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习题课五　变力做功和机车启动问题
要点一　求变力做功的常用方法
1.一物体在运动中受水平拉力F的作用，已知F随运动距离x的变化情况如图所示，则在0～8 m的运动过程中F做的功为（　　）
A.4 J B.6 J
C.18 J D.22 J
2.（2024·河北张家口期中）如图所示，n个完全相同，边长足够小且互不粘连的小方块依次排列，总长度为l，总质量为M，它们一起在光滑水平面上滑动，某时刻开始滑上粗糙水平面。小方块与粗糙水平面之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，若小方块恰能完全进入粗糙水平面，则所有小方块克服摩擦力做的功为（　　）
A.μMgl B.μMgl
C.μMgl D.μMgl
3.如图所示，摆球的质量为m，悬线的长度为L，把悬线拉到水平位置后放手。设在摆球从A点沿圆弧运动到B点的过程中空气阻力的大小f不变，则下列说法正确的是（　　）
A.重力做功为0
B.悬线的拉力做的功为mgL
C.空气阻力做的功为－fπL
D.摆球克服空气阻力做的功为fL
要点二　机车的两种启动方式
4.汽车发动机通过变速箱将动力传输给运动系统，一般赛车的变速箱有1挡到5挡5个逐次增高的前进挡位，在发动机输出功率不变时，挡位越高车速越快，加大油门可以增大发动机的输出功率。如图所示的是赛车越野比赛时正在爬坡的情形，为了能够顺利爬上陡坡，司机应该（　　）
A.拨1挡，减小油门 B.拨1挡，加大油门
C.拨5挡，减小油门 D.拨5挡，加大油门
5.列车提速的一个关键技术问题是提高机车发动机的功率。已知匀速运动时，列车所受阻力与速度的平方成正比，即Ff＝kv2。设提速前匀速运动速度为180 km/h，提速后匀速运动速度为240 km/h，则提速前与提速后机车发动机的功率之比为（　　）
A. B.
C. D.
6.（2024·广东惠州期末）假设一辆高速列车在机车牵引力和恒定阻力作用下，在水平轨道上由静止开始启动，其v-t图像如图所示，已知0～t1时间内为过原点的倾斜直线，t1时刻达到额定功率P，此后保持功率P不变，在t3时刻达到最大速度v3，此后做匀速运动。下列判断正确的是（　　）
A.0～t3时间内，列车一直做匀加速直线运动
B.t2时刻的加速度大于t1时刻的加速度
C.在t3时刻以后，机车的牵引力为零
D.该列车所受的恒定阻力大小为
7.（多选）一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前5 s内做匀加速直线运动，5 s末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其v-t图像如图所示，已知汽车的质量 m＝2×103 kg，汽车受到地面的阻力为汽车重力的0.1倍，（g＝10 m/s2）则（　　）
A.汽车在前5 s内的牵引力为6×103 N
B.汽车的额定功率为120 kW
C.汽车的最大速度为vm＝30 m/s
D.当汽车速度为20 m/s时，汽车加速度大小为 2 m/s2
8.（多选）如图所示，人以大小恒为10 N的拉力通过一根轻绳拉船，人收绳的速度恒为 1 m/s，将船从A位置拉到B位置，A、B位置轻绳与水平方向的夹角分别为30°和60°，A、B间的水平距离为4 m，则（　　）
A.A位置船速大小为 m/s
B.B位置船速大小为2 m/s
C.船从A运动到B的过程中，人的拉力做的功为20 J
D.船从A运动到B的过程中，人的拉力做的功为40（－1）J
9.一汽车在平直公路上行驶，从某时刻开始计时，发动机的功率P随时间t的变化如图所示。假定汽车所受阻力的大小F阻恒定不变。下列描述该汽车的速度v随时间t变化的图像中，可能正确的是（　　）
10.（多选）（2024·江苏苏州期末）一辆机动车在平直的公路上由静止启动。如图所示，图线A表示该车运动的速度与时间的关系，图线B表示该车的功率与时间的关系。若机动车在运动过程中阻力不变，则以下说法正确的是（　　）
A.0～22 s内机动车先做加速度逐渐减小的加速运动，后做匀速运动
B.运动过程中机动车所受阻力为1 500 N
C.机动车速度为5 m/s时，牵引力大小为3×103 N
D.机动车的质量为562.5 kg
11.如图所示，一质量为m＝1.0 kg的物体从半径为R＝5.0 m的圆弧的A端，在拉力作用下沿圆弧缓慢运动到B端（圆弧AB在竖直平面内）。拉力F大小不变，始终为15 N，方向始终与圆弧在该点的切线成37°角。圆弧所对应的圆心角为60°，BO边在竖直方向上。求这一过程中拉力F做的功。（sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，π＝3.14）
12.汽车发动机的额定功率为60 kW，汽车的质量为5 t，汽车在水平路面上行驶时，阻力是车重力的倍，则：
（1）汽车保持以额定功率从静止启动后达到的最大速度是多少？
（2）若汽车从静止开始，保持以加速度a＝0.5 m/s2做匀加速直线运动，这一过程能持续多长时间？
（3）当汽车的速度为6 m/s时，汽车的实际功率是多少？
习题课五　变力做功和机车启动问题
1.C　根据W＝Fx可知，力F做的功等于F-x图像的面积，x轴上方为正功，x轴下方为负功，总功为三部分的代数和，则W＝（2×2－2×1＋4×4）J＝18 J，故选C。
2.C　所有小方块进入粗糙水平面过程的位移为l，所有小方块受到的摩擦力随进入粗糙水平面的位移线性变化，摩擦力对位移的平均值f＝，则所有小方块克服摩擦力做的功Wf＝fl＝μMgl，选项C正确。
3.C　摆球所受重力竖直向下，摆球位移有竖直向下的分量，重力做功不为零，故A错误；悬线的拉力始终与 v垂直，不做功，故B错误；将圆弧路径分成若干小圆弧（尽量小），每一段小圆弧上可认为f是恒力，所以f所做的总功等于每个小弧段上f所做功的代数和，即Wf＝－（fΔx1＋fΔx2＋…）＝－fπL，故C正确，D错误。
4.B　赛车爬坡时要克服重力做功，因此需要较大的牵引力，由功率P＝Fv得牵引力F＝，为了能够顺利爬上陡坡，应增大发动机的输出功率和减小速度v，才能获得更大的牵引力F，因此应拨1挡，加大油门，故选B。
5.C　匀速运动时有F＝Ff＝kv2，P＝Fv，则 P＝kv3，故提速前与提速后机车发动机的功率之比为P1∶P2＝∶＝27∶64。故C正确。
6.D　由题图可知，0～t1时间内，列车做匀加速直线运动，t1～t3时间内，加速度逐渐变小，故A、B错误；t3时刻以后列车做匀速直线运动，牵引力大小等于阻力大小，故C错误；匀速直线运动时，Ff＝F牵＝，故D正确。
7.BD　汽车在前5 s内做匀加速运动，加速度 a＝3 m/s2，由牛顿第二定律F－Ff＝ma得F＝Ff＋ma＝（0.1×2×103×10＋2×103×3）N＝8×103 N，A错误；汽车在5 s末功率达到额定功率P＝Fv＝8×103×15 W＝120 kW，B正确；当牵引力等于阻力时，汽车达最大速度，则最大速度vm＝＝＝60 m/s，C错误；当汽车速度为20 m/s时，则F1＝＝＝6 000 N，F1－Ff＝ma1，解得a1＝2 m/s2，D正确。
8.BD　根据速度的合成与分解，可得A位置船速大小为vA＝＝ m/s，故A错误；同理可得B位置船速大小为vB＝＝2 m/s，故B正确；船从A运动到B的过程中，人的拉力做的功W＝F＝10×J＝40（－1）J，故C错误，D正确。
9.A　在v-t图像中，图线的斜率代表汽车运动时的加速度。由牛顿第二定律可得，在0～t1时间内，－F阻＝ma，当速度v不变时，加速度a为零，在v-t图像中为一条水平线；当速度v变大时，加速度a变小，在v-t图像中为一条斜率逐渐减小的曲线，选项B、D错误。同理，在t1～t2时间内－F阻＝ma'，图像变化情况与0～t1时间内情况相似，由于汽车在运动过程中速度不会发生突变，选项A正确，C错误。
10.BD　根据图线A可知，机动车先做匀加速运动，后做变加速运动，最后做匀速运动，故A错误；根据图线A可知，机动车的最大速度vmax＝12 m/s，根据图线B可知机动车的额定功率为P0＝18 000 W，当牵引力F等于阻力Ff时，速度达到最大值，则阻力Ff＝F＝＝1 500 N，故B正确；匀加速运动的牵引力为F'＝＝2 250 N，根据牛顿第二定律得F'－Ff＝ma，由图线A知，a＝ m/s2，解得m＝562.5 kg，故D正确，C错误。
11.62.8 J
解析：将圆弧AB分成很多小段s1，s2，…，sn，拉力在每一小段上做的功为W1，W2，…，Wn，因拉力F大小不变，方向始终与圆弧在该点的切线成37°角，所以
W1＝Fs1cos 37°
W2＝Fs2cos 37°
…
Wn＝Fsncos 37°
故WF＝W1＋W2＋…＋Wn＝Fcos 37°（s1＋s2＋…＋sn）＝Fcos 37°·R＝62.8 J。
12.（1）12 m/s　（2）16 s　（3）45 kW
解析：（1）汽车达到最大速度时，a＝0，
此时F＝f＝kmg
P＝Fvm
解得vm＝12 m/s。
（2）汽车速度在达到最大值之前已经历了两个过程：匀加速和变加速。
匀加速直线运动的加速度a＝
所以F＝m＝7.5×103 N
设汽车匀加速的时间为t，匀加速能达到的最大速度为v1，则v1＝at
汽车速度达到v1时P＝Fv1
解得t＝16 s。
（3）当汽车的速度为6 m/s时，汽车仍处于匀加速运动阶段，则汽车的实际功率P'＝Fv＝45 kW。
3 / 3习题课五　变力做功和机车启动问题
要点一　求变力做功的常用方法
1.用W＝Pt求功
当牵引力为变力，且发动机的功率一定时，由功率的定义式P＝，可得W＝Pt，求功。
2.用图像法求功
若已知F-x图像和P-t图像，则F-x图像中图线与x轴所围的面积及P-t图像中图线与t轴所围的面积表示功。如图甲所示，在位移x0内力F做的功W＝x0。在图乙中，0～t0时间内做功W＝·t0。
3.用平均力求功
若力F随位移x线性变化，则可以用一段位移内的平均力求功，如将劲度系数为k的弹簧由原长拉长x时，克服弹力做的功W＝x＝·x＝kx2。
4.用微元法求功
功的公式只能计算恒力做功，若一个力的大小不变，只改变方向时，可将运动过程分成很多小段，每一小段内F可看成恒力，求出每一小段内力F做的功，然后累加起来得到整个过程中变力所做的功。
例如物体在水平面上做曲线运动，所受摩擦力大小为μmg，路程为s，采用微元法求摩擦力做的功：
W1＝－μmgΔs1
W2＝－μmgΔs2
W3＝－μmgΔs3
……
W＝W1＋W2＋W3＋…＝－μmg（Δs1＋Δs2＋Δs3＋…）＝－μmgs。
【典例1】　在水平面上有一弯曲的槽道AB，由半径分别为和R的两个半圆构成。如图所示，现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点拉至B点，若拉力F的方向时刻与小球运动方向相同，则此过程中拉力所做的功为（　　）
A.0 B.FR
C.πFR D.2πFR
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【典例2】　如图甲所示，静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F的作用下，沿x轴正方向运动，拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系如图乙所示，图线为半圆，则小物块运动到x0处时拉力F做的功为（　　）
A.0 B.Fmx0
C.Fmx0 D.
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.（多选）如图所示，质量为m的物体静止在光滑的水平面上，物体在下列四种变化规律不同的合外力F作用下都通过相同的位移x0，下列说法正确的是（　　）
A.甲图和乙图合外力做功相等
B.丙图和丁图合外力做功相等
C.四个图合外力做功均相等
D.四个图中合外力做功最多的是丙图
2.用铁锤把钉子钉入木板，设木板对钉子的阻力F与钉进木板的深度成正比。已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度是（　　）
A.（－1）d B.（－1）d
C. D.d
要点二　机车的两种启动方式
1.P＝Fv中三个量的制约关系
定值 各量间的关系 应用
P一定 F与v成反比 汽车上坡时，要增大牵引力，应换低速挡减小速度
v一定 F与P成正比 汽车上坡时，若速度不变，应加大油门，增大输出功率，获得较大牵引力
F一定 v与P成正比 汽车在平直高速路上，加大油门增大输出功率，可以提高速度
2.机车的两种启动方式的比较
以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P-t图像和v-t图像
OA 段 过程分析 v↑→F＝↓→a＝↓ a＝（不变）→F不变→P＝Fv↑直到P额＝Fv1
运动性质 加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动，维持时间t0＝
AB 段 过程分析 F＝Ff、a＝0、Ff＝ v↑→F＝↓→a＝↓
运动性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速运动
BC段 F＝Ff→a＝0→以vm＝匀速运动
【典例3】　在水平路面上运动的汽车的额定功率为 100 kW，质量为10 t，设阻力大小恒定，且为车重力的0.1倍（g取10 m/s2），则：
（1）若汽车以不变的额定功率从静止启动，汽车的加速度如何变化？
（2）当汽车的加速度为2 m/s2时，速度为多大？
（3）汽车在运动过程中所能达到的最大速度的大小是多少？
尝试解答
【典例4】　目前，上海有若干辆超级电容车试运行，运行中无需连接电缆，只需在乘客上车间隙充电30秒到1分钟，就能行驶3到5千米。现有一辆超级电容车，质量m＝2×103 kg，额定功率P＝60 kW，假设该超级电容车启动时与机动车启动模式相同，它在平直水平路面上行驶时，受到的阻力Ff是车重的0.1倍，g取10 m/s2。
（1）超级电容车在此路面上行驶所能达到的最大速度是多少？
（2）若超级电容车从静止开始，保持以0.5 m/s2的加速度做匀加速直线运动，这一过程中牵引力为多大？能维持多长时间？
尝试解答
规律方法
机车启动问题中几个物理量的求法
　　分析机车启动问题，要抓住两个核心方程：牛顿第二定律方程F－Ff＝ma，联系着力和速度的方程 P＝Fv，结合v-t图像进行分析。
（1）机车的最大速度vm的求法
机车最终匀速前进时速度最大，此时牵引力F大小等于阻力大小Ff，故vm＝＝。
（2）匀加速启动持续时间的求法
牵引力F＝ma＋Ff，匀加速的最后速度vm'＝，时间t＝。
（3）瞬时加速度的求法
根据F＝求出牵引力，则加速度a＝。
3.一列高速列车总质量m＝465t，其额定功率P＝5 300 kW，在水平直轨道上行驶时，轨道对列车的阻力F阻是车重的0.018。列车以额定功率工作，取重力加速度g＝10 m/s2，求：
（1）当行驶速度v＝10 m/s时，列车的牵引力和加速度的大小；
（2）列车在水平直轨道上行驶的最大速度的大小。
1.关于“手动挡”汽车爬陡坡，下面司机的操作合理的是（　　）
A.司机只要踩油门即可，无需关心挡位是否合适
B.为了提高速度冲上陡坡，司机应该换挡位至“高速挡”
C.为了增大牵引力，司机应该换挡位至“低速挡”
D.司机应该换挡位至“高速挡”，并踩油门
2.（2024·山西吕梁期末）某块石头陷入淤泥过程中，其所受的阻力F与深度h的关系为F＝kh＋F0（k，F0已知），石头沿竖直方向做直线运动，当h＝h0时，石头陷入淤泥过程中克服阻力做的功为（　　）
A.F0h0 B.kF0h0
C.F0h0＋k D.h0
3.（2024·重庆九龙坡期末）如图所示，图甲为我国以前农村毛驴拉磨的场景。毛驴拉磨可看成是匀速圆周运动，假设毛驴的拉力始终与拉磨半径方向垂直，图乙为其简化图，拉力为500 N，拉磨半径为1 m，拉磨周期为10 s。下列说法正确的是（　　）
A.毛驴拉磨一周所做的功为1 000π J
B.毛驴拉磨一周所做的功为0 J
C.毛驴拉磨的转速为0.1 r/min
D.毛驴拉磨的瞬时功率为50 W
4.质量m＝2×103 kg的汽车，发动机额定功率为P＝80 kW，若汽车在平直公路上行驶时，所受阻力恒为F阻＝4×103 N，那么：
（1）汽车在公路上能达到的最大行驶速度vm是多少；
（2）若汽车以额定功率启动，当速度为5 m/s时，加速度a是多少。
习题课五　变力做功和机车启动问题
【核心要点·快突破】
要点一
知识精研
【典例1】　C　小球受到的拉力F在整个过程中大小不变，方向时刻变化，是变力。但是，如果把圆周分成无数微小的弧段，每一小段可近似看成直线，拉力F在每一小段上方向不变，每一小段上可用恒力做功的公式计算，然后将各段做功累加起来。设每一小段的长度分别为l1、l2、…、ln，拉力在每一段上做的功W1＝Fl1、W2＝Fl2、…、Wn＝Fln，拉力在整个过程中所做的功W＝W1＋W2＋…＋Wn＝F（l1＋l2＋…＋ln）＝F＝πFR。
【典例2】　C　由于水平面光滑，所以拉力F的大小即为合力大小，F随物块所在位置坐标x的变化图像中图线与横轴包围的面积即为F做的功，即W＝＝＝Fmx0，C正确。
素养训练
1.AD　F-x图像中，图线与x轴围成的面积表示力F所做的功，由题图可知，甲、乙所围的面积相等，丙所围的面积最大，丁所围的面积最小，故 W丙＞W甲＝W乙＞W丁，选项A、D正确。
2.B　在将钉子钉入木板的过程中，随着深度的增加，阻力成正比地增加，这属于变力做功问题。由于力与深度成正比，可先求出平均力，再用功的计算公式求解。设木板对钉子的阻力F与钉进木板的深度d的关系满足F＝kd，由题意得，第一次做功W＝d＝d，第二次做功W＝d'＝d'，联立以上两式得d'＝－（＋1）d（舍去）或d'＝（－1）d，故B正确。
要点二
知识精研
【典例3】　见解析
解析：（1）若汽车以不变的额定功率从静止启动，v变大，由P额＝Fv知，牵引力F减小，根据牛顿第二定律有F－Ff＝ma，可知汽车的加速度逐渐减小到零。
（2）由F－Ff＝ma1，P额＝Fv1
联立解得v1＝ m/s。
（3）当汽车速度达到最大时，a2＝0，F'＝Ff，P＝P额，
故vmax＝＝ m/s＝10 m/s。
【典例4】　（1）30 m/s　（2）3 000 N　40 s
解析：（1）当超级电容车速度达到最大时，超级电容车的牵引力与阻力平衡，即
F＝Ff＝kmg＝2 000 N
根据P＝Ffvm
解得vm＝＝30 m/s。
（2）超级电容车做匀加速运动，由牛顿第二定律得
F1－Ff＝ma
解得F1＝3 000 N
设超级电容车刚达到额定功率时的速度为v1，则P＝F1v1
解得v1＝＝20 m/s
设超级电容车匀加速运动的时间为t，则v1＝at
解得t＝＝40 s。
素养训练
3.（1）5.3×105 N　0.96 m/s2　（2）63.3 m/s
解析：（1）由题意可知F阻＝0.018mg，设列车以额定功率工作，当行驶速度v＝10 m/s时，牵引力为F1；行驶速度达到最大值时，牵引力为F2，由P＝F1v，得F1＝＝ N＝5.3×105 N，根据牛顿第二定律，有F1－F阻＝ma，解得a＝0.96 m/s2，列车的加速度方向与牵引力方向一致。
（2）当F2＝F阻时，列车行驶速度最大，此时P＝F阻vmax，得vmax＝＝63.3 m/s，列车的最大行驶速度方向与牵引力方向一致。
【教学效果·勤检测】
1.C　根据P＝Fv可知，在功率一定的情况下，当速度减小时，汽车牵引力增大，此时容易上坡，所以为了增大牵引力，司机应该换挡位至“低速挡”，故选C。
2.C　由于阻力与深度为线性关系，则克服阻力做的功为W＝h＝h0＝F0h0＋k，故选C。
3.A　毛驴的拉力大小不变，但是方向不断变化，设微小位移Δl，则每一段拉力做功为ΔW＝FΔl，求和可得毛驴拉磨一周所做的功为W＝∑F·Δl＝F·2πr＝1 000π J，故A正确，B错误；毛驴拉磨的转速为n＝＝ r/s＝6 r/min，故C错误；因为v＝＝0.2π m/s，毛驴拉磨的瞬时功率为P＝Fv＝100π W，故D错误。
4.（1）20 m/s　（2）6 m/s2
解析：（1）当a＝0，即F＝F阻时，汽车速度达到vm，根据P＝Fvm＝F阻vm
代入数据可得vm＝20 m/s。
（2）当v＝5 m/s时，根据P＝Fv
代入数据可得F＝1.6×104 N
根据牛顿第二定律有F－F阻＝ma
代入数据可得a＝6 m/s2。
4 / 4(共65张PPT)
习题课五　变力做功和机车启动问题
目 录
01.
核心要点·快突破
02.
教学效果·勤检测
03.
课时训练·提素能
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
01
要点一　求变力做功的常用方法
1. 用W＝Pt求功
当牵引力为变力，且发动机的功率一定时，由功率的定义式P＝
，可得W＝Pt，求功。
2. 用图像法求功
若已知F-x图像和P-t图像，则F-x图像中图线与x轴所围的面积及P-t
图像中图线与t轴所围的面积表示功。如图甲所示，在位移x0内力F
做的功W＝x0。在图乙中，0～t0时间内做功W＝·t0。
3. 用平均力求功
若力F随位移x线性变化，则可以用一段位移内的平均力求功，如将
劲度系数为k的弹簧由原长拉长x时，克服弹力做的功W＝x＝
·x＝kx2。
4. 用微元法求功
功的公式只能计算恒力做功，若一个力的大小不变，只改变方
向时，可将运动过程分成很多小段，每一小段内F可看成恒力，
求出每一小段内力F做的功，然后累加起来得到整个过程中变力
所做的功。
例如物体在水平面上做曲线运动，所受摩擦力大小为μmg，路程为
s，采用微元法求摩擦力做的功：
W1＝－μmgΔs1
W2＝－μmgΔs2
W3＝－μmgΔs3
……
W＝W1＋W2＋W3＋…＝－μmg（Δs1＋Δs2＋Δs3＋…）＝－μmgs。
【典例1】　在水平面上有一弯曲的槽道AB，由半径分别为和R的两
个半圆构成。如图所示，现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点拉
至B点，若拉力F的方向时刻与小球运动方向相同，则此过程中拉力所
做的功为（　　）
A. 0 B. FR
C. πFR D. 2πFR
解析：小球受到的拉力F在整个过程中大小不变，方向时刻变化，是
变力。但是，如果把圆周分成无数微小的弧段，每一小段可近似看成
直线，拉力F在每一小段上方向不变，每一小段上可用恒力做功的公
式计算，然后将各段做功累加起来。设每一小段的长度分别为l1、
l2、…、ln，拉力在每一段上做的功W1＝Fl1、W2＝Fl2、…、Wn＝
Fln，拉力在整个过程中所做的功W＝W1＋W2＋…＋Wn＝F（l1＋l2
＋…＋ln）＝F＝πFR。
【典例2】　如图甲所示，静置于光滑水平面上坐标原点处的小物
块，在水平拉力F的作用下，沿x轴正方向运动，拉力F随物块所在位
置坐标x的变化关系如图乙所示，图线为半圆，则小物块运动到x0处时
拉力F做的功为（　　）
A. 0 B. Fmx0
C. Fmx0 D.
解析：由于水平面光滑，所以拉力F的大小即为合力大小，F随物块所
在位置坐标x的变化图像中图线与横轴包围的面积即为F做的功，即W
＝＝＝Fmx0，C正确。
1. （多选）如图所示，质量为m的物体静止在光滑的水平面上，物体
在下列四种变化规律不同的合外力F作用下都通过相同的位移x0，
下列说法正确的是（　　）
A. 甲图和乙图合外力做功相等
B. 丙图和丁图合外力做功相等
C. 四个图合外力做功均相等
D. 四个图中合外力做功最多的是丙图
解析： 　F-x图像中，图线与x轴围成的面积表示力F所做的功，
由题图可知，甲、乙所围的面积相等，丙所围的面积最大，丁所围
的面积最小，故 W丙＞W甲＝W乙＞W丁，选项A、D正确。
2. 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对钉子的阻力F与钉进木板的深度
成正比。已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时
对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度是
（　　）
A. （－1）d B. （－1）d
C. D. d
解析： 　在将钉子钉入木板的过程中，随着深度的增加，阻力成
正比地增加，这属于变力做功问题。由于力与深度成正比，可先求
出平均力，再用功的计算公式求解。设木板对钉子的阻力F与钉进
木板的深度d的关系满足F＝kd，由题意得，第一次做功W＝d＝
d，第二次做功W＝d'＝d'，联立以上两式得d'＝
－（＋1）d（舍去）或d'＝（－1）d，故B正确。
要点二　机车的两种启动方式
1. P＝Fv中三个量的制约关系
定值 各量间的关系 应用
P一定 F与v成反比 汽车上坡时，要增大牵引力，应换低速挡
减小速度
v一定 F与P成正比 汽车上坡时，若速度不变，应加大油门，
增大输出功率，获得较大牵引力
F一定 v与P成正比 汽车在平直高速路上，加大油门增大输出
功率，可以提高速度
2. 机车的两种启动方式的比较
以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P-t图像 和v-t图 像
以恒定功率启动 以恒定加速度启动
O
A 段 过程 分析 v↑→F＝↓ →a＝↓ a＝（不变）→F不变
→P＝Fv↑直到P额＝Fv1
运动 性质 加速度减小的加速直线运
动 匀加速直线运动，维持时间
t0＝
以恒定功率启动 以恒定加速度启动
A
B 段 过程 分析 F＝Ff、a＝0、 Ff＝ v↑→F＝↓→a＝↓
运动 性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速运动
BC段 F＝Ff→a＝0→以vm＝匀
速运动
【典例3】　在水平路面上运动的汽车的额定功率为 100 kW，质量为
10 t，设阻力大小恒定，且为车重力的0.1倍（g取10 m/s2），则：
（1）若汽车以不变的额定功率从静止启动，汽车的加速度如何变
化？
解析： 若汽车以不变的额定功率从静止启动，v变大，由P
额＝Fv知，牵引力F减小，根据牛顿第二定律有F－Ff＝ma，可
知汽车的加速度逐渐减小到零。
答案：见解析
（2）当汽车的加速度为2 m/s2时，速度为多大？
解析： 由F－Ff＝ma1，P额＝Fv1
联立解得v1＝ m/s。
答案：见解析
（3）汽车在运动过程中所能达到的最大速度的大小是多少？
解析： 当汽车速度达到最大时，a2＝0，F'＝Ff，P＝P额，
故vmax＝＝ m/s＝10 m/s。
答案：见解析
【典例4】　目前，上海有若干辆超级电容车试运行，运行中无需连
接电缆，只需在乘客上车间隙充电30秒到1分钟，就能行驶3到5千
米。现有一辆超级电容车，质量m＝2×103 kg，额定功率P＝60 kW，
假设该超级电容车启动时与机动车启动模式相同，它在平直水平路面
上行驶时，受到的阻力Ff是车重的0.1倍，g取10 m/s2。
（1）超级电容车在此路面上行驶所能达到的最大速度是多少？
答案： 30 m/s　
解析： 当超级电容车速度达到最大时，超级电容车的牵引
力与阻力平衡，即
F＝Ff＝kmg＝2 000 N
根据P＝Ffvm
解得vm＝＝30 m/s。
（2）若超级电容车从静止开始，保持以0.5 m/s2的加速度做匀加速直
线运动，这一过程中牵引力为多大？能维持多长时间？
答案： 3 000 N　40 s
解析：超级电容车做匀加速运动，由牛顿第二定律得
F1－Ff＝ma
解得F1＝3 000 N
设超级电容车刚达到额定功率时的速度为v1，则P＝F1v1
解得v1＝＝20 m/s
设超级电容车匀加速运动的时间为t，则v1＝at
解得t＝＝40 s。
规律方法
机车启动问题中几个物理量的求法
　　分析机车启动问题，要抓住两个核心方程：牛顿第二定律方程F
－Ff＝ma，联系着力和速度的方程 P＝Fv，结合v-t图像进行分析。
（1）机车的最大速度vm的求法
机车最终匀速前进时速度最大，此时牵引力F大小等于阻力大小
Ff，故vm＝＝。
（2）匀加速启动持续时间的求法
牵引力F＝ma＋Ff，匀加速的最后速度vm'＝，时间t＝
。
（3）瞬时加速度的求法
根据F＝求出牵引力，则加速度a＝。
3. 一列高速列车总质量m＝465t，其额定功率P＝5 300 kW，在水平直
轨道上行驶时，轨道对列车的阻力F阻是车重的0.018。列车以额定
功率工作，取重力加速度g＝10 m/s2，求：
（1）当行驶速度v＝10 m/s时，列车的牵引力和加速度的大小；
答案： 5.3×105 N　0.96 m/s2　
解析： 由题意可知F阻＝0.018mg，设列车以额定功率工
作，当行驶速度v＝10 m/s时，牵引力为F1；行驶速度达到最
大值时，牵引力为F2，由P＝F1v，得F1＝＝ N＝
5.3×105 N，根据牛顿第二定律，有F1－F阻＝ma，解得a＝
0.96 m/s2，列车的加速度方向与牵引力方向一致。
（2）列车在水平直轨道上行驶的最大速度的大小。
答案： 63.3 m/s
解析：当F2＝F阻时，列车行驶速度最大，此时P＝F阻
vmax，得vmax＝＝63.3 m/s，列车的最大行驶速度方向与牵
引力方向一致。
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
02
1. 关于“手动挡”汽车爬陡坡，下面司机的操作合理的是（　　）
A. 司机只要踩油门即可，无需关心挡位是否合适
B. 为了提高速度冲上陡坡，司机应该换挡位至“高
速挡”
C. 为了增大牵引力，司机应该换挡位至“低速挡”
D. 司机应该换挡位至“高速挡”，并踩油门
解析： 　根据P＝Fv可知，在功率一定的情况下，当速度减小
时，汽车牵引力增大，此时容易上坡，所以为了增大牵引力，司机
应该换挡位至“低速挡”，故选C。
2. （2024·山西吕梁期末）某块石头陷入淤泥过程中，其所受的阻力F
与深度h的关系为F＝kh＋F0（k，F0已知），石头沿竖直方向做直
线运动，当h＝h0时，石头陷入淤泥过程中克服阻力做的功为
（　　）
A. F0h0 B. kF0h0
C. F0h0＋k D. h0
解析： 　由于阻力与深度为线性关系，则克服阻力做的功为W＝
h＝h0＝F0h0＋k，故选C。
3. （2024·重庆九龙坡期末）如图所示，图甲为我国以前农村毛驴拉
磨的场景。毛驴拉磨可看成是匀速圆周运动，假设毛驴的拉力始终
与拉磨半径方向垂直，图乙为其简化图，拉力为500 N，拉磨半径
为1 m，拉磨周期为10 s。下列说法正确的是（　　）
A. 毛驴拉磨一周所做的功为1 000π J
B. 毛驴拉磨一周所做的功为0 J
C. 毛驴拉磨的转速为0.1 r/min
D. 毛驴拉磨的瞬时功率为50 W
解析： 　毛驴的拉力大小不变，但是方向不断变化，设微小位移
Δl，则每一段拉力做功为ΔW＝FΔl，求和可得毛驴拉磨一周所做的
功为W＝∑F·Δl＝F·2πr＝1 000π J，故A正确，B错误；毛驴拉磨的
转速为n＝＝ r/s＝6 r/min，故C错误；因为v＝＝0.2π m/s，毛
驴拉磨的瞬时功率为P＝Fv＝100π W，故D错误。
4. 质量m＝2×103 kg的汽车，发动机额定功率为P＝80 kW，若汽车在
平直公路上行驶时，所受阻力恒为F阻＝4×103 N，那么：
（1）汽车在公路上能达到的最大行驶速度vm是多少；
答案： 20 m/s　
解析： 当a＝0，即F＝F阻时，汽车速度达到vm，根据P
＝Fvm＝F阻vm
代入数据可得vm＝20 m/s。
解析：当v＝5 m/s时，根据P＝Fv
代入数据可得F＝1.6×104 N
根据牛顿第二定律有F－F阻＝ma
代入数据可得a＝6 m/s2。
（2）若汽车以额定功率启动，当速度为5 m/s时，加速度a是多
少。
答案： 6 m/s2
03
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
要点一　求变力做功的常用方法
1. 一物体在运动中受水平拉力F的作用，已知F随运动距离x的变化情
况如图所示，则在0～8 m的运动过程中F做的功为（　　）
A. 4 J B. 6 J
C. 18 J D. 22 J
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解析： 　根据W＝Fx可知，力F做的功等于F-x图像的面积，x轴上
方为正功，x轴下方为负功，总功为三部分的代数和，则W＝
（2×2－2×1＋4×4）J＝18 J，故选C。
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2. （2024·河北张家口期中）如图所示，n个完全相同，边长足够小且
互不粘连的小方块依次排列，总长度为l，总质量为M，它们一起在
光滑水平面上滑动，某时刻开始滑上粗糙水平面。小方块与粗糙水
平面之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，若小方块恰能完全进
入粗糙水平面，则所有小方块克服摩擦力做的功为（　　）
A. μMgl B. μMgl
C. μMgl D. μMgl
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解析： 　所有小方块进入粗糙水平面过程的位移为l，所有小方块
受到的摩擦力随进入粗糙水平面的位移线性变化，摩擦力对位移的
平均值f＝，则所有小方块克服摩擦力做的功Wf＝fl＝μMgl，选
项C正确。
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3. 如图所示，摆球的质量为m，悬线的长度为L，把悬线拉到水平位
置后放手。设在摆球从A点沿圆弧运动到B点的过程中空气阻力的
大小f不变，则下列说法正确的是（　　）
A. 重力做功为0
B. 悬线的拉力做的功为mgL
C. 空气阻力做的功为－fπL
D. 摆球克服空气阻力做的功为fL
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解析： 　摆球所受重力竖直向下，摆球位移有竖直向下的分量，
重力做功不为零，故A错误；悬线的拉力始终与 v垂直，不做功，
故B错误；将圆弧路径分成若干小圆弧（尽量小），每一段小圆弧
上可认为f是恒力，所以f所做的总功等于每个小弧段上f所做功的代
数和，即Wf＝－（fΔx1＋fΔx2＋…）＝－fπL，故C正确，D错误。
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要点二　机车的两种启动方式
4. 汽车发动机通过变速箱将动力传输给运动系统，一般赛车的变速箱
有1挡到5挡5个逐次增高的前进挡位，在发动机输出功率不变时，
挡位越高车速越快，加大油门可以增大发动机的输出功率。如图所
示的是赛车越野比赛时正在爬坡的情形，为了能够顺利爬上陡坡，
司机应该（　　）
A. 拨1挡，减小油门 B. 拨1挡，加大油门
C. 拨5挡，减小油门 D. 拨5挡，加大油门
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解析： 　赛车爬坡时要克服重力做功，因此需要较大的牵引力，
由功率P＝Fv得牵引力F＝，为了能够顺利爬上陡坡，应增大发动
机的输出功率和减小速度v，才能获得更大的牵引力F，因此应拨1
挡，加大油门，故选B。
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5. 列车提速的一个关键技术问题是提高机车发动机的功率。已知匀速
运动时，列车所受阻力与速度的平方成正比，即Ff＝kv2。设提速前
匀速运动速度为180 km/h，提速后匀速运动速度为240 km/h，则提
速前与提速后机车发动机的功率之比为（　　）
A. B.
C. D.
解析：　匀速运动时有F＝Ff＝kv2，P＝Fv，则 P＝kv3，故提速前
与提速后机车发动机的功率之比为P1∶P2＝∶＝27∶64。故
C正确。
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6. （2024·广东惠州期末）假设一辆高速列车在机车牵引力和恒定阻
力作用下，在水平轨道上由静止开始启动，其v-t图像如图所示，已
知0～t1时间内为过原点的倾斜直线，t1时刻达到额定功率P，此后
保持功率P不变，在t3时刻达到最大速度v3，此后做匀速运动。下列
判断正确的是（　　）
A. 0～t3时间内，列车一直做匀加速直线运动
B. t2时刻的加速度大于t1时刻的加速度
C. 在t3时刻以后，机车的牵引力为零
D. 该列车所受的恒定阻力大小为
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解析： 　由题图可知，0～t1时间内，列车做匀加速直线运动，
t1～t3时间内，加速度逐渐变小，故A、B错误；t3时刻以后列车做
匀速直线运动，牵引力大小等于阻力大小，故C错误；匀速直线运
动时，Ff＝F牵＝，故D正确。
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7. （多选）一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前5 s内做匀加速
直线运动，5 s末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其v-t图
像如图所示，已知汽车的质量 m＝2×103 kg，汽车受到地面的阻力
为汽车重力的0.1倍，（g＝10 m/s2）则（　　）
A. 汽车在前5 s内的牵引力为6×103 N
B. 汽车的额定功率为120 kW
C. 汽车的最大速度为vm＝30 m/s
D. 当汽车速度为20 m/s时，汽车加速度大小为 2 m/s2
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解析： 　汽车在前5 s内做匀加速运动，加速度 a＝3 m/s2，由牛
顿第二定律F－Ff＝ma得F＝Ff＋ma＝（0.1×2×103×10＋
2×103×3）N＝8×103 N，A错误；汽车在5 s末功率达到额定功率
P＝Fv＝8×103×15 W＝120 kW，B正确；当牵引力等于阻力时，
汽车达最大速度，则最大速度vm＝＝＝60 m/s，C错误；当
汽车速度为20 m/s时，则F1＝＝＝6 000 N，F1－Ff＝ma1，
解得a1＝2 m/s2，D正确。
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8. （多选）如图所示，人以大小恒为10 N的拉力通过一根轻绳拉船，
人收绳的速度恒为 1 m/s，将船从A位置拉到B位置，A、B位置轻绳
与水平方向的夹角分别为30°和60°，A、B间的水平距离为4 m，
则（　　）
A. A位置船速大小为 m/s
B. B位置船速大小为2 m/s
C. 船从A运动到B的过程中，人的拉力做的功为20 J
D. 船从A运动到B的过程中，人的拉力做的功为40（－1）J
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解析： 　根据速度的合成与分解，可得A位置船速大小为vA＝
＝ m/s，故A错误；同理可得B位置船速大小为vB＝
＝2 m/s，故B正确；船从A运动到B的过程中，人的拉力做的
功W＝F＝10×J＝40（－1）
J，故C错误，D正确。
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9. 一汽车在平直公路上行驶，从某时刻开始计时，发动机的功率P随
时间t的变化如图所示。假定汽车所受阻力的大小F阻恒定不变。下
列描述该汽车的速度v随时间t变化的图像中，可能正确的是
（　　）
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解析： 　在v-t图像中，图线的斜率代表汽车运动时的加速度。由
牛顿第二定律可得，在0～t1时间内，－F阻＝ma，当速度v不变
时，加速度a为零，在v-t图像中为一条水平线；当速度v变大时，加
速度a变小，在v-t图像中为一条斜率逐渐减小的曲线，选项B、D错
误。同理，在t1～t2时间内－F阻＝ma'，图像变化情况与0～t1时间
内情况相似，由于汽车在运动过程中速度不会发生突变，选项A正
确，C错误。
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10. （多选）（2024·江苏苏州期末）一辆机动车在平直的公路上由静
止启动。如图所示，图线A表示该车运动的速度与时间的关系，图
线B表示该车的功率与时间的关系。若机动车在运动过程中阻力不
变，则以下说法正确的是（　　）
A. 0～22 s内机动车先做加速度逐渐减小的加速运动，后做匀速运动
B. 运动过程中机动车所受阻力为1 500 N
C. 机动车速度为5 m/s时，牵引力大小为3×103 N
D. 机动车的质量为562.5 kg
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解析： 　根据图线A可知，机动车先做匀加速运动，后做变加
速运动，最后做匀速运动，故A错误；根据图线A可知，机动车的
最大速度vmax＝12 m/s，根据图线B可知机动车的额定功率为P0＝
18 000 W，当牵引力F等于阻力Ff时，速度达到最大值，则阻力Ff
＝F＝＝1 500 N，故B正确；匀加速运动的牵引力为F'＝＝2
250 N，根据牛顿第二定律得F'－Ff＝ma，由图线A知，a＝
m/s2，解得m＝562.5 kg，故D正确，C错误。
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11. 如图所示，一质量为m＝1.0 kg的物体从半径为R＝5.0 m的圆弧的
A端，在拉力作用下沿圆弧缓慢运动到B端（圆弧AB在竖直平面
内）。拉力F大小不变，始终为15 N，方向始终与圆弧在该点的切
线成37°角。圆弧所对应的圆心角为60°，BO边在竖直方向上。
求这一过程中拉力F做的功。（sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，π
＝3.14）
答案：62.8 J
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解析：将圆弧AB分成很多小段s1，s2，…，sn，拉力在每一小段上
做的功为W1，W2，…，Wn，因拉力F大小不变，方向始终与圆弧
在该点的切线成37°角，所以
W1＝Fs1cos 37°
W2＝Fs2cos 37°
…
Wn＝Fsncos 37°
故WF＝W1＋W2＋…＋Wn＝Fcos 37°（s1＋s2＋…＋sn）＝Fcos
37°·R＝62.8 J。
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12. 汽车发动机的额定功率为60 kW，汽车的质量为5 t，汽车在水平
路面上行驶时，阻力是车重力的倍，则：
（1）汽车保持以额定功率从静止启动后达到的最大速度是多少？
答案： 12 m/s　
解析： 汽车达到最大速度时，a＝0，
此时F＝f＝kmg
P＝Fvm
解得vm＝12 m/s。
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（2）若汽车从静止开始，保持以加速度a＝0.5 m/s2做匀加速直线
运动，这一过程能持续多长时间？
答案： 16 s　
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解析：汽车速度在达到最大值之前已经历了两个过程：匀加
速和变加速。
匀加速直线运动的加速度a＝
所以F＝m＝7.5×103 N
设汽车匀加速的时间为t，匀加速能达到的最大速度为v1，则
v1＝at
汽车速度达到v1时P＝Fv1
解得t＝16 s。
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（3）当汽车的速度为6 m/s时，汽车的实际功率是多少？
答案： 45 kW
解析：当汽车的速度为6 m/s时，汽车仍处于匀加速运动阶
段，则汽车的实际功率P'＝Fv＝45 kW。
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