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人教B版高一暑假作业11：高一综合（3）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.(2024·广东省深圳市·期中考试)设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.(2024·湖北省黄冈市·月考试卷)设，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.(2024·浙江省·联考题)已知函数，则( )
A. 为奇函数 B. 为偶函数
C. 为奇函数 D. 为偶函数
4.(2024·福建省·单元测试)如图所示，向量在一条直线上，且则( )
A. B.
C. D.
5.(2025·山东省·单元测试)甲骑自行车从地到地，途中要经过个十字路口，已知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是，且在每个路口是否遇到红灯相互独立，那么甲在前两个十字路口都没有遇到红灯，直到第个路口才首次遇到红灯的概率是( )
A. B. C. D.
6.(2025·云南省文山壮族苗族自治州·月考试卷)“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.(2024·浙江省·模拟题)已知，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.(2025·陕西省西安市·模拟题)中国古建筑闻名于世，源远流长．如图所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图所示，在结构示意图中，已知四边形为矩形，，，与都是边长为的等边三角形，若点，，，，，都在球的球面上，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.(2024·天津市市辖区·模拟题)已知、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，下列说法中正确的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，，则
10.(2024·浙江省温州市·课时练习)从参加安全知识竞赛的学生中随机抽出名学生，将其成绩均为整数整理后画出的频率分布直方图如图所示．已知分以下的学生共人，则下列说法正确的是( )
A.
B. 这名学生的平均成绩约为分
C. 根据此频率分布直方图可计算出这名学生成绩的中位数约为分
D. 根据此频率分布直方图可计算出这名学生成绩的上四分位数约为分
11.(2024·安徽省·单元测试)已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的是( )
A. 是奇函数 B.
C. 的图像关于对称 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.(2024·江苏省苏州市·其他类型)设经过的重心的直线与，分别交于，两点，若，，，，则的最小值 ．
13.(2025·江西省南昌市·期末考试)电除尘器是火力发电厂必备的配套设备，它的功能是将燃煤或燃油锅炉排放烟气中的颗粒烟尘加以清除，从而大幅度降低排入大气层中的烟尘量，这是改善环境污染，提高空气质量的重要环保设备其除尘效率与驱进速度之间的函数关系为，其中为烟气量，总除尘面积，若在烟气量与总除尘面积一定的情况下，除尘效率时，驱进速度为；除尘效率时，驱进速度为，则 结果保留两位有效数字参考数据：．
14.(2025·湖北省咸宁市·其他类型)在棱长为的正方体中，点是该正方体表面及其内部的一个动点，且平面，则线段的长的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(2024·四川省·其他类型)本小题分
在平面直角坐标系中，为坐标原点，，．
若，求实数的值
设，若，的夹角为钝角，求实数的取值范围．
16.(2024·湖北省省直辖县级行政区划·其他类型)本小题分
已知，且的最小正周期为．
求关于的不等式的解集；
求在上的单调区间．
17.(2024·陕西省汉中市·期末考试)本小题分
从某学校的名男生中随机抽取名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为人同一组的数据用该组区间的中点值为代表．
求第七组的频率；
估计该校名男生身高的平均数和分位数；
若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为，事件，求．
18.(2024·重庆市·期末考试)本小题分
关于的一元二次方恒有两个实数根，．
当且两个根皆为负时，求实数的取值范围；
不等式恒成立，求实数的最大值．
19.(2025·湖北省武汉市·联考题)本小题分
某棒球场要举办大型活动，该活动要一块矩形场地，现对棒球场的扇形空地进行改造如图所示，矩形区域为活动区域，已知扇形的半径为米，圆心角为，现要探究在该扇形内截取一个矩形，应该如何截取，可以使得截取的矩形面积最大一种方案是将矩形的一边放在上，另外两个顶点，分别在弧和上，其中如图所示
若按方案一来进行修建，求活动场地面积的最大值
改造活动场地的另一种方案是，将矩形一边的两个顶点，在弧上，另外两个顶点，分别在和上，有如图所示比较两种方案，哪种方案更优
1.【答案】
【解析】
解：因为集合，，
．
故选C．
2.【答案】
【解析】
解：，，
在复平面内对应的点为，在第三象限．
故选C．
3.【答案】
【解析】
解：方法一：，，则原函数关于对称，图象向左平移个单位，关于轴对称，故选B．
方法二：，函数关于轴对称，为偶函数，B正确．
4.【答案】
【解析】
解：由得
．
， 即．
故选D．
5.【答案】C
【解析】
解：由题意可得甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是，甲在每个十字路口没有遇到红灯的概率都是，
那么甲在前两个十字路口都没有遇到红灯，直到第个路口才首次遇到红灯的概率是，
故选C．
6.【答案】A
【解析】
解：由“”可得“”，
反之，由“”得“或”
则“”是“”的充分不必要条件．
故本题选A．
7.【答案】
【解析】
解：因为，，且，
所以，
当且仅当，即，时等号成立．
故选D．
8.【答案】D
【解析】
解：如图，连接，，设，
因为四边形为矩形，所以为矩形外接圆的圆心．
连接，则平面，分别取，，的中点，，，
根据几何体的对称性可知，直线交于点．
连接，则，且为的中点，因为，所以，
连接，，在与中，易知，
所以梯形为等腰梯形，所以，且．
设，球的半径为，连接，，
当在线段上时，由球的性质可知，
易得，则，此时无解．
当在线段的延长线上时，由球的性质可知，
，解得，所以，
所以球的表面积，
故选：．
9.【答案】
【解析】
解：由，，得，又由，得，A正确；
由，，得，又由，得，B正确；
若，，，，可能平行也可能是异面直线，C错误；
由面面垂直的性质定理知D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】
解：由题意得，得，故A正确；
由，得，所以名学生的平均成绩约为分，故B正确；
设这名学生成绩的中位数为分，则，得，故C错误；
设这名学生成绩的上四分位数为分，则，得，故D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：由题设，，即，则关于对称，且，C正确；
，即，关于对称，
所以，即周期为，
且，即为偶函数，A错误；
则，B正确；
又，且，都有，即在上单调递增，
又关于对称，则上单调递减，故，D正确．
故本题选BCD．
12.【答案】
【解析】
解：，
由题意可知点，，三点共线，则，
所以，
当且仅当且，即，时取等号．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：由题意可得：，整理可得
两式相比可得．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】
解：连接，
正方体中由与平行且相等得是平行四边形，从而，
又平面，平面，
所以平面，同理平面，
又，平面，
所以平面平面，
又平面，则平面，
所以动点的轨迹形成的区域为的边界及内部，
的最大值为即的长，
的最小值为到平面的距离，
连接交于点，连接交于点，，
由平面，平面，得，
又，，平面，
所以平面，
而平面，所以，同理，
又因为，平面，所以平面，
可知，
所以，从而，
故线段的长的取值范围是．
故答案为：．
15.【答案】解：在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，
，，
，
，
即，
解得；
依题意，，
设，的夹角为，
依题意为钝角，
所以
解得且，
所以的取值范围是．
16.【答案】解：，
，
由及的最小正周期为得，
，
由得，
，解得，，
所求不等式的解集为；
，，
，
在和上递增，在上递减，
则在上的增区间为和，减区间为
17.【答案】解：第六组的频率为，
第七组的频率为．
由直方图得，身高在第一组的频率为，
身高在第二组的频率为，
身高在第三组的频率为，
身高在第四组的频率为，
由于，，
设这所学校的名男生的身高分位数为，则，
由得，
所以这所学校的名男生的身高的分位数为，
平均数为：
．
第六组的抽取人数为，设所抽取的人为，
第八组的抽取人数为，设所抽取的人为，
则从中随机抽取两名男生有，，，，，，，，，，
，，，，共种情况，
因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，
所以事件包含的基本事件为，，，，，，共种情况．
所以
18.【答案】解：关于的一元二次方程的两个根皆为负，
．
故实数的取值范围为．
恒有两个零点，则．
设，
则
，
令，
则
，
又恒成立，
，
故的最大值为．
19.【答案】解：连接，设，，
由条件知，，，，
在中，，得，
则，
所以
，
因为，所以当时，矩形面积的最大值为平方米
如图，根据对称性转化为求中心角度为的扇形内接矩形面积最大值，
连接，设，，
由条件知，，，
因为，
则在中，，得，
所以，
，
因为，所以时，
圆心角为扇形中截面积最大值为：
平方米，
因为，
所以方案一内接矩形面积更大，最大值为平方米，
故方案一更优．
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