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2024-2025学年广西玉林市四校高二（下）期中联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.小明和小红去看哪吒，小明想坐第六排，小红想坐第五排，买票时发现第六排还有个位置，第五排还有个位置，请问他们看电影的座位有种不同选法．
A. B. C. D.
2.已知函数，则( )
A. B. C. D.
3.设随机变量，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知为函数的极小值点，则( )
A. B. C. D.
5.某冷饮店有种瓶装饮品可供选择，现有位同学到店，每人购买一瓶，则恰好购买了种饮料的购买方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.年月日，杭州第届亚运会火炬传递启动仪式在西湖涌金公园广场举行秉持杭州亚运会“绿色、智能、节俭、文明”的办赛理念，本次亚运会火炬传递线路的筹划聚焦简约、规模适度在杭州某路段传递活动由甲、乙、丙、丁、戊名火炬手分五棒完成若第一棒火炬手只能从甲、乙、丙中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙中产生，则不同的传递方案种数为( )
A. B. C. D.
7.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
8.已知函数若函数的图象上存在关于坐标原点对称的点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.将四大名著红楼梦西游记三国演义水浒传，诗集唐诗三百首徐志摩诗集和戏曲
中华戏曲本书放在一排，则( )
A. 戏曲书放在正中间位置的不同放法有种
B. 诗集相邻的不同放法有种
C. 四大名著互不相邻的不同放法有种
D. 四大名著不放在两端的不同放法有种
10.下列说法正确的是( )
A.
B. 若，则
C. 被整除的余数为
D. 精确到的近似数为
11.是定义在上的函数，是的导函数，下列说法正确的有( )
A. 已知，且，则
B. 若，则函数有极小值
C. 若，且，则不等式的解集为
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. ______用数字填写答案
13.如图所示，积木拼盘由，，，，五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色如：与为相邻区域，与为不相邻区域，现有五种不同的颜色可供挑选，则不同的涂色方法的种数是______．
14.若对任意，恒有，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某机器人商店出售的机器人中，甲品牌的占，合格率为；乙品牌的占，合格率为；丙品牌的占，合格率为，在该商店随机买一台机器人．
求该机器人是甲品牌合格品的概率；
求该机器人是合格品的概率；
若该机器人是不合格品，求它是丙品牌的概率．
16.本小题分
某中学举办“数学知识竞赛”，初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格高三班派出甲、乙两个小组参赛，在初赛中，若甲、乙两组通过第一轮比赛的概率分别是，通过第二轮比赛的概率分别是，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响．
若高三班获得决赛资格的小组个数为，求的分布列；
已知甲、乙两个小组在决赛中相遇，决赛以三道抢答题形式进行，抢到并答对一题得分，答错一题扣分，得分高的获胜假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率，且甲、乙两个小组抢到该题的可能性分别是，假设每道题抢与答的结果均互不影响，求乙已在第一道题中得分的情况下甲获胜的概率．
17.本小题分
已知是函数的一个极值点．
求实数的值；
求函数在上的最大值和最小值．
18.本小题分
已知的展开式的第项与第项的二项式系数之比是：．
求的值；
求展开式的常数项；
求展开式中系数绝对值最大的项．
19.本小题分
英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，为自然对数的底数，以上公式称为泰勒公式设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题．
证明：；
设，证明：；
设，证明：当时，的极小值点是．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：用表示机器人是甲品牌，用表示机器人是合格品，
甲品牌的占，合格率为，
则，，
所以该机器人是甲品牌合格品的概率．
用表示机器人是乙品牌，用表示机器人是丙品牌，
甲品牌的占，合格率为；乙品牌的占，合格率为；丙品牌的占，合格率为，
；
由知，该机器人是不合格品的概率，
若该机器人是不合格品，它是丙品牌的概率．
16.设甲、乙通过两轮制的初赛分别为事件，，
则，
由题意可得，的取值有，，，
，
，
，
所以的分布列如下：
依题意甲、乙抢到并答对一题的概率分别为，，
乙已得分，甲若想获胜情况有：
甲得分，其概率为，
甲得分，乙再得分，其概率为，
甲得分，乙再得分，其概率为，
故乙先得分后甲获胜的概率为．
17.解：因为，所以，
因为是的一个极值点．
所以，
所以，，经检验，符合题意．
解：由可知，，
令，解得或，令，解得，
因为，
所以在上单调递减，上单调递增，
所以在处取得极小值，也是最小值，
又因为，，，
所以，．
18.解：由题意得，即，整理得，解得舍去；
根据题意，展开式的第项为：
，
令，解得，所以常数项为．
由题意得展开式中，第项系数的绝对值为，
由，可得，即，
解得，所以，可得，即系数绝对值最大的项是．
19.证明：令，则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值，，
故；
，，
令，，
则，
当时，，
故在上单调递减
故，即，结论得证；
，
则，
令，
时，，
故G在上单调递增，
又，
故时，，当时，，
故F在上单调递增，在上单调递减，
故时，的极小值点是．
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