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2024-2025学年广西玉林市八校高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
2.已知向量，，且，则( )
A. B. C. D.
3.复数的共轭复数为，且满足，则( )
A. B. C. D.
4.已知正方形的边长为，点满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
5.已知点是平行六面体的面对角线上的动点，则下列直线中与恒为异面直线的是( )
A. B. C. D.
6.已知和是两个平面，，，是三条不同的直线，且，，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.对于平面内个起点相同的单位向量，若每个向量与其相邻向量的夹角均为，则与的位置关系为( )
A. 垂直 B. 反向平行 C. 同向平行 D. 无法确定
8.一个圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为的球，则该球的体积的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图所示的圆台，在轴截面中，，则( )
A. 该圆台的高为
B. 该圆台轴截面面积为
C. 该圆台的体积为
D. 一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为
10.已知复平面内的四个点，，，构成平行四边形，顶点，，对应复数，，，则点对应的复数可以是( )
A. B. C. D.
11.在中，角，，的对边分别为，，，则下列结论正确的是( )
A. 若，，，则有一解
B. 若，则是钝角三角形
C. 若为锐角三角形，则
D. 若，则为等腰三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.将一个苹果切刀，最多可以切成块，最少可切成块，则的值为______．
13.已知，，，则向量在向量上的投影向量为______．
14.棱长为的正方体中，是棱的中点，过作正方体的截面，则截面的面积是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在长方体中，，，分别为，，的中点，求证：
平面；
平面平面C.
16.本小题分
如图，四面体的四个顶点均为长方体的顶点．
Ⅰ若四面体各棱长均为，求该四面体的表面积和体积；
Ⅱ若，求四面体外接球的表面积．
17.本小题分
在锐角中，已知，，且．
求角的大小；
若，求面积的最大值．
18.本小题分
如图，在平面四边形中，，为定点，，是动点，，，和的面积分别为和，若．
求的取值范围；
用表示；
当取最大值时，求的值．
19.本小题分
对于平面向量，，求证：，并说明等号成立的条件；
我们知道求的最大值可化为求的最大值，也可以利用向量的知识，将构造为两个向量的数量积形式，即：令，，则转化为，求出最大值．
利用以上向量的知识，完成下列问题：
对于任意的，，，，求证：；
求的最值．
参考答案
1.
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3.
4.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.证明：如图，取的中点，分别连接，，，
，，分别为，，的中点，
，且，
在长方体中，是的中点，
，且，
，且，四边形是平行四边形，
，
平面，平面，
平面C.
，分别为，的中点，，且，
，且，
是中点，则，且，
四边形为平行四边形，，
平面，平面，
由知平面，
平面，平面，，
平面平面C.
16.解：Ⅰ因为四面体各棱长均为，
所以四个面是全等的等边三角形，
所以，
对于一个棱长为的正四面体的高，
体积为，
所以当时，．
Ⅱ由于四面体的四个顶点均为长方体的顶点，
所以四面体外接球与长方体的外接球是同一个球，
如图：设此四面体所在长方体的棱长分别为，，，
则，解得，
所以，
所以外接球的表面积为．
17.解：由于，所以，
所以，即，
所以，
由于是锐角，所以，所以，即．
设的内角，，所对的边分别为，，，
依题意，，
由余弦定理知，，
所以，即，当且仅当时，等号成立，
此时，
所以，
故面积的最大值为．
18.在中，，，
在，，，
，即的取值范围是；
如图，过作交于点．
，，
，
，
，
．
，，
当时，，
此时，，
，
又是三角形的内角，
．
19.证明：设，，
当且仅当，即或时，等号成立；
解：证明：设，，，，
：，，
则，
两边平方可得：；
解：，，，，
，
在以原点为圆心，以为半径的圆上，即第一象限及，；
当时，在上的投影最小，即的最小值为；
当，共线同向时取最大值，即的最大值为，当且仅当时取最大值．
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