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人教B版高一暑假作业5：平面向量
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.(2024·广东省广州市·单元测试)下列说法错误的是( )
A. 向量与向量长度相等 B. 单位向量都相等
C. 向量的模可以比较大小 D. 任一非零向量都可以平行移动
2.(2024·山东省淄博市·月考试卷)如图，在中，点是线段上靠近的三等分点，则( )
A. B. C. D.
3.(2024·安徽省合肥市·期中考试)正方形的边长为，则( )
A. B. C. D.
4.(2025·广东省汕头市·期末考试)在中，点在线段上，且，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若，，则( )
A. B. C. D.
5.(2024·山东省东营市·期末考试)已知向量，，若，则实数( )
A. B. C. D.
6.(2024·重庆市市辖区·月考试卷)已知，是不共线的向量，，，，若三点共线，则实数，满足( )
A. B. C. D.
7.(2024·广东省·单元测试)八卦是中国文化的基本哲学概念，图是八卦模型图，其平面图形为图所示的正八边形，其中，给出下列结论：
与的夹角为；
；
；
在上的投影向量为其中为与同向的单位向量．
其中正确结论为( )
图 图
A. B. C. D.
8.(2025·浙江省杭州市·其他类型)已知平面向量，，满足，对任意实数恒成立若对每一个确定的，对任意实数，，有最小值当变化时，的值域为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.(2024·湖北省襄阳市·月考试卷)一艘船在静水中的航行速度为，河水的流速为，则船的实际航行的速度可能为( )
A. B. C. D.
10.(2025·陕西省·月考试卷)下列四个命题为真命题的是( )
A. 若向量、、，满足，，则
B. 若向量，，则在上的投影向量为
C. 若向量是与向量共线的单位向量，则
D. 已知向量，，则的最大值为
11.(2024·福建省·单元测试)下列命题中正确的是( )
A. 若，则
B.
C. 若向量是非零向量，则与方向相同
D. 若，则存在唯一实数使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.(2024·福建省·月考试卷)如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为 ．
13.(2024·浙江省杭州市·期中考试)若是所在平面内的一点，且满足，则的形状为
14.(2025·全国·专项测试)赵爽是我国古代数学家，大约在公元年，他为周髀算经一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”以弦为边长得到的正方形由个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则的值为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(2024·湖北省孝感市·单元测试)本小题分
如图，是正六边形的中心，且，，在以这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问：
与相等的向量有哪些？
的相反向量有哪些？
与模相等的向量有哪些？
16.(2024·江苏省苏州市·期末考试)本小题分
已知与同向，，．
求的坐标；
若，求及．
17.(2024·山西省临汾市·期中考试)本小题分
如图，在中，，，，点，满足，，边上的中线与交于点设，．
用向量，表示，
求的大小．
18.(2025·北京市·同步练习)本小题分
某沿海城市附近海面有一台风，据观测，台风中心位于城市正南方向的海面处，并正以的速度向北偏西方向移动其中，台风当前影响半径为，并以的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风影响？影响时间多长？
19.(2025·河南省郑州市·联考题)本小题分
如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为已知在仿射坐标系下，．
求向量，的仿射坐标
当时，求
设，若对恒成立，求的最大值．
1.【答案】
【解析】
解：对于，和长度相等，故A正确；
对于，单位向量长度都为，但方向不确定，故B错误；
对于，向量的长度可以比较大小，即模长可以比较大小，故C正确；
对于，向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，即D正确．
故选：．
2.【答案】
【解析】
解：在中，点是线段上靠近的三等分点，则，
所以．
故选B．
3.【答案】
【解析】
解：如图，，
．
故选：．
4.【答案】D
【解析】
解：连接，如图所示：
因为，
所以，
又因为，，
所以，
又因为、、三点共线，
所以，
所以．
故选：．
5.【答案】
【解析】
解：向量，，．
，
，，解得．
故选：．
6.【答案】
【解析】
解：由，，，
可得，，
若三点共线，则，可得，化简得．
故选B．
7.【答案】
【解析】
解：由图可知，，故错误；
，所以，故正确；
因为，故不成立，故错误；
在上的投影向量的方向与的方向相反，故错误．
故选B．
8.【答案】D
【解析】
解：由，两边平方得，
又，且对任意实数恒成立，
即恒成立，所以，
即，所以，即，
由，，可知，
在平面直角坐标系中，设，，，
则，，在以原点为圆心，半径为的圆上，不妨设，，如图，
最小值的几何意义即为到和的距离和，
要求的值域，由对称性，只需考虑在轴及其上方时，
如图，当点位于劣弧上时，设，，
所以，即，
如图，当点位于优弧上时，设，，
，
综上的值域为，
故选D．
9.【答案】
【解析】
解：一艘船在静水中的航行速度为，河水的流速为，
船实际的航行速度是船在静水中的速度和河水的流速的合速度，根据平行四边形法则得，
船的实际航行的速度取值范围为．
故选BC．
10.【答案】BD
【解析】
解：对，若，则与不一定平行，故A错误；
对，在上的投影向量为：
，
因为，故，故B正确；
若向量是与向量共线的单位向量，
则或，故C错误；
向量，，
，
，其中，，
所以当时，取最大值，最大值为，故D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】
解：，因为向量不能比较大小，所以选项A错误
，因为，所以选项B正确
，因为向量，是非零向量，
所以，
则 与方向相同，故选项C正确
，若，当为非零向量，时不存在实数使得，故选项D错误．
故选BC．
12.【答案】
【解析】
解：是上的一点，
设，由，
则
，
，，
解得，，
故答案为．
13.【答案】直角三角形
【解析】
解：由，得．
设是的中点，则，即，
所以为直角三角形．
故答案为直角三角形．
14.【答案】
【解析】
解：，可设，
，
又由题意可得，
，
，
延长交于，记，，
，
，即，，
又由题意易知，则，
在三角形中，由正弦定理可得：，
即，
，
，
，
及，
整理得，
，
又因为，由平面向量的基本定理可得，，
．
15.【答案】解：由相等向量定义知：与相等的向量有；
由相反向量定义知：的相反向量有；
由向量模长定义知：与模相等的向量有．
16.【答案】解：设，
则，
，．
，，
，
．
17.【答案】解：由，可知，，
则，，
所以
又为边上的中线，
所以；
由，得，，
又，所以向量与的夹角为，则，
由图形可知，的大小等于向量与的夹角，
又，
，
，
所以，
又，
所以．
18.【答案】解：如图，
设该市为，经过小时后台风开始影响该城市，则小时后台风经过的路程，台风半径为，需满足条件：；
，
，
整理得
即解得
小时后台风开始影响该市，持续时间达小时．
19.【答案】解：由已知得，
同理，
所以的仿射坐标为，的仿射坐标为；
当时，，，，
所以，
，
，
所以；
，
，
，
由可知，
得对恒成立，
又，
所以，
得，
此时
，
因为，，所以，
所以，所以，
所以的最大值为．
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