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人教B版高一暑假作业8：立体几何初步
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.(2024·山东省菏泽市·其他类型)下面四个条件中，能确定一个平面的条件是( )
A. 空间任意三点 B. 空间两条直线 C. 两条平行线 D. 一条直线和一个点
2.(2024·广东省·单元测试)下列几何体中是棱柱有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3.(2025·湖北省武汉市·月考试卷)如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形是( )
A. 面积为的矩形 B. 面积为的矩形
C. 面积为的菱形 D. 面积为的菱形
4.(2024·河北省·其他类型)九章算术中，将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马若阳马以如图所示的正六棱柱的顶点为顶点，以正六棱柱的侧棱为垂直于四棱锥底面的侧棱，则阳马的个数为( )
A. B. C. D.
5.(2024·广东省·单元测试)攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖．通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，园林建筑．如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知其轴截面过圆锥旋转轴的截面是底边长为，顶角为的等腰三角形，则该屋顶的侧面积约为( )
A. B. C. D.
6.(2024·浙江省杭州市·其他类型)已知，，为球的球面上的三个点，为的外接圆，若的面积为，，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
7.(2024·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市·期中考试)如图，点，，，，为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是( )
A. B.
C. D.
8.(2025·浙江省·模拟题)已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，若球的表面积为，则三棱锥的侧面积的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.(2024·浙江省·期中考试)已知，，表示不同的点，表示直线，，表示不同的平面，则下列推理正确的是 ．
A.
B.
C.
D.
10.(2024·福建省·期中考试)如图，已知正方体的棱长为，则下列四个结论正确的是( )
A. 直线与为异面直线 B. 平面
C. 正方体的外接球的表面积为 D. 三棱锥的体积为
11.(2025·湖南省株洲市·月考试卷)如图，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有边长均相同，如图，设，则下列说法正确的是( )
A. 该多面体的体积为
B. 过、、三点的平面截该多面体所得的截面面积为
C. 设点为平面截该多面体所得截面多边形内一点包括边界，则的取值范围为
D. 该多面体的外接球表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.(2024·安徽省安庆市·月考试卷)在正方体中，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
13.(2024·广东省·单元测试)设棱长为的正方体的体积和表面积分别为，，底面半径和高均为的圆锥的体积和侧面积分别为，，若，则的值为 ．
14.(2025·浙江省金华市·其他类型)在三棱锥中，，且，若三棱锥的外接球表面积的取值范围为，则三棱锥体积的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(2025·山东省·单元测试)本小题分
用斜二测画法画边长为的水平放置的正三角形如图的直观图．
16.(2024·安徽省·单元测试)本小题分
已知、、是三个平面，，，
若，求证：、、三线共点；
若，试判断直线与直线的位置关系，并证明你的判断．
17.(2025·海南省海口市·期中考试)本小题分
如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为，高为，圆锥母线为．
计算该模型的体积结果精确到
现需使用油漆对个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方米元，总费用是多少？结果精确到元
18.(2024·浙江省·单元测试)本小题7分
如图，在四棱锥中，平面平面，平面，，是的中点．
求证：；
求证：平面平面；
若是线段上任意一点，试判断线段上是否存在点，使得平面？请说明理由．
19.(2024·江西省上饶市·模拟题)本小题分
如图，在棱长为的正方体中，，，分别为，，的中点．
过作该正方体的截面，使得该截面与平面平行，写出作法，并说明理由
设，分别为棱，上一点，，与均不重合，且，求三棱锥体积的最大值．
1.【答案】
【解析】
解：对于：当这三个点共线时经过这三点的平面有无数个，故A错．
对于：当这两条直线是异面直线时，则根据异面直线的定义可得这对异面直线不同在任何一个平面内，故B错．
对于：根据确定平面的基本事实的推论可知两条平行线可唯一确定一个平面，故C对；
对于：此点在此直线上时有无数个平面经过这条直线和这个点，故D错．
故选C．
2.【答案】
【解析】
解：棱柱的结构特征有三方面：有两个面互相平行；其余各面是平行四边形；这些平行四边形面中，每相邻两个面的公共边都互相平行当一个几何体同时满足这三方面的结构特征时，这个几何体才是棱柱很明显，几何体均不符合，仅有符合，
故选D．
3.【答案】C
【解析】
解：由题意可得 ，所以 ，
故在原图中， ，
，
所以四边形 为菱形如图所示， ，
则原图形面积为 ．

故选：．
4.【答案】
【解析】
解：根据正六边形的性质，以正六棱柱下底面的顶点为顶点的内接矩形共个，而每个矩形可以形成个不同的阳马，
所以阳马的个数是．
同理，以上底面中的矩形为底面的情况下也有个阳马，因此共有个不同的阳马．
故选B．
5.【答案】
【解析】
解：作出该圆锥截面如图，由已知可知，该圆形攒尖的底面圆半径，母线，侧面积．
6.【答案】
【解析】
解：由圆的面积为，故圆的半径，
，则三角形是正三角形，
由正弦定理：，得，
由，得球的半径，
表面积为，
故选A．
7.【答案】
【解析】
解：对于，作出完整的截面，由正方体的性质可得，可得直线平面，能满足；
对于，作出完整的截面，由正方体的性质可得，可得直线平面，能满足；
对于，作出完整的截面，由正方体的性质可得，可得直线平面，能满足；
对于，作出完整的截面，可得在平面内，不能得出平行，不能满足．
故选：．
8.【答案】A
【解析】
解：设球的半径为，，，
由，得可将三棱锥补成一个长方体，
，
．
三棱锥的侧面积△ABC
．
由，得，当且仅当时取等号，
由，得，
当且仅当时取等号，
，当且仅当时取等号，
三棱锥的侧面积的最大值为．
故选：．
9.【答案】
【解析】
解：对于：，则点可能在面内，也可能不在面内故A错误；
对于：为公理得，可判断面面相交故B正确；
对于：为公理得，可判断出线在面内故C正确；
对于：说明直线与平面有公共点，又，所以故D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】
解：已知正方体的棱长为．
对于，因为平面，又直线与平面交于点，
，故直线与没有交点，
故直线与为异面直线，故A正确；
对于，易得，又平面，平面，
平面，故B正确；
对于，正方体的外接球的半径为，
所以正方体的外接球的表面积为，故C正确；
对于，三棱锥的体积为 ，故D错误．
故选ABC．
11.【答案】ACD
【解析】解：由已知，则正方体棱长，
所以多面体体积，选项正确；
由平面的性质可知过、、三点的平面截该多面体所得的截面为边长为的正六边形，
其面积为，选项错误；
如图所示，
以为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，
则，，设点，且，，
则，，
所以，即，选项正确；
由多面体性质可知其外接球球心为该多面体的体心，即正方体体心，设为，
则外接球半径为，
即外接球表面积为，选项正确；
故选：．
12.【答案】
【解析】
解：如图连结，．
由于，
则即为异面直线与所成的角，
设，
则，，，．
13.【答案】
【解析】
解：不妨设，，
故，即，
所以．
又，即，
所以，即，
所以．
故答案为．
14.【答案】
【解析】
解：如图，由题意可将三棱锥补形为三棱柱，
故三棱锥的外接球即为三棱柱的外接球，

因为，即，
，平面，
所以平面，
故三棱柱是高为的直三棱柱，
由题可设，
则由题意以及余弦定理得
，
所以的外接圆半径为
，
所以外接球的半径为
，
所以外接球表面积为
，
则，
，
所以，则
由三棱柱的结构性质及题意可知
，
且
所以，
又由上，
所以，
即三棱锥体积的取值范围为．
故答案为：．
15.【答案】解：如图，设为的中点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建系如图，
画相应的轴，两轴交于点，使．
取，在轴上取，使．
连接，去除辅助线，得到正三角形的直观图三角形．

16.【答案】解：证明：，，，
，，，，，，
又，，即，，，
、、三线共点．
解：．
证明如下：
，，，，，
又，，
又，，．
17.【答案】解：设圆锥的高为，
由题意得圆锥母线为，
则，
即该模型的体积约为；
圆柱的侧面积为，圆柱的上底面的面积为，
圆锥侧面积为．
，
故总费用为元，
使用油漆对个该种模型进行涂层，总费用约是元．
18.【答案】解：证明：平面，平面，平面平面，
所以．
证明：因为平面平面，平面平面，
因为，，则，所以平面，又因为平面，
所以平面平面．
当为中点时，平面．
证明：取的中点，连接，，，分别为，的中点，所以，平面，平面，所以平面，
又因为，，所以四边形为平行四边形，
所以，平面，平面，所以平面，，所以平面平面，又因为平面，所以平面．
线段上存在点，使得平面．
19.【答案】解：取的中点，
连接，，，，所以截面为要求作的截面．
理由如下：
因为，分别为，的中点，所以，
又平面，平面，所以平面．
在正方形中，因为为的中点，所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以，同上可得平面．
又，，平面，所以平面平面．
连接，易证，，则，
所以，，，四点共面，从而截面为要求作的截面．
设，，由，
得，则，
当且仅当时，等号成立．
，
因为，所以三棱锥体积的最大值为．

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