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2024-2025 学年吉林省白城市洮南一中高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集 = ，集合 = { | ≤ 0}，集合 = { | ≥ 1}，则 ( ∪ ) =( )
A. { | ≤ 0 或 ≥ 1} B. { | ≥ 1} C. (0,1) D. [0,1]
2.命题“ ∈ ， ∈ ，使得 ≥ 2”的否定形式是( )
A. ∈ ， ∈ ，使得 < 2 B. ∈ ， ∈ ，使得 < 2
C. ∈ ， ∈ ，使得 < 2 D. ∈ ， ∈ ，使得 < 2
3.若随机变量 服从两点分布，其中 ( = 0) = 13，则 ( ) =( )
A. 29 B.
1 4 2
3 C. 9 D. 3
4 1.已知函数 ( ) = 的定义域为 ，则实数 的取值范围为( )
2 2 +1
A. [0,1] B. [0,1) C. (0,1] D. (0,1)
5.在某次数学考试中，学生成绩 服从正态分布(100, 2).若 在(85,115)内的概率是 0.5，则从参加这次考试
的学生中任意选取 3 名学生，恰有 2 名学生的成绩不低于 85 的概率是( )
A. 27 B. 9 C. 3 964 64 4 D. 16
6.(3 5)2( 1)7的展开式中 6项的系数为( )
A. 140 B. 1120 C. 140 D. 1120
7.已知 ( )是定义在 上的奇函数，当 ≥ 0 时， ( ) = 2 + 2 ，则满足 (2 2) < ( )的实数 的取值范
围为( )
A. (1, + ∞) B. ( ∞, 2) C. ( ∞, 2) ∪ (1, + ∞) D. ( 2,1)
8.若点 是曲线 = 2 上任意一点，则点 到直线 = 2 的最小距离为( )
A. 1 B. 2 C. 22 D. 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.深圳某中学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调查了 50 名男生和 50 名女生，每位学生对食堂
的服务绘出满意或不满意的评价，得到如表所示的列联表，经计算 2 ≈ 4.762，则下列结论正确的是( )
满意 不满意
男 30 20
女 40 10
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( 2 ≥ ) 0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.535
A. 3该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为5
B.调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意
C.根据小概率值 = 0.050 的独立性检验，认为男、女生对该食堂服务的评价有差异
D.根据小概率值 = 0.010 的独立性检验，认为男、女生对该食堂服务的评价有差异
10.下列选项正确的是( )
A.从 5 幅不同的国画和 2 幅不同的水彩画中任选一幅画布置房间，有 7 种不同的选法
B.若命题 ： ∈ ， 2 > 2 ，则命题 的否定： ∈ ， 2 ≤ 2
C.若 ∈ ，则 1 + 2 + … + = 2
D.二项式(2 + 1)4的展开式的各项系数和为 81
11.某商场开业期间举办抽奖活动，已知抽奖箱中有 30 张奖券，其中有 5 张写有“中奖”字样.假设抽完的
奖券不放回，甲抽完之后乙再抽，记 表示甲中奖， 表示乙中奖，则( )
A. ( ) = 287 B. ( ) =
4
29 C. ( | ) =
4 1
29 D. ( | ) = 6
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.“| 1| < 2 成立”是“ 1 < 0 成立”的______条件．
13.给出下列四个命题：
①奇函数的图象一定经过原点；
②偶函数的图象一定关于 轴对称；
③函数 = 3 + 1 不是奇函数；
④函数 = | | + 1 不是偶函数．
其中正确命题序号为______. (将你认为正确的都填上)
14 .已知不等式 2+4 ≤ 对任意的 ∈ [1,3]恒成立，则实数 的范围为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
某高校在今年的自主招生考试中制定了如下的规则：笔试阶段，考生从 6 道备选试题中一次性抽取 3 道题，
并独立完成所抽取的 3 道题，至少正确完成其中 2 道试题则可以进入面试.已知考生甲能正确完成 6 道试题
中的 4 道题，另外 2 道题不能完成．
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(1)求考生甲能通过笔试进入面试的概率；
(2)记所抽取的三道题中考生甲能正确完成的题数为 ，求 的分布列和数学期望．
16.(本小题 15 分)
为了解篮球爱好者小张的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小张某月 14 号到 5 号每天打篮
球时间 (单位：小时)与当天投篮命中率 之间的关系：
时间 1 2 3 4 5
命中率 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4
(1)求小张这 5 天的平均投篮命中率：
(2)利用所给数据求小张每天打篮球时间 (单位：小时)与当天投篮命中率 之间的线性回归方程

= + ( ( )( )
( )
参考公式： = =1 = =1
=1 ( )2
2 2
=1
(3)用线性回归分析的方法，预测小张该月 6 号打 6 小时篮球的投篮命中率．
17.(本小题 15 分)
已知 ( ) = (2 + 3) 展开式的二项式系数和为 512，且(2 + 3) = 0 + 1( + 1) + 2( + 1)2 + … +
( + 1) ．
(1)求 2的值；
(2)求 1 + 2 + 3 + … + 的值；
(3)求 (20)除以 6 的余数．
18.(本小题 17 分)
集合 是函数 = 2 + 2 ( ∈ )的定义域，集合 中的元素是由函数 ( ) = 2在区间[ , + 1]
上的最大值组成的， ∈ ， ∈ ， ( ) = + .试写出函数 = ( )关于 的解析式，并求函数 = ( )的
值域．
19.(本小题 17 分)
1
已知函数 ( ) = 2
2 + (2 1) 2 ．
(1)当 = 1 时，求在点(2, (2))处的切线方程；
(2) > 0 5时，求证： ( ) ≥ 4 2 ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.必要不充分
13.②③
14.[ 14 , + ∞)
15.(1)考生从 6 道备选试题中一次性抽取 3 道题所包含的基本事件总数为 36 = 20，考生甲能通过笔试进入
面试所包含的基本事件个数为 34 + 24 12 = 16，
16 4
所以考生甲至少正确完成 2 道题的概率为20 = 5；
(2)随机变量 的所有可能取值为 1，2，3，
1 2 2 1 3
则 ( = 1) = 4 2 13 = 5 , ( = 2) =
4 2
3 =
3
5 , ( = 3) =
4 = 1，
36 6 6 5
所以 的分布列为：
1 2 3
1 3 1
5 5 5
故 ( ) = 1 × 15 + 2 ×
3 + 3 × 15 5 = 2．
16. 解：(1) 1小李这 5 天的平均投篮命中率 = 5 (0.4 + 0.5 + 0.6 + 0.6 + 0.4) = 0.5；

(2) = 15 (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 3，由 = 0.5，
5
∴ = =1 5

5 2 2 = 0.01， = 0.5 0.01 × 3 = 0.47， =1 5
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∴回归方程为： = 0.01 + 0.47；
(3)当 = 6 时， = 0.47 + 0.01 × 6 = 0.53．
∴预测小张该月 6 号打 6 小时篮球的投篮命中率为 0.53．
17.解：(1)因为(2 + 3) 展开式的二项式系数和为 512，
所以2 = 512，
解得 = 9，
又因为(2 + 3)9 = [2( + 1) + 1]9，
所以 7 22 = 9 × 2 = 144；
(2)令 + 1 = 0，即 = 1，可得 0 = [2 × ( 1) + 3]9 = 1，
令 + 1 = 1，即 = 0，可得 0 + 1 + 2 + 3 + + 99 = 3 ，
所以 1 + 2 + 3 + + = 399 1 = 19682；
(3)由 ( ) = (2 + 3)9，可得 (20) = 439 = (42 + 1)9 = 09 429 + 0 8 09 42 + + 942 + 1，
因为 09 429 + 0 89 42 + + 0942 能被 6 整除，
所以 (20)除以 6 的余数为 1．
18. = 2 + 2 2 ≥ 0解：因为函数 ，所以 2 ≥ 0，解得 = 2 ，
所以 = {2 }，则 = 2 ，
当 ≥ 0 时， ( ) = 2在区间[ , + 1]上单调递减，
( ) 2 = ( ) = ，所以 = { 2}；
当 + 1 ≤ 0，即 ≤ 1 时， ( ) = 2在区间[ , + 1]上单调递增，
( ) 2 = ( + 1) = ( + 1) ，所以 = { ( + 1)2}；
< 0
当 + 1 > 0，即 1 < < 0 时， ( ) = (0) = 0，所以 = {0}；
2, ≥ 0
所以 = 0, 1 < < 0 ，
( + 1)2, ≤ 1
2 + 2 , ≥ 0
又 ( ) = + ，所以 ( ) = 2 , 1 < < 0 ，
( + 1)2 + 2 , ≤ 1
2 + 2 , ≥ 0
即 ( ) = 2 , 1 < < 0 ，
2 1, ≤ 1
当 ≥ 0 时， ( ) = 2 + 2 = ( 1)2 + 1， ( ) ∈ ( ∞,1]；
当 1 < < 0 时， ( ) = 2 ， ( ) ∈ ( 2,0)；
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当 ≤ 1 时， ( ) = 2 1， ( ) ∈ ( ∞, 2]，
综上， = ( )的值域为( ∞,1]．
19. 1解：(1)当 = 1 时， ( ) = 2
2 + 2 ， > 0，
则 ′( ) = + 1 2 ， ′(2) = 2，而 (2) = 4 2 2，
所以在点 (2, (2))处的切线方程为 (4 2 2) = 2( 2)，即 = 2 2 2；
(2)证明：对 ( )求导得 ′( ) = + (2 1) 2 ( 1)( +2) = ， > 0，
当 > 0 时，令 ′( ) = 0 1 1得 = ，当 ∈ (0, )时 ′( ) < 0， ( )单调递减；
当 ∈ ( 1 , + ∞)时 ′( ) > 0， ( )单调递增，
1
所以 ( ) = ( ) = 2
1
2 + 2，
1 5 1
只需证明 2 2 + 2 ≥ 4 2 ，即 + 1 ≥ 0( > 0)恒成立；
( ) = + 1 1 > 0 ( ) = 1 1 1设 ， ，则 ′ 2 = 2 ， > 0，
当 ∈ (0,1)时， ′( ) < 0， ( )单调递减；当 ∈ (1, + ∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增；所以 (1) = 0 是
( )的最小值，故 ( ) ≥ (1) = 0，
表明 + 1 1 ≥ 0( > 0)
5
恒成立，故 ( ) ≥ 4 2 ．
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