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第2课时　函数y＝Asin（ωx＋φ）图象与性质的应用
题型一 由图象确定函数的解析式
【例1】　如图所示的是函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的图象的一部分，求此函数的解析式.
通性通法
　　确定y＝Asin（ωx＋φ）＋B（A＞0，ω＞0）的解析式的步骤
（1）求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝；
（2）求ω，确定函数的周期T，则ω＝；
（3）求φ，常用方法有以下2种：
①代入法：把图象上的一个已知点代入（此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上）或把图象的最高点或最低点代入；
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.
【跟踪训练】
已知函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的最小值是－5，图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差，且图象经过点，则函数的解析式为　　　　.
题型二 函数y＝Asin（ωx＋φ）的有关性质
【例2】　已知函数f（x）＝sin（2x＋）＋.
（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）求f（x）的图象的对称轴方程和对称中心；
（3）求f（x）的最小值及取得最小值时x的取值集合.
通性通法
　　函数y＝Asin（ωx＋φ）（或y＝Acos（ωx＋φ））（A≠0，ω≠0）的性质
　　首先将三角函数的和差形式转化为y＝Asin（ωx＋φ）（或y＝Acos（ωx＋φ））的形式，然后再讨论性质.
（1）定义域：R；
（2）值域：[－｜A｜，｜A｜]；
（3）奇偶性：函数y＝Asin（ωx＋φ）（或y＝Acos（ωx＋φ））不一定具备奇偶性，要由φ的值确定；
（4）周期性：T＝；
（5）单调区间：可把ωx＋φ看作一个整体，令z＝ωx＋φ，通过y＝Asin z（y＝Acos z）的单调区间解不等式求得；
（6）对称性：仍然以y＝Asin z（y＝Acos z）的对称轴、对称中心列方程求解，即ωx0＋φ＝kπ＋或ωx0＋φ＝kπ（k∈Z）.
提醒　注意ω＜0时首先将其化为ω＞0再求单调区间.
【跟踪训练】
　已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，0≤φ＜π）是R上的偶函数，其图象关于点M（，0）对称，且在区间［0，）上具有单调性，求φ和ω的值.
题型三 匀速圆周运动的数学模型
【例3】　如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，当水轮上一点P从水中浮现（图中点P0）时开始计算时间.
（1）将点P距离水面的高度z（m）表示为时间t（s）的函数；
（2）点P第一次到达最高点需要多长时间？
通性通法
　　匀速圆周运动的数学模型一般都归结为正弦型或余弦型函数形式.此类问题的切入点是初始位置及其半径、周期的值，半径决定A，周期能确定ω，初始位置的不同对φ有影响，还要注意最大值、最小值与函数中参数的关系.
【跟踪训练】
　一个风车的半径为6 m，每12 min旋转一周，它的最低点P0离地面2 m，风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转，则点P离地面的距离h（t）（m）与时间t（min）之间的函数关系式是（　　）
A.h（t）＝－6sin t＋6
B.h（t）＝－6cos t＋6
C.h（t）＝－6sin t＋8
D.h（t）＝－6cos t＋8
1.若函数f（x）＝2sin（ωx＋φ），x∈R（其中ω＞0，｜φ｜＜）的最小正周期是π，且f（0）＝，则（　　）
A.ω＝，φ＝ B.ω＝，φ＝
C.ω＝2，φ＝ D.ω＝2，φ＝
2.函数y＝Asin（ωx＋φ）＋k的部分图象如图，则A与最小正周期T分别是（　　）
A.A＝3，T＝ B.A＝3，T＝
C.A＝，T＝ D.A＝，T＝
3.在函数y＝2sin（ωx＋φ）（ω＞0）的一个周期上，当x＝时，有最大值2，当x＝时，有最小值－2，则ω＝　　　　.
4.如图为函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）在一个周期内的图象，则函数f（x）的解析式为　　　.
第2课时　函数y＝Asin（ωx＋φ）图象与性质的应用
【典型例题·精研析】
【例1】　解：法一　由图象知A＝3，
T＝－＝π，
∴ω＝＝2，
∴y＝3sin（2x＋φ）.
∵点在函数图象上，
∴0＝3sin.
∴－×2＋φ＝2kπ（k∈Z），得φ＝＋2kπ（k∈Z）.
∵｜φ｜＜，∴φ＝.
∴y＝3sin.
法二　由图象知A＝3.∵图象过点和，由“五点法”，
得解得
∴y＝3sin.
跟踪训练
　y＝5sin　解析：由题意知A＝5，＝，所以T＝＝，所以ω＝4，所以y＝5sin（4x＋φ）.又因为图象经过点，所以＝5sin φ，即sin φ＝，所以φ＝＋2kπ（k∈Z）或φ＝＋2kπ（k∈Z），又因为0＜φ＜，所以φ＝，所以这个函数的解析式为y＝5sin.
【例2】　解：（1）函数f（x）的最小正周期T＝＝π，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋（k∈Z），
得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），
所以f（x）的单调递增区间为［kπ－，kπ＋］（k∈Z）.
（2）令2x＋＝kπ＋（k∈Z），则x＝＋（k∈Z），所以对称轴方程为x＝＋（k∈Z）；
令2x＋＝kπ（k∈Z），则x＝－（k∈Z），
所以对称中心为（－，）（k∈Z）.
（3）当sin（2x＋）＝－1，即2x＋＝－＋2kπ（k∈Z），x＝－＋kπ（k∈Z）时，f（x）取得最小值为，
此时x的取值集合是{x｜x＝－＋kπ，k∈Z}.
跟踪训练
　解：∵f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，0≤φ＜π）是R上的偶函数，
∴φ＝＋kπ（k∈Z），
又∵0≤φ＜π，∴φ＝.
由f（x）的图象关于点M对称，可知sin（ω＋）＝0，
即ω＋＝kπ，k∈Z，解得ω＝－，k∈Z.
又f（x）在［0，）上具有单调性，
∴T≥π，即≥π.
∴ω≤2，又ω＞0，∴k＝1时，ω＝；k＝2时，ω＝2.
故φ＝，ω＝2或.
【例3】　解：（1）如图，建立直角坐标系，设角φ是以Ox为始边，OP0为终边的角，OP每秒钟所转过的弧度数为＝.
又水轮的半径为4 m，圆心O距离水面2 m，
所以z＝4sin＋2.
当t＝0时，z＝0，得sin φ＝－，即φ＝－.
故所求的函数表达式为z＝4sin（t－）＋2.
（2）令z＝4sin＋2＝6，
得sin＝1.
取t－＝，得t＝4.
故点P第一次到达最高点需要4 s.
跟踪训练
　D　法一　设h（t）＝Asin（ωt－）＋B＝－Acos ωt＋B（A＞0，ω＞0），因为每12 min旋转一周，所以＝12，得ω＝，所以h（t）＝－Acost＋B，当t＝0时，－A＋B＝2，①.当t＝6时，A＋B＝14，②.由①②联立解得A＝6，B＝8，所以h（t）＝－6cost＋8，故选D.
法二　当t＝0时，h（t）＝2，排除选项A、B、C，故选D.
随堂检测
1.D　∵＝π，∴ω＝2.∵f（0）＝，∴2sin φ＝.∴sin φ＝.∵｜φ｜＜，∴φ＝.
2.D　由题图可知A＝（3－0）＝，设周期为T，则T＝－＝，得T＝.故选D.
3.2　解析：由题意得＝－＝，所以T＝π，又T＝＝π，解得ω＝2.
4.f（x）＝2sin　解析：由题图，知A＝2，T＝7－（－1）＝8，所以ω＝＝＝，所以f（x）＝2sin.将点（－1，0）代入，得0＝2sin（－＋φ），所以－＋φ＝2kπ（k∈Z），即φ＝＋2kπ（k∈Z），因为｜φ｜＜，所以φ＝，所以f（x）＝2sin.
2 / 3(共62张PPT)
第2课时　
函数y＝Asin（ωx＋φ）图象与性质的应用
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 由图象确定函数的解析式
【例1】　如图所示的是函数 y ＝ A sin （ω x ＋φ）（ A ＞0，ω＞0，｜
φ｜＜ ）的图象的一部分，求此函数的解析式.
解：法一　由图象知 A ＝3，
T ＝ － ＝π，
∴ω＝ ＝2，
∴ y ＝3 sin （2 x ＋φ）.
∵点 在函数图象上，
∴0＝3 sin .
∴－ ×2＋φ＝2 k π（ k ∈Z），得φ＝ ＋2 k π（ k ∈Z）.
∵｜φ｜＜ ，∴φ＝ .
∴ y ＝3 sin .
法二　由图象知 A ＝3.∵图象过点 和 ，由“五点法”，
得解得∴ y ＝3 sin .
通性通法
　　确定 y ＝ A sin （ω x ＋φ）＋ B （ A ＞0，ω＞0）的解析式的步骤
（1）求 A ， B ，确定函数的最大值 M 和最小值 m ，则 A ＝ ， B ＝
；
（2）求ω，确定函数的周期 T ，则ω＝ ；
（3）求φ，常用方法有以下2种：
①代入法：把图象上的一个已知点代入（此时要注意该点在
上升区间上还是在下降区间上）或把图象的最高点或最低点
代入；
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为
突破口.
【跟踪训练】
已知函数 y ＝ A sin （ω x ＋φ）（ A ＞0，ω＞0，0＜φ＜ ）的最小值是
－5，图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差 ，且图象经过点
，则函数的解析式为 　　 y ＝5 sin 　.
y ＝5 sin 　
解析：由题意知 A ＝5， ＝ ，所以 T ＝ ＝ ，所以ω＝4，所以 y
＝5 sin （4 x ＋φ）.又因为图象经过点 ，所以 ＝5 sin φ，即
sin φ＝ ，所以φ＝ ＋2 k π（ k ∈Z）或φ＝ ＋2 k π（ k ∈Z），又因
为0＜φ＜ ，所以φ＝ ，所以这个函数的解析式为 y ＝5 sin .
题型二 函数 y ＝ A sin （ω x ＋φ）的有关性质
【例2】　已知函数 f （ x ）＝ sin （2 x ＋ ）＋ .
（1）求 f （ x ）的最小正周期及单调递增区间；
解： 函数 f （ x ）的最小正周期 T ＝ ＝π，
由2 k π－ ≤2 x ＋ ≤2 k π＋ （ k ∈Z），
得 k π－ ≤ x ≤ k π＋ （ k ∈Z），
所以 f （ x ）的单调递增区间为［ k π－ ， k π＋ ］（ k ∈Z）.
（2）求 f （ x ）的图象的对称轴方程和对称中心；
解： 令2 x ＋ ＝ k π＋ （ k ∈Z），则 x ＝ ＋ （ k
∈Z），所以对称轴方程为 x ＝ ＋ （ k ∈Z）；
令2 x ＋ ＝ k π（ k ∈Z），则 x ＝ － （ k ∈Z），
所以对称中心为（ － ， ）（ k ∈Z）.
（3）求 f （ x ）的最小值及取得最小值时 x 的取值集合.
解： 当 sin （2 x ＋ ）＝－1，即2 x ＋ ＝－ ＋2 k π（ k
∈Z）， x ＝－ ＋ k π（ k ∈Z）时， f （ x ）取得最小值为 ，
此时 x 的取值集合是{ x ｜ x ＝－ ＋ k π， k ∈Z}.
通性通法
　　函数 y ＝ A sin （ω x ＋φ）（或 y ＝ A cos （ω x ＋φ））（ A ≠0，
ω≠0）的性质
　　首先将三角函数的和差形式转化为 y ＝ A sin （ω x ＋φ）（或 y ＝
A cos （ω x ＋φ））的形式，然后再讨论性质.
（1）定义域：R；
（2）值域：[－｜ A ｜，｜ A ｜]；
（3）奇偶性：函数 y ＝ A sin （ω x ＋φ）（或 y ＝ A cos （ω x ＋φ））
不一定具备奇偶性，要由φ的值确定；
（4）周期性： T ＝ ；
（5）单调区间：可把ω x ＋φ看作一个整体，令 z ＝ω x ＋φ，通过 y ＝
A sin z （ y ＝ A cos z ）的单调区间解不等式求得；
（6）对称性：仍然以 y ＝ A sin z （ y ＝ A cos z ）的对称轴、对称中心
列方程求解，即ω x0＋φ＝ k π＋ 或ω x0＋φ＝ k π（ k ∈Z）.
提醒　注意ω＜0时首先将其化为ω＞0再求单调区间.
【跟踪训练】
　已知函数 f （ x ）＝ sin （ω x ＋φ）（ω＞0，0≤φ＜π）是R上的偶
函数，其图象关于点 M （ ，0）对称，且在区间［0， ）上具有单
调性，求φ和ω的值.
解：∵ f （ x ）＝ sin （ω x ＋φ）（ω＞0，0≤φ＜π）是R上的偶函
数，∴φ＝ ＋ k π（ k ∈Z），
又∵0≤φ＜π，∴φ＝ .
由 f （ x ）的图象关于点 M 对称，可知 sin （ ω＋ ）＝0，
即 ω＋ ＝ k π， k ∈Z，解得ω＝ － ， k ∈Z.
又 f （ x ）在［0， ）上具有单调性，
∴ T ≥π，即 ≥π.
∴ω≤2，又ω＞0，∴ k ＝1时，ω＝ ； k ＝2时，ω＝2.
故φ＝ ，ω＝2或 .
题型三 匀速圆周运动的数学模型
【例3】　如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心 O 距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，当水轮上一点 P 从水中浮现（图中点 P0）时开始计算时间.
（1）将点 P 距离水面的高度 z （m）表示为时间
t （s）的函数；
解： 如图，建立直角坐标系，设角φ
是以 Ox 为始边， OP0为终边的角，
OP 每秒钟所转过的弧度数为 ＝ .
又水轮的半径为4 m，圆心 O 距离水面2 m，
所以 z ＝4 sin ＋2.当 t ＝0时， z ＝0，得 sin φ＝－ ，即φ＝－ .故所求的函数表达式为 z ＝4 sin ＋2.
（2）点 P 第一次到达最高点需要多长时间？
解： 令 z ＝4 sin ＋2＝6，
得 sin ＝1.
取 t － ＝ ，得 t ＝4.
故点 P 第一次到达最高点需要4 s.
通性通法
　　匀速圆周运动的数学模型一般都归结为正弦型或余弦型函数形
式.此类问题的切入点是初始位置及其半径、周期的值，半径决定
A ，周期能确定ω，初始位置的不同对φ有影响，还要注意最大值、最
小值与函数中参数的关系.
【跟踪训练】
　一个风车的半径为6 m，每12 min旋转一周，它的最低点 P0离地面2
m，风车翼片的一个端点 P 从 P0开始按逆时针方向旋转，则点 P 离地
面的距离 h （ t ）（m）与时间 t （min）之间的函数关系式是（　　）
解析： 　法一　设 h （ t ）＝ A sin （ω t － ）＋ B ＝－ A cos ω t ＋ B
（ A ＞0，ω＞0），因为每12 min旋转一周，所以 ＝12，得ω＝ ，
所以 h （ t ）＝－ A cos t ＋ B ，当 t ＝0时，－ A ＋ B ＝2，①.当 t ＝6
时， A ＋ B ＝14，②.由①②联立解得 A ＝6， B ＝8，所以 h （ t ）＝－
6 cos t ＋8，故选D.
法二　当 t ＝0时， h （ t ）＝2，排除选项A、B、C，故选D.
1. 若函数 f （ x ）＝2 sin （ω x ＋φ）， x ∈R（其中ω＞0，｜φ｜＜
）的最小正周期是π，且 f （0）＝ ，则（　　）
解析： 　∵ ＝π，∴ω＝2.∵ f （0）＝ ，∴2 sin φ＝ .
∴ sin φ＝ .∵｜φ｜＜ ，∴φ＝ .
2. 函数 y ＝ A sin （ω x ＋φ）＋ k 的部分图象如图，则 A 与最小正周期
T 分别是（　　）
解析： 　由题图可知 A ＝ （3－0）＝ ，设周期为 T ，则 T ＝
－ ＝ ，得 T ＝ .故选D.
3. 在函数 y ＝2 sin （ω x ＋φ）（ω＞0）的一个周期上，当 x ＝ 时，
有最大值2，当 x ＝ 时，有最小值－2，则ω＝ .
解析：由题意得 ＝ － ＝ ，所以 T ＝π，又 T ＝ ＝π，解得ω
＝2.
2　
4. 如图为函数 f （ x ）＝ A sin （ω x ＋φ）（ A ＞0，ω＞0，｜φ｜＜
）在一个周期内的图象，则函数 f （ x ）的解析式为
.
f （ x ）＝2
sin 　
解析：由题图，知 A ＝2， T ＝7－（－1）＝8，所以ω＝ ＝ ＝
，所以 f （ x ）＝2 sin .将点（－1，0）代入，得0＝2 sin
，所以－ ＋φ＝2 k π（ k ∈Z），即φ＝ ＋2 k π（ k
∈Z），因为｜φ｜＜ ，所以φ＝ ，所以 f （ x ）＝2 sin .
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 已知函数 y ＝ sin （ω x ＋φ） 的部分图象如图所
示，则（　　）
解析： 　依题意得 T ＝ ＝4× ＝π，所以ω＝2.又 sin
＝ sin ＝1，所以 ＋φ＝ ＋2 k π， k ∈Z，所
以φ＝－ ＋2 k π， k ∈Z，由｜φ｜＜ ，得φ＝－ .故选D.
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2. 将函数 y ＝ sin x 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 y ＝ f
（ x ）的图象，则下列说法正确的是（　　）
A. y ＝ f （ x ）是奇函数
B. y ＝ f （ x ）的最小正周期为π
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解析： 　函数 y ＝ sin x 的图象向左平移 个单位长度后，得
到函数 f （ x ）＝ sin ＝ cos x 的图象， f （ x ）＝ cos x
为偶函数，最小正周期为2π，故A、B错误；由 f ＝ cos ＝
0，知 f （ x ）＝ cos x 的图象不关于直线 x ＝ 对称，故C错
误；由 f ＝ cos ＝0，知 f （ x ）＝ cos x 的图象关于
点 对称，故D正确.
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3. 函数 f （ x ）＝ sin （2 x ＋φ） 的图象向左平移 个
单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则φ＝（　　）
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解析： 　函数 f （ x ）＝ sin （2 x ＋φ） 的图象向
左平移 个单位长度后，得到函数 y ＝ sin （2 x ＋ ＋φ）
的图象.由于平移后的图象关于原点对称，∴ ＋φ＝ k
π（ k ∈Z），由｜φ｜＜ 得φ＝－ .
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4. 已知函数 f （ x ）＝2 sin （ω x ＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜π）的部分图象如图所示，则函数 f （ x ）的解析式为（　　）
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解析： 　由题图知， f （ x ）的最小正周期 T ＝2［ － ］
＝π，所以ω＝ ＝2，所以 f （ x ）＝2 sin （2 x ＋φ），将
代入，得2× ＋φ＝2 k π（ k ∈Z），结合｜φ｜＜
π，解得φ＝ ，所以 f （ x ）＝2 sin ，故选C.
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5. （多选）已知函数 f （ x ）＝ A sin ω x （ A ＞0，ω＞0）与 g （ x ）＝
cos ω x 的部分图象如图所示，则（　　）
A. A ＝1 B. A ＝2
解析： 　由题图可得过点（0，1）的图象对应的函数解析式为 g
（ x ）＝ cos ω x ，即 ＝1， A ＝2.过原点的图象对应的函数解析
式为 f （ x ）＝ A sin ω x .由 f （ x ）的图象可知， T ＝ ＝1.5×4，
可得ω＝ .
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6. （多选）已知函数 f （ x ）＝2 sin ，把函数 f （ x ）的图象
沿 x 轴向左平移 个单位长度，得到函数 g （ x ）的图象，关于函数
g （ x ），下列说法不正确的是（　　）
A. 函数 g （ x ）是奇函数
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解析： 　依题意得 g （ x ）＝ f ＝2 sin ＝2 cos
2 x . g （ x ）是偶函数，A错误；又 g ＝2 cos ＝0≠±2，
B错误；由0≤ x ≤ 得0≤2 x ≤ ，从而－1≤2 cos 2 x ≤2，C正
确；由 ≤ x ≤ 得 ≤2 x ≤π，因此 g （ x ）在 上单调递
减，D错误.故选A、B、D.
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7. 如图所示为函数 f （ x ）＝2 sin （ω x ＋φ）（ω＞0， ≤φ≤π）的
部分图象，其中 A ， B 两点之间的距离为5，那么 f （1）＝ .
－1　
解析：由｜ AB ｜＝5得 ＝5，解得 T
＝6.由 T ＝ ，ω＞0得ω＝ .又当 x ＝0时，
f （ x ）＝1，即2 sin ＝1，∴ sin φ＝
，又∵ ≤φ≤π，∴φ＝ ，∴ f （ x ）＝2 sin ，因此， f （1）＝2 sin ＝2 sin ＝2× ＝－1.
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8. 若 f （ x ）＝ cos （2 x ＋ ＋φ）（｜φ｜＜ ）是奇函数，则φ
＝ .
解析：由题意可知 ＋φ＝ ＋ k π， k ∈Z，即φ＝ ＋ k π， k ∈Z.
又｜φ｜＜ ，故当 k ＝0时，得φ＝ .
　
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解析：由图象可得 A ＝ ，周期为4×（ － ）＝π，所以ω＝
2，将（ ，－ ）代入得2× ＋φ＝2 k π＋ ， k ∈Z，即φ＝2
k π＋ ， k ∈Z，所以 f （0）＝ sin φ＝ sin ＝ .
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10. 已知函数 f （ x ）＝ A sin （ω x ＋φ）＋ b （ A ＞0，ω＞0，｜φ｜＜
）的图象如图所示.
（1）求出函数 f （ x ）的解析式；
解： 由图象得解得
又 ＝2π，∴ T ＝4π，∴ω＝ ＝ ，
由 f （ ）＝6，得 ＋φ＝2 k π＋ ， k ∈Z，
即φ＝ ＋2 k π， k ∈Z. 又｜φ｜＜ ，∴φ＝ ，
综上， f （ x ）＝4 sin （ x ＋ ）＋2.
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（2）若将函数 f （ x ）的图象向右平移 个单位长度，再把所有点
的横坐标变为原来的 （纵坐标不变），得到函数 y ＝ g
（ x ）的图象，求出函数 y ＝ g （ x ）的单调递增区间及对称
中心.
解： 根据题意可得 g （ x ）＝4 sin
（2 x ＋ ）＋2，
由2 k π－ ≤2 x ＋ ≤2 k π＋ ， k ∈Z，得
函数 g （ x ）的单调递增区间为［ k π－ ， k π＋ ］， k ∈Z.
令2 x ＋ ＝ k π， k ∈Z，得 x ＝ － ， k ∈Z，
∴对称中心为（ － ，2）， k ∈Z.
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11. 已知函数 f （ x ）＝2 sin ，将 f （ x ）图象上所有点的横坐
标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移1个单位长度，所
得图象对应的函数为 g （ x ），若函数 g （ x ）的图象在 P ， Q 两
处的切线都与 x 轴平行，则｜ PQ ｜的最小值为（　　）
B. 4 C. 4π
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解析： 由题意知， g （ x ）＝2 sin
［ （ x ＋1）＋ ］＝2 sin
，其最大值为2，周期 T ＝ ＝4，
作出其图象如图所示，由图可知，｜ PQ ｜取到的最小值可能为｜ PQ1｜，｜ PQ2｜.因为｜ PQ1｜＝ ＝2 ，｜ PQ2｜＝4，2 ＞4，所以｜ PQ ｜的最小值为4，故选B.
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12. 若函数 f （ x ）＝ sin x ＋ cos x －2 sin x cos x ＋1－ a 在［－ ，－
］上有零点，则实数 a 的取值范围为（　　）
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解析： 　∵函数 f （ x ）＝ sin x ＋ cos x －2 sin x cos x ＋1－ a 在
［－ ，－ ］上有零点，∴方程 a －1＝ sin x ＋ cos x －2 sin x cos
x 在［－ ，－ ］上有解，设 t ＝ sin x ＋ cos x ＝ sin （ x ＋
），∵ x ∈［－ ，－ ］，∴ x ＋ ∈［－ ，0］，∴ t ∈[－
，0]，∵ t2＝1＋2 sin x cos x ，∴ y ＝ sin x ＋ cos x －2 sin x cos x
＝ t － t2＋1＝－（ t － ）2＋ ， t ∈[－ ，0]，当 t ＝0时， y 取
得最大值1；当 t ＝－ 时， y 取得最小值－ －1，故可得－
－1≤ a －1≤1，∴－ ≤ a ≤2.
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13. 同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于直线 x ＝ 对称；
③在［－ ， ］上单调递增”的一个函数是
.
y ＝ sin （2 x －
）（答案不唯一）　
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解析：设 y ＝ A sin （ω x ＋φ）（ A ＞0，ω＞0），由①知 T ＝π＝
，ω＝2，由②③知当 x ＝ 时， f （ x ）取最大值，故 y ＝ A sin
（ ＋φ）＝ A ，所以 ＋φ＝ ＋2 k π， k ∈Z，φ＝－ ＋2 k π，
k ∈Z，φ可取－ ，此时 y ＝ A sin （2 x － ）.故函数可为 y ＝ sin
（2 x － ）.
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14. 现给出以下三个条件：① f （ x ）的图象与 x 轴的交点中，相邻两
个交点之间的距离为 ；② f （ x ）的图象上的一个最低点为 A
；③ f （0）＝1.
请从上述三个条件中任选两个，补充到下面试题中的横线上，并
解答该试题.
已知函数 f （ x ）＝2 sin （ω x ＋φ）（0＜ω＜5，0＜φ＜ ），满
足 　　， 　　.
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（1）求 f （ x ）的解析式；
解：（ 选择①②.
由已知得 T ＝ ＝2× ＝π，所以ω＝2，
即 f （ x ）＝2 sin （2 x ＋φ）.
将 A 代入 f （ x ），得2 sin ＝－2，
解得φ＝ ＋2 k π， k ∈Z，
又0＜φ＜ ，所以φ＝ ，
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所以 f （ x ）＝2 sin .
选择①③.
由已知得 T ＝ ＝2× ＝π，所以ω＝2.
从而 f （ x ）＝2 sin （2 x ＋φ）.
又 f （0）＝2 sin φ＝1，所以 sin φ＝ .
因为0＜φ＜ ，所以φ＝ ，
所以 f （ x ）＝2 sin .
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选择②③.
由 f （0）＝2 sin φ＝1，得 sin φ＝ .
又0＜φ＜ ，所以φ＝ ，
将 A 代入 f （ x ），得2 sin ＝－2，
解得ω＝2＋3 k ， k ∈Z，
又0＜ω＜5，所以ω＝2，
所以 f （ x ）＝2 sin .
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（2）将 f （ x ）的图象向左平移 个单位长度，得到 g （ x ）的图
象.求函数 y ＝ f （ x ） g （ x ）－1的单调递增区间.
注：如果选择多组条件分别解答，则按第一个解答计分.
解： 由题知 g （ x ）＝2 sin ＝2 sin （2 x
＋ ）＝2 cos 2 x ，
所以 y ＝ f （ x ） g （ x ）－1＝4 sin cos 2 x －1＝2
sin 2 x cos 2 x ＋2 cos 22 x －1＝ sin 4 x ＋ cos 4 x ＝2 sin
.令－ ＋2 k π≤4 x ＋ ≤ ＋2 k π， k ∈Z，
得－ ＋ ≤ x ≤ ＋ ， k ∈Z，所以函数 y ＝ f （ x ） g （ x ）－1的单调递增区间为 ， k ∈Z.
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15. （多选）函数 f （ x ）＝ A sin （ω x ＋φ）（ A ＞0，ω＞0，0＜φ＜
π）的部分图象如图中实线所示，图中圆 C 与 f （ x ）的图象交于
M ， N 两点，且 M 在 y 轴上，则下列说法中正确的是（　　）
B. 函数 f （ x ）的最小正周期是π
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解析： 　由图知点 C 的横坐标为 ，所以 f （ x ）的最小正周
期 T ＝2 ＝π，故B正确；所以ω＝ ＝2，又 f ＝
0，由“五点法”可得2× ＋φ＝0，所以φ＝ ，因此 f （ x ）
＝ A sin （2 x ＋ ），由 x ∈ ，可得2 x ＋ ∈
，所以函数 f （ x ）在（－ ，－ ）上不单调，故A
错误；
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函数 f （ x ）的图象向左平移 个单位长度后，得到函数 y ＝ A sin （2
x ＋ ）＝ A cos 2 x ，对称轴为2 x ＝ k π， k ∈Z，即 x ＝ ， k ∈Z，故
关于直线 x ＝ 对称，故C正确；若圆 C 的半径为 ，则 A ＝
，所以 A ＝ ，函数 f （ x ）的解析式为 f （ x ）＝
sin （2 x ＋ ），故D正确.故选B、C、D.
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16. 已知函数 f （ x ）＝ sin （2ω x － ）－4 sin 2ω x ＋2（ω＞0），其
图象与 x 轴的两个相邻交点的距离为 .
（1）求函数 f （ x ）的解析式；
解： f （ x ）＝ sin （2ω x － ）－4 sin 2ω x ＋2
＝ sin 2ω x － cos 2ω x －4× ＋2
＝ sin 2ω x ＋ cos 2ω x
＝ sin （2ω x ＋ ），
∵ ＝ ，∴ T ＝π，∴ T ＝ ＝π，解得ω＝1，
∴ f （ x ）＝ sin （2 x ＋ ）.
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（2）若将 f （ x ）的图象向左平移 m （ m ＞0）个单位长度得到的
函数 g （ x ）的图象恰好经过点（－ ，0），求当 m 取得最
小值时， g （ x ）在［－ ， ］上的单调区间.
解： 将 f （ x ）的图象向左平移 m （ m ＞0）个单位
长度得到 g （ x ）的图象，
∴ g （ x ）＝ sin （2 x ＋2 m ＋ ），
∵函数 g （ x ）的图象经过点（－ ，0），
∴ sin ［2×（－ ）＋2 m ＋ ］＝0，
即 sin （2 m － ）＝0，
∴2 m － ＝ k π， k ∈Z，∴ m ＝ π＋ ， k ∈Z，
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∵ m ＞0，∴当 k ＝0时， m 取得最小值 ，
此时， g （ x ）＝ sin （2 x ＋ ）.
令－ ≤ x ≤ ，则 ≤2 x ＋ ≤ ，
当 ≤2 x ＋ ≤ 或 ≤2 x ＋ ≤ ，
即当－ ≤ x ≤－ 或 ≤ x ≤ 时，函数 g （ x ）单
调递增；
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当 ≤2 x ＋ ≤ ，即－ ≤ x ≤ 时，函数 g （ x ）
单调递减，
∴ g （ x ）在［－ ， ］上的单调递增区间为［－ ，
－ ］，［ ， ］；单调递减区间为［－ ， ］.
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谢 谢 观 看！第2课时　函数y＝Asin（ωx＋φ）图象与性质的应用
1.已知函数y＝sin（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则（　　）
A.ω＝1，φ＝ B.ω＝1，φ＝－
C.ω＝2，φ＝ D.ω＝2，φ＝－
2.将函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝f（x）的图象，则下列说法正确的是（　　）
A.y＝f（x）是奇函数
B.y＝f（x）的最小正周期为π
C.y＝f（x）的图象关于直线x＝对称
D.y＝f（x）的图象关于点对称
3.函数f（x）＝sin（2x＋φ）的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则φ＝（　　）
A.　　　B.－ C.　　　D.－
4.已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜π）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（　　）
A.f（x）＝2sin
B.f（x）＝2sin
C.f（x）＝2sin
D.f（x）＝2sin
5.（多选）已知函数f（x）＝Asin ωx（A＞0，ω＞0）与g（x）＝cos ωx的部分图象如图所示，则（　　）
A.A＝1 B.A＝2
C.ω＝ D.ω＝
6.（多选）已知函数f（x）＝2sin，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，关于函数g（x），下列说法不正确的是（　　）
A.函数g（x）是奇函数
B.函数g（x）的图象关于直线x＝－对称
C.当x∈时，函数g（x）的值域是[－1，2]
D.函数g（x）在上单调递增
7.如图所示为函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（ω＞0，≤φ≤π）的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么f（1）＝　　　　.
8.若f（x）＝cos（2x＋＋φ）（｜φ｜＜）是奇函数，则φ＝　　　　.
9.函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）＝　　　　.
10.已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的图象如图所示.
（1）求出函数f（x）的解析式；
（2）若将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，求出函数y＝g（x）的单调递增区间及对称中心.
11.已知函数f（x）＝2sin，将f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移1个单位长度，所得图象对应的函数为g（x），若函数g（x）的图象在P，Q两处的切线都与x轴平行，则｜PQ｜的最小值为（　　）
A.　　　B.4 C.4π　　D.2
12.若函数f（x）＝sin x＋cos x－2sin xcos x＋1－a在［－，－］上有零点，则实数a的取值范围为（　　）
A.[－，2] B.［－，］
C.[－2，] D.［，］
13.同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于直线x＝对称；③在［－，］上单调递增”的一个函数是　　　　.
14.现给出以下三个条件：①f（x）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为；②f（x）的图象上的一个最低点为A；③f（0）＝1.
请从上述三个条件中任选两个，补充到下面试题中的横线上，并解答该试题.
已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（0＜ω＜5，0＜φ＜），满足　　　　，　　　　.
（1）求f（x）的解析式；
（2）将f（x）的图象向左平移个单位长度，得到g（x）的图象.求函数y＝f（x）g（x）－1的单调递增区间.
注：如果选择多组条件分别解答，则按第一个解答计分.
15.（多选）函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图中实线所示，图中圆C与f（x）的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是（　　）
A.函数f（x）在上单调递减
B.函数f（x）的最小正周期是π
C.函数f（x）的图象向左平移个单位长度后关于直线x＝对称
D.若圆C的半径为，则函数f（x）的解析式为f（x）＝sin
16.已知函数f（x）＝sin（2ωx－）－4sin2ωx＋2（ω＞0），其图象与x轴的两个相邻交点的距离为.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若将f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到的函数g（x）的图象恰好经过点（－，0），求当m取得最小值时，g（x）在［－，］上的单调区间.
第2课时　函数y＝Asin（ωx＋φ）图象与性质的应用
1.D　依题意得T＝＝4×＝π，所以ω＝2.又sin＝sin（＋φ）＝1，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，所以φ＝－＋2kπ，k∈Z，由｜φ｜＜，得φ＝－.故选D.
2.D　函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度后，得到函数f（x）＝sin（x＋）＝cos x的图象，f（x）＝cos x为偶函数，最小正周期为2π，故A、B错误；由f＝cos ＝0，知f（x）＝cos x的图象不关于直线x＝对称，故C错误；由f＝cos＝0，知f（x）＝cos x的图象关于点对称，故D正确.
3.D　函数f（x）＝sin（2x＋φ）的图象向左平移个单位长度后，得到函数y＝sin（2x＋＋φ）的图象.由于平移后的图象关于原点对称，∴＋φ＝kπ（k∈Z），由｜φ｜＜得φ＝－.
4.C　由题图知，f（x）的最小正周期T＝2［－］＝π，所以ω＝＝2，所以f（x）＝2sin（2x＋φ），将代入，得2×＋φ＝2kπ（k∈Z），结合｜φ｜＜π，解得φ＝，所以f（x）＝2sin，故选C.
5.BC　由题图可得过点（0，1）的图象对应的函数解析式为g（x）＝cos ωx，即＝1，A＝2.过原点的图象对应的函数解析式为f（x）＝Asin ωx.由f（x）的图象可知，T＝＝1.5×4，可得ω＝.
6.ABD　依题意得g（x）＝f＝2sin＝2cos 2x.g（x）是偶函数，A错误；又g＝2cos＝0≠±2，B错误；由0≤x≤得0≤2x≤，从而－1≤2cos 2x≤2，C正确；由≤x≤得≤2x≤π，因此g（x）在上单调递减，D错误.故选A、B、D.
7.－1　解析：由｜AB｜＝5得＝5，解得T＝6.由T＝，ω＞0得ω＝.又当x＝0时，f（x）＝1，即2sin＝1，∴sin φ＝，又∵≤φ≤π，∴φ＝，∴f（x）＝2sin，因此，f（1）＝2sin＝2sin＝2×＝－1.
8.　解析：由题意可知＋φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z.又｜φ｜＜，故当k＝0时，得φ＝.
9.　解析：由图象可得A＝，周期为4×（－）＝π，所以ω＝2，将（，－）代入得2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，所以f（0）＝sin φ＝sin ＝.
10.解：（1）由图象得解得
又＝2π，∴T＝4π，∴ω＝＝，
由f（）＝6，得＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
即φ＝＋2kπ，k∈Z.
又｜φ｜＜，
∴φ＝，
综上，f（x）＝4sin（x＋）＋2.
（2）根据题意可得g（x）＝4sin（2x＋）＋2，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得函数g（x）的单调递增区间为［kπ－，kπ＋］，k∈Z.
令2x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－，k∈Z，
∴对称中心为（－，2），k∈Z.
11.B　由题意知，g（x）＝2sin［（x＋1）＋］＝2sin，其最大值为2，周期T＝＝4，作出其图象如图所示，由图可知，｜PQ｜取到的最小值可能为｜PQ1｜，｜PQ2｜.因为｜PQ1｜＝＝2，｜PQ2｜＝4，2＞4，所以｜PQ｜的最小值为4，故选B.
12.A　∵函数f（x）＝sin x＋cos x－2sin xcos x＋1－a在［－，－］上有零点，∴方程a－1＝sin x＋cos x－2sin xcos x在［－，－］上有解，设t＝sin x＋cos x＝sin（x＋），∵x∈［－，－］，∴x＋∈［－，0］，∴t∈[－，0]，∵t2＝1＋2sin xcos x，∴y＝sin x＋cos x－2sin xcos x＝t－t2＋1＝－（t－）2＋，t∈[－，0]，当t＝0时，y取得最大值1；当t＝－时，y取得最小值－－1，故可得－－1≤a－1≤1，∴－≤a≤2.
13.y＝sin（2x－）（答案不唯一）
解析：设y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0），由①知T＝π＝，ω＝2，由②③知当x＝时，f（x）取最大值，故y＝Asin（＋φ）＝A，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，φ＝－＋2kπ，k∈Z，φ可取－，此时y＝Asin（2x－）.故函数可为y＝sin（2x－）.
14.解：（1）选择①②.
由已知得T＝＝2×＝π，所以ω＝2，
即f（x）＝2sin（2x＋φ）.
将A代入f（x），
得2sin＝－2，
解得φ＝＋2kπ，k∈Z，
又0＜φ＜，所以φ＝，
所以f（x）＝2sin.
选择①③.
由已知得T＝＝2×＝π，所以ω＝2.
从而f（x）＝2sin（2x＋φ）.
又f（0）＝2sin φ＝1，所以sin φ＝.
因为0＜φ＜，所以φ＝，
所以f（x）＝2sin.
选择②③.
由f（0）＝2sin φ＝1，得sin φ＝.
又0＜φ＜，所以φ＝，
将A代入f（x），
得2sin＝－2，
解得ω＝2＋3k，k∈Z，
又0＜ω＜5，所以ω＝2，
所以f（x）＝2sin.
（2）由题知g（x）＝2sin［2（x＋）＋］＝2sin（2x＋）＝2cos 2x，
所以y＝f（x）g（x）－1＝4sin（2x＋）·cos 2x－1＝2sin 2xcos 2x＋2cos22x－1＝sin 4x＋cos 4x＝2sin.
令－＋2kπ≤4x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋≤x≤＋，k∈Z，
所以函数y＝f（x）g（x）－1的单调递增区间为，k∈Z.
15.BCD　由图知点C的横坐标为，所以f（x）的最小正周期T＝2［－（－）］＝π，故B正确；所以ω＝＝2，又f＝0，由“五点法”可得2×＋φ＝0，所以φ＝，因此f（x）＝Asin（2x＋），由x∈（－，－），可得2x＋∈，所以函数f（x）在（－，－）上不单调，故A错误；函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，得到函数y＝Asin（2x＋）＝Acos 2x，对称轴为2x＝kπ，k∈Z，即x＝，k∈Z，故关于直线x＝对称，故C正确；若圆C的半径为，则A＝，所以A＝，函数f（x）的解析式为f（x）＝sin（2x＋），故D正确.故选B、C、D.
16.解：（1）f（x）＝sin（2ωx－）－4sin2ωx＋2
＝sin 2ωx－cos 2ωx－4×＋2
＝sin 2ωx＋cos 2ωx
＝sin（2ωx＋），
∵＝，∴T＝π，∴T＝＝π，解得ω＝1，
∴f（x）＝sin（2x＋）.
（2）将f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到g（x）的图象，
∴g（x）＝sin（2x＋2m＋），
∵函数g（x）的图象经过点（－，0），
∴sin［2×（－）＋2m＋］＝0，
即sin（2m－）＝0，
∴2m－＝kπ，k∈Z，∴m＝π＋，k∈Z，
∵m＞0，∴当k＝0时，m取得最小值，
此时，g（x）＝sin（2x＋）.
令－≤x≤，则≤2x＋≤，
当≤2x＋≤或≤2x＋≤，
即当－≤x≤－或≤x≤时，函数g（x）单调递增；
当≤2x＋≤，即－≤x≤时，函数g（x）单调递减，
∴g（x）在［－，］上的单调递增区间为［－，－］，［，］；单调递减区间为［－，］.
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