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2024-2025 学年青海省西宁市三江源民族中学高二（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 1 , 1 , 1 1.数列3 4 5 , …, , …中第 10 项是( )
A. 112 B.
1
11 C.
1 1
10 D. 8
2.若 ( ) = ，则 ′( )等于( )
A. B. C. + D.
3.记 为等差数列{ }的前 项和，若 1 = 2， 3 = 12，则公差 =( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

4 (2+ ) (2).已知函数 ( ) = 2，则 → 0 =( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
5.学校安排 3 位教师任教 6 个班级，每位教师任教 2 个班，则不同的安排方法的总数为( )
A. 15 B. 90 C. 120 D. 540
6.函数 ( )的定义域为 ，导函数 ′( )的图象如图所示，则函数 ( )( )
A.无极大值点，有四个极小值点 B.有三个极大值点，两个极小值点
C.有两个极大值点，两个极小值点 D.有四个极大值点，无极小值点
7.已知随机变量 服从正态分布 (2, 2)， ( > 1) = 0.7，则 (2 < < 3) =( )
A. 0.7 B. 0.6 C. 0.4 D. 0.2
8.从混有 5 件次品的 20 件产品中依次抽取 2 件，在第 1 次抽到次品的条件下，第 2 次抽到次品的概率为( )
A. 1 2 3 419 B. 19 C. 19 D. 19
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 2 + 1， , 2 1 成等比数列，则 的值可以是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 1
10.若 2 210 = 10 ，则 的值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
11.已知离散型随机变量 ， 满足 = 2 1，其中 的分布列为：
0 1 2
1
6
且 ( ) = 1，则下列正确的是( )
A. = 16 B. =
2
3 C. ( ) = 2 D. ( ) =
4
3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.曲线 = 3 + 3 在点( 1,2)处的切线方程是______．
13.( )( + )6的展开式中 3 4的系数为______(用数字作答)．
14.已知离散型随机变量 服从二项分布 ～ ( , )，且 ( ) = 2， ( ) = 2+ 1，则 的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
生物兴趣小组有 12 名学生，其中正、副组长各 1 名，组员 10 名.现从该小组选派 3 名同学参加生物学科知
识竞赛．
(Ⅰ)如果正、副组长 2 人中有且只有 1 人入选，共有多少种不同的选派方法？
(Ⅱ)如果正、副组长 2 人中至少有 1 人入选，且组员甲没有入选，共有多少种不同的选派方法？
16.(本小题 15 分)
2
已知( + 2 )
( ∈ )的展开式中所有的二项式系数之和为 64．
(1)求 的值；
(2)求该展开式的常数项．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 3 + 3 2 9 + 1．
(1)求函数 ( )的单调区间；
(2)当 ∈ [ 4,4]时，求函数 ( )的最大值与最小值．
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18.(本小题 17 分)
已知{ }为等差数列，{ }是等比数列，且 1 = 1 = 1， 3 = 2， 2 = 2 + 1．
(1)求{ }和{ }的通项公式；
(2)若 = + ，求 1 + 2 + … + 的值．
19.(本小题 17 分)
为了迎接北京冬奥会，弘扬奥林匹克精神，某学校组织全体高一学生开展了冬奥知识竞赛活动．从参加该
活动的学生中随机抽取了 12 名学生的竞赛成绩，数据如下表：
男生 81 84 86 86 88 91
女生 72 80 84 88 92 97
(Ⅰ)从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率；
(Ⅱ)从该校的高一学生中，随机抽取 3 人，记成绩为优秀( > 90 分)的学生人数为 ，求 的分布列和数学期
望；
(Ⅲ)表中男生和女生成绩的方差分别记为 21， 22，现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，成绩为 86 分，
组成新的男生样本，方差计为 23，试比较 21、 2、 22 3的大小．(只需写出结论)
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3 + 5 = 0
13. 5
14.92
15.解：(Ⅰ)根据题意，正、副组长 2 人中有且只有 1 人入选，其选法有 2 种，
在 10 名组员中任选 2 人，有 210 = 45 种选法，
则有 2 × 45 = 90 种选法；
(Ⅱ)根据题意，分 2 种情况讨论：
①正、副组长 2 人都入选，且组员甲没有入选，选派方法数为 2 12 9 = 9，
②正、副组长 2 人中有且只有 1 人入选，且组员甲没有入选，选派方法数为 1 22 9 = 72．
则有 9 + 72 = 81 种不同的选法．
16.解：(1)由( + 2 ) 2 ( ∈
)的展开式中所有的二项式系数之和为 64，得2 = 64，所以 = 6．
(2) (1) 2 2由 知，( + )6展开式的通项公式为 = 6 ( ) = 2 6 3 2 +1 6 2 6 , ≤ 6, ∈ ，
由 6 3 = 0，得 = 2， = 223 26，
所以展开式的常数项为22 26 = 60．
17.解：(1) ′( ) = 3 2 + 6 9 = 3( 2 + 2 3) = 3( + 3)( 1)，
当 ∈ ( ∞, 3)时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
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当 ∈ ( 3,1)时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
当 ∈ (1, + ∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
所以 ( )的递增区间是( ∞, 3)、(1, + ∞)；递减区间是( 3,1)．
(2)由(1)知， ( )在区间[ 4, 3]，[1,4]上单调递增，在区间[ 3,1]上单调递减，
所以 ( )极大 = ( 3) = 28， ( )极小 = (1) = 4，
又因为 ( 4) = 21， (4) = 77，
所以 ( )的最大值是 77，最小值是 4．
18.解：(1)设数列{ }的公差为 ，数列{ }的公比为 ，
因为 3 = 2， 2 = 2 + 1，所以 3 = 2 + 1，即 = 1，
所以 = 1 + ( 1) = ，
所以 2 =
2
3 = 3，则 = = 3，1
所以 = 3 1．
(2) 1 + 2 + + = ( 1 + 2 + + ) + ( 1 + 2 + + )
= (1 + 2 + 3 + . . . + ) + (1 + 3 + 9 + . . . + 3 1)
= (1+ ) 1 3
3 + 2+ 1
2 + 1 3 = 2 ．
19.解：(Ⅰ)设“从抽出的男生和女生中，男生成绩高于女生成绩“为事件 ，
由表格得：从抽出的 12 名学生中男女生各随机选取一人，共有 1 16 6 = 36 种组合，
其中男生成绩高于女生(81,72)，(81,80)，(84,72)，(84,80)，(86,72)，(86,80)，(86,84)，(86,72)，(86,80)，
(86,84)，(88,72)，(88,80)，(88,84)，(91,72)，(91,80)，(91,84)，(91,88)，
17 17所以事件 有 种组合，因此 ( ) = 36；
(Ⅱ)由数据知，在抽取的 12 名学生中，成绩为优秀( > 90 分)的有 3 人，即从该校参加活动的高一学生中随
1
机抽取 1 人，该学生成绩优秀的概率为4，
因此从该校高一学生中随机抽取 3 人，成绩优秀人数 可取 0，1 1，2，3 且 ～ (3, 4 )，
( = 0) = ( 3 )3 = 27， ( = 1) = 1 × 1 × ( 3 )2 = 27 2 3 14 64 3 4 4 64， ( = 2) = 3 × 4 × ( 4 )
2 = 9 ( = 3) = ( 164， 4 )
3 =
1
64，
所以随机变量 的分布列为：
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0 1 2 3
27 27 9 164 64 64 64
27 9 1 48 3
数学期望 ( ) = 0 + 1 × 64 + 2 × 64 + 3 × 64 = 64 = 4．

(Ⅲ) = 81+84+86+86+88+91 1男生的平均成绩为 2 6 21 6 = 86，则 1 = 6 =1 ( 1) ≈ 9.667；

= 72+80+84+88+92+97 = 85.5 2 = 1

女生的平均成绩为 2 6 ，则
6 2
2 6 =1 ( 2) ≈ 65.92；
由于从参加活动的男生中抽取成绩为 89 分的学生组成新的男生样本，

= 81+84+86+86+88+86+91

所以 3 7 = 86，则
2 1 7 2
3 = 7 =1 ( 3) ≈ 8.286；
所以 2 < 2 < 23 1 2．
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