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人教B版高一暑假作业10：高一综合（2）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.(2024·广东省·单元测试)设复数的共轭复数为，且，则( )
A. B. C. D.
2.(2024·河北省·模拟题)设全集，集合，，则韦恩图中阴影部分表示的集合为( )
A. B. C. D.
3.(2024·广东省·自主招生题)已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.(2025·安徽省·期中考试)一物体在力的作用下，由点移动到点已知，则对该物体所做的功为( )
A. B. C. D.
5.(2024·辽宁省·联考题)已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.(2025·山东省临沂市·月考试卷)十二水硫酸铝钾是一种无机物，又称明矾，是一种含有结晶水的硫酸钾和硫酸铝的复盐。我们连接一个正方体各个面的中心，可以得到明矾晶体的结构，即为一个正八面体如图。假设该正八面体的所有棱长均为，则二面角的余弦为( )
A. B. C. D.
7.(2024·重庆市·模拟题)对于一个古典概型的样本空间和事件，，，，其中，，，，，，，，则( )
A. 与不互斥 B. 与互斥但不对立
C. 与互斥 D. 与相互独立
8.(2025·河南省安阳市·模拟题)已知函数在时满足恒成立，且在区间内，仅存在三个数，，，使得，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.(2024·江苏省苏州市·其他类型)若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是( )
A. B. C. D.
10.(2024·湖南省·月考试卷)已知在中，角，，的对边是，，，已知，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则无解 B. 若，则恰有一解
C. 若，则有两解 D. 若，则有两解
11.(2024·浙江省杭州市·其他类型)下列说法中正确的为( )
A. 已知，，且与的夹角为锐角，则
B. 已知，不能构成平面内所有向量的一个基底
C. 若与平行，在方向上的投影向量为
D. 若非零，满足，则与的夹角是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.(2024·湖南省邵阳市·联考题)函数的单调递增区间是 ．
13.(2025·湖南省·单元测试)已知某地区中小学生的人数和近视率情况分别如图和图所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则抽取的高中生中近视的人数为 ．
14.(2024·全国·月考试卷)已知，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(2024·江苏省·其他类型)本小题分
已知，．
当时，求；
已知“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．
16.(2025·广东省·单元测试)本小题分
已知中，过重心的直线交边于，交边于点、不与的顶点重合，设的面积为，的面积为，，．
求证：．
求的取值范围．
17.(2025·浙江省绍兴市·期末考试)本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的 中点．

求证：平面；
求侧面与底面所成二面角的余弦值．
18.(2024·江苏省镇江市·单元测试)本小题分
数字人民币在数字经济时代中体现的价值、交易媒介和支付手段职能，为各地数字经济建设提供了安全、便捷的支付方式，同时也为金融监管、金融产品设计提供更多选择性和可能性苏州作为全国首批数字人民币试点城市之一，提出了年交易金额达万亿元的目标现从使用数字人民币的市民中随机选出人，并将他们按年龄单位：岁进行分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到如图所示的频率分布直方图．
求直方图中的值和第百分位数
在这位市民中用分层随机抽样的方法从年龄在和内抽取位市民做问卷调查，并从中随机抽取两名幸运市民，求两名幸运市民年龄都在内的概率．
19.(2024·江苏省苏州市·联考题)本小题分
已知函数是定义域上的奇函数，．
求的解析式
判断并证明函数在上的单调性
若函数，若对，，都有，求实数的取值范围．
1.【答案】
【解析】
解：设，则，
由，得，
所以，即，．
所以．
故选C．
2.【答案】
【解析】
解：由图知阴影部分为的元素去掉的元素组成的集合，因为，所以阴影部分表示的集合为．
故选C．
3.【答案】
【解析】
解：在上投影向量
故选：
4.【答案】A
【解析】解：由题意得，，又，对物体做的功．
故选：．
5.【答案】
【解析】
解：依题意， ，， ，
故．
故选D．
6.【答案】C
【解析】
解：如图，连接，交于点，连接，易知过点，取的中点，连接，，根据正八面体的几何特征，
可知，，又 平面， 平面，平面 平面，为二面角的平面角易知平面，则，是直角三角形，又 ，， ， 在等边三角形中， ，同理 ．
在中， ，故选C．
7.【答案】
【解析】
解：，，，
，与互斥，故A错误；
由，、互斥且对立，故B错误；
，，则，与不互斥，故C错误；
由，，，
，与相互独立，故D正确．
故选：．
8.【答案】C
【解析】解：时，，
令，则当时，，
故要想在时满足恒成立，
需满足，不妨取，
，，
画出在上的图象，如下：
由图象可知，
则，
故，
两式相加得，
所以．
故选：．
9.【答案】
【解析】
解：若“或”是“的必要不充分条件，
则或 ，
所以或，
解得或，
结合选项知实数的值可以为，，．
故选ACD．
10.【答案】
【解析】
解：在中，，，
由正弦定理得，则，即，
因为，所以．
若，则，所以无解，故A正确；
若，则，又，则，故有一解，故B正确；
若，则，又，则或，故有两解，故C正确；
若，则，又，则，故有一解，故D不正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】
解：对于，，，，
与的夹角为锐角，，且时，与的夹角为，所以且，故A错误；
对于，向量，即共线，故不能构成平面内所有向量的一个基底，故B正确：
对于，若，则在方向上的投影向量为，故C错误；
对于，因为，两边平方得，
又，则，
则，
，
故，
而向量的夹角范围为，得与的夹角为，故D正确．
故选BD．
12.【答案】
【解析】
解：由，得或，
故函数的定义域为，
设，
则 是由和复合而成的复合函数，
在上递增，在上递减，
而在递增，
所以的单调递增区间为．
故答案为．
13.【答案】
【解析】
解：该地区中小学生共有名，
用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，
则样本容量为名，
抽取的高中生有名，
因为高中生的近视率为，
故抽取的高中生中近视的人数为．
故答案为．
14.【答案】
【解析】
解：因为，
所以，，且，所以，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
故答案为：．
15.【答案】解：由，得，即，
解得，
故．
由，得，解得．
即．
当时，，所以，
所以；
由“”是“”的必要条件，
得，故，解得，
故实数的取值范围．
16.【答案】解：设，
，，
，，
三点共线，
则存在，使得，即，
即，
，整理得，
即，即，即；
由，，
，
，，可知，
，
，，
则当时，取得最小值，当时，取得最大值，
，则的取值范围为．
17.【答案】解：证法一：在正方形 中， ，
又侧面 底面 ，侧面 底面 ，
底面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
因为 是正三角形， 是 的中点，所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
证法二：在正方形 中， ，
又侧面 底面 ，侧面 交底面 于 ， 底面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，故平面平面，
是正三角形， 是 的中点，所以，
又平面交平面于，平面，故平面 ．
取，的中点分别为，，连接 ，，，
则 ， ，因为 ，所以 ，
又在正 中， ，
因为， 平面，所以平面 ，
正方形 中，，所以 平面 ，
平面 ，则，
所以 是侧面 与底面 所成二面角的平面角，
因为 平面 ， ，所以 平面 ，
因为平面 ，所以 ，
设正方形 的边长 ，则， ，
所以 ，所以 ，
即侧面与底面 所成二面角的余弦值为
18.【答案】解：由题意得，所以．
因为内的频率为，
内的频率为，
所以第百分位数在内设第百分位数为，则，
解得，所以第百分位数为．
用分层抽样的方法抽取的位市民中，年龄在内的有人，分别记为，，，
年龄在内的有人，分别记为，．
从人中任取名作为幸运市民的试验样本空间
，
共个样本点．
设“两名幸运市民年龄都在内”为事件，
则，共个样本点，
所以两名幸运市民年龄都在内的概率．
答：的值为第百分位数为．
两名幸运市民年龄都在内的概率为．
19.【答案】解：知，所以，所以，
，所以，
，此时，为奇函数，
所以；
函数在上单调递增．
设，则
因为，，，，
所以，
从而函数在上单调递增；
，
对，，都有，只需要，
令，则在单调递增，所以，
，对称轴，
当时，，得，故
当时，，得，故
当时，，得，故
当时，，得，故
综上：实数的取值范围是
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