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人教A版高一暑假作业12:高一综合(4)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.(2025·河北省衡水市·模拟题)已知复数，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.(2025·江苏省无锡市·期中考试)已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
3.(2025·海南省海口市·期末考试)若，则( )
A. B. C. D.
4.(2025·河北省·月考试卷)已知向量的夹角为，若，则( )
A. B. C. D.
5.(2025·河北省·月考试卷)设、为空间中两条不同直线，、为空间中两个不同平面，下列命题正确的是( )
A. 若，，，则
B. 若不垂直于，，则必不垂直于
C. 若，，则
D. 若、是异面直线，，，，，则
6.(2025·河南省·月考试卷)已知向量，，满足：，且，则三角形的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
7.(2025·河北省·月考试卷)已知函数，把函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象，关于函数，下列说法正确的是( )
A. 在上是增函数
B. 其图象关于直线对称
C. 函数是奇函数
D. 在区间上的值域为
8.(2025·河北省·月考试卷)如图，在中，，，，点在以为圆心且与边相切的圆上，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.(2025·河南省·月考试卷)给出下列说法，其中正确的是( )
A. 数据，，，的极差与中位数之积为
B. 已知一组数据的方差是，则数据的方差是
C. 已知一组数据的方差为，则此组数据的众数唯一
D. 已知一组不完全相同的数据的平均数为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，其平均数为，则
10.(2025·河南省·月考试卷)已知为虚数单位，则下列选项中正确的是 ．
A. 复数的模为
B. 复数，则在复平面上的点在第四象限
C. 复数是纯虚数，则或
D. 若，则的最大值为
11.(2025·河南省周口市·期中考试)如图，直三棱柱中，，，，侧面中心为，点是侧棱上的一个动点，有下列判断，正确的是( )
A. 直三棱柱侧面积是 B. 直三棱柱体积是
C. 三棱锥的体积为定值 D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.(2025·河南省·月考试卷)样本数据，，，，，，，的分位数为 ．
13.(2025·河南省·月考试卷)若各顶点都在一个球面上的正四棱柱，高为，体积为，则这个球的表面积是 ．
14.(2025·北京市·月考试卷)某地进行老旧小区改造，有半径为米，圆心角为的一块扇形空置地如图，现欲从中规划出一块三角形绿地，其中在上，，垂足为，，垂足为，设，则 用表示；当在上运动时，这块三角形绿地的最大面积是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(2025·浙江省宁波市·月考试卷)本小题分
在锐角中，角，，的对边分别为，，，向量，，且．
求角；
若，且的面积为，求边上的中线的大小．
16.(2025·河南省·月考试卷)本小题分
如图，在四棱锥中，为边上的中点，为边上的中点，平面平面，，，，．
求证：平面；
求证：平面；
17.(2025·湖北省黄冈市·月考试卷)本小题分
对名参加竞赛选拔学生的成绩作统计满分：分，将数据分成五组，从左到右依次记为，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图．
根据频率分布直方图估计这名学生成绩的众数和平均数求平均数时同一组数据用该组区间的中点值作代表；
现从以上各组中采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取人．若分数在区间的学生实际成绩的平均数与方差分别为分和，第三组的学生实际成绩的平均数与方差分别为分和，求第四组的学生实际成绩的平均数与方差．
18.(2025·河南省·月考试卷)本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，为线段上的动点．
若为的中点，求三棱锥的体积
若，问上是否存在点，使得平面若存在，请指明点的位置若不存在，请说明理由
求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
19.(2025·江苏省苏州市·月考试卷)本小题分
在锐角中，角，，的对边为，若，．
求角的大小；
若为的中点，且，求的面积；
如图，过点在所在平面内作，且满足求线段的最大值．
1.【答案】
【解析】解：因为，
所以在复平面内对应的点位于第二象限．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：，，
，
所以向量在向量方向上的投影向量为，
选A
3.【答案】
【解析】解：因为，
两边平方，可得，
所以，
则．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：因为 ，
所以 ，即 ，
又因为 ，向量 的夹角为 ，
所以 ，即 ，解得 ．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：对于，若，，，则，可能平行、相交或异面，故A错误
对于，若不垂直于，且，则有可能垂直于，故B错误
对于，若且，则或，故C错误
对于，若、是异面直线，，，，，
则在直线上任取一点，过直线与点确定平面，，
又，则，，，所以，
又，，，，所以，故D正确．
6.【答案】
【解析】解：由，得
．
，，
由余弦定理得， ，
同理．所以是等边三角形．
故选D．
7.【答案】
【解析】解：，
沿轴向左平移个单位，
得．
对于，当，单调递减，所以选项A错误；
对于，，则图象关于对称，所以选项B错误；
对于，是偶函数．所以选项C错误；
对于，当，则，所以D正确，
综上可知，正确的为．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：根据题意，建立如图所示坐标系，作于，
在中，，，，
所以，，，
又，则，
故可设点坐标为，，
则
，其中，
故当时，有最小值．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：对于，极差为 ，中位数为 ，所以极差与中位数之积为 ，对；
对于，根据方差的性质可知，数据 的方差是 ，错；
对于，由方差 ，
可得 ，即此组数据众数唯一，对；
对于， ，
，对．
故选ACD．
10.【答案】
【解析】解：对于，复数的模为，故A正确；
对于，复数的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限，故B正确；
对于，因为复数是纯虚数，
所以，解得，故C错误；
对于，令，，则，
，
因为，则，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，故D正确．
故选ABD．
11.【答案】
【解析】解：在直三棱柱中，，，，
底面和是等腰直角三角形，侧面全是矩形，
所以其侧面积为，故A正确；
直三棱柱的体积为，故B不正确；
由 平面，且点是侧棱上的一个动点，
三棱锥的高为定值，，
，故 C正确；
将四边形沿翻折，使四边形与四边形位于同一平面内，
连接与相交于点，此时最小，
即，
即的最小值为，故D正确．
故选ACD．
12.【答案】
【解析】解：数据按从小到大排序：，，，，，，，，，
所以分位数为．
13.【答案】
【解析】解：各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为，体积为，
则它的底面边长是，所以它的体对角线的长是，
所以球的直径是，
所以这个球的表面积是：．
故答案为．
14.【答案】米平方米
【解析】解：在中，，米，
米，
在中，可得，由题可知，
的面积为：
，
又，，
当，即时，的面积有最大值平方米，
即三角形绿地的最大面积是平方米．
15.【答案】解：，，，
，由正弦定理，
得，
，
，；
的面积为，，
，，，在三角形中，由余弦定理，
得，
．
16.【答案】解：在四棱锥中，连接，
在中，由、为对应边上的中点，即为中位线，得，
又平面，平面，所以平面．
在四边形中，，，则，由，得，
而，则，于是，
由，得，又平面平面，平面平面，
平面，于是直线平面，又平面，则，
又，平面，所以平面．
17.【答案】解：这名学生成绩的众数用频率分布直方图最高矩形中点的横坐标来估计，
所以估计众数为；
平均数分
由分层随机抽样可知，第三组和第四组分别抽取人和人，
设分数在区间的学生实际成绩分别为，
其平均数与方差分别为，，则，，
设第三组学生实际成绩分别为，
其平均数与方差分别为，，则，，
设第四组学生实际成绩分别为，其平均数与方差分别为，，
由，得，又，
所以，因为，
所以，
所以，
所以，
即第四组学生实际成绩的平均数为，方差为．
18.【答案】解：因为为的中点，所以点与点到平面的距离之比为
故．
存在，取的中点，连接交于点，连接，则为面与面的交线。
易得，在三角形中，，所以，所以平面，
即存在点，且当为中点时平面
过点作，因为，所以，面面。
因为面，所以，又，，，面
又因为，所以面，，，
所以是面与面所成锐二面角的平面角，
因为是等腰直角三角形，所以。
19.【答案】解：因为，
由正弦定理可得，
即，
因为，所以，
，
因为，所以
由得 ，
因为为的中点，所以，
则，化简得 ，
由解得，所以
设，
当与外接圆相切时，可得，则，
则，，
在中，由正弦定理得，
所以，
在中，由正弦定理得，
所以，
因为，所以，
所以
，
又，所以，
所以当，即时，有最大值，最大值为．
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