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人教B版高一暑假作业3：指数函数与对数函数
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.(2025·内蒙古自治区·期末考试)如图所示的曲线是幂函数在第一象限内的图象．已知分别取，，，四个值，则与曲线，，，相应的依次为 ( )
A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，，
2.(2024·全国·同步练习)已知，则( )
A. B. C. D.
3.(2024·山东省淄博市·期末考试)已知对数式有意义，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.(2025·全国·品牌教辅试题)己知函数与的图象关于直线对称，且，则函数的单调递减区间是( )
A. B. C. D.
5.(2024·浙江省温州市·单元测试)已知 则( )
A. B. C. D.
6.(2025·福建省三明市·期末考试)牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，经过分钟后的温度满足，称为半衰期，其中是环境温度．若，现有一杯的热水降至用时分钟，那么水温从降至，用时为( ) 参考数据：
A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟
7.(2024·湖南省·单元测试)函数的图象是( )
A. B.
C. D.
8.(2024·黑龙江省鸡西市·期末考试)若定义域为的函数同时满足：；当时，；当，时，，则可以是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.(2024·河南省郑州市·模拟题)设，，，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是( )
A. 的增长速度最快，的增长速度最慢
B. 的增长速度最快，的增长速度最慢
C. 的增长速度最快，的增长速度最慢
D. 的增长速度最快，的增长速度最慢
10.(2024·江西省鹰潭市·月考试卷)若，则( )
A. B. C. D.
11.(2024·河北省·单元测试)为了给地球减负，提高资源利用率，年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚．假设某市年全年用于垃圾分类的资金为万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长，则该市全年用于垃圾分类的资金超过亿元的年份可能是参考数据：，
A. 年 B. 年 C. 年 D. 年
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.(2024·江苏省·单元测试)请写出一个幂函数满足以下条件：定义域为；为增函数．则 ．
13.(2025·天津市·月考试卷)若，且，则此时 ，的最小值为 ．
14.(2024·湖南省·联考题)探空气球是将探空仪器带到高空进行温度、大气压力、湿度、风速、风向等气象要素测量的气球，利用探空仪将实时探测到的大气垂直方向上的气象数据反馈给地面雷达，通过数据处理，成为全球预报员制作天气预报的重要依据大气压强对气球能达到的最大高度和停留时间有非常大的影响已知大气压强随海拔高度的变化规律是，其中是海平面大气压强若探空气球在，两处测得的大气压强分别为，，且，那么，两处的海拔高度的差约为 参考数据：
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(2025·湖北省武汉市·期末考试)本小题分
求值：
；
．
16.(2024·河南省·期末考试)本小题分
已知，，．
求的值；
解不等式．
17.(2024·河北省衡水市·期末考试)本小题分
已知指数函数经过点．
1求的解析式及的值；
2若，求的取值范围．
18.(2025·山东省枣庄市·期末考试)本小题分
中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和茶水的温度有关．经验表明，某种绿茶，用一定温度的水泡制，再等到茶水温度降至某一温度时，可以产生最佳口感．某研究员在泡制茶水的过程中，每隔测量一次茶水温度，收集到以下数据：
时间
水温
设茶水温度从开始，经过后温度为，为了刻画茶水温度随时间变化的规律，现有以下两种函数模型供选择：
；．
选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并参考表格中前组数据，求出函数模型的解析式；
若茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感，根据中的函数模型，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？参考数据：，
19.(2024·安徽省合肥市·月考试卷)本小题分
已知幂函数，且在上为增函数．
求函数的解析式；
若函数，求在区间上的最小值．
1.【答案】A
【解析】
解：根据幂函数的性质，在第一象限内的图象，当时，越大，递增速度越快，
故曲线的，
曲线的，
曲线的，
当时，函数单调递减，故 C的，
故依次为，，，，
故选A．
2.【答案】
【解析】
解：为减函数，且，
，，
又在为增函数，
，，
，
故选D．
3.【答案】
【解析】
解：要使对数式有意义，
必须满足
解得或，
又，
故或或，
所以的取值范围为，
故答案选：．
4.【答案】C
【解析】
解：因为函数与的图象关于直线对称，
所以，
因为，
所以，解得：，
所以，
由，可得的定义域为，
令，则在单调递减，在上单调递增，
而在定义域单调递增，
由复合函数的单调性可知：在单调递减，在上单调递增．
故选：．
5.【答案】
【解析】
解：因为，
所以，
又，
所以．
故选A．
6.【答案】D
【解析】解：已知，初始温度，
当热水降至用时分钟，
此时，分钟．
将上值代入公式中，
得．
即，
化简可得．
等式两边取对数得．
根据对数运算法则可得．
又因为，．
所以．
已知，代入可得．
即，
解得．
设水温从降至用时分钟，
此时，，，．
代入公式，
得．
即，
化简可得．
所以，
解得分钟．
故选：．
7.【答案】
【解析】
解：因为所以是偶函数，排除，选项；
当时，所以，排除，故选B．
8.【答案】
【解析】
解：选项：，不满足，故A错；
选项：，满足；单调递增，故满足；
令，则，，
由得，不满足，故B错；
选项：当时，，又，所以为奇函数，
且易得函数在和上单调递增，满足；
令，则，
，，
所以，不满足，故C错；
选项：当时，，
当时，，
当时，，所以满足；
当时，单调递增，满足；
当时，，
，
即，
满足，故D正确．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：由，，在上都是增函数，
随着的增大，的增长速度会越来越快，并且远远大于的增长速度，
而的增长速度会越来越慢，
则的增长速度最快，的增长速度最慢，
故选ACD．
10.【答案】
【解析】
解：若，则，
令，因为为增函数，所以，
对于，取，，则，故A错误；
对于，因为函数为减函数，所以，故B正确；
对于，取，，则，故C错误；
对于，因为函数，所以函数为增函数，
因为，所以，故D正确．
故选BD．
11.【答案】
【解析】
解：设经过年之后该市全年用于垃圾分类的资金超过亿元，
则投入的资金为，
由题意可得：，
即，
，
，
，，
即从年开始该市全年用于垃圾分类的资金超过亿元，
故选CD．
12.【答案】答案不唯一
【解析】
解：已知幂函数定义域为 且为增函数，
所以，满足条件的函数可以为．
答案不唯一
13.【答案】
【解析】
解：，
，
即，
，
，
当且仅当且，即时等号成立，
故的最小值为．
故答案为：；．
14.【答案】
【解析】
解：依题意，，，，
两边取对数得，．
15.【答案】解：原式，
原式．
16.【答案】解：由得，，
代入得，，
又，解得，
则；
因为由得，，
所以不等式，即为，
则，
可得，
解得，
故不等式的解集为．
17.【答案】解：1因为经过点，
所以，所以，
所以 ，
所以；
2因为，即，
又 在上为增函数，
所以，
的取值范围为：．
18.【答案】解：由表格中数据可知，随着时间的增加，茶水温度一直在降低，所以函数最符合实际的函数模型，
把表格中前组数据代入得，
解得，
函数模型的解析式为．
由知，
令得，，
解得，
两边同时取常用对数得：，
所以，
故刚泡好的茶水大约需要放置分钟才能达到最佳饮用口感．
19.【答案】解：，即，
则，解得或，
当时，，
当时，，
在上为增函数，．
由，，，
时，，，
时，图象开口向上，对称轴，
，即时，
，即时，．
时，图象开口向下，对称轴，
，．
综上：时，；
时，．
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