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2024-2025学年河北省张家口一中高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.在的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
3.函数的导函数的图像如图所示，以下命题错误的是( )
A. 是函数的最小值
B. 是函数的极值
C. 在区间上单调递增
D. 在处的切线的斜率大于
4.一袋中装有大小、质地均相同的个白球，个黄球和个黑球，从中任取个球，则至少含有一个黑球的概率是( )
A. B. C. D.
5.在的展开式中，偶数项的二项式系数之和为，则展开式中二项式系数最大的项的系数为( )
A. B. C. D.
6.将种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是( )
A. B. C. D.
7.如图，已知函数的图像在点处的切线为，则( )
A.
B.
C.
D.
8.设函数是上可导的偶函数，且，当，满足，则的解集为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.，，，，五个人并排站在一起，下列说法正确的是( )
A. 若，不相邻，有种排法 B. 若，不相邻，有种排法
C. 若，相邻，有种排法 D. 若，相邻，有种排法
10.在的展开式中，下列结论正确的是( )
A. 第项和第项的二项式系数相等 B. 奇数项的二项式系数和为
C. 常数项为 D. 有理项有项
11.五一假期过后，车主小王选择去该市新开的，两家共享自助洗车店洗车已知小王第一次去，两家洗车店洗车的概率分别为和，如果小王第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为；如果小王第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为，则下列结论正确的是( )
A. 小王第一次去洗车店，第二次也去洗车店的概率为
B. 小王第二次去洗车店的概率比第二次去洗车店的概率大
C. 若小王第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为
D. 若小王第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若随机变量，则 ______．
13.小智和电脑连续下两盘棋，已知小智第一盘获胜的概率是，小智连续两盘都获胜的概率是，那么小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是______．
14.已知函数，过点且与曲线相切的直线只有条，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
求函数的单调区间和极值．
16.本小题分
某班从名男生和名女生中，随机抽取人组成数学兴趣小组，另人组成物理兴趣小组．
求数学兴趣小组中包含男生，但不包含女生的概率；
用表示物理兴趣小组中的女生人数，求的分布列与数学期望．
17.本小题分
从甲地到乙地要经过个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．
Ⅰ若有一辆车独立地从甲地到乙地，求这一辆车未遇到红灯的概率；
Ⅱ记表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数学期望．
18.本小题分
已知函数，其中是常数．
Ⅰ当时，求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ若存在实数，使得关于的方程在上有两个不相等的实数根，求的取值范围．
19.本小题分
设函数，．
证明：．
当时，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.解：，
令，解得：，，
令，解得：，
在，递增，在递减，
，
．
16.解：已知某班从名男生和名女生中，随机抽取人组成数学兴趣小组，另人组成物理兴趣小组，
共有种组合方式，
其中数学兴趣小组中包含男生，但不包含女生的有种，
所以数学兴趣小组中包含男生，但不包含女生的概率；
易知的所有可能取值为，，，，，
此时，，，，，
则的分布列为：


所以．
17.解：各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，，
这一辆车未遇到红灯的概率．
由题意可得，所有可能取值为，，，，
，
，
，
，
故的分布列为：


故E．
18.解：Ⅰ由可得，
，分
当时，，分
所以 曲线在点处的切线方程为，
即分
Ⅱ 令，
解得或分
当，即时，在区间上，，所以是上的增函数．
所以方程在上不可能有两个不相等的实数根．分
当，即时，，随的变化情况如下表
由上表可知函数在上的最小值为分
因为 函数是上的减函数，是上的增函数，
且当时，有分
所以要使方程的方程在上有两个不相等的实数根，的取值范围必须是分
19.证明：因为，其定义域为，
则，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
当时，，
而，
要证，
即证 ，
即证，
设，
则，
当时，，则在上单调递增，且，，
当时，，，
故只需证明，
由知，在上成立，
故，
即成立．
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