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初中数学九年级(下)
3.4圆周角与圆心角的关系（2）
知识回顾
定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半.
求图1中∠α 的度数.
∠α =_______
∠α =________
35°
120°
A
O
70°
α
C
A
O
α
120°
C
D
B
图1
探索新知
观察图2，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角有什么特点？你能证明吗？
A
B
C
O
图2
解：直径BC所对的圆周角∠BAC=90°.
∵BC为直径，
∴∠BOC=180°.
∴
推论：直径所对的圆周角是直角
探索新知
如图3，如果圆周角∠BAC=90°，那么弦BC是直径吗？为什么？
∴BC是⊙O的一条直径.
B
C
A
O
图3
解：弦BC是直径.
连接OC，OB.
∵∠BAC=90°，
∴∠BOC=2∠BAC=180°（圆周角的度数
等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）.
∴B，O，C三点在同一直线上.
推论：90°的圆周角所对的弦是直径
归纳小结
几何语言：
∵BC为直径，
∴∠BAC=90°.
几何语言：
∵∠BAC=90°，
∴BC为直径.
A
B
C
O
B
C
A
O
推论：直径所对的圆周角是直角
90°的圆周角所对的弦是直径
深入思考
（1）如图4，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC为⊙O的直径，
∴∠BAD与∠BCD互补.
A
B
C
O
D
图4
解：∠BAD与∠BCD互补.
∵AC为直径，
∴∠ABC=90°，∠ADC=90°.
∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD=360°，
∴∠BAD+∠BCD=180°.
请问∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为什么？
深入思考
（2）若C点的位置发生了变化，∠BAD与∠BCD之间的关系
还成立吗？为什么？
A
B
C
O
D
1
2
∵ （圆周角的度数等
于它所对弧上圆心角的一半），
图5
解：∠BAD与∠BCD的关系仍然成立.
∵∠1+∠2=360°，
∴∠BAD+∠BCD=180°.
∴∠BAD与∠BCD互补.
如图5，连接OB，OD.
深入思考
（3）观察图6，两个四边形ABCD有什么共同的特点？
四边形ABCD的的四个顶点都在⊙O上，这样的四边形叫做圆内接四边形.
A
B
C
O
D
A
B
C
O
D
图6
这个圆叫做四边形的外接圆..
A
B
C
O
D
（4）观察图7，∠BAD与∠BCD之间有什么关系？
圆内接四边形的对角互补.
几何语言：
∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°（圆内接四边形的对角互补）.
A
B
C
O
D
图7
归纳小结
学以致用
∴∠A=∠DCE.
A
B
C
O
D
E
图8
解：∠A=∠DCE.
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠BCD=180°（圆内角四边形的对角
互补）.
∵∠BCD+∠DCE=180°，
如图8，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，∠A与∠DCE的大小有什么关系？
归纳小结
A
B
C
O
D
E
图8
外角
内对角
圆内接四边形的性质：
圆内接四边形的任何一个外角等于它的內对角
巩固练习
1.如图，⊙O的直径AB=10 cm，C为⊙O上的一点，∠B=30°，求AC的长.
∴
A
B
C
O
∴∠BCA=90°.
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=10 ，
解：∵AB为直径，
2.如图，在⊙O中，∠BOD=80°，求∠A和∠C的度数.
解：∵∠BOD =80°，
∴ （圆周角的度数等于它所
对弧上的圆心角的度数的一半）.
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠DAB+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-40°=140°（圆内接四边形的对
角互补）.
A
B
C
O
D
巩固练习
∵AB为直径 ，
∴∠BCA=90°（直径所对的圆周角为直角）.
∴∠BCD+∠DCA=90°.
∵ ∠ACD=15°，
∴∠BCD=90°-15°=75°.
∴∠BAD=∠BCD=75°（同弧所对的圆周角相等）.
3.如图，AB是⊙O的直径，∠C=15°，求∠BAD的度数.
A
B
C
O
D
解法一：连接BC.
巩固练习
3.如图，AB是⊙O的直径，∠C=15°，求∠BAD的度数.
A
B
C
O
D
∵∠ACD=15°，
∴∠AOD=2∠ACD =30°（圆周角的度数等于
它所对弧上的圆心角的度数的一半）.
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA.
又∵∠AOD+∠OAD+∠ODA=180°，
∴∠BAD=75°.
解法二：连接OD.
巩固练习
方法提升
圆周角
圆心角
弧
直角三角形
内接四边形
构造
反思提升
在得出本节课结论的过程中，你用到了哪些方法？有哪些收获？
测量猜想
演绎证明
推论1：直径所对的圆周角是直角
90°的圆周角所对的弦是直径
特殊
一般
推论2：圆内接四边形对角互补
圆内接四边形的任何一个外角都等于它的內对角
教师寄语：
行百里者半九十，只有坚持才能收获最美好的风景

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