由于按公式展开后出现tan 无意义，故不能按公式tan（α
－β）直接展开，所以③错误，故选B.
2. 已知tan α＝ ，则tan ＝ .
解析：∵tan α＝ ，∴tan ＝ ＝ ＝7.
3. tan 75°＝ .
解析：tan 75°＝tan（45°＋30°）＝ ＝ ＝
＝ ＝2＋ .
7　
2＋ 　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 正切公式的正用
【例1】　（1）已知 sin α＝ ，α∈ ，tan（π－β）＝ ，则
tan（α－β）＝（　A　）
A. － B. C. D. －
解析： ∵ sin α＝ ，α∈ ，∴ cos α＝－
＝－ ，∴tan α＝ ＝－ .∵tan（π－β）＝ ＝－tan β，∴tan β＝－ ，则tan（α－β）＝ ＝－ .
（2）若0＜α＜ ，0＜β＜ ，且tan α＝ ，tan β＝ ，则α＋β
＝ .
解析： 由tan α＝ ，tan β＝ 得，tan（α＋β）＝
＝ ＝1，∵0＜α＜ ，0＜β＜ ，∴0＜α＋β
＜π，则α＋β＝ .
　
通性通法
利用正切公式求角的步骤
（1）计算待求角的正切值；
（2）缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息；
（3）根据角的范围及三角函数值确定角.
【跟踪训练】
1. 若 cos θ＝－ ，且θ为第三象限角，则tan（θ－ ）＝（　　）
A. B. －
C. －7 D. 7
解析： 　因为 cos θ＝－ ，θ为第三象限角，所以 sin θ＝－
＝－ ，所以tan θ＝ ＝ ，所以tan ＝
＝ ＝－ .故选B.
2. 已知tan（α＋β）＝ ，tan ＝ ，则tan ＝ 　 　.
解析：tan ＝tan
＝ ＝ ＝ .
　
题型二 正切公式的逆用
【例2】　求值：（1） ；
解： 原式＝tan（75°－15°）＝tan 60°＝ .
（2） .
解： 原式＝ ＝
＝tan（30°－75°）＝－tan 45°＝－1.
通性通法
正切公式逆用的注意点
　　一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.如tan ＝
1，tan ＝ ，tan ＝ 等.
　　要特别注意tan ＝ ，tan ＝ .
【跟踪训练】
计算：（1） ；
解： ＝
＝tan（45°－15°）＝tan 30°＝ .
（2） .
解： ＝
＝ tan（45°－15°）＝ tan 30°＝ .
题型三 正切公式的变形用
【例3】　已知△ ABC 中，tan B ＋tan C ＋ tan B tan C ＝ ，且
tan A ＋ tan B ＝tan A tan B －1，试判断△ ABC 的形状.
解：∵ tan A ＋ tan B ＝tan A tan B －1，
∴ （tan A ＋tan B ）＝tan A tan B －1，
∴ ＝－ ，
∴tan（ A ＋ B ）＝－ .
又0＜ A ＋ B ＜π，∴ A ＋ B ＝ ，∴ C ＝ .
∵tan B ＋tan C ＋ tan B tan C ＝ ，tan C ＝ ，
∴tan B ＋ ＋tan B ＝ ，tan B ＝ ，
∴ B ＝ ，∴ A ＝ ，
∴△ ABC 为有一个角为钝角的等腰三角形.
通性通法
1. 整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan
β”两个整体，常考虑tan（α±β）的变形公式.
2. 当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的
正切公式.
【跟踪训练】
计算：（1）tan 73°－tan 193°－ tan 73°tan 13°；
解： 原式＝tan 73°－tan 13°－ tan 73°tan 13°
＝tan（73°－13°）（1＋tan 73°tan 13°）－ tan 73°tan
13°
＝ .
（2）（1＋tan 21°）（1＋tan 22°）（1＋tan 23°）（1＋tan
24°）.
解： （1＋tan 21°）（1＋tan 24°）＝1＋tan 21°＋tan
24°＋tan 21°tan 24°
＝1＋tan（21°＋24°）（1－tan 21°·tan 24°）＋tan 21°tan24°
＝1＋（1－tan 21°tan 24°）·tan 45°＋tan 21°·tan 24°
＝1＋1－tan 21°tan 24°＋tan 21°tan 24°＝2.
同理可得（1＋tan 22°）（1＋tan 23°）＝2.
所以原式＝2×2＝4.
1. 已知tan α＝2，tan β＝3，则tan（α－β）＝（　　）
A. －7 B.
C. － D. －
解析： 　tan（α－β）＝ ＝ ＝－ .故选D.
2. 若tan ＝ ，则tan α＝ 　 　.
解析：法一　因为tan（α－ ）＝ ，所以 ＝ ，所以tan α
＝ .
　
法二　tan α＝tan
＝ ＝ ＝ .
3. 求值tan 15°＝ .
解析：tan 15°＝tan（60°－45°）＝ ＝ ＝2
－ .
2－ 　
4. 在△ ABC 中，tan A ＝ ，tan B ＝－2，求角 C .
解：tan（ A ＋ B ）＝ ＝ ＝－1，
因为 A ＋ B ∈（0，π），
所以 A ＋ B ＝ ，
所以 C ＝π－（ A ＋ B ）＝ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知tan α＝4，tan β＝3，则tan（α＋β）＝（　　）
A. B. －
C. D. －
解析： 　tan（α＋β）＝ ＝ ＝－ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2. ＝（　　）
A. －1 B. 1
C. D. －
解析： 　原式＝ ＝ ＝1.故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3. 已知 cos ＝2 cos （π－α），则tan ＝（　　）
A. －4 B. 4
C. － D.
解析：C　因为 cos ＝2 cos （π－α），所以－ sin α＝－2
cos α tan α＝2，所以tan ＝ ＝－ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4. 已知 cos ＝2 cos （π＋α），且tan（α＋β）＝ ，则tan
β＝（　　）
A. －7 B. 7
C. 1 D. －1
解析： 　∵ cos ＝2 cos （π＋α），∴ sin α＝－2 cos
α，即tan α＝－2.又∵tan（α＋β）＝ ＝ ＝
.∴tan β＝7，故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5. 已知α，β均为锐角，且tan β＝ ，则tan（α＋β）＝
（　　）
A. B.
C. 1 D.
解析： 　因为tan β＝ ＝ ＝tan（ －α），又
α，β均为锐角，所以－ ＜ －α＜ ，0＜β＜ ，可得β＝
－α，即α＋β＝ ，所以tan（α＋β）＝tan ＝1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6. （多选）在△ ABC 中， C ＝120°，tan A ＋tan B ＝ ，下列各式
正确的是（　　）
A. tan（ A ＋ B ）＝－ B. tan A ＝tan B
C. cos B ＝ sin A D. tan A tan B ＝
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 　因为 C ＝120°，所以 A ＋ B ＝60°.所以tan（ A ＋
B ）＝tan 60°＝ .故A错误.因为tan A ＋tan B ＝ （1－tan A tan
B ）＝ ，所以tan A tan B ＝ ①，所以D正确.又因为tan A ＋tan B
＝ ②，由①②联立解得tan A ＝tan B ＝ ，所以 cos B ＝ sin
A . 故B、C正确.综上，B、C、D正确.故选B、C、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7. 已知2tan θ－tan（θ＋ ）＝7，则tan θ＝ .
解析：∵2tan θ－tan（θ＋ ）＝7，∴2tan θ－ ＝7，即
2tan θ－2tan2θ－tan θ－1＝7－7tan θ，即2tan2θ－8tan θ＋8＝
0，即2（tan θ－2）2＝0，解得tan θ＝2.
2　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8. 已知tan（α＋β）＝3，tan（α－β）＝5，则tan 2α＝ .
解析：tan 2α＝tan[（α＋β）＋（α－β）]＝
＝ ＝ ＝－ .
－ 　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：tan α＝tan[（α－β）＋β]＝ ＝
＝ ，而α∈（0，π），∴α∈ .∵tan β＝－ ，β∈
（0，π），∴β∈ ，∴－π＜α－β＜0.而tan（α－β）
＝ ＞0，∴－π＜α－β＜－ ，∴2α－β＝α＋（α－β）∈
（－π，0），又tan（2α－β）＝tan[（α－β）＋α]＝
＝ ＝1，∴2α－β＝－ .
9. 已知tan（α－β）＝ ，tan β＝－ ，且α，β∈（0，π），则
2α－β＝ .
－ 　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10. 已知tan（ ＋α）＝2，tan β＝ .
（1）求tan α的值；
解： ∵tan（ ＋α）＝2，
∴ ＝2，
∴ ＝2，解得tan α＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
（2）求 的值.
解： ∵tan α＝ ，tan β＝ ，
∴原式＝
＝ ＝
＝tan（β－α）＝
＝ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
11. 在平面直角坐标系 xOy 中，角α（0＜α＜π）的顶点为 O ，始边
为 x 轴的非负半轴.若点 P （1－tan ，1＋tan ）是角α终边上
一点，则α＝（　　）
A. B.
解析： 　tan α＝ ＝ ＝tan ＝tan .因为
0＜α＜π，所以α＝ .故选C.
C. D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12. （多选）已知tan α＝lg（10 a ），tan β＝lg ，且α＋β＝ ，
则实数 a 的值可以为（　　）
A. 1 B. 10
C. D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 　∵α＋β＝ ，∴tan（α＋β）＝ ＝1，
tan α＋tan β＝1－tan αtan β，即lg（10 a ）＋lg ＝1－lg（10
a ）lg ，1＝1－lg（10 a ）lg ，∴lg（10 a ）lg ＝0，∴lg（10
a ）＝0或lg ＝0，解得 a ＝ 或 a ＝1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13. 已知α，β，γ都是锐角，且tan α＝ ，tan β＝ ，tan γ＝ ，
则α＋β＋γ＝ .
解析：∵tan（α＋β）＝ ＝ ＝ ，tan（α＋β＋
γ）＝ ＝ ＝1，∵α，β，γ∈（0，
），∴α＋β∈（0，π），又tan（α＋β）＝ ＞0，∴α＋
β∈（0， ），∴α＋β＋γ∈（0，π），∴α＋β＋γ＝ .
　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14. 已知tan（π＋α）＝－ ，tan（α＋β）＝ .
（1）求tan（α＋β）的值；
解： 因为tan（π＋α）＝－ ，所以tan α＝－ ，
因为tan（α＋β）＝ ＝ ，
所以tan（α＋β）＝ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
（2）求tan β的值.
解： 因为tan β＝tan[（α＋β）－α]＝
，
所以tan β＝ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15. 已知 sin （α－ ）＝ ， cos （ －β）＝－ ，且α－ 和 －
β分别为第二、三象限角，则tan ＝ 　－ 　.
－ 　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：因为 sin （α－ ）＝ ，且α－ 为第二象限角，所以 cos
（α－ ）＝－ ＝－ .又 cos （ －β）＝－
，且 －β为第三象限角，所以 sin （ －β）＝－
＝－ .所以tan（α－ ）＝－ ，tan（ －
β）＝ ，所以tan ＝tan［（α－ ）－（ －β）］＝
＝ ＝－ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16. 在①角α的终边经过点 P （1，2）；②α∈ ， sin α＝
；③α∈ ， sin α＋2 cos α＝ .这三个条件中任选一
个，补充在下面的问题中并解答.
问题：已知 　　，且tan（α＋β）＝4，求tan β的值.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解：选择条件①.∵角α的终边经过点 P （1，2），
∴tan α＝2，则tan（α＋β）＝ ＝ ＝4，解得
tan β＝ .
选择条件②.∵α∈ ， sin α＝ ，
∴ cos α＝ ＝ ，∴tan α＝ ＝ ，故tan（α＋
β）＝ ＝ ＝4，解得tan β＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
选择条件③.∵α∈ ， sin α＋2 cos α＝ ，由 sin 2α＋
cos 2α＝1，则可得 sin α＝ ， cos α＝ ，
∴tan α＝ ＝3，
则tan（α＋β）＝ ＝ ＝4，
解得tan β＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
谢 谢 观 看！第3课时　两角和与差的正切公式
1.已知tan α＝4，tan β＝3，则tan（α＋β）＝（　　）
A.　 B.－
C. D.－
2.＝（　　）
A.－1 B.1
C. D.－
3.已知cos＝2cos（π－α），则tan＝（　　）
A.－4 B.4
C.－ D.
4.已知cos＝2cos（π＋α），且tan（α＋β）＝，则tan β＝（　　）
A.－7 B.7
C.1 D.－1
5.已知α，β均为锐角，且tan β＝，则tan（α＋β）＝（　　）
A. B.
C.1 D.
6.（多选）在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，下列各式正确的是（　　）
A.tan（A＋B）＝－ B.tan A＝tan B
C.cos B＝sin A D.tan Atan B＝
7.已知2tan θ－tan（θ＋）＝7，则tan θ＝　　　　.
8.已知tan（α＋β）＝3，tan（α－β）＝5，则tan 2α＝　　　　.
9.已知tan（α－β）＝，tan β＝－，且α，β∈（0，π），则2α－β＝　　　　.
10.已知tan（＋α）＝2，tan β＝.
（1）求tan α的值；
（2）求的值.
11.在平面直角坐标系xOy中，角α（0＜α＜π）的顶点为O，始边为x轴的非负半轴.若点P（1－tan，1＋tan）是角α终边上一点，则α＝（　　）
A. B.
C. D.
12.（多选）已知tan α＝lg（10a），tan β＝lg，且α＋β＝，则实数a的值可以为（　　）
A.1 B.10
C. D.
13.已知α，β，γ都是锐角，且tan α＝，tan β＝，tan γ＝，则α＋β＋γ＝　　　　.
14.已知tan（π＋α）＝－，tan（α＋β）＝.
（1）求tan（α＋β）的值；
（2）求tan β的值.
15.已知sin（α－）＝，cos（－β）＝－，且α－和－β分别为第二、三象限角，则tan ＝　　　　.
16.在①角α的终边经过点P（1，2）；②α∈，sin α＝；③α∈，sin α＋2cos α＝.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答.
问题：已知　　　　，且tan（α＋β）＝4，求tan β的值.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
第3课时　两角和与差的正切公式
1.B　tan（α＋β）＝＝＝－.
2.B　原式＝＝＝1.故选B.
3.C　因为cos＝2cos（π－α），所以－sin α＝－2cos α tan α＝2，所以tan（－α）＝＝－.
4.B　∵cos＝2cos（π＋α），∴sin α＝－2cos α，即tan α＝－2.又∵tan（α＋β）＝＝＝.∴tan β＝7，故选B.
5.C　因为tan β＝＝＝tan（－α），又α，β均为锐角，所以－＜－α＜，0＜β＜，可得β＝－α，即α＋β＝，所以tan（α＋β）＝tan ＝1.
6.BCD　因为C＝120°，所以A＋B＝60°.所以tan（A＋B）＝tan 60°＝.故A错误.因为tan A＋tan B＝（1－tan Atan B）＝，所以tan Atan B＝①，所以D正确.又因为tan A＋tan B＝②，由①②联立解得tan A＝tan B＝，所以cos B＝sin A.故B、C正确.综上，B、C、D正确.故选B、C、D.
7.2　解析：∵2tan θ－tan（θ＋）＝7，∴2tan θ－＝7，即2tan θ－2tan2θ－tan θ－1＝7－7tan θ，即2tan2θ－8tan θ＋8＝0，即2（tan θ－2）2＝0，解得tan θ＝2.
8.－　解析：tan 2α＝tan[（α＋β）＋（α－β）]＝＝＝＝－.
9.－　解析：tan α＝tan[（α－β）＋β]＝＝＝，而α∈（0，π），∴α∈.∵tan β＝－，β∈（0，π），∴β∈，∴－π＜α－β＜0.而tan（α－β）＝＞0，∴－π＜α－β＜－，∴2α－β＝α＋（α－β）∈（－π，0），又tan（2α－β）＝tan[（α－β）＋α]＝＝＝1，∴2α－β＝－.
10.解：（1）∵tan（＋α）＝2，
∴＝2，
∴＝2，解得tan α＝.
（2）∵tan α＝，tan β＝，∴原式＝
＝＝
＝tan（β－α）＝
＝＝.
11.C　tan α＝＝＝tan＝tan.因为0＜α＜π，所以α＝.故选C.
12.AC　∵α＋β＝，∴tan（α＋β）＝＝1，tan α＋tan β＝1－tan αtan β，即lg（10a）＋lg＝1－lg（10a）lg，1＝1－lg（10a）lg，∴lg（10a）lg＝0，∴lg（10a）＝0或lg＝0，解得a＝或a＝1.
13.　解析：∵tan（α＋β）＝＝＝，tan（α＋β＋γ）＝＝＝1，∵α，β，γ∈（0，），∴α＋β∈（0，π），又tan（α＋β）＝＞0，∴α＋β∈（0，），∴α＋β＋γ∈（0，π），∴α＋β＋γ＝.
14.解：（1）因为tan（π＋α）＝－，所以tan α＝－，
因为tan（α＋β）＝＝，
所以tan（α＋β）＝＝.
（2）因为tan β＝tan[（α＋β）－α]＝，
所以tan β＝＝.
15.－　解析：因为sin（α－）＝，且α－为第二象限角，所以cos（α－）＝－＝－.又cos（－β）＝－，且－β为第三象限角，所以sin（－β）＝－＝－.所以tan（α－）＝－，tan（－β）＝，所以tan ＝tan［（α－）－（－β）］＝＝＝－.
16.解：选择条件①.∵角α的终边经过点P（1，2），
∴tan α＝2，则tan（α＋β）＝＝＝4，解得tan β＝.
选择条件②.∵α∈，sin α＝，
∴cos α＝＝，∴tan α＝＝，故tan（α＋β）＝＝＝4，解得tan β＝.
选择条件③.∵α∈，sin α＋2cos α＝，由sin2α＋cos2α＝1，则可得sin α＝，cos α＝，
∴tan α＝＝3，
则tan（α＋β）＝＝＝4，
解得tan β＝.
2 / 2第3课时　两角和与差的正切公式
　　
　　如图所示，每个小正方形的边长为1，tan α＝，tan β＝，∠COD＝α－β.
【问题】　能否求出tan（α－β）和tan（α＋β）的值？
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
知识点　两角和与差的正切公式
1.正切公式
名称 公式 简记符号 条件
两角和 的正切 公式 tan（α＋β）＝ 　　　　　 T（α＋β） α，β，α＋β≠ kπ＋（k∈Z）
两角差 的正切 公式 tan（α－β）＝ 　　　　　 T（α－β） α，β，α－β≠ kπ＋（k∈Z）
提醒　（1）公式T（α±β）的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和；
（2）
符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.
2.正切公式的变形
tan α＋tan β＝tan（α＋β）（1－tan αtan β）；
tan α－tan β＝tan（α－β）（1＋tan αtan β）；
1－tan αtan β＝；
1＋tan αtan β＝.
1.下列说法正确的个数为（　　）
①存在α，β∈R，使tan（α＋β）＝tan α＋tan β成立；②对任意的α，β∈R，tan（α＋β）＝都成立；③tan能根据公式tan（α－β）直接展开.
A.0　　　B.1　　　C.2　　　D.3
2.已知tan α＝，则tan＝　　　　.
3.tan 75°＝　　　　.
　　
题型一 正切公式的正用
【例1】　（1）已知sin α＝，α∈，tan（π－β）＝，则tan（α－β）＝（　　）
A.－ B.
C. D.－
（2）若0＜α＜，0＜β＜，且tan α＝，tan β＝，则α＋β＝　　　　.
通性通法
利用正切公式求角的步骤
（1）计算待求角的正切值；
（2）缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息；
（3）根据角的范围及三角函数值确定角.
【跟踪训练】
1.若cos θ＝－，且θ为第三象限角，则tan（θ－）＝（　　）
A. B.－
C.－7 D.7
2.已知tan（α＋β）＝，tan＝，则tan＝　　　　.
题型二 正切公式的逆用
【例2】　求值：（1）；
（2）.
通性通法
正切公式逆用的注意点
　　一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.如tan＝1，tan＝，tan＝等.
　　要特别注意tan＝，tan＝.
【跟踪训练】
计算：（1）；
（2）.
题型三 正切公式的变形用
【例3】　已知△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，且tan A＋tan B＝tan Atan B－1，试判断△ABC的形状.
通性通法
1.整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan（α±β）的变形公式.
2.当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式.
【跟踪训练】
计算：（1）tan 73°－tan 193°－tan 73°·tan 13°；
（2）（1＋tan 21°）（1＋tan 22°）（1＋tan 23°）·（1＋tan 24°）.
1.已知tan α＝2，tan β＝3，则tan（α－β）＝（　　）
A.－7 B.
C.－ D.－
2.若tan＝，则tan α＝　　　　.
3.求值tan 15°＝　　　　.
4.在△ABC中，tan A＝，tan B＝－2，求角C.
第3课时　两角和与差的正切公式
【基础知识·重落实】
知识点
1.　　
自我诊断
1.B　①若α＝，β＝0，则等式成立，所以①正确；②只有当α，β，α＋β≠＋kπ，k∈Z时，公式才成立，所以②错误；③由于按公式展开后出现tan 无意义，故不能按公式tan（α－β）直接展开，所以③错误，故选B.
2.7　解析：∵tan α＝，∴tan＝＝＝7.
3.2＋　解析：tan 75°＝tan（45°＋30°）＝＝＝＝＝2＋.
【典型例题·精研析】
【例1】　（1）A　（2）　解析：（1）∵sin α＝，α∈，∴cos α＝－＝－，∴tan α＝＝－.∵tan（π－β）＝＝－tan β，∴tan β＝－，则tan（α－β）＝＝－.
（2）由tan α＝，tan β＝得，tan（α＋β）＝＝＝1，∵0＜α＜，0＜β＜，∴0＜α＋β＜π，则α＋β＝.
跟踪训练
1.B　因为cos θ＝－，θ为第三象限角，所以sin θ＝－＝－，所以tan θ＝＝，所以tan＝＝＝－.故选B.
2.　解析：tan＝tan［（α＋β）－（β－）］＝＝＝.
【例2】　解：（1）原式＝tan（75°－15°）＝tan 60°＝.
（2）原式＝
＝＝tan（30°－75°）
＝－tan 45°＝－1.
跟踪训练
　解：（1）＝
＝tan（45°－15°）＝tan 30°＝.
（2）
＝
＝tan（45°－15°）＝tan 30°＝.
【例3】　解：∵tan A＋tan B＝tan A·tan B－1，
∴（tan A＋tan B）＝tan Atan B－1，
∴＝－，
∴tan（A＋B）＝－.
又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝，
∴C＝.
∵tan B＋tan C＋tan Btan C＝，
tan C＝，
∴tan B＋＋tan B＝，tan B＝，
∴B＝，∴A＝，
∴△ABC为有一个角为钝角的等腰三角形.
跟踪训练
　解：（1）原式＝tan 73°－tan 13°－tan 73°tan 13°
＝tan（73°－13°）（1＋tan 73°tan 13°）－tan 73°tan 13°＝.
（2）（1＋tan 21°）（1＋tan 24°）＝1＋tan 21°＋tan 24°＋tan 21°tan 24°
＝1＋tan（21°＋24°）（1－tan 21°·tan 24°）＋tan 21°tan 24°
＝1＋（1－tan 21°tan 24°）·tan 45°＋tan 21°·tan 24°
＝1＋1－tan 21°tan 24°＋tan 21°tan 24°＝2.
同理可得（1＋tan 22°）（1＋tan 23°）＝2.
所以原式＝2×2＝4.
随堂检测
1.D　tan（α－β）＝＝＝－.故选D.
2.　解析：法一　因为tan（α－）＝，所以＝，所以tan α＝.
法二　tan α＝tan
＝＝＝.
3.2－　解析：tan 15°＝tan（60°－45°）＝＝＝2－.
4.解：tan（A＋B）＝＝＝－1，
因为A＋B∈（0，π），
所以A＋B＝，
所以C＝π－（A＋B）＝.
1 / 3

展开更多......

收起↑