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人教A版高一暑假作业11:高一综合(3)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.(2024·福建省泉州市·期末考试)从甲、乙、丙三所学校中随机抽取名学生，接受省级高中体育与健康教育质量监测．已知甲、乙、丙三所学校的学生人数分别为，，，若按各校人数分层抽样，则从甲学校中应抽取的学生人数为( )
A. B. C. D.
2.(2025·湖北省黄石市·模拟题)设，则( )
A. B. C. D.
3.(2025·广东省广州市·月考试卷)单位向量满足，则和的夹角为( )
A. B. C. D.
4.(2025·陕西省安康市·月考试卷)在中，，则( )
A. B. C. D.
5.(2025·福建省·期中考试)如图是一个鲜花包装盒，形状近似于高为的正四棱台，
其两个底面边长分别为和若忽略材料厚度，则该包装盒的容积为( )
A. B. C. D.
6.(2024·福建省泉州市·期末考试)已知数据的均值为，方差为，则数据的均值和方差分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
7.(2024·福建省泉州市·期末考试)已知直线，平面，则的充分条件可以是( )
A. B.
C. D.
8.(2025·四川省成都市·期中考试)周易系辞曰：易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦．如图是八卦模型图，图是根据八卦图抽象而得的正八边形与其内部的圆，其中，圆的直径为为正八边形的中心，为正八边形边上的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.(2025·河北省廊坊市·期中考试)某保险公司为客户定制了个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赌，该保险公司对个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：

用样本估计总体，以下四个选项正确的是( )
A. 周岁参保人数最多
B. 随着年龄的增长人均参保费用越来越少
C. 周岁以上的参保人数约占总参保人数
D. 丁险种最受参保人青睐
10.(2025·河南省漯河市·月考试卷)已知为复数，则下列命题正确的是( )
A. 若，则 B.
C. 若，则 D.
11.(2024·福建省泉州市·期末考试)正方体中，分别为的中点，为侧面内一点，则( )
A. 存在点，使得平面
B. 线段上不存在点，使与所成角为
C. 当平面时，的最大值为
D. 当点为侧面中心时，平面截正方体所得的截面为五边形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.(2025·福建省福州市·月考试卷)已知，若，则 ．
13.(2024·福建省泉州市·期末考试)已知中，，向量在向量上的投影向量为，则 ．
14.(2025·湖北省荆州市·月考试卷)已知圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，且母线长为，为其底面圆周上的两点，若面积的最大值为，则球的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(2025·广东省东莞市·期中考试)本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且，．
若，求的值；
若的面积为，求的值．
16.(2024·福建省泉州市·期末考试)本小题分
盒子中有个大小质地完全相同的小球，分别标有数字，，，，从盒子中有放回地随机两次摸出小球，每次摸出一个小球．
求两次摸到的小球数字之和为偶数的概率；
设事件“两次摸到的小球数字之和是质数”，事件“第次摸到的小球数字为奇数”，事件“第次摸到的小球数字为奇数”，求．
17.(2024·福建省泉州市·期末考试)本小题分
如图，在三棱柱中，平面平面，，．
求三棱柱的体积；
求证：．
18.(2025·山东省·期中考试)本小题分
文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩满分分，成绩均为不低于分的整数分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值
求样本成绩的第百分位数
已知落在的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，求两组成绩的总平均数和总方差．
19.(2025·广东省·单元测试)本小题分
如图，设中角，，所对的边分别为，，，为边上的中线，已知且，．
求的值；
求的面积；
设点，分别为边，上的动点含端点，线段交于，且的面积为面积的，求的取值范围．
1.【答案】
【解析】解：由分层抽样，从甲学校中应抽取的人数为人．
故选A．
2.【答案】
【解析】解：设，，是实数，
则，则由，
得，得，
得，得即，
故选：．
3.【答案】
【解析】解：由两边平方可得，
所以，所以，解得，
所以，所以的夹角为．
故选B．
4.【答案】
【解析】解：如图所示：由题意可得：
．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：解法一：
根据四棱台的体积公式得，
．
解法二：若公式记不住，也可考虑补台为锥的办法快速求解，如下图；
则由已知可得，，，，
根据三角形相似可知，则，
即，所以
．
故选B．
6.【答案】
【解析】解：方法一：设数据的均值为，方差为，则，
由得的均值为：
；
的方差为：
．
方法二：由题意可知：新数据的均值为，方差为．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：对于，如图，直线平面，直线平面；
但直线与直线为异面直线，故 A错误；
对于，如图，平面平面，直线平面，
直线平面；但直线与直线为异面直线，故 B错误；
对于，如图，，作平面，使得，
则，作平面，使得，
则，所以，
所以且，
所以，所以，故 C正确；
对于，如图，平面平面，直线平面，
直线平面，但直线与直线为异面直线，故D错误．
故选C．
8.【答案】
【解析】解：如图，过点作交于，
则由正八边行的对称性可知为的最小值，
则，
，
所以的最小值为．
的长度提供以下两种解法：
解法一：在中，，设，
由余弦定理得，解得，
故所求最小值为．
解法二：由 ，
得，解得，
得，
故所求最小值为．故选B．
9.【答案】
【解析】解：由参保人数比例图可知，周岁以上参保人数最少，周岁参保人数最多，周岁以上的人群约占参保人群的，所以选项A正确，选项C错误；
由不同年龄段人均参保费用图可知，随着年龄的增长人均参保费用越来越多，选项 B错误；
由参保险种比例图可知，丁险种更受参保人青睐，所以选项 D正确．
故选AD．
10.【答案】
【解析】解：设复数，
对于选项A：若，则，所以，
所以，故 A正确；
对于选项B：例如，则，故 B错误；
对于选项C：例如，此时满足，但，故 C错误；
对于选项D：解法一：
；
解法二：设，
则，
可得
，
则，即，故 D正确；
故选：．
11.【答案】
【解析】解：设正方体的棱长为，
对于，若存在平面，因为平面，
则平面平面，矛盾，故不存在点使平面，
故A错误；
对于，因为，则是异面直线与所成角，
因为平面平面，为直角三角形，
，
，
则，所以不存在点使与所成角为，故 B正确；
对于，取中点中点，则，平面平面，
则平面，因为平面平面，
则平面，，所以平面平面，
因为四点共面，平面平面，
所以平面时，平面，
平面平面，
在中，边上的高满足，
则，，故 C正确；
对于，过作交于，过作交于，且，延长相交于平面，为中点，且为中点，所以且，
即三点共线且，
连接并延长，与相交于点，与的延长线相交于点，，所以，
连接与相交于点，所以，
连接与相交于点，由对称性可得，
连接，则平面截正方体所得的截面图形为五边形，故 D正确．
故选BCD．
12.【答案】 【解析】解：由可知
即
所以．故答案为．
13.【答案】
【解析】解：解法一：因为向量在向量上的投影向量为
，
则，
因为
所以．
解法二：如图作，交延长线于点，
由题可知向量在向量上的投影向量为，
即，因为，
所以，
所以，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：如图所示，因为，
所以当为轴截面时，最大，
因为的面积最大值为，
则，所以，
即圆锥的轴截面为等边三角形．
如图，三角形是圆锥的轴截面，点为底面圆心，则球的球心在上．
解法一：因为圆锥的母线长为，所以在中，，
设球的半径为，则，
在中，，
即，解得，
解法二：因为为的外心，所以外接球直径，即，
所以外接球表面积．
故答案为：．
15.【答案】解：在中，，
，即．
，
则，
解得，
又，
，
．
16.【答案】解：解法一：从盒中有放回依次随机摸出两个小球的样本空间是
，
所以，共有个样本点．
记事件“两次摸到的小球数字之和为偶数”，
则，
所以，共有个样本点．
因为样本空间的每个样本点具有等可能性，
所以，
即两次摸出的小球数字之和为偶数的概率为 ；
解法二：记事件“两次摸到的小球数字之和为偶数”．
每一次从盒中摸出小球，小球的数字都有概率相同的种可能，
故有放回地摸两次，两次的小球数字相加情况共有种可能，
，，，中共有个偶数和个奇数，
事件发生有种可能次都摸到偶数和次都摸到奇数，
因为上述各种情况发生的可能性都相同，所以 ；
解法一：因为，
则，
，
，
所以，则，
因为事件不会同时发生，所以两两互斥，
所以，
又因为，
所以
即可得．
解法二：因为，
，
，
，
，
可以得到，
，
，
所以，
共有个样本点，
即．
17.【答案】解：法一：如图所示：
过点作，垂足为平面，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，
在中，，
所以为直角三角形，
在中，由，
解得，
所以；
法二：如图所示：
取中点，连接，因为，所以，
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，
在中，，
，所以为直角三角形，
在中，，
，
所以．
法一：在中，，即，
在中，
，
因为平面平面，所以，
在中，，
则，所以，
因为，所以．
法二：在中，，即，
在中，
，
，则，
又因为平面平面，则，
且平面，
所以平面，平面，则，
因为，所以．
法三：在中，，
因为平面平面，则，
在中，，
则，
又因为，所以．
法二：取中点，易证平面，在中，利用余弦定理求得，在中，求得，易得，再由求解．
法一：在中得到，在中，利用余弦定理得到，在中，利用勾股定理得到，再由证明；
法二：在中得到，在中，利用余弦定理得到，由勾股定理得到，再由，得到平面，再由证明；
法三：在中，，由平面得到，在中，利用勾股定理得到，再由证明．
18.【答案】解：每组小矩形的面积之和为，
，
；
成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
设第百分位数为，
由，
得，故第百分位数为；
由图可知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，
故，
设成绩在中人的分数分别为，，，，
成绩在中人的分数分别为，，，，，
则由题意可得，，，
即，，
，
所以两组市民成绩的总平均数是，总方差是．
19.【答案】解：已知 ，
在 中，由正弦定理 ，
得 ，
在 中，由余弦定理 ，
得
，又 ．
设 ，，
为边上中线， ，
则 ，

，
，
或 ，
由，得 ，
．
设 ， ， ， ，
， ，
，
根据，，三点共线，得 ，
， 为
，
，
，
．
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