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人教B版高一暑假作业9：高一综合（1）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.(2024·山东省滨州市·其他类型)已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.(2025·云南省昭通市·期末考试)已知正实数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
3.(2025·广西壮族自治区·单元测试)函数在区间上的图像大致为( )
A. B.
C. D.
4.(2024·湖北省鄂州市·月考试卷)函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.(2024·江苏省盐城市·月考试卷)在中，“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.(2024·湖北省孝感市·月考试卷)数学可以刻画现实世界中的和谐美，人体结构、建筑物、国旗、绘画、优选法等美的共性与黄金分割相关．黄金分割常数也可以表示成，则( )
A. B. C. D.
7.(2024·广东省珠海市·联考题)如图，在平行四边形中，，．与交于点设，，若，则( )
A. B. C. D.
8.(2024·安徽省合肥市·模拟题)中国古建筑的屋檐下常系挂风铃，风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊马铃若一个惊鸟铃由铜铸造而成，且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥，两圆锥的轴在同一条直线上，截面图如下，其中，，，若不考虑铃舌，则下列数据比较接近该惊鸟铃质量的是（ ）参考数据：，铜的密度为

A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.(2024·广东省·历年真题)对于给定实数，关于的一元二次不等式的解集可能是( )
A. B.
C. D.
10.(2025·浙江省金华市·期中考试)饮料瓶的主要成分是聚对苯二甲酸乙二醇酯，简称“”随着垃圾分类和可持续理念的普及，饮料瓶作为可回收材料的“主力军”之一，得以高效回收，获得循环再生，对于可持续发展具有重要意义，上海某高中随机调查了该校某两个班班，班月份每天产生饮料瓶的数目单位：个，并按，，，，，分组，分别得到频率分布直方图如下：下列说法正确的是( )
A. 班该月平均每天产生的饮料瓶个数估计为
B. 班月产生饮料瓶数的第百分位数
C. 已知该校共有学生人，则约有人月份产生饮料瓶数在之间
D.
11.(2024·山东省德州市·模拟题)已知函数图像的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为，则( )
A. 函数的最小正周期为
B. 将函数的图像向左平移个单位长度后所得图像关于原点对称
C. 函数在上为增函数
D. 设，则在内有个极值点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.(2024·湖北省荆州市·其他类型)给出下列结论：
高一班有女生人，男生人，从中任找人，则找出女生的可能性大于男生的可能性
有一批产品，其次品率为，则从中任取件，必有件是次品
做次抛硬币的试验，结果次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是
抽签个同学中至少有个同学的生日在同一个月的概率是
乒乓球赛前决定谁先发球方法是从共个数字中各抽取个，再比较大小，这种抽签方法是公平的
昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为”的说法是错误的．
根据我们所学的概率知识，其中说法正确的序号是 ．
13.(2024·湖北省·联考题)如图，在中，，，，、分别是边，上的点，，且，点是线段的中点，且，则 ．
14.(2024·黑龙江省·单元测试)如图，矩形中，，为的中点，将沿直线翻折，构成四棱锥，为的中点，则在翻折过程中，
对于任意一个位置总有平面；
存在某个位置，使得；
存在某个位置，使得；
四棱锥的体积最大值为．
上面说法中所有正确的序号是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(2025·山东省·单元测试)本小题分
已知集合，．
若“”是“”的充分条件，求的取值范围
若，求的取值范围
若集合的元素中有且只有两个是整数，求的取值范围．
16.(2024·江西省·期中考试)本小题分
如图，在平行四边形中，，设，．
Ⅰ用，表示，；
Ⅱ用向量的方法证明：，，三点共线．
17.(2024·江西省宜春市·其他类型)本小题分
已知，，，，求：
的值；
的值．
18.(2024·河南省·联考题)本小题分
已知函数，函数．
求函数的解析式；
试判断函数在区间上的单调性，并证明；
求函数的值域．
19.(2025·广西壮族自治区·模拟题)本小题分
如图是一个正四棱台的铁料，上、下底面的边长分别为和，高．
求四棱台的表面积；
若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，求削去部分与圆台的体积之比．
1.【答案】
【解析】
解：，
，
．
故选D．
2.【答案】C
【解析】
解：因为，，所以，，
又，所以，
所以
，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值为．
故选：．
3.【答案】C
【解析】
解：由题知设，，
则，
故为定义在上的奇函数，故排除；
又，故排除，．
4.【答案】
【解析】解：由函数为奇函数，
得：若，则，
则，即，
又函数在上单调递减，
，
解得：，
的取值范围是．
故选D．
5.【答案】
【解析】
解：在三角形中，，
当 ，因为 在 内单调递减，所以 ，
所以“ ”是“ ”的充分条件；
当 时，因为 在 内单调递减，所以 ，所以“ ”是“ ”的必要条件．
综上可得“”是“”的充要条件．
故选：．
6.【答案】
【解析】
解：由已知可得，
则，
故选：．
7.【答案】
【解析】
解：连接，，
三点共线，可设，则，
；
三点共线，可设，则，
；
，解得：
，即．
故选：．
8.【答案】
【解析】
解：由题意可得惊鸟铃的体积约为，
所以该惊鸟铃的质量约为．
故选：．
9.【答案】
【解析】
解：由，分类讨论如下．
当时，，故A正确
当时，
当时，或
当时，，故B正确
当时，或．
故选AB．
10.【答案】AB
【解析】
解：对于，由题意可知，
解得，故D错误；
对于，班的平均值为：
，故A正确；
对于，，
，
故B班月产生饮料瓶数的第百分位数在之间，
故
，解得，故B正确；
对于，因为班，班月份产生饮料瓶数在的频率都为，
故预计月份产生饮料瓶数在之间的人数为，故C错误．
故选AB．
11.【答案】
【解析】
解：函数图像的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为，
对于：故，所以，故A正确；
所以，故；
对于：将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的图像，所得图像关于原点对称，故B正确；
对于：由于，所以，故函数在该区间上单调递减，故C错误；
对于：由于，，所以为奇函数，
当时，，，
令，则，得，
所以函数在上有个极值点，故函数在内有个极值点，故D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】
解：对于，找出女生的概率为，找出男生的概率为，所以找出女生的可能性小于男生的可能性，故错误；
对于，取出次品的概率为，则从中任取件，可能有件是次品，故错误；
对于，正反面出现的概率都是，所以出现正面朝上的概率是，故错误；
对于，因为一年个月，所以有个同学中至少有个同学的生日在同一个月是一定会发生的事件，因而为必然事件，所以概率为，故正确；
对于，抽到每个签的概率均为，所以公平，故正确；
对于，概率只是反映事件发生的可能性，并不说明一定会发生，故错误．
故答案为：
13.【答案】
【解析】
解：由题意，，
所以，
因为，
所以，
所以；
由是的中点，所以；
所以．
又，，
所以
化简可得，
又，
所以，，
所以．
14.【答案】
【解析】
解：如图，分别取，的中点为，，连接，，，，
因为，的中点分别为，，所以，且，
即四边形为平行四边形，故E，由线面平行的判定可知对于任意一个位置总有平面，故正确；
因为，，所以与不垂直，由可知，与不垂直，故错误；
由题意，若，则由线面垂直的判定可得平面，则，
因为，所以与全等，则，此时点与点重合，不能形成四棱锥，故错误；
如图，取的中点为，连接，，
当平面时，四棱锥的体积最大，最大值为，故正确；
故答案为：．
15.【答案】解：由题意得，或，
所以．
因为“”是“”的充分条件，所以，
所以，解得．
因为，所以，
当时，，解得，
当时，或
解得或．
综上，的取值范围为
由得，
则中有且只有两个整数时，
或．
解得或．
16.【答案】Ⅰ解：平行四边形中，，
由于，，则，又，则在中，有，
Ⅱ证明：，
在中，，
即，又与有公共点，则，，三点共线．
17.【答案】解：因为，，
所以，，
所以，
，
所以
；
因为，，
所以，
所以，
所以．
18.【答案】解：
令，则，
，
，即，
．
函数在区间上单调递增．
证明：任取，
则，
又，
，即，
函数在区间上是增函数．
当时，，
当且仅当时，等号成立．
当时，，
当且仅当时，等号成立．
的值域为．
19.【答案】解：在正四棱台中，分别取上、下底面的中心，连接，则，
分别取的中点，连接，过作于，
因为在正四棱台中，，，
所以，
在中，，
所以正四棱台的表面积为：
；
若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，则圆台的上下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为正四棱台的高，
则圆台的上底面半径为，下底面半径为，高，
所以圆台的体积为，
因为正四棱台的体积为，
所以削去部分的体积为，
所以削去部分与圆台的体积之比．
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