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第四届AGMC数学竞赛
个人特长赛
2025年8月3日
1注意事项Instructions
1.总时长为8小时，分为5条赛道；每条赛道的总分为400分，包含10道解答题
您可以自行选择任意赛道的任意题目作答，我们将对所有作答内容进行批改，但最终得分仅取分数
最高的2条赛道的分值之和.（即最终总分为800分）】
我们尽量确保每条赛道的难度大致相等，建议您花30分钟左右的时间选择2条最适合自己的赛道，
毕竟我们不会因为赛道的难度差异而赋分
2.所有题目都需要写过程，无论是证明题还是求值题
3.每道题的序号后标注了对应分值，分值与难度大致呈正相关，但主观难度因人而异，
4.几何赛道请在答题纸上重新作图，无论是否已经给了图；您可以选择使用原图，自己在纸上徒手作
图或者使用软件作图
5.数分高代赛道的难度主要是针对高中生的，仅考察基础知识，不会涉及过于专业的内容.（偏分析）
2几何Geometry
G1.[15]令w为一个定圆，在w内部（含圆周）有不重合的两点A,B;求证：在w内部（含圆周）必
定存在一圆同时经过两点A,B.
G2.[20]如图，已知凸四边形ABCD中，AB=BC,∠ABC=120°，∠ADB=45°，∠BDC=60°，
求tan∠BAD的值.
B
A
G3.[30]如图，在△ABC中，其高为AD,外心为点O;延长AO交边BC于点E;X在线段DE
上，Y在线段AD上，连接AX,OY,XY;若AX⊥OY且AE‖XY,求证：AX为△ABC
的陪位中线.
B
D X
G4.[30]如图，以O为原点的平面直角坐标系中，有一个椭圆
:若+号-1
其左，右焦点分别为F,F2;且￡上有一点F3,以F3为焦点的抛物线P同时经过F,F2;若
△FF2F3的垂心H恰好在P的准线上，求OH的长度.
H
F
0
F
2
G5.[40]如图，已知△ABC,点P为其边AC上一点，点H为△ABP的垂心；点Q在△ABC的
外接圆上，使得∠AQP=90°；直线BC与AQ交于点K,过点A作AC的垂线与直线KH交
于点T,求证：AB⊥CT.
B
G6.[4O]如图，在△ABC中，AG平分∠BAC,GD⊥BC于点D;E,F分别为ACAB上的点，
满足AE=AF;△BFD,△AGB的外接圆交于点X且X≠B:△CED,△AGC的外接圆交
于点Y且Y≠C;求证：B,C,X,Y四点共圆.
E
B
G7.[45]四面体ABCD的外接球半径为R,内切球半径为T,且两球同心，若AB=AC=1≤BC
且R=4r,求BC
G8.[50]如图，设△ABC为锐角三角形；A关于△ABC外接圆的对径点为A1,A1关于BC的对称
点为A2;类似定义B1,B2,C1,C2;求证：直线AA2,BB2,CC2共点.
C
C2
B
C
A】

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