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2024-2025 学年山东省枣庄市高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.(1 )8的展开式的第 4 项的系数是( )
A. 38 B. 38 C. 4 48 D. 8
2.下列命题中正确的是( )
A.若 = cos 1 5，则 ′ = 5 sin 5 B.若 = cos(2 )，则 ′ = 2 (2 )
C.若 = ln(3 ) 1，则 ′ = 3 D.若 =
2 ，则 ′ = 2 2
3.《哪吒之魔童闹海》《唐探 1990》《 重启未来》三部贺岁片引爆了 2025 年春节电影市场.某电影
院同时段播放这三部电影，小王和他的 5 位同学相约一起去看电影，每人只能选择看其中的一场电影，则
不同的选择方案有( )
A. 63种 B. 36种 C. 36种 D. 36种
4.已知随机事件 ， ， ( ) = 1 1 22， ( ) = 3， ( | ) = 3，则 ( | ) =( )
A. 29 B.
7 5 4
9 C. 9 D. 9
5.函数 ( ) = 3 2 + 1， ∈ [ 1,2]的最小值为( )
A. 3227 B. 0 C. 3 D. 3
6.函数 ( ) = 1 3 1 23 + 2 在[1,3]上存在单调递增区间，则 的取值范围是( )
A. ( 14 , + ∞) B. (2, + ∞) C. (0, + ∞) D. (
2
9 , + ∞)
7.如图所示，杨辉三角是二项式系数的一种几何排列，第 行是( + ) 的展开式的二项式系数，观察图中
数字的排列规律，可知下列结论不正确的是( )
A. 2 2 23 + 4 + + 8 = 83
B.第 2025 行所有数字之和为22025
C.第 12 3行从左到右第 3 个数与第 4 个数之比为10
D.第 2025 行从左到右第 1014 个数比该行其他数都大
8.已知 ( )是定义在 上的偶函数，其导函数为 ′( )，且当 > 0 时，2 ( ) + ′( ) < 0，则不等式(
2025)2 ( 2025) 4 ( 2) < 0 的解集为( )
A. ( ∞,2023) ∪ (2027, + ∞) B. (2023,2027)
C. (2027, + ∞) D. ( ∞,2023)
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 ≥ ( , ∈ )，则下列等式正确的是( )
A. = +1 B. +1 = 2 1 +1 +1 +1 1
C. = 1 1 1 D. +1 = +
10.有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列命题正确的是( )
A.若五位同学排队，甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有 24 种
B.若五位同学排队，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 30 种
C.若五位同学排队，甲乙丙三位同学按从左到右的顺序排队(不必相邻)，则不同的排法有 60 种
D.若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每个社区至少一位同学，每位同学至少到
一个社区，则不同的分配方案有 36 种
11.已知 ( ) = + 3 的零点为 1， ( ) = + 3 的零点为 2，则( )
A. 31 + 2 = 3 B. 5 1 > 2 C. 1 2 < D. 1 + 22 > 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在( 2 )5的展开式中， 5 2项的系数为______．
13.已知 ( ) = 2 (2 ) + 2 ，则 ( )在点 = 1 处的导数为______．
14.已知直线 = + 是曲线 = 1与 = +2024 2025 的公切线，则 = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知(2 4 1 ) ( ∈
)的展开式中，其前三项的二项式系数的和等于 46．
(1)求展开式中所有二项式系数的和；
(2)求展开式中的常数项．
16.(本小题 15 分)
同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应.由长期的经验知，甲、乙、丙的正品率分别为 0.95、0.90、0.96，甲、
乙、丙生产该产品所占比例分别为 2：3：5，将三家产品混放在一起．
(1)任取一件产品，计算它是次品的概率；
(2)现取到一件产品为次品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性最大？说明理由．
17.(本小题 15 分)
1
已知函数 ( ) = 3 + 2 23 + 1( , ∈ )在 = 2 处有极值．
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(1)求 ( )的极值；
(2)若 ( )在区间[ 2,3]上有三个零点，求 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
1
已知 ( ) = 2 + 22 ( + 2) ( ∈ )．
(1)讨论 ( )的单调性；
(2)若任意的 1， 2 ∈ (0, + ∞)( 1 ≠ 2)
(
， 2
) ( 1)
> 3 ，求 的取值范围．2 1
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 1 在点(1, (1))处的切线经过点(2,2 5)．
(1)求 的值；
(2)若 ( )有两个零点 1， 2( 1 < 2)，求证： 1 + 2 < 2 2．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 30
13.13
14.1
15.(1) ( 1)前三项的二项式系数和为 0 + 1 + 2 = 1 + + 2 = 46，
解得 = 9，
所以(2 4 1 9 ) 的展开式中所有二项式系数的和为2
9 = 512；
(2)(2 4 1 )
9的展开式的通项公式为：
1 9
= (2 4)9 ( 2) +1 9 = ( 1) 29 9
36 2 ， = 0，1，…，9，
令 36 92 = 0，解得 = 8，
故展开式中的常数项为( 1)8 × 89 × 2 = 18．
16.(1)设 表示“任取一件产品为次品”，
则 1、 2、 3分别表示“任取一件，产品为甲、乙、丙厂生产”，
由已知 ( 1) = 0.2， ( 3) = 0.3， ( 3) = 0.5，
( | 1) = 0.05， ( | 2) = 0.1， ( | 3) = 0.04，
∴任取一件产品，它是次品的概率为：
( ) = ( 1) ( | 1) + ( 2) ( | 2) + ( 3) ( | 3)
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= 0.2 × 0.05 + 0.3 × 0.1 + 0.5 × 0.04 = 0.06．
(2) ( | ) = ( 1) ( 1) ( | 1) 0.2×0.05 11 ( ) = ( ) = 0.06 = 6，
( | ) = ( 2) = ( 2) ( | 2) 0.3×0.1 12 ( ) ( ) = 0.06 = 2，
( | ) = ( 3) = ( 3) ( | 3) = 0.5×0.04 = 13 ( ) ( ) 0.06 3，
∵ 1 > 1 > 12 3 6，∴次品来自乙广的概率最大．
17.(1) ( )的定义域为 ， ′( ) = 2 + 4 ，
由条件知 ′(2) = 4 + 8 = 0 1，得 = 2，
所以 ′( ) = ( 2)，
令 ′( ) = 0，得 = 0 或 2，
′( )， ( )随 的变化情况如下表：
( ∞,0) 0 (0,2) 2 (2, + ∞)
′( ) + 0 0 +
( ) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以 ( )的极大值为 (0) = 1，极小值为 (2) = 73．
(2)由(1)， ( )在[ 2,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增，
又 ( 2) = 23 73 < (2) = 3， (3) = 1 = (0)，
而 ( )在[ 2,3] 7上有三个零点 (2) = 3 < 0 且 (0) = 1 > 0，
7
解得 1 < < 3，
7所以 的取值范围(1, 3 ).
18.(1) ( )的定义域为(0, + ∞)，
( ) = 2 + ( + 2) = ( )( 2)′ ．
若 ′( ) = 0，则( )( 2) = 0．
①若 ≤ 0，当 > 2 时， ′( ) > 0；当 0 < < 2 时， ′( ) < 0，
所以 ( )在(0,2)上单调递减，在(2, + ∞)上单调递增；
②若 0 < < 2，当 > 2 或 0 < < 时， ′( ) > 0；当 < < 2 时， ′( ) < 0，
所以 ( )在(0, )上单调递增，在( , 2)上单调递减，在(2, + ∞)上单调递增；
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= 2 ( ) = ( 2)
2
③若 ， ′ ≥ 0，当且仅当 = 2 时取等号，
此时 ( )在(0, + ∞)上单调递增；
④若 > 2，当 > 或 0 < < 2 时， ′( ) > 0；当 2 < < 时， ′( ) < 0，
所以 ( )在(0,2)上单调递增，在(2, )上单调递减，在( , + ∞)上单调递增．
综上所述，当 ≤ 0 时， ( )在(0,2)上单调递减，在(2, + ∞)上单调递增；
当 0 < < 2 时， ( )在(0, )上单调递增，在( , 2)上单调递减，在(2, + ∞)上单调递增；
当 = 2 时， ( )在(0, + ∞)上单调递增；
当 > 2 时， ( )在(0,2)上单调递增，在(2, )上单调递减，在( , + ∞)上单调递增．
(2) ( ) ( )不妨设 2 11 < 2，则 2
> 3 ( 2) ( 1) > (3 )( 2 1)
1
( 2) + ( 3) 2 > ( 1) + ( 3) 1．
设 ( ) = ( ) + ( 3) = 2 + 12
2 5 ，则 ( 2) > ( 1)，
所以 ( )在(0, + ∞)上单调递增，
所以 ′( ) = 2 + 5 ≥ 0 对 ∈ (0, + ∞)恒成立，
所以 2 ≥ (5 )对 ∈ (0, + ∞)恒成立，
又 (5 ) = 2 + 5 = ( 52 )
2 + 254，
5 25
所以当 = 2时， (5 )取最大值 4，
2 ≥ 25 ≥ 25 25所以 4，解得 8，即 的取值范围为[ 8 , + ∞)．
19.(1)因为 ( ) = 1，所以 ′( ) = ，
所以 (1) = 1， ′(1) = ，
所以切线方程为 = ( ) 1，又切线经过(2,2 5)，
所以 2 5 = 2( ) 1，解得 = 2；
(2)证明：由(1)知 ( ) = 2 1，所以 ′( ) = 2，
所以当 ∈ ( ∞, 2)， ′( ) < 0， ( )单调递减；
当 ∈ ( 2, + ∞)， ′( ) > 0， ( )单调递增，
由题意 1 < 2，则 1 ∈ ( ∞, 2) 2 ∈ ( 2, + ∞)，
要证 1 + 2 < 2 2，只需证 1 < 2 2 2，
而 1 < 2 2 2 < 2，且函数 ( )在( ∞, 2)上单调递减，
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故只需证 ( 1) > (2 2 2)，
又 ( 1) = ( 2)，所以只需证 ( 2) > (2 2 2)，
即证 ( 2) (2 2 2) > 0，
令 ( ) = ( ) (2 2 )
= 2 1 [ 2 2 2(2 2 ) 1] = 4 4 + 4 2，
所以 ′( ) = + 4 4 ≥ 2 4 4 = 0，
当且仅当 = 4 ，即 = 2 时，等号成立，
所以 ( )在 上单调递增，
由 2 > 2，可得 ( 2) > ( 2) = 0，
即 ( 2) (2 2 2) > 0，
所以 ( 1) > (2 2 2)，
所以 1 < 2 2 2，即 1 + 2 < 2 2，得证．
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