资源简介

3.万有引力理论的成就
要点一　天体质量和密度的计算
1.土星最大的卫星叫“泰坦”（如图所示），每16天绕土星运行一周，其公转轨道半径约为1.2×106 km，已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，则土星的质量约为（　　）
A.5×1017 kg B.5×1026 kg
C.7×1033 kg D.4×1036 kg
2.我国成功地进行了“嫦娥五号”的发射和落月任务，进一步获取了月球的相关数据。嫦娥五号在月球上空绕月球做匀速圆周运动时，经过时间t，运动的路程是s，与月球中心连线扫过的角度是θ（弧度），引力常量为G，月球的半径为R，则可推知月球的密度是（　　）
A. B.
C. D.
3.（2024·江苏南京期中）火星绕太阳运转可看成是匀速圆周运动，设火星运动轨道的半径为r，火星绕太阳一周的时间为T，万有引力常量为G，则下列说法正确的是（　　）
A.火星的质量m火＝
B.火星的向心加速度a火＝
C.太阳的平均密度ρ太＝
D.太阳的质量m太＝
要点二　天体运行参量的分析
4.随着科技的进步，人们在浩瀚的宇宙中发现越来越多的未知星球，下列关于行星的说法正确的是（　　）
A.离太阳越近的行星，公转周期越小
B.离太阳越近的行星，运转的速率越小
C.离太阳越远的行星，受到的万有引力一定越大
D.离太阳越远的行星，受到的万有引力一定越小
5.若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是（　　）
A. B.
C. D.
6.如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带。假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　）
A.太阳对各小行星的引力相同
B.各小行星绕太阳运动的周期均小于一年
C.小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值
D.小行星带内各小行星圆周运动的线速度值均大于地球公转的线速度值
7.一物体从一行星表面某高度处自由下落（不计阻力）。自开始下落计时，得到物体离行星表面高度h随时间t变化的图像如图所示，则根据题设条件可以计算出（　　）
A.行星表面重力加速度大小
B.行星的质量
C.行星的密度
D.物体受到行星引力的大小
8.（2024·湖北荆州期中）将一质量为m的物体分别放到地球的南北两极点时，该物体的重力均为mg0。将该物体放在地球赤道上时，该物体的重力为mg；假设地球可视为质量分布均匀的球体，半径为R，已知引力常量为G，则由以上信息可得出（　　）
A.g0＜g
B.地球的质量为
C.地球自转的角速度为ω＝
D.地球的平均密度为ρ＝
9.1789年英国物理学家卡文迪什测出引力常量G，因此卡文迪什被人们称为“能称出地球质量的人”。若已知引力常量为G，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，地球上一个昼夜的时间为T1（地球自转周期），一年的时间为T2（地球公转周期），地球中心到月球中心的距离为L1，地球中心到太阳中心的距离为L2。下列说法正确的是（　　）
A.地球的质量m地＝
B.太阳的质量m太＝
C.月球的质量m月＝
D.由题中数据可求月球的密度
10.（多选）若宇航员在距月球表面高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L。已知月球半径为R，万有引力常量为G，则下列说法正确的是（　　）
A.月球表面的重力加速度g月＝
B.月球的质量m月＝
C.月球的自转周期T＝
D.月球的平均密度ρ＝
11.（2024·江西期中）2023年5月，我国神舟十六号宇宙飞船成功发射，三位航天员与神舟十五号的三位航天员在中国空间站成功会师。空间站绕地球运行视为匀速圆周运动，运行周期为T。若不考虑地球自转，地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，万有引力常量为G。求：
（1）地球的平均密度ρ；
（2）空间站距离地面的高度h。
12.在地球表面让某小球做自由落体运动，小球经过时间t落地；若在某星球表面让同样的小球做自由落体运动，小球经过时间4t落在星球表面。已知小球落在地面时和落在星球表面时的速度大小相等，该星球的半径与地球半径之比为R'∶R＝1∶2，地球表面重力加速度为g，大气阻力不计。 求：
（1）该星球表面的重力加速度g'；
（2）该星球的质量与地球的质量之比m星∶m地。
3.万有引力理论的成就
1.B　由卫星受到的万有引力提供向心力，得＝mr，其中r＝1.2×106 km＝1.2×109 m，T＝16天＝16×24×3 600 s＝1 382 400 s，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，代入数据可得m土≈5×1026 kg，故B正确。
2.B　由题意可知，嫦娥五号的线速度、角速度分别为v＝，ω＝，又因为v＝ωr，所以轨道半径为r＝＝。嫦娥五号绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，有G＝m，得月球的质量为M＝＝，又因为月球的体积为V＝πR3，所以月球的密度ρ＝＝＝，故B正确。
3.B　由题意可知火星绕太阳做匀速圆周运动，则有G＝m火r，解得m太＝，其中m太 ＝ ρ太V，V＝π，联立解得ρ太＝，故A、C、D错误；火星绕太阳做匀速圆周运动，则火星的向心加速度a火＝，故B正确。
4.A　根据开普勒第三定律＝k可知，离太阳越近的行星，公转周期越小，选项A正确；根据 G＝m，可得v＝，则离太阳越近的行星，运转的速率越大，选项B错误；因行星的质量不确定，则离太阳越远的行星，受到的万有引力不一定越大，也不一定越小，选项C、D错误。
5.A　根据万有引力提供向心力有G＝m，又m星＝ρ·，解得T＝ ，故A正确，B、C、D错误。
6.C　由于各小行星的质量和轨道半径不同，根据万有引力定律可知太阳对各小行星的引力不同，选项A错误；由G＝mr可得T＝ ，又小行星的轨道半径大于地球的轨道半径，可知各小行星绕太阳运动的周期均大于一年，选项B错误；由G＝ma可得a＝，可知小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值，选项C正确；由G＝m可得 v＝ ，可知小行星带内各小行星做圆周运动的线速度值均小于地球公转的线速度值，选项D错误。
7.A　物体离行星表面的高度为25 m，落地时间为2.5 s，根据h＝gt2得出重力加速度g， A正确；由于不知道行星的半径，所以不能求出行星的质量和密度，B、C错误；由于不知道物体的质量，所以不能求出物体受到行星的引力大小，D错误。
8.C　设地球质量为m地，物体在地球南北两极点时，此时没有地球自转所需的向心力，则＝mg0，解得m地＝，在地球赤道上时，有－mg＝mω2R，所以有g0＞g，联合解得ω＝，故A、B错误，C正确；根据＝mg0，m地＝ρ·πR3可得ρ＝，D错误。
9.B　根据地球表面万有引力等于重力，有 G＝mg，则m地＝，故A错误；根据万有引力提供向心力有＝mL2，解得m太＝，故B正确；根据题中的物理量，无法求出月球的质量，故C错误；月球的质量无法求出，则无法求出月球的密度，故D错误。
10.AB　根据平抛运动规律，有L＝v0t，h＝ g月t2，联立解得g月＝，选项A正确；由mg月＝G，解得m月＝，选项B正确；根据题目条件无法求出月球的自转周期，选项C错误；月球的平均密度ρ＝＝，选项D错误。
11.（1）　（2）－R
解析：（1）在地球表面＝mg
根据密度公式得ρ＝，又V＝πR3
解得ρ＝。
（2）空间站绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，有＝m
在地球表面＝mg
解得h＝－R。
12.（1）g　（2）1∶16
解析：（1）在地球表面小球自由下落时，由自由落体运动规律，有v0＝gt
同理在星球表面自由下落，有v0＝g'·4t
联立两式解得g'＝g。
（2）在地球表面的物体，有mg＝G
在星球表面的物体，有mg'＝G
该星球的半径与地球半径之比R'∶R＝1∶2
代入数据解得m星∶m地＝1∶16。
3 / 33.万有引力理论的成就
课标要求 素养目标
1.认识科学定律对人类探索未知世界的作用。 2.以万有引力定律为例，了解统一性观念在科学认识中的重要意义 1.理解“称量地球质量”的基本思路，理解计算太阳质量的基本思路，能将其推广到其他中心天体质量的计算。（物理观念） 2.通过对天体质量和密度的计算，理解利用万有引力定律解决天体问题的基本思路和方法；通过计算天体质量、发现未知天体等；理解万有引力定律的应用。（科学思维）
知识点一　“称量”地球的质量
1.思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转的影响，物体的重力等于　　　对物体的引力。
2.关系式：mg＝G。
3.结果：m地＝，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量。
4.推广：若知道某星球表面的　　　　　　和星球　　　　，可计算出该星球的质量。
知识点二　计算天体的质量
1.思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的　　　　　充当向心力。
2.关系式：＝mr。
3.结论：m太＝，只要知道引力常量G、行星绕太阳运动的　　　　和轨道半径r就可以计算出太阳的质量。
4.推广：若已知卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，可计算出行星的质量。
知识点三　发现未知天体
　海王星的发现：英国剑桥大学的学生　　　和法国年轻的天文学家　　　　根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。1846年9月23日晚，德国的　　　　在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。
知识点四　预言哈雷彗星回归
　英国天文学家　　　　预言哈雷彗星的回归周期约为76年。
【情景思辨】
如图所示的是木星和它周围运行的卫星，现要测量木星的质量。假设卫星绕木星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出木星的质量，请对下述情景作出判断。
（1）再已知卫星的线速度和角速度可以求出木星的质量。（　　）
（2）再已知卫星的质量和轨道半径可以求出木星的质量。（　　）
（3）再已知卫星的质量和角速度可以求出木星的质量。（　　）
（4）再已知卫星的运行周期和轨道半径可求出木星的质量。（　　）
要点一　天体质量和密度的计算
情景及求解思路 结果
天体质量的计算 已知所求星体的半径R及其表面的重力加速度g，则G＝mg m星＝
质量为m的行星绕所求星体做匀速圆周运动，万有引力提供行星所需的向心力，即G＝m＝mω2r＝mr （1）m星＝ （2）m星＝ （3）m星＝
天体密度的计算 ρ＝＝ （1）ρ＝（已知g、R） （2）ρ＝（已知v、r、R） （3）ρ＝（已知ω、r、R） r＝R时：ρ＝ （4）ρ＝（已知T、r、R） r＝R时：ρ＝
【典例1】　设火星探测器在距离火星表面h高度做周期为T的匀速圆周运动。已知火星的半径为R，引力常量为G。求探测器：
（1）探测到的火星的质量；
（2）探测到的火星表面的重力加速度大小；
（3）探测到的火星的密度。
尝试解答
特别提醒
求解天体质量和密度时的常见错误
（1）根据轨道半径r和运行周期T，求得m中＝是中心天体的质量，而不是行星（或卫星）的质量。
（2）混淆或乱用天体半径与轨道半径，为了正确并清楚地运用，应一开始就养成良好的习惯，比如通常情况下天体半径用R表示，轨道半径用r表示，只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时，如近地卫星，轨道半径r才可以认为等于天体半径R。
1.（多选）我国500 m口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期为T，半径为R。假设星体为质量均匀分布的球体，已知引力常量为G。下列说法正确的是（　　）
A.无法计算该星体的质量
B.可以计算该星体的密度
C.该星体的质量m星＝
D.该星体的最小密度ρ＝
要点二　天体运行参量的分析
【探究】
　如图所示，太阳系中的行星绕太阳在不同轨道上运动，探究以下问题：
（1）将行星的运动近似看作匀速圆周运动，轨道半径最小的是哪颗行星？
（2）比较地球、金星和火星，哪个行星的周期最大？
（3）比较金星和木星，哪个行星的角速度大？
【归纳】
1.基本思路
行星绕恒星（或卫星绕行星）的运动可看作匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供。
2.常用关系
（1）基本关系：万有引力提供行星或卫星做圆周运动的向心力，即
G＝m＝mrω2＝mr＝man。
（2）黄金代换式：由在天体表面物体的重力等于万有引力，即mg＝G，可得Gm中＝gR2（即“Gm中”与“gR2”可以相互替代）。
【典例2】　金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径r金＜r地＜r火，由此可以判定（　　）
A.a金＞a地＞a火 B.a火＞a地＞a金
C.v地＞v火＞v金 D.v火＞v地＞v金
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
规律总结
　　天体运动的加速度、线速度、角速度和周期与轨道半径的关系
＝ “高轨、低速、周期长”或“低轨、高速、周期短”
2.国际科研团队发现了两颗距离地球仅100光年的新行星，其中一颗可能适合生命生存。这两颗行星分别是LP 890－9b（以下简称行星A）和LP 890－9c（以下简称行星B）。行星A的半径约为8 370公里，仅需2.7天就能绕恒星C转一圈；行星B的半径约为8 690公里，8.5天能绕恒星C转一圈。假设行星A、B绕恒星C做匀速圆周运动。则（　　）
A.行星A表面的重力加速度大于行星B表面的重力加速度
B.行星A的公转轨道半径大于行星B的公转轨道半径
C.行星A的公转速度大于行星B的公转速度
D.行星A的公转角速度小于行星B的公转角速度
1.（多选）下列说法正确的是（　　）
A.海王星是人们依据万有引力定律计算出其运行轨道而发现的
B.天王星是人们依据万有引力定律计算出其运行轨道而发现的
C.天王星的运行轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道，其原因是天王星受到轨道外面其他行星的引力作用
D.以上说法都不对
2.火星探测任务“天问一号”的标识如图所示。若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星的公转轨道半径与地球的公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的（　　）
A.轨道周长之比为2∶3
B.线速度大小之比为∶
C.角速度大小之比为2∶3
D.向心加速度大小之比为9∶4
3.若月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动，并且已知月球绕地球运动的轨道半径r、绕地球运动的周期T，引力常量为G，由此可以知道（　　）
A.月球的质量m＝
B.地球的质量m地＝
C.月球的平均密度ρ＝
D.地球的平均密度ρ'＝
4.（2024·江苏苏州期中）假设某星球可视为质量分布均匀的球体，已知该星球表面的重力加速度在两极的大小为g1，在赤道的大小为g2，星球自转的周期为T，引力常量为G，则该星球的密度为（　　）
A. B.·
C.· D.·
3.万有引力理论的成就
【基础知识·准落实】
知识点一
1.地球　4.重力加速度　半径
知识点二
1.万有引力　3.周期T
知识点三
亚当斯　勒维耶　伽勒
知识点四
哈雷
情景思辨
（1）√　（2）×　（3）×　（4）√
【核心要点·快突破】
要点一
知识精研
【典例1】　（1）
（2）
（3）
解析：（1）探测器绕着火星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，故G＝m（R＋h）
解得火星的质量m火＝。
（2）火星表面的物体所受万有引力等于自身所受重力，故mg火＝
解得火星表面的重力加速度为g火＝。
（3）火星的密度为ρ＝＝＝。
素养训练
1.AD　在星球上的物体随着星球自转时的向心力为万有引力的一个分量，即万有引力大于或等于向心力，所以根据牛顿第二定律有G≥m··R ，解得m星≥，可得星体最小质量为
m星min＝，又因为有V＝πR3 ，可得星体的最小密度为ρmin＝＝，综上，无法计算该星体的质量和密度，可以计算该星体的最小质量和最小密度，故选A、D。
要点二
知识精研
【探究】　提示：（1）水星。
（2）根据G＝mr得T＝，故轨道半径越大，周期越大，即火星的周期最大。
（3）根据G＝mω2r得ω＝ ，故轨道半径越小，角速度越大，金星的角速度大。
【典例2】　A　行星绕太阳做匀速圆周运动时，根据牛顿第二定律和圆周运动知识，由G＝man得向心加速度an＝，由G＝m得速度v＝ ，由于r金＜r地＜r火，所以a金＞a地＞a火，v金＞v地＞v火，选项A正确。
素养训练
2.C　由于不知道行星A与行星B的质量关系，行星A、B表面的重力加速度大小无法比较，故A错误；由于行星A绕恒星C的周期小于行星B绕恒星C的周期，根据开普勒第三定律＝k可知，行星A的公转轨道半径小于行星B的公转轨道半径，故B错误；根据万有引力提供向心力可得＝，解得 v＝，则行星A的公转速度大于行星B的公转速度，故C正确；根据万有引力提供向心力可得＝mω2r，解得ω＝，则行星A的公转角速度大于行星B的公转角速度，故D错误。
【教学效果·勤检测】
1.AC　海王星是人们根据万有引力定律计算出其轨道，然后由天文工作者在预言的位置附近观察到的，天王星是人们通过望远镜观察发现的；由于天王星的运行轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道，引起了人们的思考，推测天王星轨道外面存在未知行星，进而发现了海王星。故A、C正确，B、D错误。
2.C　轨道周长C＝2πr，与半径成正比，则轨道周长之比为3∶2，故A错误；根据万有引力提供向心力有＝m，解得v＝，则＝＝，故B错误；由万有引力提供向心力有＝mω2r，解得ω＝，则＝＝，故C正确；由＝ma得a＝，则＝＝，故D错误。
3.B　根据万有引力提供向心力，列出等式 G＝m，可得地球的质量m地＝，只能求出中心天体的质量，故A错误，B正确；由于不清楚月球和地球的半径大小，所以无法求出它们的平均密度，故C、D错误。
4.C　设该星球的质量为M，半径为R，在赤道处随该星球做圆周运动物体的质量为m，物体在赤道处随该星球自转做圆周运动的周期等于该星球自转的周期，根据万有引力定律和牛顿第二定律有－mg2＝mR，在两极处有＝mg1，又M＝ρV＝ρ×πR3，联立解得该星球的密度为ρ＝·，故选C。
5 / 5(共64张PPT)
3.万有引力理论的成就
课标要求 素养目标
1.认识科学定律对人类探索未知世界的作用。 2.以万有引力定律为例，了解统一性观念在科学认识中的重要意义 1.理解“称量地球质量”的基本思路，理解计算太阳质量的基本思路，能将其推广到其他中心天体质量的计算。（物理观念）
2.通过对天体质量和密度的计算，理解利用万有引力定律解决天体问题的基本思路和方法；通过计算天体质量、发现未知天体等；理解万有引力定律的应用。（科学思维）
目 录
01.
基础知识·准落实
02.
核心要点·快突破
03.
教学效果·勤检测
04.
课时训练·提素能
基础知识·准落实
梳理归纳 自主学习
01
知识点一　“称量”地球的质量
1. 思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转的影响，物体的重力等
于 对物体的引力。
2. 关系式：mg＝G。
3. 结果：m地＝，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的
质量。
4. 推广：若知道某星球表面的 和星球 ，可计
算出该星球的质量。
地球　
重力加速度　
半径　
知识点二　计算天体的质量
1. 思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间
的 充当向心力。
2. 关系式：＝mr。
3. 结论：m太＝，只要知道引力常量G、行星绕太阳运动的
和轨道半径r就可以计算出太阳的质量。
4. 推广：若已知卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，可
计算出行星的质量。
万有引力　
周
期T　
知识点三　　发现未知天体
　海王星的发现：英国剑桥大学的学生 和法国年轻的天文
学家 根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天
王星外“新”行星的轨道。1846年9月23日晚，德国的 在勒
维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。
亚当斯　
勒维耶　
伽勒　
知识点四　预言哈雷彗星回归
　英国天文学家 预言哈雷彗星的回归周期约为76年。
哈雷　
【情景思辨】
　如图所示的是木星和它周围运行的卫星，现要测量木星的质量。假
设卫星绕木星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物
理量才能计算出木星的质量，请对下述情景作出判断。
（1）再已知卫星的线速度和角速度可以求出木星的质量。
（　√　）
√
（2）再已知卫星的质量和轨道半径可以求出木星的质量。
（　×　）
（3）再已知卫星的质量和角速度可以求出木星的质量。 （　×　）
（4）再已知卫星的运行周期和轨道半径可求出木星的质量。
（　√　）
×
×
√
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
02
要点一　天体质量和密度的计算
情景及求解思路 结果
天体
质量
的计
算
情景及求解思路 结果
天体密度
的计算
【典例1】　设火星探测器在距离火星表面h高度做周期为T的匀速圆
周运动。已知火星的半径为R，引力常量为G。求探测器：
（1）探测到的火星的质量；
答案：
解析： 探测器绕着火星做匀速圆周运动，万有引力提供向
心力，故G＝m（R＋h）
解得火星的质量m火＝。
（2）探测到的火星表面的重力加速度大小；
答案：
解析：火星表面的物体所受万有引力等于自身所受重力，故mg火
＝
解得火星表面的重力加速度为g火＝。
（3）探测到的火星的密度。
答案：
解析：火星的密度为ρ＝＝＝。
特别提醒
求解天体质量和密度时的常见错误
（1）根据轨道半径r和运行周期T，求得m中＝是中心天体的质
量，而不是行星（或卫星）的质量。
（2）混淆或乱用天体半径与轨道半径，为了正确并清楚地运用，应
一开始就养成良好的习惯，比如通常情况下天体半径用R表示，
轨道半径用r表示，只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时，如
近地卫星，轨道半径r才可以认为等于天体半径R。
1. （多选）我国500 m口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星
“J0318＋0253”，其自转周期为T，半径为R。假设星体为质量均
匀分布的球体，已知引力常量为G。下列说法正确的是（　　）
A. 无法计算该星体的质量
B. 可以计算该星体的密度
解析： 　在星球上的物体随着星球自转时的向心力为万有引力
的一个分量，即万有引力大于或等于向心力，所以根据牛顿第二定
律有G≥m··R ，解得m星≥，可得星体最小质量为
m星min＝，又因为有V＝πR3 ，可得星体的最小密度为ρmin＝
＝，综上，无法计算该星体的质量和密度，可以计算该星
体的最小质量和最小密度，故选A、D。
要点二　天体运行参量的分析
【探究】
　如图所示，太阳系中的行星绕太阳在不同轨道上运动，探究以下问题：
（1）将行星的运动近似看作匀速圆周运动，轨道半径最小的是哪颗
行星？
提示： 水星。
（2）比较地球、金星和火星，哪个行星的周期最大？
提示： 根据G＝mr得T＝，故轨道半径越
大，周期越大，即火星的周期最大。
（3）比较金星和木星，哪个行星的角速度大？
提示： 根据G＝mω2r得ω＝ ，故轨道半径越
小，角速度越大，金星的角速度大。
【归纳】
1. 基本思路
行星绕恒星（或卫星绕行星）的运动可看作匀速圆周运动，所需向
心力由中心天体对它的万有引力提供。
2. 常用关系
（1）基本关系：万有引力提供行星或卫星做圆周运动的向心
力，即
G＝m＝mrω2＝mr＝man
（2）黄金代换式：由在天体表面物体的重力等于万有引力，即mg
＝G，可得Gm中＝gR2（即“Gm中”与“gR2”可以相互
替代）
【典例2】　金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运
动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的
速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径r金＜r地＜r火，由此可
以判定（　　）
A. a金＞a地＞a火 B. a火＞a地＞a金
C. v地＞v火＞v金 D. v火＞v地＞v金
解析：行星绕太阳做匀速圆周运动时，根据牛顿第二定律和圆周运动
知识，由G＝man得向心加速度an＝，由G＝m得速度v
＝ ，由于r金＜r地＜r火，所以a金＞a地＞a火，v金＞v地＞v火，选项
A正确。
规律总结
　　天体运动的加速度、线速度、角速度和周期与轨道半径的关系
＝ “高轨、低速、周期
长”或“低轨、高、
周期短”
2. 国际科研团队发现了两颗距离地球仅100光年的新行星，其中一颗可能适合生命生存。这两颗行星分别是LP 890－9b（以下简称行星A）和LP 890－9c（以下简称行星B）。行星A的半径约为8 370公里，仅需2.7天就能绕恒星C转一圈；行星B的半径约为8 690公里，8.5天能绕恒星C转一圈。假设行星A、B绕恒星C做匀速圆周运动。则（　）
A. 行星A表面的重力加速度大于行星B表面的重力加速度
B. 行星A的公转轨道半径大于行星B的公转轨道半径
C. 行星A的公转速度大于行星B的公转速度
D. 行星A的公转角速度小于行星B的公转角速度
解析： 　由于不知道行星A与行星B的质量关系，行星A、B表面
的重力加速度大小无法比较，故A错误；由于行星A绕恒星C的周期
小于行星B绕恒星C的周期，根据开普勒第三定律＝k可知，行星
A的公转轨道半径小于行星B的公转轨道半径，故B错误；根据万有
引力提供向心力可得＝，解得 v＝，则行星A的公
转速度大于行星B的公转速度，故C正确；根据万有引力提供向心力可得＝mω2r，解得ω＝，则行星A的公转角速度大于行星B的公转角速度，故D错误。
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
03
1. （多选）下列说法正确的是（　　）
A. 海王星是人们依据万有引力定律计算出其运行轨道而发现的
B. 天王星是人们依据万有引力定律计算出其运行轨道而发现的
C. 天王星的运行轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道，其原
因是天王星受到轨道外面其他行星的引力作用
D. 以上说法都不对
解析： 　海王星是人们根据万有引力定律计算出其轨道，然后
由天文工作者在预言的位置附近观察到的，天王星是人们通过望远
镜观察发现的；由于天王星的运行轨道偏离根据万有引力定律计算
出来的轨道，引起了人们的思考，推测天王星轨道外面存在未知行
星，进而发现了海王星。故A、C正确，B、D错误。
2. 火星探测任务“天问一号”的标识如图所示。若火星和地球绕太阳
的运动均可视为匀速圆周运动，火星的公转轨道半径与地球的公转
轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的（　　）
A. 轨道周长之比为2∶3
D. 向心加速度大小之比为9∶4
解析： 　轨道周长C＝2πr，与半径成正比，则轨道周长之比为
3∶2，故A错误；根据万有引力提供向心力有＝m，解得v
＝，则＝＝，故B错误；由万有引力提供向心力有
＝mω2r，解得ω＝，则＝＝，故C正确；由
＝ma得a＝，则＝＝，故D错误。
3. 若月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动，并且已知月球绕地
球运动的轨道半径r、绕地球运动的周期T，引力常量为G，由此可
以知道（　　）
解析： 　根据万有引力提供向心力，列出等式 G＝m，
可得地球的质量m地＝，只能求出中心天体的质量，故A错
误，B正确；由于不清楚月球和地球的半径大小，所以无法求出它
们的平均密度，故C、D错误。
4. （2024·江苏苏州期中）假设某星球可视为质量分布均匀的球体，
已知该星球表面的重力加速度在两极的大小为g1，在赤道的大小为
g2，星球自转的周期为T，引力常量为G，则该星球的密度为
（　　）
解析： 　设该星球的质量为M，半径为R，在赤道处随该星球做圆
周运动物体的质量为m，物体在赤道处随该星球自转做圆周运动的
周期等于该星球自转的周期，根据万有引力定律和牛顿第二定律有
－mg2＝mR，在两极处有＝mg1，又M＝ρV＝ρ×πR3，
联立解得该星球的密度为ρ＝·，故选C。
04
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
要点一　天体质量和密度的计算
1. 土星最大的卫星叫“泰坦”（如图所示），每16天绕土星运行一
周，其公转轨道半径约为1.2×106 km，已知引力常量G＝6.67×10
－11 N·m2/kg2，则土星的质量约为（　　）
A. 5×1017 kg B. 5×1026 kg
C. 7×1033 kg D. 4×1036 kg
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解析： 　由卫星受到的万有引力提供向心力，得＝mr，
其中r＝1.2×106 km＝1.2×109 m，T＝16天＝16×24×3 600 s＝1
382 400 s，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，代入数据可得m土
≈5×1026 kg，故B正确。
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2. 我国成功地进行了“嫦娥五号”的发射和落月任务，进一步获取了
月球的相关数据。嫦娥五号在月球上空绕月球做匀速圆周运动时，
经过时间t，运动的路程是s，与月球中心连线扫过的角度是θ（弧
度），引力常量为G，月球的半径为R，则可推知月球的密度是
（　　）
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解析： 　由题意可知，嫦娥五号的线速度、角速度分别为v＝，
ω＝，又因为v＝ωr，所以轨道半径为r＝＝。嫦娥五号绕月球
做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，有G＝m，得月
球的质量为M＝＝，又因为月球的体积为V＝πR3，所以月
球的密度ρ＝＝＝，故B正确。
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3. （2024·江苏南京期中）火星绕太阳运转可看成是匀速圆周运动，
设火星运动轨道的半径为r，火星绕太阳一周的时间为T，万有引力
常量为G，则下列说法正确的是（　　）
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解析： 　由题意可知火星绕太阳做匀速圆周运动，则有G
＝m火r，解得m太＝，其中m太 ＝ ρ太V，V＝π，联立解
得ρ太＝，故A、C、D错误；火星绕太阳做匀速圆周运动，
则火星的向心加速度a火＝，故B正确。
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要点二　天体运行参量的分析
4. 随着科技的进步，人们在浩瀚的宇宙中发现越来越多的未知星球，
下列关于行星的说法正确的是（　　）
A. 离太阳越近的行星，公转周期越小
B. 离太阳越近的行星，运转的速率越小
C. 离太阳越远的行星，受到的万有引力一定越大
D. 离太阳越远的行星，受到的万有引力一定越小
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解析： 　根据开普勒第三定律＝k可知，离太阳越近的行星，公
转周期越小，选项A正确；根据 G＝m，可得v＝，则
离太阳越近的行星，运转的速率越大，选项B错误；因行星的质量
不确定，则离太阳越远的行星，受到的万有引力不一定越大，也不
一定越小，选项C、D错误。
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5. 若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附
近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是（　　）
解析： 　根据万有引力提供向心力有G＝m，又m星＝
ρ·，解得T＝ ，故A正确，B、C、D错误。
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6. 如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带。假设该带中的小
行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确
的是（　　）
A. 太阳对各小行星的引力相同
B. 各小行星绕太阳运动的周期均小于一年
C. 小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速
度值
D. 小行星带内各小行星圆周运动的线速度值均大于地球公转的线速
度值
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解析： 　由于各小行星的质量和轨道半径不同，根据万有引力定
律可知太阳对各小行星的引力不同，选项A错误；由G＝
mr可得T＝ ，又小行星的轨道半径大于地球的轨道半
径，可知各小行星绕太阳运动的周期均大于一年，选项B错误；由
G＝ma可得a＝，可知小行星带内侧小行星的向心加速度
值大于外侧小行星的向心加速度值，选项C正确；由G＝m可得 v＝ ，可知小行星带内各小行星做圆周运动的线速度值均小于地球公转的线速度值，选项D错误。
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7. 一物体从一行星表面某高度处自由下落（不计阻力）。自开始下落
计时，得到物体离行星表面高度h随时间t变化的图像如图所示，则
根据题设条件可以计算出（　　）
A. 行星表面重力加速度大小
B. 行星的质量
C. 行星的密度
D. 物体受到行星引力的大小
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解析： 　物体离行星表面的高度为25 m，落地时间为2.5 s，根据
h＝gt2得出重力加速度g， A正确；由于不知道行星的半径，所以
不能求出行星的质量和密度，B、C错误；由于不知道物体的质
量，所以不能求出物体受到行星的引力大小，D错误。
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8. （2024·湖北荆州期中）将一质量为m的物体分别放到地球的南北两
极点时，该物体的重力均为mg0。将该物体放在地球赤道上时，该
物体的重力为mg；假设地球可视为质量分布均匀的球体，半径为
R，已知引力常量为G，则由以上信息可得出（　　）
A. g0＜g
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解析：　设地球质量为m地，物体在地球南北两极点时，此时没有
地球自转所需的向心力，则＝mg0，解得m地＝，在地球
赤道上时，有－mg＝mω2R，所以有g0＞g，联合解得ω＝
，故A、B错误，C正确；根据＝mg0，m地＝ρ·πR3可得
ρ＝，D错误。
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9. 1789年英国物理学家卡文迪什测出引力常量G，因此卡文迪什被人
们称为“能称出地球质量的人”。若已知引力常量为G，地球表面
处的重力加速度为g，地球半径为R，地球上一个昼夜的时间为T1
（地球自转周期），一年的时间为T2（地球公转周期），地球中心
到月球中心的距离为L1，地球中心到太阳中心的距离为L2。下列说
法正确的是（　　）
D. 由题中数据可求月球的密度
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解析： 　根据地球表面万有引力等于重力，有 G＝mg，则m
地＝，故A错误；根据万有引力提供向心力有＝
mL2，解得m太＝，故B正确；根据题中的物理量，无法
求出月球的质量，故C错误；月球的质量无法求出，则无法求出月
球的密度，故D错误。
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10. （多选）若宇航员在距月球表面高h处以初速度v0水平抛出一个小
球，测出小球的水平射程为L。已知月球半径为R，万有引力常量
为G，则下列说法正确的是（　　）
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解析： 　根据平抛运动规律，有L＝v0t，h＝ g月t2，联立解得g
月＝，选项A正确；由mg月＝G，解得m月＝，选项
B正确；根据题目条件无法求出月球的自转周期，选项C错误；月
球的平均密度ρ＝＝，选项D错误。
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11. （2024·江西期中）2023年5月，我国神舟十六号宇宙飞船成功发
射，三位航天员与神舟十五号的三位航天员在中国空间站成功会
师。空间站绕地球运行视为匀速圆周运动，运行周期为T。若不考
虑地球自转，地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，万有引
力常量为G。求：
（1）地球的平均密度ρ；
答案： 　
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解析： 在地球表面＝mg
根据密度公式得ρ＝，又V＝πR3
解得ρ＝。
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（2）空间站距离地面的高度h。
答案： －R
解析：空间站绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向
心力，有＝m
在地球表面＝mg
解得h＝－R。
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12. 在地球表面让某小球做自由落体运动，小球经过时间t落地；若在
某星球表面让同样的小球做自由落体运动，小球经过时间4t落在
星球表面。已知小球落在地面时和落在星球表面时的速度大小相
等，该星球的半径与地球半径之比为R'∶R＝1∶2，地球表面重力
加速度为g，大气阻力不计。 求：
（1）该星球表面的重力加速度g'；
答案：g　
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解析：在地球表面小球自由下落时，由自由落体运动
规律，有v0＝gt
同理在星球表面自由下落，有v0＝g'·4t
联立两式解得g'＝g。
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（2）该星球的质量与地球的质量之比m星∶m地。
答案：1∶16
解析：在地球表面的物体，有mg＝G
在星球表面的物体，有mg'＝G
该星球的半径与地球半径之比R'∶R＝1∶2
代入数据解得m星∶m地＝1∶16。
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