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人教A版高一暑假作业14:高一综合(6)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.(2025·河南省·单元测试)复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.(2025·江苏省无锡市·月考试卷)已知向量，，，若与共线，则实数( )
A. B. C. D.
3.(2025·北京市·模拟题)如图所示，颗串珠用一根细线串起现将它们依次取出只允许从两边取出，一次取一颗，两颗串珠被连续取出的概率是( )
A. B. C. D.
4.(2025·广东省江门市·期中考试)为了研究某种病毒与血型之间的关系，决定从被感染的人群中抽取样本进行调查，这些感染人群中型血、型血、型血、型血的人数比为：：：，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本量为的样本，已知样本中型血的人数比型血的人数多，则( )
A. B. C. D.
5.(2025·安徽省芜湖市·月考试卷)如图，在梯形中，，，，若，则( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
6.(2025·河南省·单元测试)已知正四棱锥的底面边长为，体积为，为棱的中点，则直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.(2025·天津市·月考试卷)若，且，那么是( )
A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
8.(2025·山东省泰安市·期末考试)“长太息掩涕兮，哀民生之多艰”，端阳初夏，粽叶飘香，端午是一大中华传统节日小玮同学在当天包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似看作它的内切球与其四个面均相切的球，图中作为球如图：已知粽子三棱锥中，，、、分别为所在棱中点，、分别为所在棱靠近端的三等分点，小玮同学切开后发现，沿平面或平面切开后，截面中均恰好看不见肉馅则肉馅与整个粽子体积的比为 ．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.(2025·安徽省芜湖市·月考试卷)某学校举办了一次数学竞赛，共有名参赛者，对所有参赛者的成绩进行统计，所有成绩都在内，得到如图所示的频率分布直方图每组均为左闭右开区间，则( )
A. B. 所有参赛者成绩的极差小于
C. 估计所有参赛者成绩的中位数为 D. 成绩在区间内的人数为
10.(2025·河南省·单元测试)设，，则下列结论中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11.(2025·河南省·单元测试)在三棱锥中，若，，分别为棱，，的中点，平面、平面、平面相交于点，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.(2025·江苏省镇江市·期中考试)若向量，，则在上的投影向量的坐标为 ．
13.(2025·河南省·单元测试)已知一个高为的圆锥的底面圆周和顶点都在一个半径为的球的球面上，设圆锥和球的体积分别为，，则 ．
14.(2025·广东省佛山市·期中考试)在中，角，，的对边分别为，，已知，的平分线交于点，且，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(2025·山东省济南市·月考试卷)本小题分
在中，设向量，，且，．
求的值；
若，求．
16.(2025·河南省·单元测试)本小题分
某校高一班、班的学生人数分别为，，在某次测验中，记班所有学生的成绩分别为，，，，平均成绩为，方差为，已知，．
求，；
记班所有学生的成绩分别为，，，，其平均成绩为，，试求两个班的所有学生的平均成绩结果保留整数，并说明哪一个班的成绩比较稳定．
17.(2025·江苏省无锡市·月考试卷)本小题分
某公司拟通过摸球抽奖的方式对员工发放生日红包先在一个不透明的袋子中装入个标有一定金额的球除标注的金额不同外，其余均相同，其中标注的金额为元、元、元的球分别有个、个、个参与的员工每次从袋中随机摸出个球，记录球上标注的金额后放回袋中，连续摸次规定：某员工摸出的球上所标注的金额之和为其所获得的生日红包的总金额．
当时，求甲员工所获得的生日红包总金额不低于元的概率；
当时，设事件“甲员工获得的生日红包总金额不超过元”，事件“甲员工获得的生日红包总金额不低于元”，试判断事件，是否相互独立，并说明理由．
18.(2025·河北省·期末考试)本小题分
如图，在平行四边形中，，垂足为，为中点，

若，求的长；
设，，，，求的值．
19.(2025·湖南省·模拟题)本小题分
如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为．
求侧面与底面所成的二面角的大小；
若是的中点，求异面直线与所成角的正切值；
在的条件下，问在棱上是否存在一点，使侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由．
1.【答案】
【解析】解：由题意得，故在复平面内对应的点为，
该点位于第三象限，故C正确．故选：．
2.【答案】
【解析】解：由题可知向量，，，
则，
因为与共线，
所以，解得．故选：．
3.【答案】
【解析】解：由已知前四次取珠时，每一次都有两种选择，第五次取球时，只有一种方法，
所以不同的取法有种；
若两颗串珠第一次和第二次取出，则第三次有种取法，第四次有种取法，第五次种取法，
此时有种取法；
若两颗串珠第二次和第三次取出，则第一次有种取法，第二次和第三次共种取法，
第四次有种取法，第五次种取法，此时有种取法
若两颗串珠第三次和第四次取出，则第一次有种取法，第二次有种取法，
第三次和第四次共种取法，第五次种取法，此时有种取法；
若两颗串珠第四次和第五次取出，则第一次有种取法，第二次有种取法，第三次种取法，
第四次有种取法，第五次种取法，此时有种取法；
所以两颗串珠被连续取出的方法共种，
故所求概率为．故选：．
4.【答案】
【解析】解：用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本量为的样本，
已知感染人群中型血、型血、型血、型血的人数比为：：：，
则样本中抽取型血、型血、型血、型血的人数比为：：：，
又因为样本总人数为，其中型血的人数比型血的人数多，
则，
解得．故答案为：．
5.【答案】
【解析】解：因为，所以，
所以，所以，
所以，
所以，．
故选：
6.【答案】
【解析】解：如图，设正四棱锥的高为，则，，
连接、交于点，
因为四边形是正方形且边长为，所以，
所以．
连接，因为、分别为、中点，则，
所以直线与所成的角为，
连接，由题可得，，
因为，所以正四棱锥的侧面为正三角形，所以，
所以，
所以，故 A正确．
故选：
7.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
根据余弦定理有，
，
，
，，
又由，
则，即，
化简可得，，即，
是等边三角形
故选B．
8.【答案】
【解析】解：如图所示，取中点为，，
为方便计算，不妨设，
由，
得，
设，
所以在中，，解得，
可知，
又、分别为所在棱靠近端的三等分点，
则，
且，，，，平面，
即平面，
又平面，则平面平面，
设肉馅球半径为，，
由于、、分别为所在棱中点，且沿平面切开后，截面中恰好看不见肉馅，
则到的距离，，，
又，解得：，
故，
又，
解得，，
所以，解得，，
由以上计算可知：三棱锥为正三棱锥，
故，
所以比值为．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：对于，由题可得，故 A错误；
对于，由题图可知，所有参赛者成绩的极差小于，故 B正确；
对于，设中位数为，则，解得，故 C正确；
对于，成绩在区间内的人数为，故 D正确．
故选：
10.【答案】
【解析】解：对于，若，，则，，故 A错误；
对于，设，，，
因为，所以，所以，，
所以，故B正确；
对于，若，则，则或，
所以或，所以，故 C正确；
对于，若，，则满足，
但，，即，故 D错误．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：
对于，由已知可得，且相似比为，
所以，故 A正确；
对于，因为为的面积的，为的面积的，
而与的面积关系未知，故 B错误；
对于，，故 C正确；
对于，如图，设，交于点，，交于点，连接，，
则，的交点为，延长交于点，连接交于点，
易知，分别为，的重心，
所以，所以，
所以，，
设，则，，所以，所以，
设三棱锥的高为，点到平面的距离为，则，
所以，故 D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：设，的夹角为，则在上的投影向量的坐标为
．
故答案为：。
13.【答案】
【解析】解：由题可知，球心在圆锥的高上，
所以圆锥的底面半径为球与圆锥的轴截面如图，
所以．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：由，及正弦定理得，
因为，
所以，故，再由是的平分线，
则的面积为，
即即，
所以
，
当且仅当时取等号，即时等号成立，
所以，的最小值为．
故答案为：．
15.【答案】解：由已知得，，
所以，
所以．
因为，所以，
所以．
16.【答案】解：由，得，
．
记班的平均成绩为，方差为，
则，所以，
所以两个班所有学生的平均成绩为
，
因为，所以班的成绩比较稳定．
17.【答案】解：即只摸次球，
生日红包总金额不低于元，即为元或元，
从袋中随机摸出个球，对应的生日红包金额为元的概率为，为元的概率为，
故甲员工所获得的生日红包总金额不低于元的概率为．
当时，“甲员工获得的生日红包总金额为元或元”，
因为，，
所以．
事件“甲员工获得的生日红包总金额为元、元或元”，
因为，所以，
事件的对立事件为“甲员工获得的生日红包总金额为元”，
所以，
所以，
所以事件，不相互独立．
18.【答案】解：，
是在方向上的投影向量，
，即；
法一：在中，由余弦定理得
，
所以，由余弦定理得
，
因为，所以，
故，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，建立平面直角坐标系，如图所示：

易知
因为为中点，所以，
，，，
，
，
即，解得：
所以；
法二：
在中，由余弦定理得
，
所以，由余弦定理得
，
因为，所以，
故，
因为，
所以
，
又
，
由平面向量基本定理得：
，解得：
所以．
19.【答案】解：取中点，连接，，
因为面，所以，
依条件可知，平面，
所以平面，则，
则为所求二面角的平面角．
又面，
为侧棱与底面所成的角．，
设，，，．

连接，，，
为异面直线与所成的角或其补角
，，平面，
平面．又平面，．
，；
延长交于，取中点，连，，．
，，
平面
平面平面
又，，
为正三角形．
又平面平面，
平面
是的等分点，靠近点的位置．
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