资源简介

人教B版高一暑假作业13：高一综合（5）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.(2024·广东省茂名市·期末考试)设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.(2024·浙江省·历年真题)已知函数满足，则等于( )
A. B. C. D.
3.(2025·江苏省连云港市·其他类型)某校高二年级有人参加“希望杯”数学竞赛，他们竞赛的成绩制成了如下的频率分布表，根据该表估计该校学生数学竞赛成绩的平均分为( )
分组
频率
A. B. C. D.
4.(2024·宁夏回族自治区吴忠市·模拟题)若平面向量与的夹角为，，，则等于 ．
A. B. C. D.
5.(2024·重庆市市辖区·其他类型)已知某个数据的平均数为，方差为，现加入一个数，此时这个数据的平均数为，方差为，则( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
6.(2024·江苏省盐城市·期中考试)蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜如图是一个蜂巢的正六边形开口，下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
7.(2024·江西省南昌市·模拟题)如图，已知六棱锥的底面是正六边形，平面，则下列结论正确的是
A. B. 平面平面
C. 直线平面 D. 直线平面
8.(2025·北京市·期中考试)已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.(2024·广东省·其他类型)设，，均为正数，且，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
10.(2025·河南省·单元测试)某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取名按年龄分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示．
若从第，，组中用分层随机抽样的方法抽取名志愿者参与广场的宣传活动，该市决定在这名志愿者中随机抽取名志愿者介绍宣传经验，则下列结论正确的是( )
A. 应从第，，组中分别抽取人、人、人
B. 第组志愿者恰有一人被抽中的概率为
C. 第组志愿者被抽中的概率为
D. 第组志愿者至少有一人被抽中的概率为
11.(2024·湖南省·模拟题)在三棱锥中，平面，，，，点是三角形内的动点含边界，，则下列结论正确的是( )
A. 与平面所成角的大小为
B. 三棱锥的体积最大值是
C. 点的轨迹长度是
D. 异面直线与所成角的余弦值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.(2025·广东省·单元测试)复数，，其中是虚数单位，则的最大值为 ．
13.(2024·云南省玉溪市·模拟题)已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，点在角终边上，且，则的值可以是 写一个即可
14.(2024·湖北省武汉市·其他类型)已知函数，关于的不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(2025·山东省济南市·月考试卷)本小题分
已知非空集合，．
若，求
若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
16.(2024·湖南省长沙市·月考试卷)本小题分
有一种候鸟每年都按一定的路线迁徒，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数，单位是，其中表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，代表测量过程中某类候鸟每分钟的耗氧量偏差参考数据：，，．
当，候鸟每分钟的耗氧量为个单位时，候鸟的飞行速度是多少？
当，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少单位？
若雄鸟的飞行速度为，同类雌鸟的飞行速度为，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？
17.(2024·陕西省咸阳市·期中考试)本小题分
在正三棱柱中，，，，分别是，，的中点．
线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
若，求多面体的体积．
18.(2024·广东省揭阳市·期末考试)本小题分
某校为了解高一学生周末的“阅读时间”，从高一年级中随机调查了名学生进行调查，获得了每人的周末“阅读时间”单位：小时，按照，，，分成组，制成样本的频率分布直方图如图所示．
求图中的值
估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数
采用分层抽样的方法从，这两组中抽取人，再从人中随机抽取人，求抽取的人恰好在同一组的概率．
19.(2025·山东省泰安市·期中考试)本小题分
设集合是正实数集上的一个非空子集，定义集合在均值不等式中，由它的几何意义知，若为定值，当，越接近时，的值就越大当时，取得最大值．
若集合，，且，求集合中元素的最大值与最小值
对，，证明：
根据上述材料，试估计的值精确到
1.【答案】
【解析】
解：集合或，
或，
，．
则．
故选：．
2.【答案】
【解析】
解：由 ，
用 代入得 ，
由 得，
，
将 代入： ，
故选 ．
3.【答案】C
【解析】
解：估计该校学生数学竞赛成绩的平均分为
，
故选C．
4.【答案】
【解析】
解：由，所以，
所以
．
所以．
故选B．
5.【答案】
【解析】
解：某个数的平均数为，方差为，现又加入一个新数据，
此时这个数的平均数为，方差为，
，
，
故选C．
6.【答案】
【解析】
解：选项，，故A错误；
选项，设，
则是的中点，
则，故B错误；
选项，与的夹角为锐角，与的夹角为钝角，
所以，故C错误；
选项，设正六边形的中心为，
则，
所以，故D正确．
故选：．
7.【答案】
【解析】
解：因为与在平面内的射影不垂直，所以不正确
过点作的垂线，垂足为，
若平面平面，则平面，
所以，
又，可证平面，
则，这与底面是正六边形不符，所以不正确
若直线平面，则，但与相交，所以不正确．
故选D．
8.【答案】C
【解析】
解：已知是互不相同的锐角，
由基本不等式有，当时等号成立，
同理，当时等号成立，
，当时等号成立，
故，
故不可能均大于．
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为个，
故选：．
9.【答案】
【解析】
解：，，，，且，
，
当且仅当时取等号，
，故A正确；
，，，，且，
，
当且仅当时取等号，故B正确；
，，，，且，
，
由可知，
故，
当且仅当时取等号，故C正确；
，当时，，故D错误．
故选ABC．
10.【答案】ABC
【解析】解：第组的人数为，第组的人数为，
第组的人数为因为第，，组共有名志愿者，
利用分层随机抽样的方法在名志愿者中抽取名志愿者，抽样比为，
所以应从第，，组中分别抽取人、人、人．故A正确．
记第组的名志愿者分别为，，，第组的名志愿者分别为，，
第组的名志愿者为，则从名志愿者中抽取名志愿者的样本空间，，，，，，，，，，，，，，，共有个样本点．
第组的名志愿者恰有一人被抽中，所含的样本点个数为，
所以第组志愿者恰有一人被抽中的概率为，故B正确．
第组的志愿者恰好被抽中，所含的样本点个数为，
所以第组志愿者被抽中的概率为，故C正确．
第组志愿者至少有一人被抽中，所含的样本点个数为，
所以第组志愿者至少有一人被抽中的概率为，故D不正确．
综上，应选A、、．
故选ABC．
11.【答案】
【解析】
解：已知，，以和为邻边构造正方形，
在三棱锥中，平面，，均在平面内，
故与，均垂直，
则与，两两垂直，
以为坐标原点，为，，轴正方向向量，建立如图所示空间直角坐标系，
则由，，可得以下各点坐标：
，，，，，
则，平面法向量为，
设与平面所成角的大小为，
结合直线与平面所成角范围可得与平面所成角为，选项正确
由于与平面垂直，与平行，
故BC与平面垂直，在平面内，
故BC与垂直，
又因为，与交于，，均在平面内，
所以与平面垂直，
而在平面内，故AD与垂直，
结合点是三角形内的动点含边界，
故D的轨迹为平面内以为直径的圆的一部分，设圆与交于，
设中点为，则，
直角三角形中，，，
则三角形为边长为的正三角形，
故，
的长为，选项正确
点是的动点含边界，
时，点到平面距离最大为，
是以为直角边的等腰直角三角形，，则三角形面积为，
故，选项错误
利用前面过程可知， 点运动到点时，与相交于，故D不可以取点，
故D点坐标为
则
，
设异面直线与所成角为，
则
令
由于单调递增，
则可得选项错误．
故选：．
12.【答案】
【解析】
解：，，
的几何意义为与两点间的距离，
又在单位圆上，
的最大值为．
故答案为．
13.【答案】均可
【解析】
解：由题意得：点在角终边上，且，
则 ，解得：，又，
则，，，
又，
故的值可以是均可，
故答案为：均可．
14.【答案】
【解析】
解：函数定义域为，
又因为，
故为奇函数，
又易知是增函数，
则由，
得，
即得，
即，
又，则，
于是，
即，
即，
亦即，
要使关于的不等式对任意的恒成立，
则只要对任意的时，
又当时，可得，
因此，实数的取值范围为
15.【答案】解：因为是非空集合，所以，即
当时，，或，，
所以．
若“”是“”的充分不必要条件，即，即
且和的等号不能同时取得，解得，
即实数的取值范围为．
16.【答案】解：若，候鸟每分钟的耗氧量为个单位时，
即，，
可得，
故此时候鸟的飞行速度为；
由题意得，当候鸟停下休息时，它的速度是，
将和代入题目所给的公式，
可得，
即，解得：，
故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为个单位；
设雄鸟每分钟的耗氧量为，雌鸟每分钟的耗氧量为，
由题意得：，
两式相减可得，
解得：，
故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的倍．
17.【答案】解：线段上存在点，使得平面．
取的中点为，连接，，则，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面．
又，平面，平面，所以平面．
又，且，平面，
所以平面平面．
又平面，所以平面，
则与的交点即为连接，易求得．
设，则，，．
在中，由余弦定理得，解得．
故
．

18.【答案】解：解：由题意，高一学生周末“阅读时间”在，，，的频率分别为，，，，，，，，．
由，
得．
设该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为小时，
因为前组频率和为，前组频率和为，
所以，
由，得；
由题意得，周末阅读时间在，中的人分别有人、人，按分层抽样的方法应分别抽取人、人，分别记作，，及，，，
从人中随机抽取人，这个试验的样本空间，
，共包含个样本点，且这个样本点出现的可能性相等，
抽取的人在同一组包含的样本点有，，，，，，，，，共个，
故所求概率
19.【答案】解：因为集合，，且，
且根据均值不等式的几何意义知，
若为定值，当，越接近时，的值就越大
所以当，或，时，
取得最大值，
当，或，时，取得最小值．
因为，，
要证，
即证，
即证，
即证，
显然成立，当且仅当时，等号成立，
所以；
由题意，结合知，
令，，得，
即，
所以，
所以．
第1页，共1页

展开更多......

收起↑