资源简介

4.抛体运动的规律
要点一　平抛运动的规律
1.做平抛运动的物体，每秒的速度增量总是（　　）
A.大小相等，方向相同 B.大小不等，方向不同
C.大小相等，方向不同 D.大小不等，方向相同
2.关于平抛运动，下列说法不正确的是（　　）
A.平抛运动是匀变速曲线运动
B.做平抛运动的物体在任何相等时间内速度的变化量都相等
C.平抛运动的水平位移由抛出点的高度和抛出时的初速度决定
D.落地时间和落地时的速度只与抛出点的高度有关
3.（多选）“套圈”是老少皆宜的游戏。如图所示，某同学先后两次在A点把小环水平抛出，分别直接套中位于水平地面B、C两点处的目标物。不计空气阻力，下列说法正确的有（　　）
A.两小环在空中的飞行时间相同
B.两小环抛出时的初速度相同
C.两小环落地时的末速度相同
D.两小环在空中飞行过程中速度的变化量相同
4.（多选）如图所示，节水灌溉中的喷嘴距地高0.8 m，假定水从喷嘴水平喷出，喷灌半径为4 m，不计空气阻力，取g＝10 m/s2，则（　　）
A.水下落的加速度为8 m/s2
B.水从喷嘴到地面的时间为0.4 s
C.水从喷嘴喷出后速度不变
D.水从喷嘴喷出的速率为10 m/s
5.某物体做平抛运动时，它的速度方向与水平方向的夹角为θ，其正切值tan θ随时间t变化的图像如图所示（g取 10 m/s2），则（　　）
A.第1 s内物体下落的高度为15 m
B.第1 s内物体下落的高度为10 m
C.物体的初速度为5 m/s
D.物体的初速度是10 m/s
要点二　平抛运动的推论
6.如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
A.小球水平抛出时的初速度大小为gttan θ
B.小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为
C.若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长
D.若小球初速度增大，则θ减小
7.如图所示，AB为半圆环ACB的水平直径，C为环上的最低点，环半径为R。一个小球从A点沿AB以速度v0抛出，不计空气阻力，则下列判断正确的是（　　）
A.v0越大，小球从抛出到落在半圆环上经历的时间越长
B.即使v0取值不同，小球落到环上时的速度方向和水平方向的夹角也相同
C.若v0取值适当，可以使小球垂直撞击半圆环
D.无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击半圆环
要点三　一般的抛体运动
8.一位田径运动员在跳远比赛中以10 m/s的速度沿与水平面成30°的角度起跳，在落到沙坑之前，他在空中滞留的时间约为（g取10 m/s2）（　　）
A.0.42 s B.0.83 s
C.1 s D.1.5 s
9.篮球比赛中一运动员将篮球从地面上方B点以速度v0斜向上抛出，恰好垂直击中篮板上A点。若该运动员后撤到C点投篮，还要求垂直击中篮板上A点，运动员做法可行的是（　　）
A.增大抛出速度v0，同时增大抛射角θ
B.减小抛出速度v0，同时增大抛射角θ
C.增大抛射速度v0，同时减小抛射角θ
D.减小抛射速度v0，同时减小抛射角θ
10.（多选）（2024·湖北十堰期末）如图所示，从水平面上方O点水平抛出一个初速度大小为v0的小球，小球与水平面发生一次碰撞后恰能击中竖直墙壁上与O点等高的A点，小球与水平面碰撞前、后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反。不计空气阻力，若只改变小球的初速度大小，小球仍能击中A点，则初速度大小可能为（　　）
A.1.5v0 B.
C. D.
11.（多选）如图，在同一竖直面内，小球a、b从高度不同的两点，分别以初速度va和vb沿水平方向先后抛出，恰好同时落到地面上与两抛出点水平距离相等的P点，若不计空气阻力，则（　　）
A.小球a比小球b先抛出
B.初速度va小于vb
C.小球a、b抛出点距地面高度之比为∶
D.初速度va大于vb
12.将一个物体以10 m/s的速度从5 m的高度水平抛出，（不计空气阻力，取g＝10 m/s2），求：
（1）落地时它的速度v（合速度）；
（2）从抛出到落地所用时间t。
13.一小球自空中某点O水平抛出，途中经过A、B两点，已知小球经过A点时的速度与水平方向的夹角为37°，经过B点时的速度与水平方向的夹角为53°。小球从A运动到B的时间Δt＝0.7 s 。不计空气阻力，重力加速度为g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
（1）初速度v0的大小；
（2）A、B两点间的高度差。
4.抛体运动的规律
1.A　在平抛运动中，速度的变化量Δv＝gΔt，所以每秒内的速度变化量大小相等，方向都是竖直向下，选项A正确。
2.D　平抛运动只受重力作用，加速度为g，是个定值，所以平抛运动是匀变速曲线运动，故A正确；平抛运动的加速度为g，根据 Δv＝gΔt可知做平抛运动的物体在任何相等时间内速度的变化量都相等，故B正确；平抛运动的水平位移由抛出点的高度和抛出时的初速度决定，C正确；根据h＝gt2 可知t＝，即落地时间只与抛出点的高度有关，而落地速度v＝＝，可见落地速度与水平初速度v0及抛出点高度都有关，故D错误。
3.AD　根据h＝gt2可得t＝，两小环的抛出点相同，故两小环在空中的飞行时间相同，故A正确；根据x＝v0t可知v0＝，由题图可知，两次的水平位移不同，则两小环抛出时的初速度不同，故B错误；根据＝2gh可知vy＝，则落地速度为v＝，由B项分析可知，初速度不同，则落地时的末速度不同，故C错误；根据Δv＝gΔt，由于两次飞行的加速度和时间都相同，则两小环在空中飞行过程中速度的变化量相同，故D正确。
4.BD　水喷出后做平抛运动，下落的加速度为10 m/s2，故A错误；根据h＝gt2得t＝＝ s＝0.4 s，故B正确；水从喷嘴喷出后竖直分速度增大，水平分速度不变，速度增大，故C错误；水从喷嘴喷出的速率v0＝＝ m/s＝10 m/s，故D正确。
5.D　根据tan θ＝＝t，对应题图可得＝1，解得v0＝10 m/s，D正确，C错误；第1 s内物体下落的高度h＝gt2＝×10×12 m＝5 m，A、B错误。
6.D　将小球的速度、位移分解，如图所示，vy＝gt，v0＝＝，故A错误；设位移方向与水平方向夹角为α，则tan θ＝2tan α，α≠，故B错误；平抛运动的落地时间由下落高度决定，与水平初速度无关，故C错误；由tan θ＝＝知，t不变时，v0增大，则θ减小，故D正确。
7.D　小球落在环上的最低点C时所用时间最长，选项A错误；由平抛运动规律可知，小球的速度方向与水平方向夹角的正切值是位移方向与水平方向夹角正切值的2倍，v0取值不同，小球落到环上时的位移方向与水平方向的夹角不同，则速度方向和水平方向的夹角不相同，选项B错误；小球撞击半圆环时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，故不可能过圆心，则无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击半圆环，选项D正确，C错误。
8.C　起跳时，竖直方向上的分速度v0y＝v0sin 30°＝10× m/s＝5 m/s，所以在空中滞留的时间为t＝＝ s＝1 s，故C正确。
9.C　篮球垂直击中A点，其逆过程是平抛运动，运动员后撤到C点投篮，还能垂直击中篮板上A点，则竖直高度不变，所以竖直速度不变，而水平距离增大，所以水平速度增大，由v0＝ 可知抛出后落地速度增大，由tan θ＝可知落地时速度与水平面的夹角减小，故C正确，A、B、D错误。
10.BD　设O、A间的水平位移为L，O点与水平面的高度为h，则有t＝，L＝2v0t，若只改变小球的初速度大小，小球仍能击中A点，则有L＝nv0'·2t（n＝2，3，4…），联立解得小球的初速度大小为v0'＝（n＝2，3，4…），故选B、D。
11.ABC　由h＝gt2得t＝，可知平抛运动的运动时间是由竖直的高度决定的，由于a的下落高度比b的大，所以它们运动时间关系为ta＞tb，两球要同时落地，则小球a必须先抛出，故A正确；a、b的水平位移大小相等，由x＝v0t得 va＜vb，故B正确，D错误；由h＝gt2和x＝v0t得 h＝g·，x相同，可知小球a、b抛出点距地面高度之比为ha∶hb＝∶，故C正确。
12.（1）10 m/s，与水平方向的夹角为45°斜向下　（2）1 s
解析：（1）落地时竖直方向的速度为＝2gh
解得vy＝＝10 m/s
落地时它的速度（合速度）为v＝＝ m/s＝10 m/s
设合速度与水平方向的夹角为θ，则有
tan θ＝＝＝1
解得θ＝45°。
（2）从抛出到落地所用时间为t，则有h＝gt2
解得t＝1 s。
13.（1）12 m/s　（2）8.75 m
解析：（1）根据题意，设运动到A点的时间为t，则运动到B 点时间为t＋Δt，由平抛运动规律
在A点有tan 37°＝
在B点有tan 53°＝
联立解得v0＝12 m/s，t＝0.9 s。
（2）在竖直方向上由h＝gt2 可得
到A点时下落的高度为hA＝4.05 m
到B点时下落的高度为hB＝12.8 m
则A、B两点间的高度差为Δh＝hB－hA＝8.75 m。
3 / 34.抛体运动的规律
课标要求 素养目标
1.会用运动合成与分解的方法分析平抛运动。 2.体会将复杂运动分解为简单运动的物理思想。 3.能分析生产生活中的抛体运动 1.认识平抛运动，理解平抛运动的规律，会用运动合成和分解的方法分析平抛运动。（物理观念） 2.运用运动的合成与分解的思想，分析生产生活中的抛体运动。（科学思维） 3.能体会物理学规律的运用对生产生活的影响。（科学探究）
知识点一　平抛运动的速度
1.水平方向的分速度：vx＝　　　。
2.竖直方向的分速度：vy＝　　　。
3.合速度的大小：v＝＝　　　　　。
4.合速度的方向：tan θ＝＝　　　（θ表示合速度与水平方向之间的夹角）。
知识点二　平抛运动的位移与轨迹
1.水平方向的分位移：x＝　　　①。
2.竖直方向的分位移：y＝　　　②。
3.轨迹方程：由①②两式消去时间t，可得平抛运动的轨迹方程为y＝　　　　，由此可知平抛运动的轨迹是　　　　。
知识点三　一般的抛体运动
　物体被抛出时的速度v0斜向上方或斜向下方时，物体做斜抛运动（设v0与水平方向夹角为θ）。
（1）水平方向：物体做　　　　　运动，初速度v0x＝　　　　。
（2）竖直方向：物体做竖直上抛或竖直下抛运动，初速度v0y＝　　　　。如图所示。
【情景思辨】
　分析在射击比赛中水平射出的子弹和铅球比赛中抛出去的铅球的运动（不计空气阻力）。
（1）子弹和铅球都做抛体运动，只受重力，所以加速度保持不变。（　　）
（2）子弹水平抛出后做变加速曲线运动。（　　）
（3）子弹的初速度越大，下落得越快。（　　）
（4）铅球在竖直方向上做的是匀变速运动。（　　）
（5）铅球的轨迹是抛物线一部分。（　　）
要点一　平抛运动的规律
【探究】
如图所示，一人正练习投掷飞镖，如果飞镖水平投出后不计空气阻力。
（1）飞镖投出后，受力情况怎样？其加速度的大小和方向是怎样的？
（2）飞镖的运动是匀变速运动，还是变加速运动？运动轨迹如何？
【归纳】
1.平抛运动的特点
（1）做平抛运动的物体水平方向不受力，做匀速直线运动；竖直方向只受重力，做自由落体运动；其合运动为匀变速曲线运动，轨迹为抛物线。
（2）平抛运动的速度方向沿轨迹的切线方向，速度大小、方向不断变化。
2.平抛运动的速度变化
如图所示，由Δv＝gΔt知，任意两个相等的时间间隔内速度的变化量相同，方向竖直向下。
3.平抛运动的规律
（1）平抛运动的时间t＝ ，由下落高度决定（但可以根据t＝ 计算）。
（2）水平位移（射程）x＝v0t＝v0，由初速度和下落高度共同决定。
（3）落地速度v＝ ＝ ，与水平方向的夹角θ满足tan θ＝ ＝，落地速度由初速度和下落高度共同决定。
类型一 平抛运动的理解
【典例1】　关于平抛运动，下列说法正确的是（　　）
A.因为平抛运动的轨迹是曲线，所以不可能是匀变速运动
B.平抛运动速度的大小与方向不断变化，因而相等时间内速度的变化量也是变化的，加速度也不断变化
C.平抛运动可以分解为水平方向上的匀速直线运动与竖直方向上的竖直下抛运动
D.平抛运动是加速度恒为g的匀变速曲线运动
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型二 单个物体平抛运动的分析与计算
【典例2】　如图所示的是某公园的喷水装置，若水从喷水口水平喷出，忽略空气阻力及水之间的相互作用，下列说法正确的是（　　）
A.喷水口高度一定，喷水速度越大，水从喷出到落入池中的时间越短
B.喷水口高度一定，喷水速度越大，水喷得越近
C.喷水速度一定，喷水口高度越高，水喷得越近
D.喷水口高度一定，无论喷水速度多大，水从喷出到落入池中的时间都相等
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型三 多个物体平抛运动的分析与计算
【典例3】　如图，x轴在水平地面上，y轴沿竖直方向。图中画出了从y轴上沿x轴正方向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的，不计空气阻力，则（　　）
A.a的初速度比b的小
B.a的初速度比c的大
C.a的飞行时间比b的长
D.b的飞行时间比c的长
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
要点二　平抛运动的推论
【探究】
如图所示为以初速度v0水平抛出的物体的运动轨迹，则：
（1）经时间t后速度方向和位移方向相同吗？分别求出两者与水平方向夹角的正切值，这两个正切值有什么关系？
（2）结合以上结论并观察速度反向延长线与x轴的交点，你有什么发现？
【归纳】
　平抛运动的两个重要推论
（1）“正切2倍”：做平抛运动的物体在某时刻速度方向与水平方向的夹角θ、位移方向与水平方向的夹角α的关系为tan θ＝2tan α。
（2）“反延过中”：做平抛运动的物体在任意时刻的速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
【典例4】　在电视剧里，我们经常看到这样的画面：屋外刺客向屋里投来两支飞镖，落在墙上，如图所示。现设飞镖是从同一位置做平抛运动射出来的，飞镖A与竖直墙壁成53°角，飞镖B与竖直墙壁成37°角，两落点相距为1.4 m，则刺客与墙壁的距离为（ 已知tan 37°＝，tan 53°＝）（　　）
A.4.8 m B.2.4 m
C.5.2 m D.6.3 m
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.如图所示，若物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后仍落在斜面上，则物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足（空气阻力不计，物体可视为质点）（　　）
A.tan φ＝sin θ B.tan φ＝cos θ
C.tan φ＝tan θ D.tan φ＝2tan θ
要点三　一般的抛体运动
【探究】
　体育运动中投掷的链球、铅球、铁饼、标枪等（如图所示），都可以看作是斜上抛运动。
以抛出的铅球为例：
（1）铅球离开手后，如不考虑空气阻力，其受力情况、速度有何特点？
（2）铅球在最高点的速度是零吗？
【归纳】
1.受力特点：斜抛运动是忽略了空气阻力的理想化运动，因此物体仅受重力，其加速度为重力加速度g。
2.运动特点：物体具有与水平方向存在夹角的初速度，仅受重力，因此斜抛运动是匀变速曲线运动，其轨迹为抛物线。
3.速度变化特点：由于斜抛运动的加速度为定值，因此，在相等的时间内速度的变化大小相等，方向均竖直向下，故相等的时间内速度的变化相同，即 Δv＝gΔt。
4.斜抛运动的对称性
时间对称 相对于轨迹最高点，两侧对称的上升时间等于下降时间
速度对称 相对于轨迹最高点，两侧对称的两点速度大小相等
轨迹对称 斜抛运动的轨迹相对于过最高点的竖直线对称
【典例5】　（2024·浙江丽水期末）2023年11月23日，第十批在韩中国人民志愿军烈士遗骸由我空军专机护送，从韩国接回辽宁沈阳。辽宁沈阳桃仙国际机场以“过水门”最高礼遇迎接英雄回家，仪式中的“水门”是由左右两辆消防车喷出的水柱形成。如图所示，若两水柱从同一高度对称射出，恰好在最高点相遇后散开，水柱上升的最大高度约为20 m，两辆消防车的水平距离约为80 m，不计水柱空气阻力和水流间相互作用，下列说法正确的是（　　）
A.两水柱相遇时的速度为零
B.水柱射出时的速度大小约为20 m/s
C.两水柱在相遇前运动的时间为4 s
D.水柱射出的方向与水平面所成夹角约为45°
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
方法技巧
斜上抛运动问题的分析技巧
（1）斜上抛运动问题可用运动的合成与分解进行分析，即水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动。
（2）运动时间及射高由竖直分速度决定，射程由水平分速度和抛射角决定。
（3）由抛出点到最高点的过程可逆向看作平抛运动来分析。
2.（多选）如图所示，从地面上同一位置抛出两小球A、B，分别落在地面上的M、N点，两球运动的最大高度相同。空气阻力不计，则（　　）
A.B的加速度比A的大
B.B的飞行时间比A的长
C.B在最高点的速度比A在最高点的大
D.B落地时的速度比A落地时的大
1.关于平抛运动，下列说法中不正确的是（　　）
A.平抛运动的下落时间由下落高度决定
B.平抛运动的轨迹是曲线，所以平抛运动不可能是匀变速运动
C.平抛运动的速度方向与加速度方向的夹角一定越来越小
D.平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动
2.（2023·连云港市高一校考）从高处以15 m/s的速度水平抛出一铁球，不计空气阻力，重力加速度取10 m/s2，经过2 s还没有落到地面，则它此时的速度大小是（　　）
A.15 m/s B.20 m/s
C.25 m/s D.30 m/s
3.如图所示，炮筒与水平方向成60°角，炮弹从炮口射出时的速度大小是1 000 m/s，这个速度在水平方向的分速度，以及炮弹到达最高点所用的时间分别为（　　）
A.500 m/s；50 s
B.500 m/s；50 s
C.500 m/s；50 s
D.500 m/s；50 s
4.一物体在离水平地面高H处水平抛出，经过一段时间t（未知）落到地面上，不计空气阻力。现已通过测量得到了物体在水平方向（x方向）和竖直方向（y方向）的速度—时间图像，如图所示，重力加速度g取10 m/s2。求：
（1）物体下落的高度H；
（2）物体落到地面时的速度v的大小和方向。
4.抛体运动的规律
【基础知识·准落实】
知识点一
1.v0　2.gt　3.　4.
知识点二
1.v0t　2.gt2　3.x2　抛物线
知识点三
（1）匀速直线　v0cos θ　（2）v0sin θ
情景思辨
（1）√　（2）×　（3）×　（4）√　（5）√
【核心要点·快突破】
要点一
知识精研
【探究】　提示：（1）因忽略空气阻力，飞镖水平投出后只受重力作用，其加速度大小为g，方向竖直向下。
（2）飞镖做平抛运动，即匀变速曲线运动，轨迹是抛物线一部分。
【典例1】　D　做平抛运动的物体只受重力，其加速度恒为g，故为匀变速曲线运动，A错误，D正确；相等时间内速度的变化量Δv＝gΔt是相同的，B错误；平抛运动可分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动，C错误。
【典例2】　D　水水平喷出后，做平抛运动，其运动时间由高度决定，所以喷水口高度一定时，水从喷出到落入池中的时间相等，水速越大，水喷得越远，A、B错误，D正确；喷水速度一定，喷水口高度越高，水从喷出到落入池中的时间越长，水喷得越远，C错误。
【典例3】　B　由题图可以看出，b、c两个小球的抛出高度相同，a的抛出高度最小，根据h＝gt2得t＝，可知a的飞行时间最短，b、c的飞行时间相等，故C、D错误；由题图可以看出，a、b、c三个小球的水平位移关系为a最大，c最小，根据x＝v0t可知v0＝＝x，所以a的初速度最大，c的初速度最小，故A错误，B正确。
要点二
知识精研
【探究】　提示：（1）不相同。由题图知tan θ＝＝，tan α＝＝＝，所以tan θ＝2tan α。
（2）xA＝v0t，yA＝gt2，vy＝gt，vx＝v0，
又tan θ＝＝，解得xA'B＝＝。
【典例4】　A　由题可得，飞镖A落在墙上时，速度与水平方向夹角为37°，飞镖B落在墙上时，速度与水平方向夹角为53°，设飞镖A与B的竖直位移分别为y1、y2，飞镖A与B落在墙上时位移与水平方向夹角分别为βA 、βB，飞镖A与B落在墙上时的水平位移都为x，则tan 37°＝2tan βA＝，tan 53°＝2tan βB＝，y2－y1＝1.4 m，联立解得x＝4.8 m，故选A。
素养训练
1.D　物体从抛出至落到斜面的过程中，位移方向与水平方向的夹角为θ，落到斜面上时速度方向与水平方向的夹角为φ，由平抛运动的推论知tan φ＝2tan θ，故D正确。
要点三
知识精研
【探究】　提示：（1）不考虑空气阻力，铅球在水平方向不受力，在竖直方向只受重力，加速度为g，其初速度不为零，初速度方向斜向上方。
（2）不是。由于铅球在水平方向做匀速运动，所以铅球在最高点的速度等于水平方向的分速度。
【典例5】　D　两水柱相遇时有水平速度，则速度不为零，选项A错误；由对称性可知，两水柱在相遇前运动的时间相等，水柱射出到最高点的时间t＝＝2 s，抛出时的竖直速度vy＝gt＝20 m/s，水平速度v0＝＝ m/s＝20 m/s，则抛出时的速度大小约为v＝＝20 m/s，水柱射出的方向与水平面所成夹角的正切值为tan θ＝＝1，所以θ＝45°，选项D正确，B、C错误。
素养训练
2.CD　A、B两球都做斜上抛运动，只受重力作用，加速度即为重力加速度，A错误；A、B两球在竖直方向上做竖直上抛运动，由于上升的竖直高度相同，所以两小球在空中飞行的时间相等，竖直分速度相等，B错误；由于B球的水平射程比A球的大，故B球的水平速度及落地时的速度均比A球的大，C、D正确。
【教学效果·勤检测】
1.B　平抛运动的下落时间由下落的高度决定，A正确；平抛运动的轨迹是曲线，它的速度方向沿轨迹的切线方向，方向不断改变，所以平抛运动是变速运动，由于其加速度为g，保持不变，所以平抛运动是匀变速曲线运动，B错误；平抛运动的速度方向和加速度方向的夹角θ满足tan θ＝＝，因为t一直增大，所以tan θ变小，θ变小，C正确；平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，D正确。
2.C　铁球竖直方向的速度vy＝gt＝2×10 m/s＝20 m/s，铁球此时的速度v＝＝ m/s＝25 m/s，故选C。
3.B　将炮弹的速度水平分解和竖直分解，如图所示，水平分速度为vx＝vcos 60°＝500 m/s，竖直分速度为 vy＝vsin 60°＝500 m/s，炮弹到达最高点所用的时间t＝＝50 s，故选B。
4.（1）0.8 m　（2）5 m/s，与水平方向成53°角斜向下
解析：（1）根据＝2gH
代入数据解得H＝0.8 m。
（2）物体落到地面时的速度v＝＝5 m/s
物体落到地面时的速度的方向与水平方向的夹角满足tan α＝＝，则α＝53°。
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4.抛体运动的规律
课标要求 素养目标
1.会用运动合成与分解的
方法分析平抛运动。 2.体会将复杂运动分解为
简单运动的物理思想。 3.能分析生产生活中的抛
体运动 1.认识平抛运动，理解平抛运动的规
律，会用运动合成和分解的方法分析平
抛运动。（物理观念）
2.运用运动的合成与分解的思想，分析
生产生活中的抛体运动。（科学思维）
3.能体会物理学规律的运用对生产生活
的影响。（科学探究）
目 录
01.
基础知识·准落实
02.
核心要点·快突破
03.
教学效果·勤检测
04.
课时训练·提素能
基础知识·准落实
梳理归纳 自主学习
01
知识点一　平抛运动的速度
1. 水平方向的分速度：vx＝ 。
2. 竖直方向的分速度：vy＝ 。
3. 合速度的大小：v＝＝ 　　。
4. 合速度的方向：tan θ＝＝ 　　（θ表示合速度与水平方向之间的
夹角）。
v0　
gt　
　
　
知识点二　平抛运动的位移与轨迹
1. 水平方向的分位移：x＝ ①。
2. 竖直方向的分位移：y＝ ②。
3. 轨迹方程：由①②两式消去时间t，可得平抛运动的轨迹方程为y
＝ ，由此可知平抛运动的轨迹是 。
v0t　
gt2　
x2　
抛物线　
知识点三　　一般的抛体运动
　物体被抛出时的速度v0斜向上方或斜向下方时，物体做斜抛运动
（设v0与水平方向夹角为θ）。
（1）水平方向：物体做 运动，初速度v0x＝
。
匀速直线　
v0cos
θ　
（2）竖直方向：物体做竖直上抛或竖直下抛运动，初速度v0y
＝ 。如图所示。
v0sin θ　
【情景思辨】
　分析在射击比赛中水平射出的子弹和铅球比赛中抛出去的铅球的运
动（不计空气阻力）。
（1）子弹和铅球都做抛体运动，只受重力，所以加速度保持不变。
（　√　）
（2）子弹水平抛出后做变加速曲线运动。 （　×　）
（3）子弹的初速度越大，下落得越快。 （　×　）
（4）铅球在竖直方向上做的是匀变速运动。 （　√　）
（5）铅球的轨迹是抛物线一部分。 （　√　）
√
×
×
√
√
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
02
要点一　平抛运动的规律
【探究】
如图所示，一人正练习投掷飞镖，如果飞镖水平投出后不计空气
阻力。
（1）飞镖投出后，受力情况怎样？其加速度的大小和方向是怎样
的？
提示：因忽略空气阻力，飞镖水平投出后只受重力作用，
其加速度大小为g，方向竖直向下。
（2）飞镖的运动是匀变速运动，还是变加速运动？运动轨迹如何？
提示：飞镖做平抛运动，即匀变速曲线运动，轨迹是抛物
线一部分。
【归纳】
1. 平抛运动的特点
（1）做平抛运动的物体水平方向不受力，做匀速直线运动；竖直
方向只受重力，做自由落体运动；其合运动为匀变速曲线运
动，轨迹为抛物线。
（2）平抛运动的速度方向沿轨迹的切线方向，速度大小、方向不
断变化。
2. 平抛运动的速度变化
如图所示，由Δv＝gΔt知，任意两个相等的时间间隔内速度的变化
量相同，方向竖直向下。
3. 平抛运动的规律
（1）平抛运动的时间t＝ ，由下落高度决定（但可以根据t＝
计算）。
（2）水平位移（射程）x＝v0t＝v0，由初速度和下落高度共同
决定。
（3）落地速度v＝ ＝ ，与水平方向的夹
角θ满足tan θ＝ ＝，落地速度由初速度和下落高度
共同决定。
类型一 平抛运动的理解
【典例1】　关于平抛运动，下列说法正确的是（　　）
A. 因为平抛运动的轨迹是曲线，所以不可能是匀变速运动
B. 平抛运动速度的大小与方向不断变化，因而相等时间内速度的变
化量也是变化的，加速度也不断变化
C. 平抛运动可以分解为水平方向上的匀速直线运动与竖直方向上的
竖直下抛运动
D. 平抛运动是加速度恒为g的匀变速曲线运动
解析：做平抛运动的物体只受重力，其加速度恒为g，故为匀变速曲
线运动，A错误，D正确；相等时间内速度的变化量Δv＝gΔt是相同
的，B错误；平抛运动可分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方
向上的自由落体运动，C错误。
类型二 单个物体平抛运动的分析与计算
【典例2】　如图所示的是某公园的喷水装置，若水从喷水口水平喷
出，忽略空气阻力及水之间的相互作用，下列说法正确的是（　　）
A. 喷水口高度一定，喷水速度越大，水从喷出到落入池中的时间越短
B. 喷水口高度一定，喷水速度越大，水喷得越近
C. 喷水速度一定，喷水口高度越高，水喷得越近
D. 喷水口高度一定，无论喷水速度多大，水从喷
出到落入池中的时间都相等
解析：水水平喷出后，做平抛运动，其运动时间由高度决定，所以喷
水口高度一定时，水从喷出到落入池中的时间相等，水速越大，水喷
得越远，A、B错误，D正确；喷水速度一定，喷水口高度越高，水从
喷出到落入池中的时间越长，水喷得越远，C错误。
类型三 多个物体平抛运动的分析与计算
【典例3】　如图，x轴在水平地面上，y轴沿竖直方向。图中画出了从
y轴上沿x轴正方向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从
同一点抛出的，不计空气阻力，则（　　）
A. a的初速度比b的小
B. a的初速度比c的大
C. a的飞行时间比b的长
D. b的飞行时间比c的长
解析：由题图可以看出，b、c两个小球的抛出高度相同，a的抛出高度
最小，根据h＝gt2得t＝，可知a的飞行时间最短，b、c的飞行时间
相等，故C、D错误；由题图可以看出，a、b、c三个小球的水平位移
关系为a最大，c最小，根据x＝v0t可知v0＝＝x，所以a的初速度最
大，c的初速度最小，故A错误，B正确。
要点二　平抛运动的推论
【探究】
如图所示为以初速度v0水平抛出的物体的运动轨迹，则：
（1）经时间t后速度方向和位移方向相同吗？分别求出两者与水平方
向夹角的正切值，这两个正切值有什么关系？
提示：不相同。由题图知tan θ＝＝，tan α＝＝＝
，所以tan θ＝2tan α。
（2）结合以上结论并观察速度反向延长线与x轴的交点，你有什
么发现？
提示： xA＝v0t，yA＝gt2，vy＝gt，vx＝v0，
又tan θ＝＝，解得xA'B＝＝。
【归纳】
　平抛运动的两个重要推论
（1）“正切2倍”：做平抛运动的物体在某时刻速度方向与水平方向
的夹角θ、位移方向与水平方向的夹角α的关系为tan θ＝2tan α。
（2）“反延过中”：做平抛运动的物体在任意时刻的速度的反向延
长线一定通过此时水平位移的中点。
【典例4】　在电视剧里，我们经常看到这样的画面：屋外刺客向屋
里投来两支飞镖，落在墙上，如图所示。现设飞镖是从同一位置做平
抛运动射出来的，飞镖A与竖直墙壁成53°角，飞镖B与竖直墙壁成
37°角，两落点相距为1.4 m，则刺客与墙壁的距离为（ 已知tan 37°
＝，tan 53°＝）（　　）
A. 4.8 m B. 2.4 m
C. 5.2 m D. 6.3 m
解析：由题可得，飞镖A落在墙上时，速度与水平方向夹角为37°，
飞镖B落在墙上时，速度与水平方向夹角为53°，设飞镖A与B的竖直
位移分别为y1、y2，飞镖A与B落在墙上时位移与水平方向夹角分别为
βA 、βB，飞镖A与B落在墙上时的水平位移都为x，则tan 37°＝2tan
βA＝，tan 53°＝2tan βB＝，y2－y1＝1.4 m，联立解得x＝4.8
m，故选A。
1. 如图所示，若物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后仍
落在斜面上，则物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足
（空气阻力不计，物体可视为质点）（　　）
A. tan φ＝sin θ B. tan φ＝cos θ
C. tan φ＝tan θ D. tan φ＝2tan θ
解析：　物体从抛出至落到斜面的过程中，位移方向与水平方向
的夹角为θ，落到斜面上时速度方向与水平方向的夹角为φ，由平抛
运动的推论知tan φ＝2tan θ，故D正确。
要点三　一般的抛体运动
【探究】
　体育运动中投掷的链球、铅球、铁饼、标枪等（如图所示），都可
以看作是斜上抛运动。
以抛出的铅球为例：
（1）铅球离开手后，如不考虑空气阻力，其受力情况、速度有何
特点？
提示：不考虑空气阻力，铅球在水平方向不受力，在竖直方向只受重力，加速度为g，其初速度不为零，初速度方向斜向上方。
（2）铅球在最高点的速度是零吗？
提示：不是。由于铅球在水平方向做匀速运动，所以铅球在最高点的速度等于水平方向的分速度。
【归纳】
1. 受力特点：斜抛运动是忽略了空气阻力的理想化运动，因此物体仅
受重力，其加速度为重力加速度g。
2. 运动特点：物体具有与水平方向存在夹角的初速度，仅受重力，因
此斜抛运动是匀变速曲线运动，其轨迹为抛物线。
3. 速度变化特点：由于斜抛运动的加速度为定值，因此，在相等的时
间内速度的变化大小相等，方向均竖直向下，故相等的时间内速度
的变化相同，即 Δv＝gΔt。
时间对称 相对于轨迹最高点，两侧对称的上升时间等于下降时间
速度对称 相对于轨迹最高点，两侧对称的两点速度大小相等
轨迹对称 斜抛运动的轨迹相对于过最高点的竖直线对称
4. 斜抛运动的对称性
【典例5】　（2024·浙江丽水期末）2023年11月23日，第十批在韩中
国人民志愿军烈士遗骸由我空军专机护送，从韩国接回辽宁沈阳。辽
宁沈阳桃仙国际机场以“过水门”最高礼遇迎接英雄回家，仪式中的
“水门”是由左右两辆消防车喷出的水柱形成。如图所示，若两水柱
从同一高度对称射出，恰好在最高点相遇后散开，水柱上升的最大高
度约为20 m，两辆消防车的水平距离约为80 m，不计水柱空气阻力和
水流间相互作用，下列说法正确的是（　　）
A. 两水柱相遇时的速度为零
B. 水柱射出时的速度大小约为20 m/s
C. 两水柱在相遇前运动的时间为4 s
D. 水柱射出的方向与水平面所成夹角约为45°
解析：两水柱相遇时有水平速度，则速度不为零，选项A错误；由对
称性可知，两水柱在相遇前运动的时间相等，水柱射出到最高点的时
间t＝＝2 s，抛出时的竖直速度vy＝gt＝20 m/s，水平速度
v0＝＝ m/s＝20 m/s，则抛出时的速度大小约为v＝＝
20 m/s，水柱射出的方向与水平面所成夹角的正切值为tan θ＝＝
1，所以θ＝45°，选项D正确，B、C错误。
方法技巧
斜上抛运动问题的分析技巧
（1）斜上抛运动问题可用运动的合成与分解进行分析，即水平方向
的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动。
（2）运动时间及射高由竖直分速度决定，射程由水平分速度和抛射
角决定。
（3）由抛出点到最高点的过程可逆向看作平抛运动来分析。
2. （多选）如图所示，从地面上同一位置抛出两小球A、B，分别落
在地面上的M、N点，两球运动的最大高度相同。空气阻力不计，
则（　　）
A. B的加速度比A的大
B. B的飞行时间比A的长
C. B在最高点的速度比A在最高点的大
D. B落地时的速度比A落地时的大
解析： 　A、B两球都做斜上抛运动，只受重力作用，加速度即
为重力加速度，A错误；A、B两球在竖直方向上做竖直上抛运动，
由于上升的竖直高度相同，所以两小球在空中飞行的时间相等，竖
直分速度相等，B错误；由于B球的水平射程比A球的大，故B球的
水平速度及落地时的速度均比A球的大，C、D正确。
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
03
1. 关于平抛运动，下列说法中不正确的是（　　）
A. 平抛运动的下落时间由下落高度决定
B. 平抛运动的轨迹是曲线，所以平抛运动不可能是匀变速运动
C. 平抛运动的速度方向与加速度方向的夹角一定越来越小
D. 平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由
落体运动
解析： 　平抛运动的下落时间由下落的高度决定，A正确；平抛
运动的轨迹是曲线，它的速度方向沿轨迹的切线方向，方向不断改
变，所以平抛运动是变速运动，由于其加速度为g，保持不变，所
以平抛运动是匀变速曲线运动，B错误；平抛运动的速度方向和加
速度方向的夹角θ满足tan θ＝＝，因为t一直增大，所以tan θ变
小，θ变小，C正确；平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运
动和竖直方向的自由落体运动，D正确。
2. （2023·连云港市高一校考）从高处以15 m/s的速度水平抛出一铁
球，不计空气阻力，重力加速度取10 m/s2，经过2 s还没有落到地
面，则它此时的速度大小是（　　）
A. 15 m/s B. 20 m/s
C. 25 m/s D. 30 m/s
解析： 　铁球竖直方向的速度vy＝gt＝2×10 m/s＝20 m/s，铁球此
时的速度v＝＝ m/s＝25 m/s，故选C。
3. 如图所示，炮筒与水平方向成60°角，炮弹从炮口射出时的速度大
小是1 000 m/s，这个速度在水平方向的分速度，以及炮弹到达最高
点所用的时间分别为（　　）
A. 500 m/s；50 s
解析： 　将炮弹的速度水平分解和竖直分解，如图所示，
水平分速度为vx＝vcos 60°＝500 m/s，竖直分速度为 vy＝
vsin 60°＝500 m/s，炮弹到达最高点所用的时间t＝＝
50 s，故选B。
4. 一物体在离水平地面高H处水平抛出，经过一段时间t（未知）落到
地面上，不计空气阻力。现已通过测量得到了物体在水平方向（x
方向）和竖直方向（y方向）的速度—时间图像，如图所示，重力
加速度g取10 m/s2。求：
（1）物体下落的高度H；
答案：0.8 m　
解析：根据＝2gH
代入数据解得H＝0.8 m。
（2）物体落到地面时的速度v的大小和方向。
答案：5 m/s，与水平方向成53°角斜向下
解析：物体落到地面时的速度v＝＝5 m/s
物体落到地面时的速度的方向与水平方向的夹角满足tan α＝
＝，则α＝53°。
04
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
要点一　平抛运动的规律
1. 做平抛运动的物体，每秒的速度增量总是（　　）
A. 大小相等，方向相同
B. 大小不等，方向不同
C. 大小相等，方向不同
D. 大小不等，方向相同
解析：　在平抛运动中，速度的变化量Δv＝gΔt，所以每秒内的
速度变化量大小相等，方向都是竖直向下，选项A正确。
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2. 关于平抛运动，下列说法不正确的是（　　）
A. 平抛运动是匀变速曲线运动
B. 做平抛运动的物体在任何相等时间内速度的变化量都相等
C. 平抛运动的水平位移由抛出点的高度和抛出时的初速度决定
D. 落地时间和落地时的速度只与抛出点的高度有关
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解析：　平抛运动只受重力作用，加速度为g，是个定值，所以
平抛运动是匀变速曲线运动，故A正确；平抛运动的加速度为g，
根据 Δv＝gΔt可知做平抛运动的物体在任何相等时间内速度的变化
量都相等，故B正确；平抛运动的水平位移由抛出点的高度和抛出
时的初速度决定，C正确；根据h＝gt2 可知t＝，即落地时间只
与抛出点的高度有关，而落地速度v＝＝，
可见落地速度与水平初速度v0及抛出点高度都有关，故D错误。
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3. （多选）“套圈”是老少皆宜的游戏。如图所示，某同学先后两次
在A点把小环水平抛出，分别直接套中位于水平地面B、C两点处的
目标物。不计空气阻力，下列说法正确的有（　　）
A. 两小环在空中的飞行时间相同
B. 两小环抛出时的初速度相同
C. 两小环落地时的末速度相同
D. 两小环在空中飞行过程中速度的变化量相同
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解析：　根据h＝gt2可得t＝，两小环的抛出点相同，故两
小环在空中的飞行时间相同，故A正确；根据x＝v0t可知v0＝，由
题图可知，两次的水平位移不同，则两小环抛出时的初速度不同，
故B错误；根据＝2gh可知vy＝，则落地速度为v＝
，由B项分析可知，初速度不同，则落地时的末速度不
同，故C错误；根据Δv＝gΔt，由于两次飞行的加速度和时间都相
同，则两小环在空中飞行过程中速度的变化量相同，故D正确。
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4. （多选）如图所示，节水灌溉中的喷嘴距地高0.8 m，假定水从喷
嘴水平喷出，喷灌半径为4 m，不计空气阻力，取g＝10 m/s2，则
（　　）
A. 水下落的加速度为8 m/s2
B. 水从喷嘴到地面的时间为0.4 s
C. 水从喷嘴喷出后速度不变
D. 水从喷嘴喷出的速率为10 m/s
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解析： 　水喷出后做平抛运动，下落的加速度为10 m/s2，故A错
误；根据h＝gt2得t＝＝ s＝0.4 s，故B正确；水从喷嘴喷
出后竖直分速度增大，水平分速度不变，速度增大，故C错误；水
从喷嘴喷出的速率v0＝＝ m/s＝10 m/s，故D正确。
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5. 某物体做平抛运动时，它的速度方向与水平方向的夹角为θ，其正
切值tan θ随时间t变化的图像如图所示（g取 10 m/s2），则（　　）
A. 第1 s内物体下落的高度为15 m
B. 第1 s内物体下落的高度为10 m
C. 物体的初速度为5 m/s
D. 物体的初速度是10 m/s
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解析： 　根据tan θ＝＝t，对应题图可得＝1，解得v0＝10
m/s，D正确，C错误；第1 s内物体下落的高度h＝gt2＝×10×12
m＝5 m，A、B错误。
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要点二　平抛运动的推论
6. 如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速
度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说
法正确的是（　　）
A. 小球水平抛出时的初速度大小为gttan θ
C. 若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长
D. 若小球初速度增大，则θ减小
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解析： 　将小球的速度、位移分解，如图所示，vy
＝gt，v0＝＝，故A错误；设位移方向与水平
方向夹角为α，则tan θ＝2tan α，α≠，故B错误；平
抛运动的落地时间由下落高度决定，与水平初速度无
关，故C错误；由tan θ＝＝知，t不变时，v0增
大，则θ减小，故D正确。
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7. 如图所示，AB为半圆环ACB的水平直径，C为环上的最低点，环半
径为R。一个小球从A点沿AB以速度v0抛出，不计空气阻力，则下列判
断正确的是（　　）
A. v0越大，小球从抛出到落在半圆环上经历的时间越
长
B. 即使v0取值不同，小球落到环上时的速度方向和水
平方向的夹角也相同
C. 若v0取值适当，可以使小球垂直撞击半圆环
D. 无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击半圆环
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解析 　小球落在环上的最低点C时所用时间最长，选项A错误；由
平抛运动规律可知，小球的速度方向与水平方向夹角的正切值是位移
方向与水平方向夹角正切值的2倍，v0取值不同，小球落到环上时的位
移方向与水平方向的夹角不同，则速度方向和水平方向的夹角不相
同，选项B错误；小球撞击半圆环时速度的反向延长线一定通过此时
水平位移的中点，故不可能过圆心，则无论v0取何值，小球都不可能
垂直撞击半圆环，选项D正确，C错误。
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要点三　一般的抛体运动
8. 一位田径运动员在跳远比赛中以10 m/s的速度沿与水平面成30°的
角度起跳，在落到沙坑之前，他在空中滞留的时间约为（g取10
m/s2）（　　）
A. 0.42 s B. 0.83 s
C. 1 s D. 1.5 s
解析： 　起跳时，竖直方向上的分速度v0y＝v0sin 30°＝10× m/s
＝5 m/s，所以在空中滞留的时间为t＝＝ s＝1 s，故C正确。
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9. 篮球比赛中一运动员将篮球从地面上方B点以速度v0斜向上抛出，
恰好垂直击中篮板上A点。若该运动员后撤到C点投篮，还要求垂
直击中篮板上A点，运动员做法可行的是（　　）
A. 增大抛出速度v0，同时增大抛射角θ
B. 减小抛出速度v0，同时增大抛射角θ
C. 增大抛射速度v0，同时减小抛射角θ
D. 减小抛射速度v0，同时减小抛射角θ
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解析： 　篮球垂直击中A点，其逆过程是平抛运动，运动员后撤
到C点投篮，还能垂直击中篮板上A点，则竖直高度不变，所以竖
直速度不变，而水平距离增大，所以水平速度增大，由v0＝
可知抛出后落地速度增大，由tan θ＝可知落地时速度
与水平面的夹角减小，故C正确，A、B、D错误。
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10. （多选）（2024·湖北十堰期末）如图所示，从水平面上方O点水
平抛出一个初速度大小为v0的小球，小球与水平面发生一次碰撞
后恰能击中竖直墙壁上与O点等高的A点，小球与水平面碰撞前、
后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反。不计空气
阻力，若只改变小球的初速度大小，小球仍能击中A点，则初速度
大小可能为（　　）
A. 1.5v0
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解析： 　设O、A间的水平位移为L，O点与水平面的高度为h，
则有t＝，L＝2v0t，若只改变小球的初速度大小，小球仍能击
中A点，则有L＝nv0'·2t（n＝2，3，4…），联立解得小球的初速
度大小为v0'＝（n＝2，3，4…），故选B、D。
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11. （多选）如图，在同一竖直面内，小球a、b从高度不同的两点，
分别以初速度va和vb沿水平方向先后抛出，恰好同时落到地面上与
两抛出点水平距离相等的P点，若不计空气阻力，则（　　）
A. 小球a比小球b先抛出
B. 初速度va小于vb
D. 初速度va大于vb
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解析： 　由h＝gt2得t＝，可知平抛运动的运动时间是由
竖直的高度决定的，由于a的下落高度比b的大，所以它们运动时
间关系为ta＞tb，两球要同时落地，则小球a必须先抛出，故A正
确；a、b的水平位移大小相等，由x＝v0t得 va＜vb，故B正确，D错
误；由h＝gt2和x＝v0t得 h＝g·，x相同，可知小球a、b抛出点
距地面高度之比为ha∶hb＝∶，故C正确。
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12. 将一个物体以10 m/s的速度从5 m的高度水平抛出，（不计空气阻
力，取g＝10 m/s2），求：
（1）落地时它的速度v（合速度）；
答案： 10 m/s，与水平方向的夹
角为45°斜向下　
解析：落地时竖直方向的速度为＝2gh
解得vy＝＝10 m/s
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落地时它的速度（合速度）为v＝＝
m/s＝10 m/s
设合速度与水平方向的夹角为θ，则有
tan θ＝＝＝1
解得θ＝45°。
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（2）从抛出到落地所用时间t。
答案：1 s
解析：从抛出到落地所用时间为t，则有h＝gt2
解得t＝1 s。
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13. 一小球自空中某点O水平抛出，途中经过A、B两点，已知小球经
过A点时的速度与水平方向的夹角为37°，经过B点时的速度与水
平方向的夹角为53°。小球从A运动到B的时间Δt＝0.7 s 。不计空
气阻力，重力加速度为g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝
0.8，求：
（1）初速度v0的大小；
答案：12 m/s　
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解析： 根据题意，设运动到A点的时间为t，则运动到B
点时间为t＋Δt，由平抛运动规律
在A点有tan 37°＝
在B点有tan 53°＝
联立解得v0＝12 m/s，t＝0.9 s。
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（2）A、B两点间的高度差。
答案：8.75 m
解析：在竖直方向上由h＝gt2 可得
到A点时下落的高度为hA＝4.05 m
到B点时下落的高度为hB＝12.8 m
则A、B两点间的高度差为Δh＝hB－hA＝8.75 m。
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